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2022-2023学年八年级数学上学期期中分类复习专题01 勾股定理与等腰（边）结合的压轴题（含答案解析）
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这是一份2022-2023学年八年级数学上学期期中分类复习专题01 勾股定理与等腰（边）结合的压轴题（含答案解析），共53页。试卷主要包含了背景资料，【问题发现】，如图，在中，，，等内容，欢迎下载使用。
专题01 勾股定理与等腰（边）结合的压轴题
1．(1)【原题呈现】在课本中，安排有这样一个思考问题：“如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，那么BC和AB有怎样的数量关系？试证明你的结论”
老师在课堂中提出这样的问题，并展示了小明的部分解答
小明：AB=2BC．
证明：把△ABC沿着AC翻折，得到△ADC．
∴∠ACD=∠ACB=90°，
∴∠BCD=∠ACD+∠ACB=90°+90°=180°，即：点B、C、D在一条直线上．（请在下面补全小华后面的证明过程）
(2)【变式拓展】如图2，在△ABC中，把（1）中条件“∠ACB=90°”改为“∠ACB=135°”，保持“∠BAC=30°”不变，则 ．
(3)【能力迁移】我们发现，翻折可以探索图形性质，请利用翻折解决下面问题．
如图3，点D是△ABC内一点，AD=AC，∠BAD=∠CAD=20°，∠ADB+∠ACB=210°，探求AD、DB、BC三者之间的数量关系，并说明理由．
2．如图①，在长方形ABCD中，已知AB＝10，AD＝6，动点P从点D出发，以每秒2个单位的速度沿线段DC向终点C运动，运动时间为t秒，连接AP，把△ADP沿着AP翻折得到△AEP．
（1）如图②，射线PE恰好经过点B，试求此时t的值．
（2）当射线PE与边AB交于点Q时，是否存在这样的t的值，使得QE＝QB？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由．
3．背景资料：在已知所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图1，当三个内角均小于120°时，费马点P在内部，当时，则取得最小值．
(1)如图2，等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数，为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出_______；
知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问题．
(2)如图3，三个内角均小于120°，在外侧作等边三角形，连接，求证：过的费马点．
(3)如图4，在中，，，，点P为的费马点，连接、、，求的值．
(4)如图5，在正方形中，点E为内部任意一点，连接、、，且边长；求的最小值．
4．如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且AD：BD：CD＝2：3：4，
（1）试说明△ABC是等腰三角形；
（2）已知S△ABC＝160cm2，如图2，动点M从点A出发以每秒2cm的速度沿线段AB向点B运动，同时动点N从点B出发以相同速度沿线段BC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t（秒），①若△DMN的边与AC平行，求t的值；
②若点E是边BC的中点，问在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
5．如图，在中，，若动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为t秒．
(1)出发2秒后，求的周长；
(2)问t为何值时，为以C为顶点的等腰三角形；
(3)另有一点Q，从点C开始，按的路径运动，且速度为秒，若P，Q两点同时出发，当P，Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把的周长分成相等的两部分．
6．如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD：CD：AD＝1：3：4．
（1）试说明△ABC是等腰三角形；
（2）已知S△ABC＝30cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t（秒），
①若△DMN的边与BC平行，求t的值；
②若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
7．【问题发现】
（1）如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，连接CE，容易发现：①∠BEC的度数为 ；②线段BD、CE之间的数量关系为 ；
【类比探究】
（2）如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点B，D，E在同一直线上，连接CE，试判断∠BEC的度数及线段BE、CE、DE之间的数列关系，并说明理由；
【问题解决】
（3）如图3，∠AOB＝∠ACB＝90°，OA＝3，OB＝6，AC＝BC，则OC2的值为 ．
8．如图，在中，，，，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动．设点P的运动时间为t秒．
（1）求AC的长及斜边AB上的高．
（2）当点P在CB上时，
①CP的长为______________（用含t的代数式表示）．
②若点P在的角平分线上，则t的值为______________．
（3）在整个运动过程中，直接写出是等腰三角形时t的值．
9．将沿AD折叠，使点C刚好落在AB边上的点E处．展开如图1．
【操作观察】（1）图1中，，．
①则_______；
②若，则_______；
【理解应用】（2）如图2，若，试说明：；
【拓展延伸】（3）如图3，若，点G为AC的中点，且．点P是AD上的一个动点，连接PG、PC．求的最小值．
10．如图，在中，，，．动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动时间为．
（1）当为直角三角时，求t的值：
（2）当为等腰三角形时，求t的值．
11．如图，长方形ABCD中，，．E为CD边上一点，．
（1）求AE的长；
（2）点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着边BA向终点A运动，连接PE．设点P运动的时间为t秒．
①当t为何值时，是等腰三角形；
②当t=______时，．
12．如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD：AD：CD＝2：3：4；
(1)试说明△ABC是等腰三角形；
(2)已知S△ABC＝40cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t(秒)．
①若△DMN的边与BC平行，求t的值；
②若点E是边AC的中点，在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形?若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
13．新定义：若一个凸四边形的一条对角线把该四边形分成两个等腰三角形，那么称这个凸四边形为“等腰四边形”，这条对角线称为“界线”．
（1）如图1，四边形ABCD是“等腰四边形”，BD为“界线”，若∠BAD=120°，∠BCD=150°，则∠ABC=________°；
（2）如图2，四边形ABCD中，AB=AD，BC=AB，∠A=60°，∠D=150°，试说明四边形ABCD是“等腰四边形”；
（3）若在“等腰四边形”ABCD中，AB=BC=CD，∠ABC=90°，且BD为“界线”，请你画出满足条件的图形，并直接写出∠ADC的度数．
14．探究一：如图1，已知 AB=BD，AB⊥BC，∠C=90°，E 和 F分别是 BD 和 CD 上的动点， 且 BE=DF，△ABE与△BDF全等吗？若全等，请说明理由．
探究二：如图2，一只蚂蚁从一个长为 6，宽为 5，高为 3 的长方形顶点 A从表面爬行到另一个顶点 B，请问爬行的最短距离的平方的值是 ．
探究三：如图 3，等边三角形 ADC中，边长为 4，高为AF，AE=CD，求（BD+CE）2的最小值．
15．在长方形ABCD中，AB＝CD＝10，BC＝AD＝8．
（1）P为BC上一点，将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置（点B落在点E处）．
①如图1，当点E落在边CD上时，直接写出此时DE＝_______．
②如图2，PE与CD相交于点F，AE与CD相交于点G，且FC＝FE，求BP的长．
（2）如图3，已知点Q为射线BA上的一个动点，将△BCQ沿CQ翻折，点B恰好落在直线DQ上的点B′处，求BQ的长．
16．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC=6cm，动点P从点B出发，沿射线BC以4cm/s的速度运动，设运动时间为t秒．
（1）当t= 时，AP平分△ABC的面积．
（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．
（3）若点Q是边AB上一点，且QP⊥BC，垂足为P，请用无刻度的直尺和圆规，作出点P、点Q，使得QA=QP．
（4）若点E、F为BC、AB上的动点，求AE+EF的最小值．
答案与解析
1．(1)【原题呈现】在课本中，安排有这样一个思考问题：“如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，那么BC和AB有怎样的数量关系？试证明你的结论”
老师在课堂中提出这样的问题，并展示了小明的部分解答
小明：AB=2BC．
证明：把△ABC沿着AC翻折，得到△ADC．
∴∠ACD=∠ACB=90°，
∴∠BCD=∠ACD+∠ACB=90°+90°=180°，即：点B、C、D在一条直线上．（请在下面补全小华后面的证明过程）
(2)【变式拓展】如图2，在△ABC中，把（1）中条件“∠ACB=90°”改为“∠ACB=135°”，保持“∠BAC=30°”不变，则 ．
(3)【能力迁移】我们发现，翻折可以探索图形性质，请利用翻折解决下面问题．
如图3，点D是△ABC内一点，AD=AC，∠BAD=∠CAD=20°，∠ADB+∠ACB=210°，探求AD、DB、BC三者之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)2
(3)，理由见解析
【分析】（1）根据翻折的性质得出点B、C、D共线，再由等边三角形的判定和性质即可证明；
（2）把∆ABC沿着AC翻折，得到∆ADC，根据翻折的性质得出∆ABD为等边三角形，由题意确定∠BCD=90°，运用勾股定理即可得出结论；
（3）把△ABD延AB边翻折得到△AEB，连接ED，EC，由翻折及各角之间的关系得出△AEC为等边三角形，再由勾股定理及等量代换即可得出结论．
（1）
证明：把△ABC沿着AC翻折，得到△ADC．
∴∠ACD=∠ACB=90°，
∴∠BCD=∠ACD+∠ACB=90°+90°=180°，即：点B、C、D共线，
∴AB=AD，
∵∠BAC=30°，
∴∠ABC=60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴AB=BD=2BC；
（2）
如图所示，把∆ABC沿着AC翻折，得到∆ADC，
由翻折得：AD=AB，
∠CAD=∠CAB=30°，BC=CD，
∴∠BAD=60°，
∴∆ABD为等边三角形，
∴AB=BD，
∵∠ACB=∠ACD=135°，
∴∠BCD=90°，
，
即；
（3）
；
理由：把△ABD延AB边翻折得到△AEB，连接ED，EC，
∵∠BAD=∠CAD=20°，
∴∠EAB=20°，
∴∠EAC=60°，
∵∠ACB+∠ADB=210°，∠AEB=∠ADB，
∴∠ACB=∠AEB=210°，
∴∠EBC=360°-210°-60°=90°，
∵AD=AC，AE=AD，
∴AE=AC，
∴△AEC为等边三角形，
∴EC=AE=AD，
在Rt△EBC中，
，
∵BC=BD，EC=AD，
∴．
【点睛】题目主要考查三角形翻折的性质，勾股定理解三角形，三角形内角和定理及等边三角形的判定和性质，熟练掌握运用这些性质定理是解题关键．
2．如图①，在长方形ABCD中，已知AB＝10，AD＝6，动点P从点D出发，以每秒2个单位的速度沿线段DC向终点C运动，运动时间为t秒，连接AP，把△ADP沿着AP翻折得到△AEP．
（1）如图②，射线PE恰好经过点B，试求此时t的值．
（2）当射线PE与边AB交于点Q时，是否存在这样的t的值，使得QE＝QB？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，或
【分析】（1）先证明∠APD=∠EPA=∠PAB，得AB=PB=10，根据勾股定理得PC=8，由PD=2=2t，可得结论；
（2）分两种情况：点E在矩形的内部时，先求解 再过点P作PH⊥AB于H，过点Q作QG⊥CD于G，求解，再建立方程求解即可；当点E在矩形的外部，可得AB=2t，从而可得答案.
【详解】解：（1）如图1， 长方形，
∴∠DPA=∠PAB，
由轴对称得：∠DPA=∠EPA，
∴∠EPA=∠PAB，
∴BP=AB=10，
在Rt△PCB中，由勾股定理得：
∴PD=2=2t，
∴t=1；
（2）存在，分两种情况： 当点E在矩形ABCD内部时，如图，
∵QE=PQ-PE=PQ-DP=PQ-2t，
而QE=QB，由（1）同理可得：PQ=AQ，
∴QB=AQ-2t， ∵AQ+BQ=AB=10，
∴AQ+AQ-2t=10， ∴AQ=5+t，
如图，过点P作PH⊥AB于H，过点Q作QG⊥CD于G，
∴PH=QG=AD=6，
而，
∴，
∵AQ=DG=DP+PG，
∴ ， ∵PD=2t，
∴，
解得：，
∴， 解得：；
经检验，符合题意，
当点E在矩形ABCD的外部时，如图，
∵QE=PE-PQ=DP-PQ=2t-PQ，
同理：，
∵QE=QB， ∴BQ=2t-AQ，
∴AB-AQ=2t-AQ， ∴AB=2t，
∴，（此时P与C重合），
综上，存在这样的t值，使得QE=QB，t的值为秒或5秒．
【点睛】本题考查长方形的性质、几何动点问题，轴对称的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是学会正确画出图形，学会分类讨论，充分利用轴对称的性质解决问题．
3．背景资料：在已知所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图1，当三个内角均小于120°时，费马点P在内部，当时，则取得最小值．
(1)如图2，等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数，为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出_______；
知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问题．
(2)如图3，三个内角均小于120°，在外侧作等边三角形，连接，求证：过的费马点．
(3)如图4，在中，，，，点P为的费马点，连接、、，求的值．
(4)如图5，在正方形中，点E为内部任意一点，连接、、，且边长；求的最小值．
【答案】(1)150°；
(2)见详解；
(3)；
(4)．
【分析】（1）根据旋转性质得出≌，得出∠BAP=∠CAP′，∠APB=∠AP′C，AP=AP′=3，BP=CP′=4，根据△ABC为等边三角形，得出∠BAC=60°，可证△APP′为等边三角形，PP′=AP=3，∠AP′P=60°，根据勾股定理逆定理，得出△PP′C是直角三角形，∠PP′C=90°，可求∠AP′C=∠APP+∠PPC=60°+90°=150°即可；
（2）将△APB逆时针旋转60°，得到△AB′P′，连结PP′，根据△APB≌△AB′P′，AP=AP′，PB=PB′，AB=AB′，根据∠PAP′=∠BAB′=60°，△APP′和△ABB′均为等边三角形，得出PP′=AP，根据，根据两点之间线段最短得出点C，点P，点P′，点B′四点共线时，最小=CB′，点P在CB′上即可；
（3）将△APB逆时针旋转60°，得到△AP′B′，连结BB′，PP′，得出△APB≌△AP′B′，可证△APP′和△ABB′均为等边三角形，得出PP′=AP，BB′=AB，∠ABB′=60°，根据，可得点C，点P，点P′，点B′四点共线时，最小=CB′，利用30°直角三角形性质得出AB=2AC=2，根据勾股定理BC=，可求BB′=AB=2，根据∠CBB′=∠ABC+∠ABB′=30°+60°=90°，在Rt△CBB′中，B′C=即可；
（4）将△BCE逆时针旋转60°得到△CE′B′，连结EE′，BB′，过点B′作B′F⊥AB，交AB延长线于F，得出△BCE≌△CE′B′，BE=B′E′，CE=CE′，CB=CB′，可证△ECE′与△BCB′均为等边三角形，得出EE′=EC，BB′=BC，∠B′BC=60°，，得出点C，点E，点E′，点B′四点共线时，最小=AB′，根据四边形ABCD为正方形，得出AB=BC=2，∠ABC=90°，可求∠FBB′=180°-∠ABC-∠CBB′=180°-90°-60°=30°，根据30°直角三角形性质得出BF=，勾股定理BF=，可求AF=AB+BF=2+，再根据勾股定理AB′=即可．
(1)
解：连结PP′，
∵≌，
∴∠BAP=∠CAP′，∠APB=∠AP′C，AP=AP′=3，BP=CP′=4，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°
∴∠PAP′=∠PAC+∠CAP′=∠PAC+∠BAP=60°，
∴△APP′为等边三角形，
,∴PP′=AP=3，∠AP′P=60°，
在△P′PC中，PC=5，
，
∴△PP′C是直角三角形，∠PP′C=90°，
∴∠AP′C=∠APP+∠PPC=60°+90°=150°，
∴∠APB=∠AP′C=150°，
故答案为150°；
(2)
证明：将△APB逆时针旋转60°，得到△AB′P′，连结PP′，
∵△APB≌△AB′P′，
∴AP=AP′，PB=PB′，AB=AB′，
∵∠PAP′=∠BAB′=60°，
∴△APP′和△ABB′均为等边三角形，
∴PP′=AP，
∵，
∴点C，点P，点P′，点B′四点共线时，最小=CB′，
∴点P在CB′上，
∴过的费马点．
(3)
解：将△APB逆时针旋转60°，得到△AP′B′，连结BB′，PP′，
∴△APB≌△AP′B′，
∴AP′=AP，AB′=AB，
∵∠PAP′=∠BAB′=60°，
∴△APP′和△ABB′均为等边三角形，
∴PP′=AP，BB′=AB，∠ABB′=60°，
∵
∴点C，点P，点P′，点B′四点共线时，最小=CB′，
∵，，，
∴AB=2AC=2，根据勾股定理BC=
∴BB′=AB=2，
∵∠CBB′=∠ABC+∠ABB′=30°+60°=90°，
∴在Rt△CBB′中，B′C=
∴最小=CB′=；
(4)
解：将△BCE逆时针旋转60°得到△CE′B′，连结EE′，BB′，过点B′作B′F⊥AB，交AB延长线于F，
∴△BCE≌△CE′B′，
∴BE=B′E′，CE=CE′，CB=CB′，
∵∠ECE′=∠BCB′=60°，
∴△ECE′与△BCB′均为等边三角形，
∴EE′=EC，BB′=BC，∠B′BC=60°，
∵，
∴点C，点E，点E′，点B′四点共线时，最小=AB′，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=2，∠ABC=90°，
∴∠FBB′=180°-∠ABC-∠CBB′=180°-90°-60°=30°，
∵B′F⊥AF，
∴BF=，BF=，
∴AF=AB+BF=2+，
∴AB′=，
∴最小=AB′=．
【点睛】本题考查图形旋转性质，等边三角形判定与性质，勾股定理，直角三角形判定与性质，两点之间线段最短，四点共线，正方形性质，30°直角三角形性质，掌握图形旋转性质，等边三角形判定与性质，勾股定理，直角三角形判定与性质，两点之间线段最短，四点共线，正方形性质，30°直角三角形性质是解题关键．
4．如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且AD：BD：CD＝2：3：4，
（1）试说明△ABC是等腰三角形；
（2）已知S△ABC＝160cm2，如图2，动点M从点A出发以每秒2cm的速度沿线段AB向点B运动，同时动点N从点B出发以相同速度沿线段BC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t（秒），①若△DMN的边与AC平行，求t的值；
②若点E是边BC的中点，问在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
【答案】（1）证明见详解；（2）①若△DMN的边与AC平行时，t值为5或6．②存在，理由：符合要求的t值为或9或10．
【分析】（1）设AD=2x，BD=3x，CD=4x，则AB=5x，由勾股定理求出BC，即可得出结论；
（2）由△ABC的面积求出BD、AD、CD、BC；①当MN∥AC时，AM=NC；当DN∥AC时，AD=NC；得出方程，解方程即可；
②根据题意得出当点M在DB上，即4＜t≤10时，△MDE为等腰三角形，有3种可能：当MD=ME=2t-8，过点E作EF垂直AB于F， 求出EF=；FM=2t-14；当DE=DM，则2t-8=10，当ED=EM，则点M运动到点B，分别得出方程，解方程即可．
【详解】（1）证明：设AD=2x，BD=3x，CD=4x，
则AB=AD+BD=2x+3x=5x，
在Rt△BCD中，BC==5x，
∴AB=BC，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）解：由（1）知，AB=5x，CD=4x，
∴S△ABC=×5x×4x=160cm2，而x＞0，
∴x=4cm，
则BD=12cm，AD=8cm，CD=16cm，AB=BC=20cm．
由运动知，AM=2t，BN=2t，
①当MN∥AC时，AM=NC，
即2t =20-2t，
解得t=5；
当DN∥AC时，AD=CN，
∴8=20-2t，
解得：t=6；
∴若△DMN的边与AC平行时，t值为5或6．
②存在，理由：
Ⅰ、当点M在AD上，即0≤t＜4时，△MDE为钝角三角形，但DM＜DE＜ME，不存在等腰三角形；
Ⅱ、当t=4时，点M运动到点D，不能构成三角形
Ⅲ、当点M在DB上，即4＜t≤10时，△MDE为等腰三角形，有3种可能．
∵点E是边BC的中点，
∴DE=BC=10
当MD=ME=2t-8，
如图，过点E作EF垂直AB于F，
∵E为BC中点，
∴ED=EB，
∴DF=BF=BD=6cm，
∴EF=；
∵AM=2t，AF=AD+DF=8+6=14，
∴FM=2t-14
在Rt△EFM中，（2t-8）2-（2t-14）2=82，
∴t=．
当DE=DM，则2t-8=10，
∴t=9；
当ED=EM，则点M运动到点B，
则2t-8=12，
∴t=10；
综上所述，符合要求的t值为或9或10．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形的面积公式，勾股定理，解本题的关键是分情况讨论．
5．如图，在中，，若动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为t秒．
(1)出发2秒后，求的周长；
(2)问t为何值时，为以C为顶点的等腰三角形；
(3)另有一点Q，从点C开始，按的路径运动，且速度为秒，若P，Q两点同时出发，当P，Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把的周长分成相等的两部分．
【答案】(1)7＋（cm）
(2)t为3s，5.4s时，为以C为顶点的等腰三角形
(3)t为2或6秒
【分析】（1）根据速度为每秒1cm，求出出发2秒后CP的长，然后就知AP的长，利用勾股定理求得PB的长，最后即可求得周长．
（2）因为AB与CB已知，由勾股定理得AC＝4 cm，要让△BCP为等腰三角形，有两种情况，点P在AC边上或者点P在AB边上，只要保证PC=BC就可以．
（3）分类讨论：当P点在AC上，Q在AB上，则PC＝t，BQ＝2t−3，t＋2t−3＝6；当P点在AB上，Q在AC上，则AC＝t−4，AQ＝2t−8，t−4＋2t−8＝6．
（1）
解：如图1，由∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，
∴AC＝4，动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，
∴出发2秒后，则CP＝2，
∵∠C＝90°，
∴PB＝（cm），
∴△ABP的周长为：AP＋PB＋AB＝2＋5＋＝7＋（cm）．
（2）
①如图2，若P在边AC上时，BC＝CP＝3cm，
此时用的时间为3s，△BCP为等腰三角形；
②若P在AB边上时，CP＝BC＝3cm，过C作斜边AB的高，则CD=2.4cm，
在Rt△PCD中，PD＝＝=1.8（cm），
所以BP＝2PD＝3.6cm，
所以P运动的路程为9−3.6＝5.4cm，
则用的时间为5.4s，△BCP为等腰三角形；
综上所述，当t为3s，5.4s时，△BCP为等腰三角形
（3）
如图6，当P点在AC上，Q在AB上，则PC＝t，BQ＝2t−3，
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，
∴t＋2t−3＝3，
∴t＝2；
如图7，当P点在AB上，Q在AC上，则AP＝t−4，AQ＝2t−8，
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，
∴t−4＋2t−8＝6，
∴t＝6，
∴当t为2或6秒时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．
【点睛】此题考查了，勾股定理，等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，综合运用以上知识并能分类讨论是解题的关键．
6．如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD：CD：AD＝1：3：4．
（1）试说明△ABC是等腰三角形；
（2）已知S△ABC＝30cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t（秒），
①若△DMN的边与BC平行，求t的值；
②若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）①若△DMN的边与BC平行时，t的值为5或8；②能，符合要求的t值为7或10或．
【分析】（1）设BD=x，AD=4x，CD=4x，则AB=5x，由勾股定理求出AC，即可得出结论；
（2）①当MN∥BC时，当DN∥BC时，根据等腰三角形的性质得出方程，解方程即可；
②若△MDE为等腰三角形，有3种可能：如果DE=DM；如果ED=EM；如果MD=ME=t-2；分别得出方程，解方程即可．
【详解】（1）设BD＝x，AD＝4x，CD＝3x（x＞0），
在Rt△ACD，∵AC2＝CD2+AD2，
∴AC2＝（3x）2+（4x）2，
∴AC＝5x，
∵AB＝BD+AD＝5x，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）S△ABC＝×5x×3x＝30cm2，而x＞0，
∴x＝2cm，
则BD＝2cm，AD＝8cm，CD＝6cm，AC＝10cm．
①当MN∥BC时，AM＝AN，即10﹣t＝t，
∴t＝5，
当DN∥BC时，AD＝AN，有t＝8，
故若△DMN的边与BC平行时，t的值为5或8．
②当点M在BD上，即0≤t＜2时，△MDE为钝角三角形，但DM≠DE，
当t＝2时，点M运动到点D，不构成三角形，
当点M在DA上，即2＜t≤10时，△MDE为等腰三角形，有3种可能．
如果DE＝DM，则t﹣2＝5，
∴t＝7；
如果ED＝EM，则点M运动到点A，
∴t＝10；
如果MD＝ME＝t﹣2，如图，过点E作EF⊥AD于F，
∵DE＝AE，EF⊥AD，
∴AF＝DF＝4，
在Rt△AEF中，∵EF2＝AE2﹣AF2，
∴EF＝＝3，
∵BM＝t，BF＝6，
∴MF＝t﹣6，
在Rt△EMF中，∵EF2+MF2＝EM2，
∴32+（t﹣6）2＝（t﹣2）2，
∴t＝．
综上所述，符合要求的t值为7或10或．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、解方程等知识，熟练掌握分类讨论思想和方程的思想方法是解题的关键．
7．【问题发现】
（1）如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，连接CE，容易发现：①∠BEC的度数为 ；②线段BD、CE之间的数量关系为 ；
【类比探究】
（2）如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点B，D，E在同一直线上，连接CE，试判断∠BEC的度数及线段BE、CE、DE之间的数列关系，并说明理由；
【问题解决】
（3）如图3，∠AOB＝∠ACB＝90°，OA＝3，OB＝6，AC＝BC，则OC2的值为 ．
【答案】（1）60°，BD=CE；（2）∠BEC=90°，BE=CE+DE，理由见解析；（3）
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，得到∠BAD=∠CAE，证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质证明结论；
（2）由“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得BD=CE，∠AEC=∠ADB=135°，即可求解；
（3）由“AAS”可证△ACF≌△CBE，可得BE=CF，AF=CE，可求OF=CF=，由勾股定理可求解．
【详解】解：（1）∵△ABC和△ADE为等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE；∠AEC=∠ADB=180°-∠ADE=120°，
∴∠BEC=∠AEC-∠AED=120°-60°=60°，
故答案为：60°，BD=CE；
（2）∠BEC=90°，BE=CE+DE，
理由如下：∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，∠AEC=∠ADB=135°，
∴∠BEC=∠AEC-∠AED=135°-45°=90°，
∵BE=BD+DE，
∴BE=CE+DE；
（3）如图，过点C作CF⊥AO交AO延长线于F，过点B作BE⊥CF于E，
∵∠ACB=90°=∠E=∠AFC，
∴∠BCE+∠ACF=90°=∠BCE+∠CBE，
∴∠ACF=∠CBE，
又∵AC=BC，∠AFC=∠E，
∴△ACF≌△CBE（AAS），
∴BE=CF，AF=CE，
∵OA=3，OB=6，
∴EC+CF=BO=6，OA=AF-OF=CE-BE=CE-CF=3，
∴EC=，CF==OF，
∴OC2=CF2+OF2=()2+()2=．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
8．如图，在中，，，，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动．设点P的运动时间为t秒．
（1）求AC的长及斜边AB上的高．
（2）当点P在CB上时，
①CP的长为______________（用含t的代数式表示）．
②若点P在的角平分线上，则t的值为______________．
（3）在整个运动过程中，直接写出是等腰三角形时t的值．
【答案】（1）；（2）①；②；（3）t的值为0.5或4.75或5或5.3．
【分析】（1）直接利用勾股定理即可求得AC的长，再利用等面积法即可求得斜边AB上的高；
（2）①CP的长度等于运动的路程减去AC的长度，②过点作D⊥AB，证明Rt△AC≌Rt△AD得出AD=AC=4，分别表示各线段，在Rt△BD利用勾股定理即可求得t的值；
（3）由图可知，当△BCP是等腰三角形时，点P必在线段AC或线段AB上，①当点P在线段AC上时，此时△BCP是等腰直角三角形，②当点P在线段AB上时，又分三种情况：BC=BP；PC=BC；PC=PB，分别求得点P运动的路程，再除以速度即可得出答案．
【详解】解：（1）∵，，，
∴在中，
．
∴AC的长为4．
设斜边AB上的高为h．
∵，
∴，
∴．
∴斜边AB上的高为．
（2）已知点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A-C-B-A运动，
①当点P在CB上时，点P运动的长度为：AC+CP=2t，
∵AC=4，
∴CP=2t-AC=2t-4．
故答案为：2t-4．
②当点在∠BAC的角平分线上时，过点作D⊥AB，如图：
∵A平分∠BAC，C⊥AC，D⊥AB，
∴D=C=2t-4，
∵BC=3，
∴B=3-（2t-4）=7-2t，
在Rt△AC和Rt△AD中，
，
∴Rt△AC≌Rt△AD（HL），
∴AD=AC=4，
又∵AB=5，
∴BD=1，
在Rt△BD中，由勾股定理得：
解得：，
故答案为：；
（3）由图可知，当△BCP是等腰三角形时，点P必在线段AC或线段AB上，
①当点P在线段AC上时，此时△BCP是等腰直角三角形，
∴此时CP=BC=3，
∴AP=AC-CP=4-3=1，
∴2t=1，
∴t=0.5；
②当点P在线段AB上时，若BC=BP，
则点P运动的长度为：
AC+BC+BP=4+3+3=10，
∴2t=10，
∴t=5；
若PC=BC，如图2，过点C作CH⊥AB于点H，则BP=2BH，
在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，AC=4，
∴AB•CH=AC•BC，
∴5CH=4×3，
∴，
在Rt△BCH中，由勾股定理得：
，
∴BP=3.6，
∴点P运动的长度为：AC+BC+BP=4+3+3.6=10.6，
∴2t=10.6，
∴t=5.3；
若PC=PB，如图3所示，过点P作PQ⊥BC于点Q，
则，∠PQB=90°，
∴∠ACB=∠PQB=90°，
∴PQ∥AC，
∴PQ为△ABC的中位线，
∴PQ=0.5×AC=0.5×4=2，
在Rt△BPQ中，由勾股定理得：，
点P运动的长度为：AC+BC+BP=4+3+2.5=9.5，
∴2t=9.5，
∴t=4.75．
综上，t的值为0.5或4.75或5或5.3．
【点睛】本题考查勾股定理，HL定理，等腰三角形的性质和判定．掌握等面积法和分类讨论思想是解题关键．
9．将沿AD折叠，使点C刚好落在AB边上的点E处．展开如图1．
【操作观察】（1）图1中，，．
①则_______；
②若，则_______；
【理解应用】（2）如图2，若，试说明：；
【拓展延伸】（3）如图3，若，点G为AC的中点，且．点P是AD上的一个动点，连接PG、PC．求的最小值．
【答案】（1）①2；②12；（2）见解析；（3）75
【分析】（1）①由于翻折，故AE=AC，所以BE=AB－AE；②由于翻折，故AD平分∠BAC，故点D到AC的距离等于点D到AB的距离，即△ACD边AC上的高等于△ABD边AB上的高．再由三角形面积公式可知，，从而得到；（2）由于翻折，知∠AED=∠C，又因为，等量代换得∠B=∠BDE，从而BE=DE，整理代换即可；（3）根据“将军饮马”模型知，PG+PE的最小值为EG．再根据AE=2AG，∠BAC=60°，可推断出△AEG是含60°角的直角三角形，从而得到EG的长，得解．
【详解】解：（1）①∵翻折
∴△ACD≌△AED
∴AE=AC
∴BE=AB－AE= AB－AC=8－6=2
∴BE=2；
②∵翻折，
∴AD平分∠BAC，
∴点D到AC的距离等于点D到AB的距离，即△ACD边AC上的高等于△ABD边AB上的高
∴由三角形面积公式可知，，
又∵，
∴．
（2）∵翻折
∴△ACD≌△AED
∴AE=AC，∠AED=∠C，DE=CD
又∵，∠AED=∠B+∠BDE
∴∠B=∠BDE
∴BE=DE
又∵AB=AE+BE
∴AB=AC+DE=AC+CD．
（3）∵翻折
∴PC=PE
∴PG+PC=PG+PE，当点P运动到EG连线时，PG+PE有最小值为EG
∴的最小值为EG2
∵AG=5，AE=AC=2AG，∠BAC=60°
∴△AEG是含30°角的直角三角形
∴EG=，即
∴的最小值为75．
【点睛】本题考查了翻折的性质、角平分线的性质，“将军饮马”问题，利用翻折得到全等三角形是解决本题的关键．
10．如图，在中，，，．动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动时间为．
（1）当为直角三角时，求t的值：
（2）当为等腰三角形时，求t的值．
【答案】（1）或；（2）或或
【分析】（1）依题意，，分情况讨论①，点与点重合，②，勾股定理即可求得的值；
（2）分情况讨论：①，直接可得的值，②，根据三线合一可得，③，在中勾股定理求解即可．
【详解】（1），，，
，
动点从点出发沿射线以的速度运动，设运动时间为t（s），
，
①当时，如图，点与点重合，
，
，
②当，，，
在中，，
在中，，
，
解得：，
综上所述，或，
（2）①当时，，
②当时，
，
，
③当时，
，，，
在中，，
，
解得:．
综上所述，当是等腰三角形时，或或．
【点睛】本题考查了勾股定理和等腰三角形，掌握勾股定理以及分类讨论是解题的关键．
11．如图，长方形ABCD中，，．E为CD边上一点，．
（1）求AE的长；
（2）点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着边BA向终点A运动，连接PE．设点P运动的时间为t秒．
①当t为何值时，是等腰三角形；
②当t=______时，．
【答案】（1）5；（2）2或或；（3）
【分析】（1）求出，，利用勾股定理即可求出AE的长；
（2）①根据若是等腰三角形，分三种情况讨论：，和时．分别进行求解即可；②过点E作，利用勾股定理可以表示出在和中，，，联立方程即可求解．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是长方形，
∴，，
∴，
在中，，
（2）①若为等腰三角形，则有三种可能.
当时，，
∴，
当时，，
∴，
当时，过点E作，
在中，，
∴，
即，
解得：， ，
∴
综上所述，符合要求的t值为2或或；
②当时，
在中，，
即，
在中，，
即，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴当时，．
【点睛】本题考查了勾股定理的综合应用，解题的关键是注意分类讨论思想，以防漏解．
12．如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD：AD：CD＝2：3：4；
(1)试说明△ABC是等腰三角形；
(2)已知S△ABC＝40cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t(秒)．
①若△DMN的边与BC平行，求t的值；
②若点E是边AC的中点，在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形?若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）①5或6；②9或10或
【分析】（1）设，，，则，由勾股定理求出，即可得出结论；
（2）由的面积求出、、、；①当时，；当时，；得出方程，解方程即可；
②由直角三角形的性质得出，根据题意得出当点在上，即时，为等腰三角形，有3种可能：如果；如果；如果；分别得出方程，解方程即可．
【详解】解：（1）证明：设，，，
则，
在中，，
，
是等腰三角形；
（2），而，
，
则，，，．
①当时，，
即，
；
当时，，
得：；
若的边与平行时，值为5或6．
②点是边的中点，，
，
当点在上，即时，为钝角三角形，但；
当时，点运动到点，不构成三角形
当点在上，即时，为等腰三角形，有3种可能．
如果，则，
；
如果，则点运动到点，
；
如果，
过点作于，如图3所示：
，
，
在中，；
，，
则在中，，
．
综上所述，符合要求的值为9或10或．
．
【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、解方程等知识；本题有一定难度，需要进行分类讨论才能得出结果．
13．新定义：若一个凸四边形的一条对角线把该四边形分成两个等腰三角形，那么称这个凸四边形为“等腰四边形”，这条对角线称为“界线”．
（1）如图1，四边形ABCD是“等腰四边形”，BD为“界线”，若∠BAD=120°，∠BCD=150°，则∠ABC=________°；
（2）如图2，四边形ABCD中，AB=AD，BC=AB，∠A=60°，∠D=150°，试说明四边形ABCD是“等腰四边形”；
（3）若在“等腰四边形”ABCD中，AB=BC=CD，∠ABC=90°，且BD为“界线”，请你画出满足条件的图形，并直接写出∠ADC的度数．
【答案】（1）45；（2）见解析；（3）画图见解析； =90︒或45︒或135︒
【分析】（1）由题意得：再利用等边对等角结合三角形的内角和定理分别求解从而可得答案；
（2）如图，连接 先证明是等边三角形，可得 则有 再证明 从而根据新定义可得四边形ABCD是“等腰四边形”；
（3）分三种情况讨论：如图，当可得； 如图，当时，证明为等边三角形，从而可得答案；如图，当 时，过点D作DE⊥AB，过点D作DF⊥CB，交BC延长线于点F， 证明DF=CD．延长至 使 连接 则可得为等边三角形，再结合图形的性质可得答案.
【详解】解：（1）由题意得：
∠BAD=120°，∠BCD=150°，
故答案为：45
（2）如图，连接
是等边三角形，
即
所以四边形ABCD是“等腰四边形”.
（3）如图，当
如图，时，
为等边三角形，
如图，
过点D作DE⊥AB，过点D作DF⊥CB，交BC延长线于点F，
∵AD=BD，DE⊥AB，
∴BE= AB．
∵DE⊥AB，DF⊥CB，∠ABC=90°，
∴
由平行线间距离处处相等可得：
∴DF=BE= AB．
∵AB=CD，
∴DF=CD．
延长至 使 连接
则
为等边三角形，
综上：=90︒或45︒或135︒
【点睛】本题考查的是新定义的理解，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，熟悉以上图形的性质是解题的关键.
14．探究一：如图1，已知 AB=BD，AB⊥BC，∠C=90°，E 和 F分别是 BD 和 CD 上的动点， 且 BE=DF，△ABE与△BDF全等吗？若全等，请说明理由．
探究二：如图2，一只蚂蚁从一个长为 6，宽为 5，高为 3 的长方形顶点 A从表面爬行到另一个顶点 B，请问爬行的最短距离的平方的值是 ．
探究三：如图 3，等边三角形 ADC中，边长为 4，高为AF，AE=CD，求（BD+CE）2的最小值．
【答案】（1），理由见解析；（2）100；（3）32
【分析】探究一：通过SAS可证明；
探究二：分三种路径，展开后的长方形的长和宽分别为6+5,6+3,5+3，根据勾股定理即可求得路径长的平方的值；
探究三：过点作，且，连接，通过SAS证明，可得，则的长为的最小值，勾股定理即可求得的值，即（BD+CE）2的最小值．
【详解】探究一：
在与中
（SAS）
探究二：当展开成长为：，宽为的长方形时，
路径长的平方为
当展开成长为：，宽为的长方形时，
路径长的平方为
当展开成长为：，宽为的长方形时，
路径长的平方为
爬行的最短距离的平方的值是
故答案为：；
探究三：如图，过点作，且，连接，
为等边三角形
为等腰的高
平分
在和中
（SAS）
连接的长即为的最小值，如图，
的最小值为．
【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，等边三角形的性质，立体图形中最短路径的求法等值是，运用转化的思想是解题的关键．
15．在长方形ABCD中，AB＝CD＝10，BC＝AD＝8．
（1）P为BC上一点，将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置（点B落在点E处）．
①如图1，当点E落在边CD上时，直接写出此时DE＝_______．
②如图2，PE与CD相交于点F，AE与CD相交于点G，且FC＝FE，求BP的长．
（2）如图3，已知点Q为射线BA上的一个动点，将△BCQ沿CQ翻折，点B恰好落在直线DQ上的点B′处，求BQ的长．
【答案】（1）6；（2）；（3）BQ的长为4或16
【分析】（1）①由翻折的性质和勾股定理求出DE＝6即可；②由翻折得：BP＝EP，AE＝AB＝10，设BP＝EP＝x，则PC＝8−x，再证△GEF≌△PCF（ASA），得GF＝PF，GE＝PC＝8−x，则GC＝EP＝x，DG＝CD−GC＝10−x，AG＝AE−GE＝x＋2，然后在Rt△ADG中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（2）分两种情况：①点Q在线段AB上时，证QD＝CD＝10，再由勾股定理得DB'＝6，则BQ＝B'Q＝QD−DB'＝4；②点Q在BA延长线上时，由勾股定理得DB'＝6，设BQ＝B'Q＝x，则DQ＝x−6，AQ＝x−10，然后在Rt△ADQ中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】（1）①如图1 由作图得：AE＝AB＝10，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：DE＝，
故答案为：6；
②如图2，由翻折的性质得：BP＝EP，AE＝AB＝10，∠E＝∠B＝90°，
∴∠E＝∠C，
设BP＝EP＝x，则PC＝8﹣x，
∵∠EFG＝∠CFP，FE＝FC，
∴△GEF≌△PCF（ASA），
∴GF＝PF，GE＝PC＝8﹣x，
∴GC＝EP＝x，
∴DG＝CD﹣GC＝10﹣x，AG＝AE﹣GE＝10﹣（8﹣x）＝x+2，
在Rt△ADG中，由勾股定理得：82+（10﹣x）2＝（x+2）2，
解得：x＝，
即BP＝．
（2）分两种情况：
①点Q在线段AB上时，如图3所示：
由翻折的性质得：∠CQB＝∠CQB'，B'C＝BC＝8，BQ＝B'Q，∠CB'Q＝∠B＝90°，
∴∠CB'D＝90°，
∵四边形ABCD是长方形，
∴CDAB，
∴∠DCQ＝∠CQB，
∴∠DCQ＝∠CQD，
∴QD＝CD＝10，
∴DB'＝＝6，
∴BQ＝B'Q＝QD﹣DB'＝10﹣6＝4；
②点Q在BA延长线上时，如图4所示：
由翻折的性质得：BQ＝B'Q，B'C＝BC＝8，∠B'＝∠B＝90°，
∴DB'＝＝6，
设BQ＝B'Q＝x，则DQ＝x﹣6，AQ＝x﹣10，
∵∠BAD＝90°，
∴∠DAQ＝90°，
在Rt△ADQ中，由勾股定理得：82+（x﹣10）2＝（x﹣6）2，
解得：x＝16，
即BQ＝16；
综上所述，BQ的长为4或16．
【点睛】本题主要考查了翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定、分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定和性质、翻折变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键，属于中考常考题型．
16．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC=6cm，动点P从点B出发，沿射线BC以4cm/s的速度运动，设运动时间为t秒．
（1）当t= 时，AP平分△ABC的面积．
（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．
（3）若点Q是边AB上一点，且QP⊥BC，垂足为P，请用无刻度的直尺和圆规，作出点P、点Q，使得QA=QP．
（4）若点E、F为BC、AB上的动点，求AE+EF的最小值．
【答案】（1）1；（2）当△ABP为等腰三角形时，或或4；（3）图见详解；（4）AE+EF的最小值．
【分析】（1）由题意易得BP=4t，然后可得4t=4，进而问题可求解；
（2）当△ABP为等腰三角形时，可分：①BP=AP；②BP=BA；③AB=AP；然后根据等腰三角形的性质可进行求解；
（3）以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB、AC于点M、N，然后以点M、N为圆心，大于MN长的一半为半径画弧，交于一点，连接点A与这个点并延长，交BC于点P，最后过点P作PQ⊥BC即可；
（4）作点A关于射线BC的对称点G，然后过点G作GF⊥AB交BC于点E，垂足为F，由轴对称的性质及垂线段最短可知此时AE+EF的最小值即为GF的长，进而问题可求解．
【详解】解：（1）∵∠C=90°，AB=10cm，AC=6cm，
∴，
∵AP平分△ABC的面积，
∴点P是边BC的中点，
∵BP=4t，
∴，解得：，
故答案为1；
（2）当△ABP为等腰三角形时，可分：①BP=AP=4t，如图所示：
∴，
∴在Rt△ACP中，由勾股定理可得：，
解得：；
②BP=BA=4t，如图所示：
∴，解得：；
③AB=AP=10，如图所示：
∴，解得：；
综上所述：当△ABP为等腰三角形时，或或4；
（3）如图所示：
（4）由题意可得如图：
作点A关于射线BC的对称点G，然后过点G作GF⊥AB交BC于点E，垂足为F，由轴对称的性质及垂线段最短可知此时AE+EF的最小值即为GF的长，如图所示：
∴，
连接BG，
∴，
∴，
∴AE+EF的最小值．
【点睛】本题主要考查勾股定理、角平分线的尺规作图及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握勾股定理、角平分线的尺规作图及等腰三角形的性质与判定是解题的关键．
专题01 勾股定理与等腰（边）结合的压轴题
1．(1)【原题呈现】在课本中，安排有这样一个思考问题：“如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，那么BC和AB有怎样的数量关系？试证明你的结论”
老师在课堂中提出这样的问题，并展示了小明的部分解答
小明：AB=2BC．
证明：把△ABC沿着AC翻折，得到△ADC．
∴∠ACD=∠ACB=90°，
∴∠BCD=∠ACD+∠ACB=90°+90°=180°，即：点B、C、D在一条直线上．（请在下面补全小华后面的证明过程）
(2)【变式拓展】如图2，在△ABC中，把（1）中条件“∠ACB=90°”改为“∠ACB=135°”，保持“∠BAC=30°”不变，则 ．
(3)【能力迁移】我们发现，翻折可以探索图形性质，请利用翻折解决下面问题．
如图3，点D是△ABC内一点，AD=AC，∠BAD=∠CAD=20°，∠ADB+∠ACB=210°，探求AD、DB、BC三者之间的数量关系，并说明理由．
2．如图①，在长方形ABCD中，已知AB＝10，AD＝6，动点P从点D出发，以每秒2个单位的速度沿线段DC向终点C运动，运动时间为t秒，连接AP，把△ADP沿着AP翻折得到△AEP．
（1）如图②，射线PE恰好经过点B，试求此时t的值．
（2）当射线PE与边AB交于点Q时，是否存在这样的t的值，使得QE＝QB？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由．
3．背景资料：在已知所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图1，当三个内角均小于120°时，费马点P在内部，当时，则取得最小值．
(1)如图2，等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数，为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出_______；
知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问题．
(2)如图3，三个内角均小于120°，在外侧作等边三角形，连接，求证：过的费马点．
(3)如图4，在中，，，，点P为的费马点，连接、、，求的值．
(4)如图5，在正方形中，点E为内部任意一点，连接、、，且边长；求的最小值．
4．如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且AD：BD：CD＝2：3：4，
（1）试说明△ABC是等腰三角形；
（2）已知S△ABC＝160cm2，如图2，动点M从点A出发以每秒2cm的速度沿线段AB向点B运动，同时动点N从点B出发以相同速度沿线段BC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t（秒），①若△DMN的边与AC平行，求t的值；
②若点E是边BC的中点，问在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
5．如图，在中，，若动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为t秒．
(1)出发2秒后，求的周长；
(2)问t为何值时，为以C为顶点的等腰三角形；
(3)另有一点Q，从点C开始，按的路径运动，且速度为秒，若P，Q两点同时出发，当P，Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把的周长分成相等的两部分．
6．如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD：CD：AD＝1：3：4．
（1）试说明△ABC是等腰三角形；
（2）已知S△ABC＝30cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t（秒），
①若△DMN的边与BC平行，求t的值；
②若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
7．【问题发现】
（1）如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，连接CE，容易发现：①∠BEC的度数为 ；②线段BD、CE之间的数量关系为 ；
【类比探究】
（2）如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点B，D，E在同一直线上，连接CE，试判断∠BEC的度数及线段BE、CE、DE之间的数列关系，并说明理由；
【问题解决】
（3）如图3，∠AOB＝∠ACB＝90°，OA＝3，OB＝6，AC＝BC，则OC2的值为 ．
8．如图，在中，，，，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动．设点P的运动时间为t秒．
（1）求AC的长及斜边AB上的高．
（2）当点P在CB上时，
①CP的长为______________（用含t的代数式表示）．
②若点P在的角平分线上，则t的值为______________．
（3）在整个运动过程中，直接写出是等腰三角形时t的值．
9．将沿AD折叠，使点C刚好落在AB边上的点E处．展开如图1．
【操作观察】（1）图1中，，．
①则_______；
②若，则_______；
【理解应用】（2）如图2，若，试说明：；
【拓展延伸】（3）如图3，若，点G为AC的中点，且．点P是AD上的一个动点，连接PG、PC．求的最小值．
10．如图，在中，，，．动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动时间为．
（1）当为直角三角时，求t的值：
（2）当为等腰三角形时，求t的值．
11．如图，长方形ABCD中，，．E为CD边上一点，．
（1）求AE的长；
（2）点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着边BA向终点A运动，连接PE．设点P运动的时间为t秒．
①当t为何值时，是等腰三角形；
②当t=______时，．
12．如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD：AD：CD＝2：3：4；
(1)试说明△ABC是等腰三角形；
(2)已知S△ABC＝40cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t(秒)．
①若△DMN的边与BC平行，求t的值；
②若点E是边AC的中点，在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形?若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
13．新定义：若一个凸四边形的一条对角线把该四边形分成两个等腰三角形，那么称这个凸四边形为“等腰四边形”，这条对角线称为“界线”．
（1）如图1，四边形ABCD是“等腰四边形”，BD为“界线”，若∠BAD=120°，∠BCD=150°，则∠ABC=________°；
（2）如图2，四边形ABCD中，AB=AD，BC=AB，∠A=60°，∠D=150°，试说明四边形ABCD是“等腰四边形”；
（3）若在“等腰四边形”ABCD中，AB=BC=CD，∠ABC=90°，且BD为“界线”，请你画出满足条件的图形，并直接写出∠ADC的度数．
14．探究一：如图1，已知 AB=BD，AB⊥BC，∠C=90°，E 和 F分别是 BD 和 CD 上的动点， 且 BE=DF，△ABE与△BDF全等吗？若全等，请说明理由．
探究二：如图2，一只蚂蚁从一个长为 6，宽为 5，高为 3 的长方形顶点 A从表面爬行到另一个顶点 B，请问爬行的最短距离的平方的值是 ．
探究三：如图 3，等边三角形 ADC中，边长为 4，高为AF，AE=CD，求（BD+CE）2的最小值．
15．在长方形ABCD中，AB＝CD＝10，BC＝AD＝8．
（1）P为BC上一点，将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置（点B落在点E处）．
①如图1，当点E落在边CD上时，直接写出此时DE＝_______．
②如图2，PE与CD相交于点F，AE与CD相交于点G，且FC＝FE，求BP的长．
（2）如图3，已知点Q为射线BA上的一个动点，将△BCQ沿CQ翻折，点B恰好落在直线DQ上的点B′处，求BQ的长．
16．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC=6cm，动点P从点B出发，沿射线BC以4cm/s的速度运动，设运动时间为t秒．
（1）当t= 时，AP平分△ABC的面积．
（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．
（3）若点Q是边AB上一点，且QP⊥BC，垂足为P，请用无刻度的直尺和圆规，作出点P、点Q，使得QA=QP．
（4）若点E、F为BC、AB上的动点，求AE+EF的最小值．
答案与解析
1．(1)【原题呈现】在课本中，安排有这样一个思考问题：“如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，那么BC和AB有怎样的数量关系？试证明你的结论”
老师在课堂中提出这样的问题，并展示了小明的部分解答
小明：AB=2BC．
证明：把△ABC沿着AC翻折，得到△ADC．
∴∠ACD=∠ACB=90°，
∴∠BCD=∠ACD+∠ACB=90°+90°=180°，即：点B、C、D在一条直线上．（请在下面补全小华后面的证明过程）
(2)【变式拓展】如图2，在△ABC中，把（1）中条件“∠ACB=90°”改为“∠ACB=135°”，保持“∠BAC=30°”不变，则 ．
(3)【能力迁移】我们发现，翻折可以探索图形性质，请利用翻折解决下面问题．
如图3，点D是△ABC内一点，AD=AC，∠BAD=∠CAD=20°，∠ADB+∠ACB=210°，探求AD、DB、BC三者之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)2
(3)，理由见解析
【分析】（1）根据翻折的性质得出点B、C、D共线，再由等边三角形的判定和性质即可证明；
（2）把∆ABC沿着AC翻折，得到∆ADC，根据翻折的性质得出∆ABD为等边三角形，由题意确定∠BCD=90°，运用勾股定理即可得出结论；
（3）把△ABD延AB边翻折得到△AEB，连接ED，EC，由翻折及各角之间的关系得出△AEC为等边三角形，再由勾股定理及等量代换即可得出结论．
（1）
证明：把△ABC沿着AC翻折，得到△ADC．
∴∠ACD=∠ACB=90°，
∴∠BCD=∠ACD+∠ACB=90°+90°=180°，即：点B、C、D共线，
∴AB=AD，
∵∠BAC=30°，
∴∠ABC=60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴AB=BD=2BC；
（2）
如图所示，把∆ABC沿着AC翻折，得到∆ADC，
由翻折得：AD=AB，
∠CAD=∠CAB=30°，BC=CD，
∴∠BAD=60°，
∴∆ABD为等边三角形，
∴AB=BD，
∵∠ACB=∠ACD=135°，
∴∠BCD=90°，
，
即；
（3）
；
理由：把△ABD延AB边翻折得到△AEB，连接ED，EC，
∵∠BAD=∠CAD=20°，
∴∠EAB=20°，
∴∠EAC=60°，
∵∠ACB+∠ADB=210°，∠AEB=∠ADB，
∴∠ACB=∠AEB=210°，
∴∠EBC=360°-210°-60°=90°，
∵AD=AC，AE=AD，
∴AE=AC，
∴△AEC为等边三角形，
∴EC=AE=AD，
在Rt△EBC中，
，
∵BC=BD，EC=AD，
∴．
【点睛】题目主要考查三角形翻折的性质，勾股定理解三角形，三角形内角和定理及等边三角形的判定和性质，熟练掌握运用这些性质定理是解题关键．
2．如图①，在长方形ABCD中，已知AB＝10，AD＝6，动点P从点D出发，以每秒2个单位的速度沿线段DC向终点C运动，运动时间为t秒，连接AP，把△ADP沿着AP翻折得到△AEP．
（1）如图②，射线PE恰好经过点B，试求此时t的值．
（2）当射线PE与边AB交于点Q时，是否存在这样的t的值，使得QE＝QB？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，或
【分析】（1）先证明∠APD=∠EPA=∠PAB，得AB=PB=10，根据勾股定理得PC=8，由PD=2=2t，可得结论；
（2）分两种情况：点E在矩形的内部时，先求解 再过点P作PH⊥AB于H，过点Q作QG⊥CD于G，求解，再建立方程求解即可；当点E在矩形的外部，可得AB=2t，从而可得答案.
【详解】解：（1）如图1， 长方形，
∴∠DPA=∠PAB，
由轴对称得：∠DPA=∠EPA，
∴∠EPA=∠PAB，
∴BP=AB=10，
在Rt△PCB中，由勾股定理得：
∴PD=2=2t，
∴t=1；
（2）存在，分两种情况： 当点E在矩形ABCD内部时，如图，
∵QE=PQ-PE=PQ-DP=PQ-2t，
而QE=QB，由（1）同理可得：PQ=AQ，
∴QB=AQ-2t， ∵AQ+BQ=AB=10，
∴AQ+AQ-2t=10， ∴AQ=5+t，
如图，过点P作PH⊥AB于H，过点Q作QG⊥CD于G，
∴PH=QG=AD=6，
而，
∴，
∵AQ=DG=DP+PG，
∴ ， ∵PD=2t，
∴，
解得：，
∴， 解得：；
经检验，符合题意，
当点E在矩形ABCD的外部时，如图，
∵QE=PE-PQ=DP-PQ=2t-PQ，
同理：，
∵QE=QB， ∴BQ=2t-AQ，
∴AB-AQ=2t-AQ， ∴AB=2t，
∴，（此时P与C重合），
综上，存在这样的t值，使得QE=QB，t的值为秒或5秒．
【点睛】本题考查长方形的性质、几何动点问题，轴对称的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是学会正确画出图形，学会分类讨论，充分利用轴对称的性质解决问题．
3．背景资料：在已知所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图1，当三个内角均小于120°时，费马点P在内部，当时，则取得最小值．
(1)如图2，等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数，为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出_______；
知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问题．
(2)如图3，三个内角均小于120°，在外侧作等边三角形，连接，求证：过的费马点．
(3)如图4，在中，，，，点P为的费马点，连接、、，求的值．
(4)如图5，在正方形中，点E为内部任意一点，连接、、，且边长；求的最小值．
【答案】(1)150°；
(2)见详解；
(3)；
(4)．
【分析】（1）根据旋转性质得出≌，得出∠BAP=∠CAP′，∠APB=∠AP′C，AP=AP′=3，BP=CP′=4，根据△ABC为等边三角形，得出∠BAC=60°，可证△APP′为等边三角形，PP′=AP=3，∠AP′P=60°，根据勾股定理逆定理，得出△PP′C是直角三角形，∠PP′C=90°，可求∠AP′C=∠APP+∠PPC=60°+90°=150°即可；
（2）将△APB逆时针旋转60°，得到△AB′P′，连结PP′，根据△APB≌△AB′P′，AP=AP′，PB=PB′，AB=AB′，根据∠PAP′=∠BAB′=60°，△APP′和△ABB′均为等边三角形，得出PP′=AP，根据，根据两点之间线段最短得出点C，点P，点P′，点B′四点共线时，最小=CB′，点P在CB′上即可；
（3）将△APB逆时针旋转60°，得到△AP′B′，连结BB′，PP′，得出△APB≌△AP′B′，可证△APP′和△ABB′均为等边三角形，得出PP′=AP，BB′=AB，∠ABB′=60°，根据，可得点C，点P，点P′，点B′四点共线时，最小=CB′，利用30°直角三角形性质得出AB=2AC=2，根据勾股定理BC=，可求BB′=AB=2，根据∠CBB′=∠ABC+∠ABB′=30°+60°=90°，在Rt△CBB′中，B′C=即可；
（4）将△BCE逆时针旋转60°得到△CE′B′，连结EE′，BB′，过点B′作B′F⊥AB，交AB延长线于F，得出△BCE≌△CE′B′，BE=B′E′，CE=CE′，CB=CB′，可证△ECE′与△BCB′均为等边三角形，得出EE′=EC，BB′=BC，∠B′BC=60°，，得出点C，点E，点E′，点B′四点共线时，最小=AB′，根据四边形ABCD为正方形，得出AB=BC=2，∠ABC=90°，可求∠FBB′=180°-∠ABC-∠CBB′=180°-90°-60°=30°，根据30°直角三角形性质得出BF=，勾股定理BF=，可求AF=AB+BF=2+，再根据勾股定理AB′=即可．
(1)
解：连结PP′，
∵≌，
∴∠BAP=∠CAP′，∠APB=∠AP′C，AP=AP′=3，BP=CP′=4，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°
∴∠PAP′=∠PAC+∠CAP′=∠PAC+∠BAP=60°，
∴△APP′为等边三角形，
,∴PP′=AP=3，∠AP′P=60°，
在△P′PC中，PC=5，
，
∴△PP′C是直角三角形，∠PP′C=90°，
∴∠AP′C=∠APP+∠PPC=60°+90°=150°，
∴∠APB=∠AP′C=150°，
故答案为150°；
(2)
证明：将△APB逆时针旋转60°，得到△AB′P′，连结PP′，
∵△APB≌△AB′P′，
∴AP=AP′，PB=PB′，AB=AB′，
∵∠PAP′=∠BAB′=60°，
∴△APP′和△ABB′均为等边三角形，
∴PP′=AP，
∵，
∴点C，点P，点P′，点B′四点共线时，最小=CB′，
∴点P在CB′上，
∴过的费马点．
(3)
解：将△APB逆时针旋转60°，得到△AP′B′，连结BB′，PP′，
∴△APB≌△AP′B′，
∴AP′=AP，AB′=AB，
∵∠PAP′=∠BAB′=60°，
∴△APP′和△ABB′均为等边三角形，
∴PP′=AP，BB′=AB，∠ABB′=60°，
∵
∴点C，点P，点P′，点B′四点共线时，最小=CB′，
∵，，，
∴AB=2AC=2，根据勾股定理BC=
∴BB′=AB=2，
∵∠CBB′=∠ABC+∠ABB′=30°+60°=90°，
∴在Rt△CBB′中，B′C=
∴最小=CB′=；
(4)
解：将△BCE逆时针旋转60°得到△CE′B′，连结EE′，BB′，过点B′作B′F⊥AB，交AB延长线于F，
∴△BCE≌△CE′B′，
∴BE=B′E′，CE=CE′，CB=CB′，
∵∠ECE′=∠BCB′=60°，
∴△ECE′与△BCB′均为等边三角形，
∴EE′=EC，BB′=BC，∠B′BC=60°，
∵，
∴点C，点E，点E′，点B′四点共线时，最小=AB′，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=2，∠ABC=90°，
∴∠FBB′=180°-∠ABC-∠CBB′=180°-90°-60°=30°，
∵B′F⊥AF，
∴BF=，BF=，
∴AF=AB+BF=2+，
∴AB′=，
∴最小=AB′=．
【点睛】本题考查图形旋转性质，等边三角形判定与性质，勾股定理，直角三角形判定与性质，两点之间线段最短，四点共线，正方形性质，30°直角三角形性质，掌握图形旋转性质，等边三角形判定与性质，勾股定理，直角三角形判定与性质，两点之间线段最短，四点共线，正方形性质，30°直角三角形性质是解题关键．
4．如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且AD：BD：CD＝2：3：4，
（1）试说明△ABC是等腰三角形；
（2）已知S△ABC＝160cm2，如图2，动点M从点A出发以每秒2cm的速度沿线段AB向点B运动，同时动点N从点B出发以相同速度沿线段BC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t（秒），①若△DMN的边与AC平行，求t的值；
②若点E是边BC的中点，问在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
【答案】（1）证明见详解；（2）①若△DMN的边与AC平行时，t值为5或6．②存在，理由：符合要求的t值为或9或10．
【分析】（1）设AD=2x，BD=3x，CD=4x，则AB=5x，由勾股定理求出BC，即可得出结论；
（2）由△ABC的面积求出BD、AD、CD、BC；①当MN∥AC时，AM=NC；当DN∥AC时，AD=NC；得出方程，解方程即可；
②根据题意得出当点M在DB上，即4＜t≤10时，△MDE为等腰三角形，有3种可能：当MD=ME=2t-8，过点E作EF垂直AB于F， 求出EF=；FM=2t-14；当DE=DM，则2t-8=10，当ED=EM，则点M运动到点B，分别得出方程，解方程即可．
【详解】（1）证明：设AD=2x，BD=3x，CD=4x，
则AB=AD+BD=2x+3x=5x，
在Rt△BCD中，BC==5x，
∴AB=BC，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）解：由（1）知，AB=5x，CD=4x，
∴S△ABC=×5x×4x=160cm2，而x＞0，
∴x=4cm，
则BD=12cm，AD=8cm，CD=16cm，AB=BC=20cm．
由运动知，AM=2t，BN=2t，
①当MN∥AC时，AM=NC，
即2t =20-2t，
解得t=5；
当DN∥AC时，AD=CN，
∴8=20-2t，
解得：t=6；
∴若△DMN的边与AC平行时，t值为5或6．
②存在，理由：
Ⅰ、当点M在AD上，即0≤t＜4时，△MDE为钝角三角形，但DM＜DE＜ME，不存在等腰三角形；
Ⅱ、当t=4时，点M运动到点D，不能构成三角形
Ⅲ、当点M在DB上，即4＜t≤10时，△MDE为等腰三角形，有3种可能．
∵点E是边BC的中点，
∴DE=BC=10
当MD=ME=2t-8，
如图，过点E作EF垂直AB于F，
∵E为BC中点，
∴ED=EB，
∴DF=BF=BD=6cm，
∴EF=；
∵AM=2t，AF=AD+DF=8+6=14，
∴FM=2t-14
在Rt△EFM中，（2t-8）2-（2t-14）2=82，
∴t=．
当DE=DM，则2t-8=10，
∴t=9；
当ED=EM，则点M运动到点B，
则2t-8=12，
∴t=10；
综上所述，符合要求的t值为或9或10．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形的面积公式，勾股定理，解本题的关键是分情况讨论．
5．如图，在中，，若动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为t秒．
(1)出发2秒后，求的周长；
(2)问t为何值时，为以C为顶点的等腰三角形；
(3)另有一点Q，从点C开始，按的路径运动，且速度为秒，若P，Q两点同时出发，当P，Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把的周长分成相等的两部分．
【答案】(1)7＋（cm）
(2)t为3s，5.4s时，为以C为顶点的等腰三角形
(3)t为2或6秒
【分析】（1）根据速度为每秒1cm，求出出发2秒后CP的长，然后就知AP的长，利用勾股定理求得PB的长，最后即可求得周长．
（2）因为AB与CB已知，由勾股定理得AC＝4 cm，要让△BCP为等腰三角形，有两种情况，点P在AC边上或者点P在AB边上，只要保证PC=BC就可以．
（3）分类讨论：当P点在AC上，Q在AB上，则PC＝t，BQ＝2t−3，t＋2t−3＝6；当P点在AB上，Q在AC上，则AC＝t−4，AQ＝2t−8，t−4＋2t−8＝6．
（1）
解：如图1，由∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，
∴AC＝4，动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，
∴出发2秒后，则CP＝2，
∵∠C＝90°，
∴PB＝（cm），
∴△ABP的周长为：AP＋PB＋AB＝2＋5＋＝7＋（cm）．
（2）
①如图2，若P在边AC上时，BC＝CP＝3cm，
此时用的时间为3s，△BCP为等腰三角形；
②若P在AB边上时，CP＝BC＝3cm，过C作斜边AB的高，则CD=2.4cm，
在Rt△PCD中，PD＝＝=1.8（cm），
所以BP＝2PD＝3.6cm，
所以P运动的路程为9−3.6＝5.4cm，
则用的时间为5.4s，△BCP为等腰三角形；
综上所述，当t为3s，5.4s时，△BCP为等腰三角形
（3）
如图6，当P点在AC上，Q在AB上，则PC＝t，BQ＝2t−3，
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，
∴t＋2t−3＝3，
∴t＝2；
如图7，当P点在AB上，Q在AC上，则AP＝t−4，AQ＝2t−8，
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，
∴t−4＋2t−8＝6，
∴t＝6，
∴当t为2或6秒时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．
【点睛】此题考查了，勾股定理，等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，综合运用以上知识并能分类讨论是解题的关键．
6．如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD：CD：AD＝1：3：4．
（1）试说明△ABC是等腰三角形；
（2）已知S△ABC＝30cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t（秒），
①若△DMN的边与BC平行，求t的值；
②若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）①若△DMN的边与BC平行时，t的值为5或8；②能，符合要求的t值为7或10或．
【分析】（1）设BD=x，AD=4x，CD=4x，则AB=5x，由勾股定理求出AC，即可得出结论；
（2）①当MN∥BC时，当DN∥BC时，根据等腰三角形的性质得出方程，解方程即可；
②若△MDE为等腰三角形，有3种可能：如果DE=DM；如果ED=EM；如果MD=ME=t-2；分别得出方程，解方程即可．
【详解】（1）设BD＝x，AD＝4x，CD＝3x（x＞0），
在Rt△ACD，∵AC2＝CD2+AD2，
∴AC2＝（3x）2+（4x）2，
∴AC＝5x，
∵AB＝BD+AD＝5x，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）S△ABC＝×5x×3x＝30cm2，而x＞0，
∴x＝2cm，
则BD＝2cm，AD＝8cm，CD＝6cm，AC＝10cm．
①当MN∥BC时，AM＝AN，即10﹣t＝t，
∴t＝5，
当DN∥BC时，AD＝AN，有t＝8，
故若△DMN的边与BC平行时，t的值为5或8．
②当点M在BD上，即0≤t＜2时，△MDE为钝角三角形，但DM≠DE，
当t＝2时，点M运动到点D，不构成三角形，
当点M在DA上，即2＜t≤10时，△MDE为等腰三角形，有3种可能．
如果DE＝DM，则t﹣2＝5，
∴t＝7；
如果ED＝EM，则点M运动到点A，
∴t＝10；
如果MD＝ME＝t﹣2，如图，过点E作EF⊥AD于F，
∵DE＝AE，EF⊥AD，
∴AF＝DF＝4，
在Rt△AEF中，∵EF2＝AE2﹣AF2，
∴EF＝＝3，
∵BM＝t，BF＝6，
∴MF＝t﹣6，
在Rt△EMF中，∵EF2+MF2＝EM2，
∴32+（t﹣6）2＝（t﹣2）2，
∴t＝．
综上所述，符合要求的t值为7或10或．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、解方程等知识，熟练掌握分类讨论思想和方程的思想方法是解题的关键．
7．【问题发现】
（1）如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，连接CE，容易发现：①∠BEC的度数为 ；②线段BD、CE之间的数量关系为 ；
【类比探究】
（2）如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点B，D，E在同一直线上，连接CE，试判断∠BEC的度数及线段BE、CE、DE之间的数列关系，并说明理由；
【问题解决】
（3）如图3，∠AOB＝∠ACB＝90°，OA＝3，OB＝6，AC＝BC，则OC2的值为 ．
【答案】（1）60°，BD=CE；（2）∠BEC=90°，BE=CE+DE，理由见解析；（3）
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，得到∠BAD=∠CAE，证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质证明结论；
（2）由“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得BD=CE，∠AEC=∠ADB=135°，即可求解；
（3）由“AAS”可证△ACF≌△CBE，可得BE=CF，AF=CE，可求OF=CF=，由勾股定理可求解．
【详解】解：（1）∵△ABC和△ADE为等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE；∠AEC=∠ADB=180°-∠ADE=120°，
∴∠BEC=∠AEC-∠AED=120°-60°=60°，
故答案为：60°，BD=CE；
（2）∠BEC=90°，BE=CE+DE，
理由如下：∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，∠AEC=∠ADB=135°，
∴∠BEC=∠AEC-∠AED=135°-45°=90°，
∵BE=BD+DE，
∴BE=CE+DE；
（3）如图，过点C作CF⊥AO交AO延长线于F，过点B作BE⊥CF于E，
∵∠ACB=90°=∠E=∠AFC，
∴∠BCE+∠ACF=90°=∠BCE+∠CBE，
∴∠ACF=∠CBE，
又∵AC=BC，∠AFC=∠E，
∴△ACF≌△CBE（AAS），
∴BE=CF，AF=CE，
∵OA=3，OB=6，
∴EC+CF=BO=6，OA=AF-OF=CE-BE=CE-CF=3，
∴EC=，CF==OF，
∴OC2=CF2+OF2=()2+()2=．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
8．如图，在中，，，，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动．设点P的运动时间为t秒．
（1）求AC的长及斜边AB上的高．
（2）当点P在CB上时，
①CP的长为______________（用含t的代数式表示）．
②若点P在的角平分线上，则t的值为______________．
（3）在整个运动过程中，直接写出是等腰三角形时t的值．
【答案】（1）；（2）①；②；（3）t的值为0.5或4.75或5或5.3．
【分析】（1）直接利用勾股定理即可求得AC的长，再利用等面积法即可求得斜边AB上的高；
（2）①CP的长度等于运动的路程减去AC的长度，②过点作D⊥AB，证明Rt△AC≌Rt△AD得出AD=AC=4，分别表示各线段，在Rt△BD利用勾股定理即可求得t的值；
（3）由图可知，当△BCP是等腰三角形时，点P必在线段AC或线段AB上，①当点P在线段AC上时，此时△BCP是等腰直角三角形，②当点P在线段AB上时，又分三种情况：BC=BP；PC=BC；PC=PB，分别求得点P运动的路程，再除以速度即可得出答案．
【详解】解：（1）∵，，，
∴在中，
．
∴AC的长为4．
设斜边AB上的高为h．
∵，
∴，
∴．
∴斜边AB上的高为．
（2）已知点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A-C-B-A运动，
①当点P在CB上时，点P运动的长度为：AC+CP=2t，
∵AC=4，
∴CP=2t-AC=2t-4．
故答案为：2t-4．
②当点在∠BAC的角平分线上时，过点作D⊥AB，如图：
∵A平分∠BAC，C⊥AC，D⊥AB，
∴D=C=2t-4，
∵BC=3，
∴B=3-（2t-4）=7-2t，
在Rt△AC和Rt△AD中，
，
∴Rt△AC≌Rt△AD（HL），
∴AD=AC=4，
又∵AB=5，
∴BD=1，
在Rt△BD中，由勾股定理得：
解得：，
故答案为：；
（3）由图可知，当△BCP是等腰三角形时，点P必在线段AC或线段AB上，
①当点P在线段AC上时，此时△BCP是等腰直角三角形，
∴此时CP=BC=3，
∴AP=AC-CP=4-3=1，
∴2t=1，
∴t=0.5；
②当点P在线段AB上时，若BC=BP，
则点P运动的长度为：
AC+BC+BP=4+3+3=10，
∴2t=10，
∴t=5；
若PC=BC，如图2，过点C作CH⊥AB于点H，则BP=2BH，
在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，AC=4，
∴AB•CH=AC•BC，
∴5CH=4×3，
∴，
在Rt△BCH中，由勾股定理得：
，
∴BP=3.6，
∴点P运动的长度为：AC+BC+BP=4+3+3.6=10.6，
∴2t=10.6，
∴t=5.3；
若PC=PB，如图3所示，过点P作PQ⊥BC于点Q，
则，∠PQB=90°，
∴∠ACB=∠PQB=90°，
∴PQ∥AC，
∴PQ为△ABC的中位线，
∴PQ=0.5×AC=0.5×4=2，
在Rt△BPQ中，由勾股定理得：，
点P运动的长度为：AC+BC+BP=4+3+2.5=9.5，
∴2t=9.5，
∴t=4.75．
综上，t的值为0.5或4.75或5或5.3．
【点睛】本题考查勾股定理，HL定理，等腰三角形的性质和判定．掌握等面积法和分类讨论思想是解题关键．
9．将沿AD折叠，使点C刚好落在AB边上的点E处．展开如图1．
【操作观察】（1）图1中，，．
①则_______；
②若，则_______；
【理解应用】（2）如图2，若，试说明：；
【拓展延伸】（3）如图3，若，点G为AC的中点，且．点P是AD上的一个动点，连接PG、PC．求的最小值．
【答案】（1）①2；②12；（2）见解析；（3）75
【分析】（1）①由于翻折，故AE=AC，所以BE=AB－AE；②由于翻折，故AD平分∠BAC，故点D到AC的距离等于点D到AB的距离，即△ACD边AC上的高等于△ABD边AB上的高．再由三角形面积公式可知，，从而得到；（2）由于翻折，知∠AED=∠C，又因为，等量代换得∠B=∠BDE，从而BE=DE，整理代换即可；（3）根据“将军饮马”模型知，PG+PE的最小值为EG．再根据AE=2AG，∠BAC=60°，可推断出△AEG是含60°角的直角三角形，从而得到EG的长，得解．
【详解】解：（1）①∵翻折
∴△ACD≌△AED
∴AE=AC
∴BE=AB－AE= AB－AC=8－6=2
∴BE=2；
②∵翻折，
∴AD平分∠BAC，
∴点D到AC的距离等于点D到AB的距离，即△ACD边AC上的高等于△ABD边AB上的高
∴由三角形面积公式可知，，
又∵，
∴．
（2）∵翻折
∴△ACD≌△AED
∴AE=AC，∠AED=∠C，DE=CD
又∵，∠AED=∠B+∠BDE
∴∠B=∠BDE
∴BE=DE
又∵AB=AE+BE
∴AB=AC+DE=AC+CD．
（3）∵翻折
∴PC=PE
∴PG+PC=PG+PE，当点P运动到EG连线时，PG+PE有最小值为EG
∴的最小值为EG2
∵AG=5，AE=AC=2AG，∠BAC=60°
∴△AEG是含30°角的直角三角形
∴EG=，即
∴的最小值为75．
【点睛】本题考查了翻折的性质、角平分线的性质，“将军饮马”问题，利用翻折得到全等三角形是解决本题的关键．
10．如图，在中，，，．动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动时间为．
（1）当为直角三角时，求t的值：
（2）当为等腰三角形时，求t的值．
【答案】（1）或；（2）或或
【分析】（1）依题意，，分情况讨论①，点与点重合，②，勾股定理即可求得的值；
（2）分情况讨论：①，直接可得的值，②，根据三线合一可得，③，在中勾股定理求解即可．
【详解】（1），，，
，
动点从点出发沿射线以的速度运动，设运动时间为t（s），
，
①当时，如图，点与点重合，
，
，
②当，，，
在中，，
在中，，
，
解得：，
综上所述，或，
（2）①当时，，
②当时，
，
，
③当时，
，，，
在中，，
，
解得:．
综上所述，当是等腰三角形时，或或．
【点睛】本题考查了勾股定理和等腰三角形，掌握勾股定理以及分类讨论是解题的关键．
11．如图，长方形ABCD中，，．E为CD边上一点，．
（1）求AE的长；
（2）点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着边BA向终点A运动，连接PE．设点P运动的时间为t秒．
①当t为何值时，是等腰三角形；
②当t=______时，．
【答案】（1）5；（2）2或或；（3）
【分析】（1）求出，，利用勾股定理即可求出AE的长；
（2）①根据若是等腰三角形，分三种情况讨论：，和时．分别进行求解即可；②过点E作，利用勾股定理可以表示出在和中，，，联立方程即可求解．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是长方形，
∴，，
∴，
在中，，
（2）①若为等腰三角形，则有三种可能.
当时，，
∴，
当时，，
∴，
当时，过点E作，
在中，，
∴，
即，
解得：， ，
∴
综上所述，符合要求的t值为2或或；
②当时，
在中，，
即，
在中，，
即，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴当时，．
【点睛】本题考查了勾股定理的综合应用，解题的关键是注意分类讨论思想，以防漏解．
12．如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD：AD：CD＝2：3：4；
(1)试说明△ABC是等腰三角形；
(2)已知S△ABC＝40cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t(秒)．
①若△DMN的边与BC平行，求t的值；
②若点E是边AC的中点，在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形?若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）①5或6；②9或10或
【分析】（1）设，，，则，由勾股定理求出，即可得出结论；
（2）由的面积求出、、、；①当时，；当时，；得出方程，解方程即可；
②由直角三角形的性质得出，根据题意得出当点在上，即时，为等腰三角形，有3种可能：如果；如果；如果；分别得出方程，解方程即可．
【详解】解：（1）证明：设，，，
则，
在中，，
，
是等腰三角形；
（2），而，
，
则，，，．
①当时，，
即，
；
当时，，
得：；
若的边与平行时，值为5或6．
②点是边的中点，，
，
当点在上，即时，为钝角三角形，但；
当时，点运动到点，不构成三角形
当点在上，即时，为等腰三角形，有3种可能．
如果，则，
；
如果，则点运动到点，
；
如果，
过点作于，如图3所示：
，
，
在中，；
，，
则在中，，
．
综上所述，符合要求的值为9或10或．
．
【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、解方程等知识；本题有一定难度，需要进行分类讨论才能得出结果．
13．新定义：若一个凸四边形的一条对角线把该四边形分成两个等腰三角形，那么称这个凸四边形为“等腰四边形”，这条对角线称为“界线”．
（1）如图1，四边形ABCD是“等腰四边形”，BD为“界线”，若∠BAD=120°，∠BCD=150°，则∠ABC=________°；
（2）如图2，四边形ABCD中，AB=AD，BC=AB，∠A=60°，∠D=150°，试说明四边形ABCD是“等腰四边形”；
（3）若在“等腰四边形”ABCD中，AB=BC=CD，∠ABC=90°，且BD为“界线”，请你画出满足条件的图形，并直接写出∠ADC的度数．
【答案】（1）45；（2）见解析；（3）画图见解析； =90︒或45︒或135︒
【分析】（1）由题意得：再利用等边对等角结合三角形的内角和定理分别求解从而可得答案；
（2）如图，连接 先证明是等边三角形，可得 则有 再证明 从而根据新定义可得四边形ABCD是“等腰四边形”；
（3）分三种情况讨论：如图，当可得； 如图，当时，证明为等边三角形，从而可得答案；如图，当 时，过点D作DE⊥AB，过点D作DF⊥CB，交BC延长线于点F， 证明DF=CD．延长至 使 连接 则可得为等边三角形，再结合图形的性质可得答案.
【详解】解：（1）由题意得：
∠BAD=120°，∠BCD=150°，
故答案为：45
（2）如图，连接
是等边三角形，
即
所以四边形ABCD是“等腰四边形”.
（3）如图，当
如图，时，
为等边三角形，
如图，
过点D作DE⊥AB，过点D作DF⊥CB，交BC延长线于点F，
∵AD=BD，DE⊥AB，
∴BE= AB．
∵DE⊥AB，DF⊥CB，∠ABC=90°，
∴
由平行线间距离处处相等可得：
∴DF=BE= AB．
∵AB=CD，
∴DF=CD．
延长至 使 连接
则
为等边三角形，
综上：=90︒或45︒或135︒
【点睛】本题考查的是新定义的理解，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，熟悉以上图形的性质是解题的关键.
14．探究一：如图1，已知 AB=BD，AB⊥BC，∠C=90°，E 和 F分别是 BD 和 CD 上的动点， 且 BE=DF，△ABE与△BDF全等吗？若全等，请说明理由．
探究二：如图2，一只蚂蚁从一个长为 6，宽为 5，高为 3 的长方形顶点 A从表面爬行到另一个顶点 B，请问爬行的最短距离的平方的值是 ．
探究三：如图 3，等边三角形 ADC中，边长为 4，高为AF，AE=CD，求（BD+CE）2的最小值．
【答案】（1），理由见解析；（2）100；（3）32
【分析】探究一：通过SAS可证明；
探究二：分三种路径，展开后的长方形的长和宽分别为6+5,6+3,5+3，根据勾股定理即可求得路径长的平方的值；
探究三：过点作，且，连接，通过SAS证明，可得，则的长为的最小值，勾股定理即可求得的值，即（BD+CE）2的最小值．
【详解】探究一：
在与中
（SAS）
探究二：当展开成长为：，宽为的长方形时，
路径长的平方为
当展开成长为：，宽为的长方形时，
路径长的平方为
当展开成长为：，宽为的长方形时，
路径长的平方为
爬行的最短距离的平方的值是
故答案为：；
探究三：如图，过点作，且，连接，
为等边三角形
为等腰的高
平分
在和中
（SAS）
连接的长即为的最小值，如图，
的最小值为．
【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，等边三角形的性质，立体图形中最短路径的求法等值是，运用转化的思想是解题的关键．
15．在长方形ABCD中，AB＝CD＝10，BC＝AD＝8．
（1）P为BC上一点，将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置（点B落在点E处）．
①如图1，当点E落在边CD上时，直接写出此时DE＝_______．
②如图2，PE与CD相交于点F，AE与CD相交于点G，且FC＝FE，求BP的长．
（2）如图3，已知点Q为射线BA上的一个动点，将△BCQ沿CQ翻折，点B恰好落在直线DQ上的点B′处，求BQ的长．
【答案】（1）6；（2）；（3）BQ的长为4或16
【分析】（1）①由翻折的性质和勾股定理求出DE＝6即可；②由翻折得：BP＝EP，AE＝AB＝10，设BP＝EP＝x，则PC＝8−x，再证△GEF≌△PCF（ASA），得GF＝PF，GE＝PC＝8−x，则GC＝EP＝x，DG＝CD−GC＝10−x，AG＝AE−GE＝x＋2，然后在Rt△ADG中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（2）分两种情况：①点Q在线段AB上时，证QD＝CD＝10，再由勾股定理得DB'＝6，则BQ＝B'Q＝QD−DB'＝4；②点Q在BA延长线上时，由勾股定理得DB'＝6，设BQ＝B'Q＝x，则DQ＝x−6，AQ＝x−10，然后在Rt△ADQ中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】（1）①如图1 由作图得：AE＝AB＝10，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：DE＝，
故答案为：6；
②如图2，由翻折的性质得：BP＝EP，AE＝AB＝10，∠E＝∠B＝90°，
∴∠E＝∠C，
设BP＝EP＝x，则PC＝8﹣x，
∵∠EFG＝∠CFP，FE＝FC，
∴△GEF≌△PCF（ASA），
∴GF＝PF，GE＝PC＝8﹣x，
∴GC＝EP＝x，
∴DG＝CD﹣GC＝10﹣x，AG＝AE﹣GE＝10﹣（8﹣x）＝x+2，
在Rt△ADG中，由勾股定理得：82+（10﹣x）2＝（x+2）2，
解得：x＝，
即BP＝．
（2）分两种情况：
①点Q在线段AB上时，如图3所示：
由翻折的性质得：∠CQB＝∠CQB'，B'C＝BC＝8，BQ＝B'Q，∠CB'Q＝∠B＝90°，
∴∠CB'D＝90°，
∵四边形ABCD是长方形，
∴CDAB，
∴∠DCQ＝∠CQB，
∴∠DCQ＝∠CQD，
∴QD＝CD＝10，
∴DB'＝＝6，
∴BQ＝B'Q＝QD﹣DB'＝10﹣6＝4；
②点Q在BA延长线上时，如图4所示：
由翻折的性质得：BQ＝B'Q，B'C＝BC＝8，∠B'＝∠B＝90°，
∴DB'＝＝6，
设BQ＝B'Q＝x，则DQ＝x﹣6，AQ＝x﹣10，
∵∠BAD＝90°，
∴∠DAQ＝90°，
在Rt△ADQ中，由勾股定理得：82+（x﹣10）2＝（x﹣6）2，
解得：x＝16，
即BQ＝16；
综上所述，BQ的长为4或16．
【点睛】本题主要考查了翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定、分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定和性质、翻折变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键，属于中考常考题型．
16．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC=6cm，动点P从点B出发，沿射线BC以4cm/s的速度运动，设运动时间为t秒．
（1）当t= 时，AP平分△ABC的面积．
（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．
（3）若点Q是边AB上一点，且QP⊥BC，垂足为P，请用无刻度的直尺和圆规，作出点P、点Q，使得QA=QP．
（4）若点E、F为BC、AB上的动点，求AE+EF的最小值．
【答案】（1）1；（2）当△ABP为等腰三角形时，或或4；（3）图见详解；（4）AE+EF的最小值．
【分析】（1）由题意易得BP=4t，然后可得4t=4，进而问题可求解；
（2）当△ABP为等腰三角形时，可分：①BP=AP；②BP=BA；③AB=AP；然后根据等腰三角形的性质可进行求解；
（3）以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB、AC于点M、N，然后以点M、N为圆心，大于MN长的一半为半径画弧，交于一点，连接点A与这个点并延长，交BC于点P，最后过点P作PQ⊥BC即可；
（4）作点A关于射线BC的对称点G，然后过点G作GF⊥AB交BC于点E，垂足为F，由轴对称的性质及垂线段最短可知此时AE+EF的最小值即为GF的长，进而问题可求解．
【详解】解：（1）∵∠C=90°，AB=10cm，AC=6cm，
∴，
∵AP平分△ABC的面积，
∴点P是边BC的中点，
∵BP=4t，
∴，解得：，
故答案为1；
（2）当△ABP为等腰三角形时，可分：①BP=AP=4t，如图所示：
∴，
∴在Rt△ACP中，由勾股定理可得：，
解得：；
②BP=BA=4t，如图所示：
∴，解得：；
③AB=AP=10，如图所示：
∴，解得：；
综上所述：当△ABP为等腰三角形时，或或4；
（3）如图所示：
（4）由题意可得如图：
作点A关于射线BC的对称点G，然后过点G作GF⊥AB交BC于点E，垂足为F，由轴对称的性质及垂线段最短可知此时AE+EF的最小值即为GF的长，如图所示：
∴，
连接BG，
∴，
∴，
∴AE+EF的最小值．
【点睛】本题主要考查勾股定理、角平分线的尺规作图及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握勾股定理、角平分线的尺规作图及等腰三角形的性质与判定是解题的关键．
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