2022年人教版A版-高一上册期中模拟测试卷01 (解析版)

高一数学上学期期中测试卷

一、单选题

1．已知集合，，则（  ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由交集定义可直接得到结果.

【解析】集合，

所以.

故选：B.

2．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】由全称命题的否定即可选出答案.

【解析】命题“，”的否定是 “，”

故选：C.

3．不等式的解集是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据一元二次不等式的求解方法即可得到结果

【解析】由，可得即

进而可得或

所以不等式的解集为

故选：A

4．“不等式在R上恒成立”的充要条件是（    ）

A． B．

C．  D．

【答案】A

【分析】根据不等式在R上恒成立，求得，再由，说明不等式在R上恒成立，即可得答案.

【解析】∵不等式在R上恒成立，

∴ ，解得，

又∵，∴，则不等式在R上恒成立，

∴“”是“不等式在R上恒成立”的充要条件,

故选:A.

5．下列各组函数是同一函数的是（    ）

①与；    ②与；

③与；    ④与

A．①② B．①③ C．③④ D．①④

【答案】C

【分析】利用两函数为同一函数则定义域和对应法则要相同，逐项分析即得.

【解析】①与的定义域是，而，故这两个函数不是同一函数；

②与的定义域都是，，这两个函数的定义域相同，对应法则不同，故这两个函数不是同一函数；

③与的定义域是，并且，对应法则也相同，故这两个函数是同一函数；

④与是同一函数；

所以是同一函数的是③④.

故选：C.

6．设已知函数如下表所示：

则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】代入，根据表格，依次验证即可

【解析】由题意，当时，，不满足；

当时，，满足；

当时，，满足；

当时，，满足；

当时，，不满足；

故不等式的解集为

故选：C

7．幂函数在区间上单调递增，则（    ）

A．27 B． C． D．

【答案】A

【分析】根据幂函数的概念及性质，求得实数的值，得到幂函数的解析式，即可求解.

【解析】由题意，令，即，解得或，

当时，可得函数，此时函数在上单调递增，符合题意；

当时，可得，此时函数在上单调递减，不符合题意，

即幂函数，则.

故选：A.

8．已知函数是定义在上的奇函数，当时，.若对任意的，成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用奇函数求得的解析式，画出其函数图象的草图，由不等式在闭区间上恒成立，结合的对称性，有在中，或恒成立，进而求a的范围.

【解析】由题设知：，又是定义在上的奇函数，即，

∴当时，，即，而；

当时，，即，而；

∴综上，有，可得如下函数图象，

∴对任意的有成立，

即在中，或或恒成立，

∴或恒成立，即有或.

故选：D.

【点睛】关键点点睛：由已知求得的解析式并画出函数图象草图，由不等式恒成立，结合函数的对称性列不等式组，求参数范围.

二、多选题

9．下列命题为真命题的是（    ）

A．， B．当时，，

C．若函数的定义域为，则函数的定义域为 D．“”是“”的充要条件

【答案】ABC

【分析】A选项用配方可证；B选项用根的判别式作出判断；C选项求抽象函数的定义域，掌握两个原则，第一：定义域是的取值范围，第二：同一对应法则下，取值范围相同；D选项求出的充要条件，与作比较.

【解析】恒成立，故A选项正确；当时，恒成立，故，使得，B选项正确；已知，则，所以，解得：，故函数的定义域为，C选项正确；因为恒成立，由得：，解得：，故“”不是“”的充要条件，D选项错误

故选：ABC

10．已知集合M､N的关系如图所示，则下列结论中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】根据Venn图和交并补的定义逐一判断即可.

【解析】由题意得，对于A，C，设，，

则，，则，故A错误；，故C错误；

对于B，由Venn图和知，，故B正确；

对于D，因为，所以，故D正确.

故选:BD.

11．以下结论正确的是（    ）

A．函数的最小值是2；

B．若且，则；

C．的最小值是2；

D．函数的最大值为0．

【答案】BD

【分析】根据判断A，由均值不等式可判断B，利用对勾函数判断C，根据均值不等式判断D.

【解析】对于A，当时，结论显然不成立，故错误；

对于B，由知，根据均值不等式可得，故正确；

对于C，令，则单调递增，故最小值为，故C错误；

对于D，由可知，，当且仅当时取等号，故D正确.

故选：BD

12．给定函数，，用表示，中较大者，记为，则下列错误的说法是（    ）

A．  B．，

C．有最大值 D．最小值为0

【答案】AC

【分析】通过作差求解的取值范围可以得到的分段函数解析式，再根据分段函数解析式求得各选项结果

【解析】由即可得

由即可得或

所以

当时，，A选项错误

当时，，B选项正确

当时，为单调递增函数，无最大值，C选项错误

因为在上单调递减，所以，D选项正确

故选：AC

三、填空题

13．设集合，则集合的子集个数为________

【答案】16

【分析】先化简集合A，再利用子集的定义求解.

【解析】解：，

故A的子集个数为，

故答案为：16

14．已知若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是________．

【答案】．

【分析】化简命题，然后根据充分必要条件的定义求解．

【解析】或，是的充分不必要条件，则．

故答案为：．

15．为了引导居民节约用电，某城市对居民生活用电实行“阶梯电价”，按月用电量计算，将居民家庭每月用电量划分为三个阶梯，电价按阶梯递增.第一阶梯：月用电量不超过千瓦时的部分，电价为元/千瓦时；第二阶梯：月用电量超过千瓦时但不超过千瓦时的部分，电价为元/千瓦时；第三阶梯：月用电量超过千瓦时的部分，电价为元/千瓦时.若某户居民月份交纳的电费为元，则此户居民月份的用电量为___________千瓦时.

【答案】

【解析】根据题意，写出电费与用电量的函数关系式，根据函数值即可求解.

【解析】设用电量为千瓦时，电费元，

，

若时。

当时，则，解得，不满足题意；

当时，则，

解得，不满足题意；

当时，则，解得，满足题意.

故答案为：

16．已知偶函数的定义域为，且图象是连续不断的，若，，当时，有，则满足不等式的实数a的取值范围是________．

【答案】

【分析】利用函数的奇偶性和单调性解不等式即可得解.

【解析】令，又因为为偶函数，所以为偶函数，

又，，当时，有，故在上为减函数，所以在上单调递增，

不等式等价于，

即，所以，解得，即

所以实数a的取值范围是

故答案为：．

四、解答题

17．已知p：实数x满足集合，q：实数x满足集合B＝{x|x≤﹣2或x≥3}.

(1)若a＝﹣1，求A∪B；

(2)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.

【答案】(1)或

(2)或

【分析】（1）利用并集概念及运算即可得到结果；

（2）因为p是q的充分不必要条件，所以A是B的真子集，结合数轴得到结果.

（1）

因为a＝－1，所以，又B＝{x|x≤﹣2或x≥3}.

所以或

（2）

因为p是q的充分不必要条件，所以A是B的真子集，所以或，

所以或.

18．在，，存在集合，非空集合，使得这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．

问题：求解实数，使得命题，，命题：______都是真命题．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【答案】答案不唯一，具体见解析

【分析】若选条件由命题为真，可得在上恒成立，求出的范围，通过命题为真，求出的范围，然后列出不等式组求解即可．

若选条件由命题为真，可得在上恒成立，求出的范围，通过命题为真，求出的范围，然后列出不等式组求解即可．

【解析】若选条件，由命题为真，可得在上恒成立．

因为，所以，所以．

由命题q为真，则方程有解．

所以，所以．

又因为都为真命题，所以，所以．所以实数的值为1．

若选条件，由命题为真，可得在上恒成立．

因为，所以．所以．

由命题为真，可得或，因为非空集合，所以必有，

所以或，

又因为都为真命题，所以，解得．

所以实数a的取值范围是．

19．（1）已知，求的最小值；

（2）已知，且，证明：．

【答案】（1）8 ；（2）证明见解析 ．

【分析】(1) 可化为，再由基本不等式求其最值；(2) 由条件可得，结合基本不等式完成证明.

【解析】解：（1）因为，所以，则，

当且仅当，即时，等号成立．所以最小值8．

（2）因为，得．

则．

所以成立，当且仅当，时等号成立，

所以.

20．已知函数.

(1)用单调性定义证明函数在上为减函数；

(2)求函数在上的最大值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据定义证明函数单调性即可.

（2）根据题意得到函数为奇函数且上为减函数，从而得到，即可得到结果.

（1）

证明：设对任意的，则

由题设可得，，

，即.

故函数在上为减函数..

（2）

由题知，

又的定义域为关于原点对称，

是奇函数.

又由（1）得在上为减函数，

在上也是减函数.

函数在上的最大值为.

21．某厂家拟在2022年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）m万件与年促销费用x万元满足关系式（k为常数）．如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2022年生产该批次产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）．

(1)将2022年该产品的利润y万元表示为年促销费用x万元的函数；

(2)该厂家2022年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．

【答案】(1)y，

(2)3万元

【分析】（1）根据已知先求k，表示出销售价格，然后由题意可得函数关系；

（2）由基本不等式可得.

（1）

由题意知，当时，∴，

∴，

∴每件产品的销售价格为（元），

∴，

（2）

∵当时，，∴，

当且仅当，即时，y取得最大值，

故该厂家2022年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大．

22．设函数，，令函数．

(1)若函数为偶函数，求实数a的值；

(2)若，求函数在区间上的最大值；

(3)试判断：是否存在实数a，b，使得当时，恒成立，若存在，请求出实数b的取值范围；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)

(2)答案见解析

(3)

【分析】（1）首先表示出，依题意可得，即可求出参数的值；

（2）利用二次函数的性质，在区间，上的最大值应该在或处取得，分类研究即可；

（3）求出的对称轴，利用对称轴和区间，的位置关系进行分类讨论，分别研究的最大值和最小值，将问题转化为，分别求解即可得到答案．

（1）

解：因为为偶函数，

则，即，

所以对任意恒成立，所以；

（2）

解：当时，，对称轴为，

设函数在区间上的最大值为，

又，，，

所以；

（3）

解：由题意可得，，又，

对称轴为，

当，时，恒成立，等价于，

当，即时，函数在区间，上单调递增，

所以有，

因为且，

所以，与矛盾；

当，即时，在区间，上单调递减，

所以有，

因为，

所以，

故，与矛盾；

当，即时，

则有，

由①可得，结合②可得，

由①③可得，，又，

所以，即，

再结合①，则有，

解得，此时存在满足条件，

综上所述，的取值范围为，此时．