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华师大版九年级上册第23章 图形的相似综合与测试学案及答案
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这是一份华师大版九年级上册第23章 图形的相似综合与测试学案及答案，共46页。学案主要包含了学习目标，学习重点，学习难点，快乐学习，一显身手，做小画家，反思小结，用心学习等内容，欢迎下载使用。
第23章 图形的相似
§24.1 相似的图形
【学习目标】
1、 通过实例理解相似图形的概念；
2、 会识别相似图形，通过图形识别提高自己的观察能力；
3、 能按照要求画出相似的图形，会根据条件制作出相似的图形。
【学习重点】：相似图形的概念
【学习难点】：相似图形的识别与作图
【快乐学习】
1、 什么是全等图形：
2、 观察上述图形，写出你的发现：
3、 小组内交流你的发现。
你的补充：
4、 阅读课本第42页，然后快速写出你的答案：
（1）、什么是相似图形。
（2）、生活中还有那些相似图形，请举例并与同学交流补充：
5、 相似图形与全等图形的区别与联系是什么？
【一显身手】
1、 请把相似的图形连线：
2、观察下面的图形（a）～（g），其中哪些是与（1）、（2）、（3）相似的？
3.下列图形是不是相似图形：
所有的圆形；
所有的正方形；
所有的直角三角形 ；
平面镜中的图形与实际图形；
哈哈镜中的图形与实际图形；
放大镜下的图形与原来的图形
通过以上练习，请自己总结一下，你是如何判断两个图形形似，请写出来并与同学交流，自己补充完整。
【做小画家】
1、 请在课本上画一画“试一试”中的四边形。画完后请借助于测量工具，通过测量计算，请写出有前后两个图形的边长与内角度数的变化，并与同学交流。
2、 （★★★）请观察如下图形，看看有什么发现，你能否设计出一个类似的图案。
3、 请在课余时间里自己找一幅喜欢的画，在画上打上方格，把图画分成若干小方格，然后自己再放大（或缩小）一定的比例，画一个方格，然后在每一个方格内画出原图，这样可以自己画一幅放大（或缩小）的图画了。
4、 有条件的同学可以观察十字绣的制作过程，看看样品中的图怎样被放大（或缩小）绣出来的。
【反思小结】
总结本节最大的收获与存在的问题，写下来并与同学交流。
§24.2相似的图形性质（1）成比例线段
【学习目标】
1、 通过计算作图掌握概念：线段的比、成比例线段。
2、 掌握并会推导比例的性质。
3、 会用比例的性质进行解题。
【学习重点】
成比例线段、比例的性质
【学习难点】
比例性质的推导与应用。
【用心学习】
1、小学里已经学过了比例的有关知识，下面请同学们口答下列问题：
（1）若a与b的比值和c与d的比值相等，应记为： 。
（2）已知2：3＝4：x，则：x= 。
（3）比例的基本性质是什么？ 。
（4）地理中的比例尺是指什么？ 。
你自己还了解哪些关于比例的知识，写出来，与同学们交流。
2、 自主学习完成课本45页试一试与概括：填写下列空格：
（1）、“比例线段”的概念： 。
已知四条线段a、b、c、d,如果（或a:b=c:d），那么a、b、c、d叫做组成比例的 ，线段a、d叫做比例 ，线段b、c叫做比例 ，线段 叫做a、b、c第四比例项。
如果作为比例内项的是两条相同的线段，即（或a:b=b:c），那么线段b叫做线段a和c的 。
（2）“比例线段”和“线段的比”的区别
“比例线段”和“线段的比”这两个概念有什么区别？
结论：
（3）注意：概念的有序性
线段的比有顺序性，a:b和b:a通常是不相等的。
比例线段也有顺序性，如叫做线段a、b、c、d成比例，而不能说成是b、a、c、d成比例。第四比例项也有顺序性，如中，线段d叫做a、b、c的第四比例项，而不能说成“线段d叫做b、a、c的第四比例项”。
【自主探究训练】
判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段：
（1）a＝4，b＝6，c＝5，d＝10；
（2）a＝2，b＝，c＝，d＝．
解：
把（1）题中a、b、c、d调换位置可以得到几种情况？哪些情形是成比例线段。成比例线段在大小排序上有何规律？给你四个数据怎样最快的获取成比例线段排序的最大可能性？
总结：如何判断成比例线段，说出你的方法并交流。
完成课本练习1.
补充练习：
1、已知m、n、p、q是成比例线段，其中m=2cm，n=6cm，q=27cm，则p=_______cm.
2、（★★）已知三个数1，2、，请你再添一个数，使它们构成的四个数成比例关系。
通过以上练习你能得出哪些结论，请自己先写出来，再交流。
自主完成下列结论：
（1）、比例的基本性质
如果（或a:b=c:d），那么ad=bc,即比例的两外项的积等于两内项的积，那么如何证明呢？
证明：
试说出这个性质的逆命题，它是真命题吗？如何证明？
如果a:b=c:d中的两个比例内项相等，即当a:b=b:c时，又可以得到什么结论呢？
（2）合比性质
刚才我们用等式的性质证明了比例的基本性质，如果我们继续用等式的性质，能否得到比例的其它性质呢？比如：在比例式的两边都加上1，会得到什么结果呢？
如果两边都减1呢？
合比性质：如果，那么 ．
（3）等比性质
试猜想（），与相等吗？能否证明你的猜想？
等比性质：如果（），那么＝．
等比性质中，为什么要这个条件？
（4）．练习：从ad=bc，可以得到哪些比例？（小组讨论）
以上环节主要用了哪些知识点与方法：
【过关题目】
完成下列问题，你便可以顺利通过本关的学习了，加油啊。
1.若m是2、3、8的第四比例项，则m＝ ；
2．若x是a、b的比例中项，且a＝3，b＝27，则x＝ ；
若线段x是线段a、b的比例中项，且a＝3，b＝27，则x＝ ；
3．若a:b:c=2:3:7,且a＋b＋c=36,则a= ； b= ； c= 。
下面的题目有一定的难度，你能解决吗？相信聪明的你会成功的：
4、（★★）已知，b+d+f≠0,求 的值。
5、（★★★）已知 ，且x+y-z=,求x、y、z的值。
【反思小结】
总结本节的收获与存在的问题，并交流。
§24.2相似的图形性质（2）相似图形的性质
【学习目标】
1、 通过自己动手操作猜想验证相似多边形的性质。
2、 运用逆向思维猜想形似多边形的判定方法。
3、 了解黄金分割
【学习重点】
相似多边形的性质
【学习难点】
相似多边形性质的应用。
【动手探究】
用直尺和量角器自己动手完成课本47、48页内容。并写出你的猜想：
【思考总结】
1、 相似多边形有哪些性质？具备这些性质的多边形形似吗？图形的性质与判定有何联系？自己思考一下，然后小组内交流。（可以参照课本49页内容）
2、 将以上结论特殊化：
（1） 对于两个相似的三角形有何性质？
（2） 如何判断两个三角形相似？
（3） 对于等腰三角形、等边三角形、直角三角形、等腰直角三角形，以上结论又有何变化？
（有兴趣的同学可以快速翻阅教材后面的内容，把以上问题的主要结论写下来，并与自己的结论对比，同时，结合本环节的学习，总结如何运用逆向思维、特殊化思想来探究学习。）
【一显身手】
1、下列命题中正确的是（ ）
A:相似多边形是全等多边形 B:不全等的图形不是相似图形
C:全等多边形是相似多边形 D:不相似的图形可能是全等图形
2、下列说法正确的是（ ）
①所有的梯形都相似 ；②所有的等边三角形都相似 ；③所有的直角三角形都相似；④所有的等腰直角三角形都相似。
A: ①② B: ②③ C: ③④ D: ②④
3、两个相似多边形的最长边分别是10cm 和20cm，其中一个多边形的最短边为5cm ,则另一个多边形的最短边长为__________.
4、如果多边形ABCDEF与多边形ABCDEF相似，且∠A=68,则∠A=_______
5、如图1，点E、F分别在矩形ABCD的边AD、BC上，EF∥AB，AB=6，AD=8，矩形BFEA∽矩形ABCD，则AE=________.
图1 图2
6、上图2所示的相似四边形中，求未知边x,y的长度和角ａ的大小。
7、（★★★）做甲、乙两个形状相同（相似）的三角形框架，已知三角形框架甲的三边分别为50cm，60cm,80cm，三角形框架乙的一边长为20cm,符合条件的三角形框架共有（ ）种。
A: 1 B: 2 C: 3 D: 4
【深入学习】
自己阅读课本52页材料：黄金分割。并阅读以下材料：
黄金分割是古希腊哲学家毕达哥拉斯发现。一天，毕达哥拉斯从一家铁匠铺路过，被铺子中那有节奏的叮叮当当的打铁声所吸引，便站在那里仔细聆听，似乎这声音中隐匿着什么秘密。他走进作坊，拿出一把尺量了一下铁锤和铁砧的尺寸，发现它们之间存在着一种十分和谐的关系。回到家里，毕达哥拉斯拿出一根线，想将它分为两段。怎样分才最好呢？经过反复比较，他最后确定1：0.618的比例截断最优美。后来，德国的美学家泽辛把这一比例称为黄金分割律。这个规律的意思是，较大部分与整体这个比等于较小部分与较大部分之比。无论什么物体、图形，只要它各部分的关系都与这种分割法相符，这类物体、图形就能给人最悦目、最美的印象。
黄金分割的定义：将一条线段AB分割成大小两条线段（AP﹥PB）,若较短线段与较长线段的长度之比等于较长线段与整条线段之比，即PB:AP＝AP:AB（此时线段AP叫做线段PB、AB比例中项），则可得出这一比值等于≈0.618….这种分割称为黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点。
（请你根据上面的叙述，通过列方程、解方程说明近似数0.618是如何得出来的。）
如何记住黄金的近似比值：只要记住一句话：“见糖留一把”即可。（解读：唐朝建立的时间是公元618年，而黄金比的近似值是0.618可算是一个巧合，所以将建唐618年谐音即可得到“见糖留一把”，这样不仅记住了数学知识，还记住了历史知识。）
据有关测定，当气温处于人体正常体温（36 ℃ ~37℃)的黄金比值时，人体感到最舒适。因此夏天使用空调时室内温度调到什么温度最适合？
36℃×0.618=22.3 ℃ 37℃×0.618=22.8 ℃ 22.3 ℃~22.8℃
伟大的数学家华罗庚曾致力于推广“0.618优选法”，把黄金分割原理应用于生产、生活实际以及科学实验中，为国家节约了大量的人力和能源。（有条件的同学可以通过网络学习更多的相关知识和例子）
自己了解关于黄金矩形、黄金三角形的知识并在同学之间交流。
看看能否解决如下问题：
1、（★★）已知线段AB=a，点C是线段AB的黄金分割点，AC﹥BC,则AC=___________
2、根据科学分析，舞台上的主持人应站在舞台前沿的黄金分割点，视觉和音响效果最好。已知学校礼堂舞台前沿宽20米，问举行文娱汇演时主持人应站在何处？(精确到0.1米)
【反思小结】
总结本节的收获与存在的问题，并交流。
课余时间自己搜集相关黄金比的知识，并与同学交流。
§24.3.1 相似三角形
【学习目标】
1、 掌握相似三角形的有关概念及表示方法；
2、 能够熟练地找出相似三角形的对应角和对应边；
3、 了解相似三角形与全等三角形的关系。
【学习重、难点】
相似三角形的表示方法以及找出对应边、角。
【快乐学习】
1、 快速回答：
什么是全等三角形，全等三角形的对应边、对应角有什么关系？
什么是相似多边形，相似多边形的对应边与对应角之间有什么关系？
什么是相似多边形的相似比？
根据以上回答，猜想：什么是相似三角形？相似三角形的对应边、对应角有什么关系？什么是相似三角形的相似比？
2、 根据以上回答：阅读课本完成课本做一做，并修正你的猜想。
3、 思考：如何表示相似三角形，书写时对应顶点应注意什么？
4、 完成课本练习。
自己先独立思考解答，然后小组内交流讨论：
【一显身手】
1、 如果△ADE∽△ABC，那么哪些角是对应角？哪些边是对应边？对应角有什么关系？对应边呢？
2、 有一块呈三角形形状的草坪，其中一边的长是20m，在这个草坪的图纸上，这条边长5cm，其他两边的长都是3.5cm，求该草坪其他两边的实际长度。
3、 如果两个三角形的相似比为1，那么这两个三角形_____
4、 若△ABC的三条边长的比为3cm、5cm、6cm,与其相似的另一个△A′B′C′的最小边长为12 cm，那么△A′B′C′的最大边长是_____
5、 （★）若△ABC∽△DEF,它们的周长分别为6 cm和8 cm，那么下式中一定成立的是（ ）
A.3AB=4DE B.4AC=3DE
C.3∠A=4∠D D.4（AB+BC+AC）=3（DE+EF+DF）
6、 若△ABC与△A′B′C′相似，∠A=55°,∠B=100°，那么∠C’的度数是（ ）
A.55° B.100° C.25° D.不能确定
【反思小结】
总结本节的收获与存在的问题，并交流。
补充：相似符号的由来：十六世纪法国数学家维叶特用"="表示两个量的差别。可是英国牛津大学数学、修辞学教授列考尔德觉得：用两条平行而又相等的直线来表示两数相等是最合适不过的了，于是等于符号"="就从1540年开始使用起来。 1591年，法国数学家韦达在菱形中大量使用这个符号，才逐渐为人们接受。十七世纪德国莱布尼茨广泛使用了"="号，他还在几何学中用"∽"表示相似，用"≌"表示全等。
§24.3.2相似三角形的判定（1）
【学习目标】
1、 掌握两个三角形相似的判定方法。
2、 会用所学方法判定两个三角形是否相似。
【学习重点】：
三角形相似的判定方法。
【学习难点】：
三角形相似判定方法的运用
【快乐学习】：
一、 看看谁做得最好：
1、 判定两个多边形相似的方法是：
2、 由上题你认为判断两个三角形相似的方法是：
3、 列举出你所学到的判定两个三角形全等的判定方法：
4、 类比三角形全等与相似的相同与不同点，自己猜想如何判定两个三角形形似：
5、 在小组内交流所得出的结论，然后探究一下如何验证得出的结论正确性。（建议：可以小组内同学之间的作图、测量计算的方法来验证）并写出你的收获。
二、 阅读课本第55页至第59页（不包括例题）部分内容，通过思考探究。对比以上你得出的结论。有何收获？
三、 对于一些特殊的三角形，有何判定方法？写出你的结论和理由。
【挑战自我】：
1、 请你判断对错：
（1）、有一对角相等的三角形一定相似。 （ ）
（2）、有一对锐角相等的两个直角三角形一定相似.（ ）
（3）、有一个角等于100°的两个等腰三角形相似。（ ）
（4）、有一个角等于30°的两个等腰三角形相似。 （ ）
（5）、有一对角相等的两个等腰三角形一定相似。 （ ）
2、已知，如图1要△ABC∽△ACD，需要条件 ；
3、已知，如图2要使△ABE∽△ACD，需要条件 ；
图1 图2
【深度学习】：你会证明三角形形似的判定定理吗？
1、 阅读课本65页。关于相似三角形与全等三角形的材料，思考，材料是如何通过三角形全等的知识与面积的知识来证明三角形相似的判定定理的？
2、 结合课本54页做一做你所得到的结论，能否自己找出一个证明三角形相似的判定定理的方法。
【总结反思】
今天你有什么收获？
新知的获得采用了什么方法？
你还有困难与困惑吗？
§24.3.2相似三角形的判定（2）
【学习目标】
通过自学例题与练习，掌握并会应用相似三角形的判定定理
【学习重点】
如何进行解题后的反思？
【学习难点】
三角形相似的判定定理的运用。
【快乐学习】
一、自己学习课本56页至59页例题1~4，学习中注意几个方面：
1、先自己动手做，然后对比课本做法。并关注与课本的不同之处。
2、每一个例题主要用了哪些知识点？
3、将四个例题进行对比分类？
4、步骤的书写应注意什么？
5、与同学交流你的收获把你感受最深的写下了：
二、自主练习：
1、请找出图中所有的相似三角形，并选一对相似三角形加以证明。
反思总结：
_
C
_
E
_
B
_
D
_
A
2、如图所示，△ABC中，DE∥BC.AD=3cm,BD=2cm,BC=4cm,求DE的长。
反思总结：
3. （★★★）如图，四边形ABCD是平行四边形，M是BC上一点，且BM:MC=3:4,连接AM交BD于F,求BF:BD的值。
4、（★★★★）已知△ABC中，如图所示，∠A=60°，BD、CE 是△ABC 的两条高，求证:△ADE∽△ABC.
反思总结：
【挑战自我】（以下两个题目，可以证明你的数学水平的高低，可以课外完成）
1、（★★★★）要做两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边的长分别为4、5、6，另一个三角形框架的一边长为2，请你想一想应该怎样选择材料可使这两个三角形相似？你选的材料唯一吗？
2、（★★★★★）你能否利用三角形全等与相似的知识设计2个三角形，这两个三角形在关于三个角、三条边的六个元素中，其中有5个元素相等（非对应）,但是这两个三角形却不全等。设计出你的两个三角形，并说明设计理由。
【总结反思】
今天你有什么收获？
你提出了什么问题？发现了什么？
你还有困难与困惑吗？
对于老师的教学，你有何建议？
§24.3.3相似三角形的性质
【学习目标】
1.探索相似三角形的性质；
2.利用相似三角形的性质解决实际问题。
【学习重点】
相似三角形的性质及应用.
【学习难点】
相似三角形周长比、面积比与相似比的关系的推导及运用.
【快乐学习】
1、所有的正方形都相似吗？______.
若正方形ABCD边长为1周长为____,面积为_____ .
若边长增大一倍,变为2. 周长为____,面积为_____.
若边长,变为3. 周长为____,面积为_____ .
若边长,变为N. 周长为____,面积为_____.
通过填空你发现了什么？_______________________________.
2、什么是相似三角形的相似比？两个相似的三角形有哪些性质？
3、三角形除了边、角之外还有哪些要素？对于两个相似的三角形，以上要素与三角形的相似比有何关系？写出你的猜想？
4、所有的等腰直角三角形都相似吗？观察手中的大小不同的等腰直角三角形三角板，并测量其边长，测量或计算斜边上的高、中线、直角顶角的角平分线以及三角形的周长、面积。与同伴交流你的发现。_______________________________.
5、如何验证或者证明结论的正确性呢？验证可以采用作图、测量计算的方法，但是这一方法具有一定的局限性。那么在数学中最有效的方法便是通过逻辑推理来证明结论的正确性。
以小组为单位，组长分任务完成如下命题的证明（每名同学至少完成一个命题的证明）
（1）相似三角形对应边上的对应高的比等于相似比；
（2）相似三角形对应边上的对应中线的比等于相似比；
（3）相似三角形对应角上的对应角平分线的比等于相似比；
（4）相似三角形的周长的比等于相似比；
（5）相似三角形的面积的比等于相似比的平方。
小组交流并阅读教材，对比课本相应的证明方法，在课本空白处补充好结论以及证明。并写出你的收获。
【一显身手】
1、已知如图， ∽ ，它们的周长分别是60cm和72cm，且AB=15cm， 求BC、 、 ．
2、△ABC中，BC=54cm，CA=45cm，AB=63cm，另一个与它相似的三角形的最短边为15cm，则周长为_______________。
3、如果两个相似三角形的对应边的比是4：5，周长的和为18cm，那么这两个三角形的周长分别为_______________。
4、（★）△ABC 中DE∥BC，DE把△ABC的面积分成相等的两部分，那么DE：BC等于（ ）
A、1：2 B、1：4 C、2： D、：2
5、（★★★）梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，若S△AOD:S△ACD=1：3，则S△AOD:S△BOC等于（ ）
A、1：6 B、1：3 C、1：4 D、1：
6、（★★）有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1：200和1：500，求甲地图与乙地图的相似比和面积比．
7、（★★★）如图，在△ABC中，ED∥BC，且ED=BC=2cm，△AED的周长为10cm，求梯形BCED的周长。
【反思总结】
本节你有什么收获？
你提出了什么问题？发现了什么？
你还有困难与困惑吗？
对于老师的教学，你有何建议？
§24.3.4相似三角形的应用
【学习目标】
一、 学习利用三角形相似的知识进行实际测量。
二、 会用三角形相似进行一些等积式的证明
三、 会综合运用三角形相似的知识解决实际问题
【学习重点】
如何探寻三角形相似的条件
【学习难点】
如何运用相似三角形的知识解决问题
【快乐学习】
一、思考：
如何知道学校的国旗旗杆的高度？请写出你的测量或者计算方法：
二、 快速阅读课本62页例6思考：
本题主要用了哪个知识点来解决问题？
在这里我们所指的太阳光是平行光线，请完成下面的问题：
已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱.AB=5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=3m.
（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影；
（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6m，请你计算DE的长.
A
E
D
C
B
三、 阅读课本例7，总结本题中的主要测量方法：
完成下列问题：
如图，有一河流。请你设计一个方案测量这条河流的宽度。
（1）、写出方案，画出示意图；
（2）、指出要测量的线段，并用字母表示；
（3）、根据测量的数据求出河的宽度。
四、 自学课本例8总结证明一些类似的等积式的主要思路和方法：并与同学交流：
Ｄ
Ｂ
Ａ
Ｅ
Ｆ
Ｃ
Ｇ
先自己思考，然后小组讨论解决下列问题：
如图，在Ｒt△ABC中，∠ＢＡＣ＝９０°，
ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ为ＢＣ的中点，Ｅ为ＡＣ
上一点，点Ｇ在ＢＥ上，连结ＤＧ并延长
交ＡＥ于Ｆ，若∠ＦＧＥ＝４５°。
求证：(1)ＢＤ·ＢＣ＝ＢＧ·ＢＥ；
(2) （★★★）ＡＧ⊥ＢＥ；
【一显身手】
1、一根1.5米长的标杆直立在水平地面上,它在阳光下的影长为2.1米；此时一棵水杉树的影长为10.5米,这棵水杉树高为 ( )
A.7.5米 B.8米 C.14.7米 D.15.75米
2、晚上，小华出去散步，在经过一盏路灯时，他发现自己的身影是 （ ）
A.变长 B.变短 C.先变长后变短 D.先变短后变长
E
B
C
A
D
3、如图,小东设计两个直角来测量河宽DE,
他量得AD=2m,BD=3m,CE=9m,
则河宽DE为 ( )
(A).5m (B).4m (c).6m (D).8m
4、（★★）小明在某一时刻测得1m的杆子在阳光下的影子长为2m,他想测量电线杆AB的高度,但其影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上,量得CD=2m,BC=10m,CD与地面成45°,求电线杆的高度.
B
C
F
A
D
E
【深度探究】（可用课余时间）（★★★★）
一、（★★★★★）如图：是小孔成像图：下图中存在三角形形似吗？
A
B
C
F
E
D
图1 图2
如图2：AB为物体的高度，EF为小孔的高度，CD为倒立的像的高度？（移动屏幕，使得B、F、D在同一条直线上）你能得出并证明三者之间的关系吗？（提示：AB∥EF∥CD，利用三角形相似）
A
B
C
F
E
D
G
拓展：如图：在梯形ABDC中GF是过对角线交点且平行于底的线段，请问：EF与EG的大小关系并说明理由？图中有哪些面积相等的三角形？
二、透镜成像原理：（★★★★★）
如图：是凸透镜成像的示意图：AB是实物,A′B′是AB成的像，图中AB、CD、A′B′都是平行的，且垂直于B B′,图中有哪些相似的三角形？其中物距OB、像距O B′与焦距0F有与上题类似的结论，你能运用三角形相似的知识证明吗？比较一、二中的证明方法的异同？你有什么收获？
C
D
【反思总结】
本节你有什么收获？
你提出了什么问题？发现了什么？
你还有困难与困惑吗？
§24．4 中位线
【学习目标】
1、 掌握三角形的中位线和梯形中位线的概念和定理，
2、 了解三角形的重心及三角形重心的性质。
【学习重点】
三角形中位线定理和梯形中位线定理的理解与应用。
【学习难点】
三角形中位线定理和梯形中位线定理的证明，以及如何恰当地添加中位线辅助解题。
【快乐学习】
环节一：探究发现：
问题．怎样将一张三角形纸片剪成两部分，使分成的两部分能拼成一个平行四边形？
提示操作：
（1）剪一个三角形，记为△ABC
（2）分别取AB,AC中点D,E，连接DE
（3）沿DE将△ABC剪成两部分，并将△ABC绕点E旋转180°，得四边形BCFD
思考：四边形ABCD是平行四边形吗？那么ＤＥ与ＢＣ有什么位置和数量关系呢？写出你的结论。
如下图：ΔABC中，点D、E是AB与AC的中点，结合上面的操作与你的发现，证明你的结论：（尽可能多的方法）
阅读课本67~68页，自己总结并在小组内交流：
１、 总结不同的证明方法，主要用了哪些知识点？
２、 用符号及文字表达三角形中位线定理的内容。
３、 三角形中位线定理的作用。
4、结合例1、例2思考：
（1）、三角形的中线与中位线的区别与联系？
（2）、三角形的中线有何性质？
（3）、三角形的三个顶点、三个三边中点，这六个点中，任选四个点最多可以构成多少个平行四边形？作图说明：
环节二：自己剪一个密度均匀的纸板三角形（或者一个厚度大些的纸张也可以）结合学习课本69页拓展部分内容以及上述环节的学习，验证三角形的重心及其定义和性质。
环节三：自学课本69~60页关于梯形中位线的知识，完成下列问题：
（1）梯形中位线的内容（文字与符号语言）及作用是什么？
（2）自己写出梯形中位线性质的证明，并总结辅助线的作法。
(3)梯形中位线定理与三角形中位线定理有何关系？
(4)梯形面积公式的求法？
【一显身手】
1、已知三角形的三条中位线分别为3厘米、4厘米、6厘米，则这个三角形的周长为 。
2、已知等腰梯形的腰长与中位线相等，周长为32厘米，则腰长为
3、（★★★）在梯形ABCD中，AB∥CD。CD
5、在△ABC中，∠A=∠B=45，AB=12，则△ABC的重心到AB的距离是（ ）
6、（★★★）已知，在梯形ABCD中，AD∥BC,AD=4,BC=8,E、F分别是对角线BD、 AC的中点。EF长为( )。(用文字总结结论)
【拓展训练】（共有余力的同学选作）
1、（★★）证明：顺次连结四边形各边中点所得四边形是平行四边形。
把上述问题中的四边形改为等腰梯形、菱形、矩形、正方形结论又是如何？
2、（★★★★）结合图形分析三角形中位线定理：
（1） 定理的已知条件有几个；结论有哪些？用符号语言写出来：
（2） 将上述条件与结论重新搭配，可以得到几个命题？猜想、验证或者证明命题的真假？由此你可以得到几种中位线的识别方法？
3、（★★★）如右图：在△ABC中，BC=a,B1,B2,B3,B4是AB边的五等分点，C1,C2,C3,C4是AC边的五等分点，则B1C1+B2C2+B3C3+B4C4= 。
【反思总结】
本节你有什么收获？
你提出了什么问题？发现了什么？
你还有困难与困惑吗？
§24．5 画相似图形
【学习目标】：
1、了解位似，位似中心的概念
2、会利用位似法画相似图形
【学习重、难点】：
本节的重点是位似的概念，以及利用位似关系画相似图形，难点是对两个图形位似关系的判断。
【快乐学习】
阅读课本71~72页的内容，按照课本上的的画图步骤，把多边形ABCDE放大到1.5倍 。
思考：
1、两图形中对应边有何关系？对应角呢?这两个多边形相似吗？相似比是多少?为什么？
2、什么是位似？位似中心？位似比？
3、反思：
（1）位似由哪些因素决定？
（2）位似变换后所得到的图形与原图形的关系如何？
（3）观察课本上三个图，探索位似中心的位置及如何选择位似中心。
4.总结画相似图形的步骤。
注意：⑴位似图形的概念中包含三个内容：
①位似图形是针对两个图形而言的
②位似图形是相似图形
③位似图形的每组对应点所在的直线都必须经过同一点.
⑵ 位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必构成位似关系。
【一显身手】
1、下列命题正确的是（ ）
A． 全等图形一定是位似图形
B． 相似图形一定是位似图形
C． 相似图形一定是全等图形
D． 位似图形是具有某种特殊位置的相似图形。
2、画一个多边形的位似图形，位似中心可选在已知多边形的（ ）
A:内部 B:外部 C: 边上（包括顶点处） D:任意位置
3、已知△ABC与△A′B′C′是位似图形，点O为位似中心，若AO=8cm，相似比为4：9，则A′O=______
4、取A为位似中心，将任意△ABC扩大2倍.
【拓展训练】（★★★★★）
如何在△ABC中裁出一个最大的正方形，画出图形，并简要说明理由。(提示：1、可以运用位似的知识设计作图；2、注意边的选择)
【反思总结】
本节你有什么收获？
你提出了什么问题？发现了什么？
你还有困难与困惑吗？
对于老师的教学，你有何建议？
§24、6．1用坐标确定位置
【学习目标】：
1、知道在平面内，确定点的位置一般需要两个数据；
2、掌握运用直角坐标系和方位坐标的方法来描述物体的位置。
【教学重点】：
建立平面直角坐标系用直角坐标和方位坐标确定物体的位置。
【教学难点】：
建立恰当的坐标系确定物体的位置。
【快乐学习】
一、学前热身；
1、什么是平面直角坐标系?建立了平面直角坐标系以后,平面的点可以用什么来描述?
2、画一个直角坐标系,并描出点A( 1 , 2),B (-3 , 5)
C(0 , 3)
3、某电影院大厅设有42排，每排32个座位．
（1）你将如何找到电影票上所指的位置？
（2）在电影票上，“5排2号”和“2排5号”中的“5”的含义有什么不同？
（3）如果将“5排2号”记作（5，2），那么“2排5号”如何表示？（8，3）表示什么意思？
4、地球仪中是如何通过经纬度来确定位置的？
5、你有什么好的确定位置的方法？
二、自学教材，完成课本上提出的问题与操作。并思考：
本节课主要介绍了哪两种确定地理位置的方法？是如何确定的？
参考：（1）用直角坐标系中的点来确定位置：建立合适的直角坐标系，然后用一对有序实数来表示位置。
（2）、用角度和距离确定点的位置：选择观测点为坐标原点，建立直角坐标系，令x轴的正方向为东向，y轴的正方向为北向，再由已知的角度确定被观测点所在的方向，由距离确定其点的位置，这是一种用“极坐标”来确定物体位置的方法，这种方法在军事和地理中经常用到。方向角是以南北方向为准向两边偏，即“北偏东××度”，“北偏西××度”，“南偏东××度”，“南偏西××度”。方向角的取值范围是“0≤≤90”。
【一显身手】：完成课本76页练习
【拓展训练】：
１、 （★★★）下图是一个中国棋盘，你能结合棋盘读懂棋谱吗？棋子最终结果位置如何？你听说过不用象棋和棋盘的对弈者吗？他们是如何通过语言来下棋的？
车二进四
车3退2
炮七退三
车6进1
２、 （★★★）小游戏：请同学们按照行、列来确立自己在班级所处位置的坐标，然后请横、纵坐标相等的同学站起来，请问：站立的同学位置有何规律？若（1，1）位置的同学为原点，则位置（4，4）如何用角度和距离的方法确定位置？哪些同学能够马上说出自己位置的两种表示方法？
【反思总结】
本节你有什么收获？
你提出了什么问题？发现了什么？
你还有困难与困惑吗？
对于老师的教学，你有何建议？
【阅读材料】：
GPS定位系统
GPS（Global Positioning System）即全球定位系统，是由美国建立的一个卫星导航定位系统，利用该系统，用户可以在全球范围内实现全天候、连续、实时的三维导航定位和测速；另外，利用该系统，用户还能够进行高精度的时间传递和高精度的精密定位。
GPS计划始于1973年 ，已于1994年进入完全运行状态。GPS的整个系统由空间部分、地面控制部分和用户部分所组成：
空间部分；太空部分
GPS的空间部分是由24颗GPS工作卫星所组成，这些GPS工作卫星共同组成了GPS卫星星座，其中21颗为可用于导航的卫星，3颗为活动的备用卫星。这24颗卫星分布在6个倾角为55°的轨道上绕地球运行。卫星的运行周期约为12恒星时。每颗GPS工作卫星都发出用于导航定位的信号。GPS用户正是利用这些信号来进行工作的。
控制部分：
GPS的控制部分由分布在全球的由若干个跟踪站所组成的监控系统所构成，根据其作用的不同，这些跟踪站又被分为主控站、监控站和注入站。主控站有一个，位于美国克罗拉多（Colorado）的法尔孔（Falcon）空军基地，它的作用是根据各监控站对GPS的观测数据，计算出卫星的星历和卫星钟的改正参数等，并将这些数据通过注入站注入到卫星中去；同时，它还对卫星进行控制，向卫星发布指令，当工作卫星出现故障时，调度备用卫星，替代失效的工作卫星工作；另外，主控站也具有监控站的功能。监控站有五个，除了主控站外，其它四个分别位于夏威夷（Hawaii）、阿松森群岛（Ascencion）、迭哥伽西亚（Diego Garcia）、卡瓦加兰（Kwajalein），监控站的作用是接收卫星信号，监测卫星的工作状态；注入站有三个，它们分别位于阿松森群岛（Ascencion）、迭哥伽西亚（Diego Garcia）、卡瓦加兰（Kwajalein），注入站的作用是将主控站计算出的卫星星历和卫星钟的改正数等注入到卫星中去。
用户部分：地面接收
GPS的用户部分由GPS接收机、数据处理软件及相应的用户设备如计算机气象仪器等所组成。它的作用是接收GPS卫星所发出的信号，利用这些信号进行导航定位等工作。 以上这三个部分共同组成了一个完整的GPS系统。
§24.6.2图形的变换与坐标
【学习目标】：
1、知道在平面内，确定点的位置一般需要两个数据；
2、掌握运用直角坐标系和方位坐标的方法来描述物体的位置。
【教学重点】：
建立平面直角坐标系用直角坐标和方位坐标确定物体的位置。
【教学难点】：如何确立变换后图像的相应坐标点的坐标。
【快乐学习】
一、想一想：我们初中主要学习了哪些图形的变换，其中哪些图形在变换前后是全等的？哪些是相似的？分别有哪些主要特征？
二、阅读课本76页例题：并完成下列问题：
图形的平移：
向右平移a(a>0)个单位后坐标为
点A（x，y） （ ）
向左平移a(a>0)个单位后坐标为
点A（x，y） （ ）
向上平移a(a>0)个单位后坐标为
点A（x，y） （ ）
向下平移a(a>0)个单位后坐标为
点A（x，y） （ ）
用文字写出体现上述变化的规律：
拓展学习：
自己随便写一个直线的解析式然后在直线上任取2点，将这两点分别向右平移1个单位，再向下平移2个单位，写出对应坐标并求出经过平移后的两点的直线的解析式。
小组内整理一下不同直线对应的解析式的变化，你能发现一条直线平移前后的变化规律吗？（我们可以称这种方法为取特殊点法）
提示：左右平移应将变量x本身进行加减（注意：左加右减）相应的平移单位；上下平移应将变量y本身进行加减（注意：下加上减）相应的平移单位；最后整理成一般形式即可。这个规律适应所有的函数图像。你能举例说明吗？
三、 学习课本77页“思考”，并完成“试一试”，然后完成下列问题：
图形的对称：
关于y轴对称
点A（x，y） （ ）
关于x轴对称
点A（x，y） （ ）
关于原点o中心对称
点A（x，y） （ ）
文字总结上述规律：
拓展：你能用上述平移中的“取特殊点”法发现函数图像分别关于x轴、y轴、原点对称的规律吗？（可以以直线为例）写出你的发现过程：
（提示：与点的变换规律类似）
四、 学习课本78页“思考”，之后小结将图形因某一中心进行放大或缩小后各顶点坐标的变化。位似比为1：2的两个位似图形。
【一显身手】：
1、已知△ABC各顶点的坐标为A（2,1），B（0,3），C（4,0）
（1）把△ABC向上平移一个单位，所得三角形三个顶点坐标为___________ ____
（2）把△ABC向右平移一个单位，所得三角形三个顶点坐标为___________ ___
（3）把△ABC先向下平移一个单位，再向左平移一个单位，所得三角形三个顶点坐标为______________
2、（★★★）若已知点M(-1,0),点N(0,1)，则直线MN与y轴对称的直线解析式是__________,与x轴对称的直线解析式是__________,关于原点成中心对称的直线的解析式是： 将直线MN向右平移1个单位，然后向下平移一个单位，所得到的直线的解析式是：
3、（★★）在平面直角坐标系中A(2,3); B(7,4);C(8,5)
（1）作出△ABC关于y轴对称的△ABC，并写出△ABC各顶点的坐标；
（2）将△ABC向右平移6个单位，作出平移后的△ABC，并写出△ABC各顶点的坐标；
（3）观察△ABC和△ABC，它们是否关于某直线对称？若是，请在图上画出这条对称轴。
【反思总结】
本节你有什么收获？
你提出了什么问题？发现了什么？
你还有困难与困惑吗？
对于老师的教学，你有何建议？
§24.7复习课
【复习目标】
1．能理清本章的知识及其联系，画出知识结构图。
2．会运用相似三角形的识别方法、性质进行有关问题的简单的说理或计算，提高解决实际问题的能力，培养应用数学知识的意识。
3．能用坐标来表示物体的位置，感受点的坐标由于图形的变化而相应地也发生变化，体会到数与形之间的关系。
4、通过复习，形成知识体系，整体把握本章内容。
【复习过程】
１、 结合目录，阅读课本，理清本章知识，自己画出知识结构图。（可参考课本单元小结）然后同学之间交流修正。
2、快速浏览本章中所有例题、证明、绘图，分类整理各类题型与方法，然后与同学之间进行交流修正。
3、（★★★★）课外结合上述两个环节，自己出一份测试题，题目多少、形式不限，但是尽可能的考察到本章所学的知识点，尽可能的联系生活实际。然后小组内交换做题，看看谁出的题目最好。
图形的相似单元自我检测
一、选择题
1、两个相似三角形的面积比为 4：9，周长和是20 cm，则这两个三角形的周长分别是（ ）
A、8cm和12cm B、 7cm和13cm C、9cm和11cm D、4cm和16cm
2、如图 1，已知 DE//BC，且，那么ADE与ABC的面积比等于（ ）
A、2：5 B、2：3 C、4：9 D、4：25
3、如图2，ABC∽ADB，下列关系成立的是（ ）
A、ADB=ACB B、ADB=ABC
C、CDB=CAB D、ABC=BDC
4、如图3，已知ABC中，DE//FG//BC，且AD：DF：FB=1：2：3，则等于（ ）
A、1：9：36 B、1：4：9 C、1：8：27 D、1：8：36
5、下列说法中，正确的是（ ）
A、所有的等腰三角形都相似 B、所有的菱形都相似
C、所有的矩形都相似 D、所有的等腰直角三角形都相似
6、小明在华联超市的北偏西30方向上，则华联超市在小明的（ ）
A: 北偏西30 B:南偏东60 C: 南偏东30 D: 北偏西60
7、若两个相似三角形的面积之比为2：3，则它们对应角的平分线之比为。（ ）
A、 B、 C、 D、
8、用一个3倍放大镜照一个ABC，下面说法中正确的是（ ）
A、ABC放大后，A是原来的3倍
B、ABC放大后，周长是原来的3倍
C、ABC放大后，面积是原来的3倍
D、 以上都不对
9、四边形ABCD与四边形ABCD位似，O为位似中心，若OA : O A = 1：3，则S:S=( )
A: 1:9 B: 1:3 C: 1:4 D: 1:5
10、如图4，，CDAB于D，DEBC于E，则与RtCDE相似的直角三角形共有（ ）
A、4个 B、3个 C、 2个 D、1个
11、如图5，ABC中，BD、CE是高，且BD、CE交于F点，则图中与AEC相似（不包括其本身）的三角形个数是 ( )
A、1 B、2 C、3 D、4
12、如图6，在ABC中，M是BC边的中点，AD是∠A的平分线，BD⊥AD于D，AB=12,AC=18,则MD的长为( )
A、3 B、4 C、5 D、6
二、填空题，
13、已知，则
14、同一时刻，一竿高为2 m，影长为 1.2 m，某塔的影长为 18 m，则塔高为_____.
15、在比例尺为1：4 00O的平面图上，量得某学校的校园的周长是，则此学校校园的实际周长是_____米．
16、一个多边形的边长依次为l、2、3、4、5、6，与它相似的另一个多边形的最大边长为8，那么另一个多边形的周长是_____．
17、梯形的面积为12cm，高为3cm，则梯形的中位线为__________.
18、ABC中，G是的重心，且AG=12，GC=6，BG=10.则三中线的和为_______
19、若三角形的三边，且，则此三角形的周长为_____．
20、点P（-2，2）沿x轴的正方向平移4个单位得到点P的坐标为__________.
三、解答题
21、如图：△ABC中，∠B=90，点D、E在BC上，且AB=BD =DE =EC，求证：△ADE ∽ △CDA
22、如图，一油桶高1m，桶内有油，一根木棒长1.2m，从桶盖的小口处斜插入桶内，一端插到桶底，另一端到小口，抽出木棒量得棒上未浸油部分长0.48m.求桶内油面的高度。
23、已知,如图，EF是平行四边形ABCD外的一条直线，AA,BB,CC,DD都垂直于EF，ABCD为垂足，求证：AA+CC=BB+DD
24、如图（1）、( 2 )，在两个全等的直角三角形中，∠C=∠C=90，AC=6，BC=8，AB=10,分别在两个三角形中画出如图所示的正方形DEFG和正方形CMNP。 通过计算比较一下，哪个正方形的边长大些？
总结自己存在的问题，分析原因，制定弥补方案。
答案：
§24.1 相似的图形
【一显身手】
1、略；2、（1）~（a），（2）~（d），(3)~（g）；3、相似、相似、不一定相似、相似、不一定相似、相似。
§24.2相似的图形性质（1）成比例线段
【自主探究训练】
1、 不成比例；2、成比例。方法提示：按照大小排列后计算是否成比例。
补充练习：
（3） x=9；2、所添的数可以是：2；；
【过关题目】
4、 m=12；2、x=9或-9；x=9；3、a= 6； b= 9； c=21；4、；
5、
§24.2相似的图形性质（2）相似图形的性质
【一显身手】
1、C；2、D；3、10；4、68°；5、；6、x=27；y=24；ａ=85°7、c
黄金分割练习1、a；2、距离一边12.4米或者7.6米
§24.3.1 相似三角形
【一显身手】：1、略；2、其他两边都是14米；3、全等；4 ；24；5、D；6、C
§24.3.2相似三角形的判定（1）
【挑战自我】：
1、错、对、对、错、错；2、∠ADC=∠ACB或者∠ACD=∠B；3、∠ADC=∠AEB或者∠ACD=∠B或者∠BDC=∠BEC（2.3题还可添加公共角两边对应成比例）
§24.3.2相似三角形的判定（2）
自主练习：
7、 △ABC∽△CBD∽△ACD(证明略)
8、 ED=2.4
3、解：因为BM:MC=3:4可设比例系数为x，则BM=3x，MC=4x；
所以在平行四边形ABCD中AD=BC=7x；
因为：在平行四边形ABCD中AD∥BC
所以：∠DBC=∠ADB; ∠DAM=∠AMB;
所以：△AFD∽△MFB
所以：BF:FD=BM:AD=3x：7x=设BF=3a则FD=7a
所以：BF:BD=3a:10a=3:10
4、提示：先证明△ADB∽△AEC,得出AE:AD=AC:AB然后根据公共角∠A，运用两边对应成比例及夹角相等来证明结论。
【挑战自我】
1、方案1：另两边长分别为2.5；3
方案2：另两边长分别为1.6；2.4
方案3：另两边长分别为；
2.令一个三角形三边分别是4、5、x；另一三角形y、4、5然后，令他们相似。根据对应边成比例，求得x=25/4;y=16/5,检验能构成三角形，故符合条件。
§24.3.3相似三角形的性质
【一显身手】
1、 BC=20、 =18、=30；2、54；3、8，10；4、D；
5、C；6、相似比：甲：乙=5：2，面积比：甲：乙=25：4
7、9㎝
§24.3.4相似三角形的应用
二、（2）10m；三、略
四、（1）提示：证明△BGD∽△BCE,(2)提示：由ＢＤ·ＢＣ＝ＢＧ·ＢＥ及AD是斜边的中线，也是高线，可得出BA=BD，而ＢＤ·ＢＣ=2DB=BA故：BA=BG·BC可得到△BAG∽△BEA从而正的垂直关系。
【一显身手】
1、 A;2、D；3、B；4、AB=(5+)m
【深度探究】
五、 +=(提示：由△DEF∽△DAB可得=，由△BEF∽△BDC可得：=，而+=1，所以+=1即+=)
拓展：EF=EG(提示：===,所以EF=EG）
面积相等的三角形：△ABD与△ABC;△CDA与△CDB;△AEC与△BED;△GEC与△EFD;△AEG与△BEF
二、相似三角形略，结论：+=
提示：过A′作A′M∥B B′交CD于点M则构成梯形MA′CA,图形便于上题基本相同，也可以用其他方法。
§24．4 中位线
【一显身手】1、26；2、8；3、26；4、4；5、2；6、2（连结梯形对角线中点的线段等于上下低差的一半）
【拓展训练】
1、 提示：连结对角线，运用中位线定理；
等腰梯形——菱形 菱形——矩形
矩形——菱形 正方形——正方形
2、 略；3、2a
§24．5 画相似图形
【一显身手】
4、 D；2、D；3、18；4、略
【拓展训练】
提示：
如图：先在△ABC的边BC上作正方形DEFG，（过AB上任取一点G作GD⊥BC于点D，然后，以GD为边作正方形）然后连结并延长BF交AC于点I，过点I作IJ⊥BC于点J，然后，以IJ为边作正方形KIJH为所求。
需要进一步探讨的是：每一条边上都可以作出一个正方形，但是哪一个正方形面积最大呢？可以发现其边长等于所在底边与底边上的高的积除以二者的和，这样，要使边长大，可以是二者的和最小的即可，这样，经过计算实验（也可以推理论证）知，三边中其长度居于中间的边上的正方形面积最大。（注意思考探究等腰三角形）
§24、6．1用坐标确定位置
本节略（请小组内自行讨论确立答案）
§24.6.2图形的变换与坐标
【一显身手】
5、 （1）A（2,2），B（0,4），C（4,1），（2）A（3,1），B（1,3），C（5,0），（3）A（1,0），B（-1,2），C（3,-1）
6、 y=-x+1;y=-x-1;y=x-1;y=x-1
A(-2,3),B(-7,4),C(-8,5);A (8,3),B (13,4),C (14,5)
对称轴：x=3
图形的相似单元自我检测
一、D B C D C C B A A C A
二、19：13；14、30M；15、2400;16、28；17、4㎝；18、42、
19、18；20（2，2）
三、21、提示：计算公共角的两边成比例。
22、0.6m
23、提示：作平行四边形的对角线，过交点作垂线，利用梯形的中位线。
24、（1）的边长为；（2)的边长为，故（2）的边长长些。
提示：可以利用正方形的边长与所在直角三角形的一边之比加上边长与该边上高长之比的和等于1这一结论来计算。（可以利用三角形的性质来证明，可类比§24.3.4相似三角形的应用中关于小孔成像的结论证明方法。同时也是§24．5 画相似图形中拓展训练的特例。
第23章 图形的相似
§24.1 相似的图形
【学习目标】
1、 通过实例理解相似图形的概念；
2、 会识别相似图形，通过图形识别提高自己的观察能力；
3、 能按照要求画出相似的图形，会根据条件制作出相似的图形。
【学习重点】：相似图形的概念
【学习难点】：相似图形的识别与作图
【快乐学习】
1、 什么是全等图形：
2、 观察上述图形，写出你的发现：
3、 小组内交流你的发现。
你的补充：
4、 阅读课本第42页，然后快速写出你的答案：
（1）、什么是相似图形。
（2）、生活中还有那些相似图形，请举例并与同学交流补充：
5、 相似图形与全等图形的区别与联系是什么？
【一显身手】
1、 请把相似的图形连线：
2、观察下面的图形（a）～（g），其中哪些是与（1）、（2）、（3）相似的？
3.下列图形是不是相似图形：
所有的圆形；
所有的正方形；
所有的直角三角形 ；
平面镜中的图形与实际图形；
哈哈镜中的图形与实际图形；
放大镜下的图形与原来的图形
通过以上练习，请自己总结一下，你是如何判断两个图形形似，请写出来并与同学交流，自己补充完整。
【做小画家】
1、 请在课本上画一画“试一试”中的四边形。画完后请借助于测量工具，通过测量计算，请写出有前后两个图形的边长与内角度数的变化，并与同学交流。
2、 （★★★）请观察如下图形，看看有什么发现，你能否设计出一个类似的图案。
3、 请在课余时间里自己找一幅喜欢的画，在画上打上方格，把图画分成若干小方格，然后自己再放大（或缩小）一定的比例，画一个方格，然后在每一个方格内画出原图，这样可以自己画一幅放大（或缩小）的图画了。
4、 有条件的同学可以观察十字绣的制作过程，看看样品中的图怎样被放大（或缩小）绣出来的。
【反思小结】
总结本节最大的收获与存在的问题，写下来并与同学交流。
§24.2相似的图形性质（1）成比例线段
【学习目标】
1、 通过计算作图掌握概念：线段的比、成比例线段。
2、 掌握并会推导比例的性质。
3、 会用比例的性质进行解题。
【学习重点】
成比例线段、比例的性质
【学习难点】
比例性质的推导与应用。
【用心学习】
1、小学里已经学过了比例的有关知识，下面请同学们口答下列问题：
（1）若a与b的比值和c与d的比值相等，应记为： 。
（2）已知2：3＝4：x，则：x= 。
（3）比例的基本性质是什么？ 。
（4）地理中的比例尺是指什么？ 。
你自己还了解哪些关于比例的知识，写出来，与同学们交流。
2、 自主学习完成课本45页试一试与概括：填写下列空格：
（1）、“比例线段”的概念： 。
已知四条线段a、b、c、d,如果（或a:b=c:d），那么a、b、c、d叫做组成比例的 ，线段a、d叫做比例 ，线段b、c叫做比例 ，线段 叫做a、b、c第四比例项。
如果作为比例内项的是两条相同的线段，即（或a:b=b:c），那么线段b叫做线段a和c的 。
（2）“比例线段”和“线段的比”的区别
“比例线段”和“线段的比”这两个概念有什么区别？
结论：
（3）注意：概念的有序性
线段的比有顺序性，a:b和b:a通常是不相等的。
比例线段也有顺序性，如叫做线段a、b、c、d成比例，而不能说成是b、a、c、d成比例。第四比例项也有顺序性，如中，线段d叫做a、b、c的第四比例项，而不能说成“线段d叫做b、a、c的第四比例项”。
【自主探究训练】
判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段：
（1）a＝4，b＝6，c＝5，d＝10；
（2）a＝2，b＝，c＝，d＝．
解：
把（1）题中a、b、c、d调换位置可以得到几种情况？哪些情形是成比例线段。成比例线段在大小排序上有何规律？给你四个数据怎样最快的获取成比例线段排序的最大可能性？
总结：如何判断成比例线段，说出你的方法并交流。
完成课本练习1.
补充练习：
1、已知m、n、p、q是成比例线段，其中m=2cm，n=6cm，q=27cm，则p=_______cm.
2、（★★）已知三个数1，2、，请你再添一个数，使它们构成的四个数成比例关系。
通过以上练习你能得出哪些结论，请自己先写出来，再交流。
自主完成下列结论：
（1）、比例的基本性质
如果（或a:b=c:d），那么ad=bc,即比例的两外项的积等于两内项的积，那么如何证明呢？
证明：
试说出这个性质的逆命题，它是真命题吗？如何证明？
如果a:b=c:d中的两个比例内项相等，即当a:b=b:c时，又可以得到什么结论呢？
（2）合比性质
刚才我们用等式的性质证明了比例的基本性质，如果我们继续用等式的性质，能否得到比例的其它性质呢？比如：在比例式的两边都加上1，会得到什么结果呢？
如果两边都减1呢？
合比性质：如果，那么 ．
（3）等比性质
试猜想（），与相等吗？能否证明你的猜想？
等比性质：如果（），那么＝．
等比性质中，为什么要这个条件？
（4）．练习：从ad=bc，可以得到哪些比例？（小组讨论）
以上环节主要用了哪些知识点与方法：
【过关题目】
完成下列问题，你便可以顺利通过本关的学习了，加油啊。
1.若m是2、3、8的第四比例项，则m＝ ；
2．若x是a、b的比例中项，且a＝3，b＝27，则x＝ ；
若线段x是线段a、b的比例中项，且a＝3，b＝27，则x＝ ；
3．若a:b:c=2:3:7,且a＋b＋c=36,则a= ； b= ； c= 。
下面的题目有一定的难度，你能解决吗？相信聪明的你会成功的：
4、（★★）已知，b+d+f≠0,求 的值。
5、（★★★）已知 ，且x+y-z=,求x、y、z的值。
【反思小结】
总结本节的收获与存在的问题，并交流。
§24.2相似的图形性质（2）相似图形的性质
【学习目标】
1、 通过自己动手操作猜想验证相似多边形的性质。
2、 运用逆向思维猜想形似多边形的判定方法。
3、 了解黄金分割
【学习重点】
相似多边形的性质
【学习难点】
相似多边形性质的应用。
【动手探究】
用直尺和量角器自己动手完成课本47、48页内容。并写出你的猜想：
【思考总结】
1、 相似多边形有哪些性质？具备这些性质的多边形形似吗？图形的性质与判定有何联系？自己思考一下，然后小组内交流。（可以参照课本49页内容）
2、 将以上结论特殊化：
（1） 对于两个相似的三角形有何性质？
（2） 如何判断两个三角形相似？
（3） 对于等腰三角形、等边三角形、直角三角形、等腰直角三角形，以上结论又有何变化？
（有兴趣的同学可以快速翻阅教材后面的内容，把以上问题的主要结论写下来，并与自己的结论对比，同时，结合本环节的学习，总结如何运用逆向思维、特殊化思想来探究学习。）
【一显身手】
1、下列命题中正确的是（ ）
A:相似多边形是全等多边形 B:不全等的图形不是相似图形
C:全等多边形是相似多边形 D:不相似的图形可能是全等图形
2、下列说法正确的是（ ）
①所有的梯形都相似 ；②所有的等边三角形都相似 ；③所有的直角三角形都相似；④所有的等腰直角三角形都相似。
A: ①② B: ②③ C: ③④ D: ②④
3、两个相似多边形的最长边分别是10cm 和20cm，其中一个多边形的最短边为5cm ,则另一个多边形的最短边长为__________.
4、如果多边形ABCDEF与多边形ABCDEF相似，且∠A=68,则∠A=_______
5、如图1，点E、F分别在矩形ABCD的边AD、BC上，EF∥AB，AB=6，AD=8，矩形BFEA∽矩形ABCD，则AE=________.
图1 图2
6、上图2所示的相似四边形中，求未知边x,y的长度和角ａ的大小。
7、（★★★）做甲、乙两个形状相同（相似）的三角形框架，已知三角形框架甲的三边分别为50cm，60cm,80cm，三角形框架乙的一边长为20cm,符合条件的三角形框架共有（ ）种。
A: 1 B: 2 C: 3 D: 4
【深入学习】
自己阅读课本52页材料：黄金分割。并阅读以下材料：
黄金分割是古希腊哲学家毕达哥拉斯发现。一天，毕达哥拉斯从一家铁匠铺路过，被铺子中那有节奏的叮叮当当的打铁声所吸引，便站在那里仔细聆听，似乎这声音中隐匿着什么秘密。他走进作坊，拿出一把尺量了一下铁锤和铁砧的尺寸，发现它们之间存在着一种十分和谐的关系。回到家里，毕达哥拉斯拿出一根线，想将它分为两段。怎样分才最好呢？经过反复比较，他最后确定1：0.618的比例截断最优美。后来，德国的美学家泽辛把这一比例称为黄金分割律。这个规律的意思是，较大部分与整体这个比等于较小部分与较大部分之比。无论什么物体、图形，只要它各部分的关系都与这种分割法相符，这类物体、图形就能给人最悦目、最美的印象。
黄金分割的定义：将一条线段AB分割成大小两条线段（AP﹥PB）,若较短线段与较长线段的长度之比等于较长线段与整条线段之比，即PB:AP＝AP:AB（此时线段AP叫做线段PB、AB比例中项），则可得出这一比值等于≈0.618….这种分割称为黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点。
（请你根据上面的叙述，通过列方程、解方程说明近似数0.618是如何得出来的。）
如何记住黄金的近似比值：只要记住一句话：“见糖留一把”即可。（解读：唐朝建立的时间是公元618年，而黄金比的近似值是0.618可算是一个巧合，所以将建唐618年谐音即可得到“见糖留一把”，这样不仅记住了数学知识，还记住了历史知识。）
据有关测定，当气温处于人体正常体温（36 ℃ ~37℃)的黄金比值时，人体感到最舒适。因此夏天使用空调时室内温度调到什么温度最适合？
36℃×0.618=22.3 ℃ 37℃×0.618=22.8 ℃ 22.3 ℃~22.8℃
伟大的数学家华罗庚曾致力于推广“0.618优选法”，把黄金分割原理应用于生产、生活实际以及科学实验中，为国家节约了大量的人力和能源。（有条件的同学可以通过网络学习更多的相关知识和例子）
自己了解关于黄金矩形、黄金三角形的知识并在同学之间交流。
看看能否解决如下问题：
1、（★★）已知线段AB=a，点C是线段AB的黄金分割点，AC﹥BC,则AC=___________
2、根据科学分析，舞台上的主持人应站在舞台前沿的黄金分割点，视觉和音响效果最好。已知学校礼堂舞台前沿宽20米，问举行文娱汇演时主持人应站在何处？(精确到0.1米)
【反思小结】
总结本节的收获与存在的问题，并交流。
课余时间自己搜集相关黄金比的知识，并与同学交流。
§24.3.1 相似三角形
【学习目标】
1、 掌握相似三角形的有关概念及表示方法；
2、 能够熟练地找出相似三角形的对应角和对应边；
3、 了解相似三角形与全等三角形的关系。
【学习重、难点】
相似三角形的表示方法以及找出对应边、角。
【快乐学习】
1、 快速回答：
什么是全等三角形，全等三角形的对应边、对应角有什么关系？
什么是相似多边形，相似多边形的对应边与对应角之间有什么关系？
什么是相似多边形的相似比？
根据以上回答，猜想：什么是相似三角形？相似三角形的对应边、对应角有什么关系？什么是相似三角形的相似比？
2、 根据以上回答：阅读课本完成课本做一做，并修正你的猜想。
3、 思考：如何表示相似三角形，书写时对应顶点应注意什么？
4、 完成课本练习。
自己先独立思考解答，然后小组内交流讨论：
【一显身手】
1、 如果△ADE∽△ABC，那么哪些角是对应角？哪些边是对应边？对应角有什么关系？对应边呢？
2、 有一块呈三角形形状的草坪，其中一边的长是20m，在这个草坪的图纸上，这条边长5cm，其他两边的长都是3.5cm，求该草坪其他两边的实际长度。
3、 如果两个三角形的相似比为1，那么这两个三角形_____
4、 若△ABC的三条边长的比为3cm、5cm、6cm,与其相似的另一个△A′B′C′的最小边长为12 cm，那么△A′B′C′的最大边长是_____
5、 （★）若△ABC∽△DEF,它们的周长分别为6 cm和8 cm，那么下式中一定成立的是（ ）
A.3AB=4DE B.4AC=3DE
C.3∠A=4∠D D.4（AB+BC+AC）=3（DE+EF+DF）
6、 若△ABC与△A′B′C′相似，∠A=55°,∠B=100°，那么∠C’的度数是（ ）
A.55° B.100° C.25° D.不能确定
【反思小结】
总结本节的收获与存在的问题，并交流。
补充：相似符号的由来：十六世纪法国数学家维叶特用"="表示两个量的差别。可是英国牛津大学数学、修辞学教授列考尔德觉得：用两条平行而又相等的直线来表示两数相等是最合适不过的了，于是等于符号"="就从1540年开始使用起来。 1591年，法国数学家韦达在菱形中大量使用这个符号，才逐渐为人们接受。十七世纪德国莱布尼茨广泛使用了"="号，他还在几何学中用"∽"表示相似，用"≌"表示全等。
§24.3.2相似三角形的判定（1）
【学习目标】
1、 掌握两个三角形相似的判定方法。
2、 会用所学方法判定两个三角形是否相似。
【学习重点】：
三角形相似的判定方法。
【学习难点】：
三角形相似判定方法的运用
【快乐学习】：
一、 看看谁做得最好：
1、 判定两个多边形相似的方法是：
2、 由上题你认为判断两个三角形相似的方法是：
3、 列举出你所学到的判定两个三角形全等的判定方法：
4、 类比三角形全等与相似的相同与不同点，自己猜想如何判定两个三角形形似：
5、 在小组内交流所得出的结论，然后探究一下如何验证得出的结论正确性。（建议：可以小组内同学之间的作图、测量计算的方法来验证）并写出你的收获。
二、 阅读课本第55页至第59页（不包括例题）部分内容，通过思考探究。对比以上你得出的结论。有何收获？
三、 对于一些特殊的三角形，有何判定方法？写出你的结论和理由。
【挑战自我】：
1、 请你判断对错：
（1）、有一对角相等的三角形一定相似。 （ ）
（2）、有一对锐角相等的两个直角三角形一定相似.（ ）
（3）、有一个角等于100°的两个等腰三角形相似。（ ）
（4）、有一个角等于30°的两个等腰三角形相似。 （ ）
（5）、有一对角相等的两个等腰三角形一定相似。 （ ）
2、已知，如图1要△ABC∽△ACD，需要条件 ；
3、已知，如图2要使△ABE∽△ACD，需要条件 ；
图1 图2
【深度学习】：你会证明三角形形似的判定定理吗？
1、 阅读课本65页。关于相似三角形与全等三角形的材料，思考，材料是如何通过三角形全等的知识与面积的知识来证明三角形相似的判定定理的？
2、 结合课本54页做一做你所得到的结论，能否自己找出一个证明三角形相似的判定定理的方法。
【总结反思】
今天你有什么收获？
新知的获得采用了什么方法？
你还有困难与困惑吗？
§24.3.2相似三角形的判定（2）
【学习目标】
通过自学例题与练习，掌握并会应用相似三角形的判定定理
【学习重点】
如何进行解题后的反思？
【学习难点】
三角形相似的判定定理的运用。
【快乐学习】
一、自己学习课本56页至59页例题1~4，学习中注意几个方面：
1、先自己动手做，然后对比课本做法。并关注与课本的不同之处。
2、每一个例题主要用了哪些知识点？
3、将四个例题进行对比分类？
4、步骤的书写应注意什么？
5、与同学交流你的收获把你感受最深的写下了：
二、自主练习：
1、请找出图中所有的相似三角形，并选一对相似三角形加以证明。
反思总结：
_
C
_
E
_
B
_
D
_
A
2、如图所示，△ABC中，DE∥BC.AD=3cm,BD=2cm,BC=4cm,求DE的长。
反思总结：
3. （★★★）如图，四边形ABCD是平行四边形，M是BC上一点，且BM:MC=3:4,连接AM交BD于F,求BF:BD的值。
4、（★★★★）已知△ABC中，如图所示，∠A=60°，BD、CE 是△ABC 的两条高，求证:△ADE∽△ABC.
反思总结：
【挑战自我】（以下两个题目，可以证明你的数学水平的高低，可以课外完成）
1、（★★★★）要做两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边的长分别为4、5、6，另一个三角形框架的一边长为2，请你想一想应该怎样选择材料可使这两个三角形相似？你选的材料唯一吗？
2、（★★★★★）你能否利用三角形全等与相似的知识设计2个三角形，这两个三角形在关于三个角、三条边的六个元素中，其中有5个元素相等（非对应）,但是这两个三角形却不全等。设计出你的两个三角形，并说明设计理由。
【总结反思】
今天你有什么收获？
你提出了什么问题？发现了什么？
你还有困难与困惑吗？
对于老师的教学，你有何建议？
§24.3.3相似三角形的性质
【学习目标】
1.探索相似三角形的性质；
2.利用相似三角形的性质解决实际问题。
【学习重点】
相似三角形的性质及应用.
【学习难点】
相似三角形周长比、面积比与相似比的关系的推导及运用.
【快乐学习】
1、所有的正方形都相似吗？______.
若正方形ABCD边长为1周长为____,面积为_____ .
若边长增大一倍,变为2. 周长为____,面积为_____.
若边长,变为3. 周长为____,面积为_____ .
若边长,变为N. 周长为____,面积为_____.
通过填空你发现了什么？_______________________________.
2、什么是相似三角形的相似比？两个相似的三角形有哪些性质？
3、三角形除了边、角之外还有哪些要素？对于两个相似的三角形，以上要素与三角形的相似比有何关系？写出你的猜想？
4、所有的等腰直角三角形都相似吗？观察手中的大小不同的等腰直角三角形三角板，并测量其边长，测量或计算斜边上的高、中线、直角顶角的角平分线以及三角形的周长、面积。与同伴交流你的发现。_______________________________.
5、如何验证或者证明结论的正确性呢？验证可以采用作图、测量计算的方法，但是这一方法具有一定的局限性。那么在数学中最有效的方法便是通过逻辑推理来证明结论的正确性。
以小组为单位，组长分任务完成如下命题的证明（每名同学至少完成一个命题的证明）
（1）相似三角形对应边上的对应高的比等于相似比；
（2）相似三角形对应边上的对应中线的比等于相似比；
（3）相似三角形对应角上的对应角平分线的比等于相似比；
（4）相似三角形的周长的比等于相似比；
（5）相似三角形的面积的比等于相似比的平方。
小组交流并阅读教材，对比课本相应的证明方法，在课本空白处补充好结论以及证明。并写出你的收获。
【一显身手】
1、已知如图， ∽ ，它们的周长分别是60cm和72cm，且AB=15cm， 求BC、 、 ．
2、△ABC中，BC=54cm，CA=45cm，AB=63cm，另一个与它相似的三角形的最短边为15cm，则周长为_______________。
3、如果两个相似三角形的对应边的比是4：5，周长的和为18cm，那么这两个三角形的周长分别为_______________。
4、（★）△ABC 中DE∥BC，DE把△ABC的面积分成相等的两部分，那么DE：BC等于（ ）
A、1：2 B、1：4 C、2： D、：2
5、（★★★）梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，若S△AOD:S△ACD=1：3，则S△AOD:S△BOC等于（ ）
A、1：6 B、1：3 C、1：4 D、1：
6、（★★）有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1：200和1：500，求甲地图与乙地图的相似比和面积比．
7、（★★★）如图，在△ABC中，ED∥BC，且ED=BC=2cm，△AED的周长为10cm，求梯形BCED的周长。
【反思总结】
本节你有什么收获？
你提出了什么问题？发现了什么？
你还有困难与困惑吗？
对于老师的教学，你有何建议？
§24.3.4相似三角形的应用
【学习目标】
一、 学习利用三角形相似的知识进行实际测量。
二、 会用三角形相似进行一些等积式的证明
三、 会综合运用三角形相似的知识解决实际问题
【学习重点】
如何探寻三角形相似的条件
【学习难点】
如何运用相似三角形的知识解决问题
【快乐学习】
一、思考：
如何知道学校的国旗旗杆的高度？请写出你的测量或者计算方法：
二、 快速阅读课本62页例6思考：
本题主要用了哪个知识点来解决问题？
在这里我们所指的太阳光是平行光线，请完成下面的问题：
已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱.AB=5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=3m.
（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影；
（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6m，请你计算DE的长.
A
E
D
C
B
三、 阅读课本例7，总结本题中的主要测量方法：
完成下列问题：
如图，有一河流。请你设计一个方案测量这条河流的宽度。
（1）、写出方案，画出示意图；
（2）、指出要测量的线段，并用字母表示；
（3）、根据测量的数据求出河的宽度。
四、 自学课本例8总结证明一些类似的等积式的主要思路和方法：并与同学交流：
Ｄ
Ｂ
Ａ
Ｅ
Ｆ
Ｃ
Ｇ
先自己思考，然后小组讨论解决下列问题：
如图，在Ｒt△ABC中，∠ＢＡＣ＝９０°，
ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ为ＢＣ的中点，Ｅ为ＡＣ
上一点，点Ｇ在ＢＥ上，连结ＤＧ并延长
交ＡＥ于Ｆ，若∠ＦＧＥ＝４５°。
求证：(1)ＢＤ·ＢＣ＝ＢＧ·ＢＥ；
(2) （★★★）ＡＧ⊥ＢＥ；
【一显身手】
1、一根1.5米长的标杆直立在水平地面上,它在阳光下的影长为2.1米；此时一棵水杉树的影长为10.5米,这棵水杉树高为 ( )
A.7.5米 B.8米 C.14.7米 D.15.75米
2、晚上，小华出去散步，在经过一盏路灯时，他发现自己的身影是 （ ）
A.变长 B.变短 C.先变长后变短 D.先变短后变长
E
B
C
A
D
3、如图,小东设计两个直角来测量河宽DE,
他量得AD=2m,BD=3m,CE=9m,
则河宽DE为 ( )
(A).5m (B).4m (c).6m (D).8m
4、（★★）小明在某一时刻测得1m的杆子在阳光下的影子长为2m,他想测量电线杆AB的高度,但其影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上,量得CD=2m,BC=10m,CD与地面成45°,求电线杆的高度.
B
C
F
A
D
E
【深度探究】（可用课余时间）（★★★★）
一、（★★★★★）如图：是小孔成像图：下图中存在三角形形似吗？
A
B
C
F
E
D
图1 图2
如图2：AB为物体的高度，EF为小孔的高度，CD为倒立的像的高度？（移动屏幕，使得B、F、D在同一条直线上）你能得出并证明三者之间的关系吗？（提示：AB∥EF∥CD，利用三角形相似）
A
B
C
F
E
D
G
拓展：如图：在梯形ABDC中GF是过对角线交点且平行于底的线段，请问：EF与EG的大小关系并说明理由？图中有哪些面积相等的三角形？
二、透镜成像原理：（★★★★★）
如图：是凸透镜成像的示意图：AB是实物,A′B′是AB成的像，图中AB、CD、A′B′都是平行的，且垂直于B B′,图中有哪些相似的三角形？其中物距OB、像距O B′与焦距0F有与上题类似的结论，你能运用三角形相似的知识证明吗？比较一、二中的证明方法的异同？你有什么收获？
C
D
【反思总结】
本节你有什么收获？
你提出了什么问题？发现了什么？
你还有困难与困惑吗？
§24．4 中位线
【学习目标】
1、 掌握三角形的中位线和梯形中位线的概念和定理，
2、 了解三角形的重心及三角形重心的性质。
【学习重点】
三角形中位线定理和梯形中位线定理的理解与应用。
【学习难点】
三角形中位线定理和梯形中位线定理的证明，以及如何恰当地添加中位线辅助解题。
【快乐学习】
环节一：探究发现：
问题．怎样将一张三角形纸片剪成两部分，使分成的两部分能拼成一个平行四边形？
提示操作：
（1）剪一个三角形，记为△ABC
（2）分别取AB,AC中点D,E，连接DE
（3）沿DE将△ABC剪成两部分，并将△ABC绕点E旋转180°，得四边形BCFD
思考：四边形ABCD是平行四边形吗？那么ＤＥ与ＢＣ有什么位置和数量关系呢？写出你的结论。
如下图：ΔABC中，点D、E是AB与AC的中点，结合上面的操作与你的发现，证明你的结论：（尽可能多的方法）
阅读课本67~68页，自己总结并在小组内交流：
１、 总结不同的证明方法，主要用了哪些知识点？
２、 用符号及文字表达三角形中位线定理的内容。
３、 三角形中位线定理的作用。
4、结合例1、例2思考：
（1）、三角形的中线与中位线的区别与联系？
（2）、三角形的中线有何性质？
（3）、三角形的三个顶点、三个三边中点，这六个点中，任选四个点最多可以构成多少个平行四边形？作图说明：
环节二：自己剪一个密度均匀的纸板三角形（或者一个厚度大些的纸张也可以）结合学习课本69页拓展部分内容以及上述环节的学习，验证三角形的重心及其定义和性质。
环节三：自学课本69~60页关于梯形中位线的知识，完成下列问题：
（1）梯形中位线的内容（文字与符号语言）及作用是什么？
（2）自己写出梯形中位线性质的证明，并总结辅助线的作法。
(3)梯形中位线定理与三角形中位线定理有何关系？
(4)梯形面积公式的求法？
【一显身手】
1、已知三角形的三条中位线分别为3厘米、4厘米、6厘米，则这个三角形的周长为 。
2、已知等腰梯形的腰长与中位线相等，周长为32厘米，则腰长为
3、（★★★）在梯形ABCD中，AB∥CD。CD
5、在△ABC中，∠A=∠B=45，AB=12，则△ABC的重心到AB的距离是（ ）
6、（★★★）已知，在梯形ABCD中，AD∥BC,AD=4,BC=8,E、F分别是对角线BD、 AC的中点。EF长为( )。(用文字总结结论)
【拓展训练】（共有余力的同学选作）
1、（★★）证明：顺次连结四边形各边中点所得四边形是平行四边形。
把上述问题中的四边形改为等腰梯形、菱形、矩形、正方形结论又是如何？
2、（★★★★）结合图形分析三角形中位线定理：
（1） 定理的已知条件有几个；结论有哪些？用符号语言写出来：
（2） 将上述条件与结论重新搭配，可以得到几个命题？猜想、验证或者证明命题的真假？由此你可以得到几种中位线的识别方法？
3、（★★★）如右图：在△ABC中，BC=a,B1,B2,B3,B4是AB边的五等分点，C1,C2,C3,C4是AC边的五等分点，则B1C1+B2C2+B3C3+B4C4= 。
【反思总结】
本节你有什么收获？
你提出了什么问题？发现了什么？
你还有困难与困惑吗？
§24．5 画相似图形
【学习目标】：
1、了解位似，位似中心的概念
2、会利用位似法画相似图形
【学习重、难点】：
本节的重点是位似的概念，以及利用位似关系画相似图形，难点是对两个图形位似关系的判断。
【快乐学习】
阅读课本71~72页的内容，按照课本上的的画图步骤，把多边形ABCDE放大到1.5倍 。
思考：
1、两图形中对应边有何关系？对应角呢?这两个多边形相似吗？相似比是多少?为什么？
2、什么是位似？位似中心？位似比？
3、反思：
（1）位似由哪些因素决定？
（2）位似变换后所得到的图形与原图形的关系如何？
（3）观察课本上三个图，探索位似中心的位置及如何选择位似中心。
4.总结画相似图形的步骤。
注意：⑴位似图形的概念中包含三个内容：
①位似图形是针对两个图形而言的
②位似图形是相似图形
③位似图形的每组对应点所在的直线都必须经过同一点.
⑵ 位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必构成位似关系。
【一显身手】
1、下列命题正确的是（ ）
A． 全等图形一定是位似图形
B． 相似图形一定是位似图形
C． 相似图形一定是全等图形
D． 位似图形是具有某种特殊位置的相似图形。
2、画一个多边形的位似图形，位似中心可选在已知多边形的（ ）
A:内部 B:外部 C: 边上（包括顶点处） D:任意位置
3、已知△ABC与△A′B′C′是位似图形，点O为位似中心，若AO=8cm，相似比为4：9，则A′O=______
4、取A为位似中心，将任意△ABC扩大2倍.
【拓展训练】（★★★★★）
如何在△ABC中裁出一个最大的正方形，画出图形，并简要说明理由。(提示：1、可以运用位似的知识设计作图；2、注意边的选择)
【反思总结】
本节你有什么收获？
你提出了什么问题？发现了什么？
你还有困难与困惑吗？
对于老师的教学，你有何建议？
§24、6．1用坐标确定位置
【学习目标】：
1、知道在平面内，确定点的位置一般需要两个数据；
2、掌握运用直角坐标系和方位坐标的方法来描述物体的位置。
【教学重点】：
建立平面直角坐标系用直角坐标和方位坐标确定物体的位置。
【教学难点】：
建立恰当的坐标系确定物体的位置。
【快乐学习】
一、学前热身；
1、什么是平面直角坐标系?建立了平面直角坐标系以后,平面的点可以用什么来描述?
2、画一个直角坐标系,并描出点A( 1 , 2),B (-3 , 5)
C(0 , 3)
3、某电影院大厅设有42排，每排32个座位．
（1）你将如何找到电影票上所指的位置？
（2）在电影票上，“5排2号”和“2排5号”中的“5”的含义有什么不同？
（3）如果将“5排2号”记作（5，2），那么“2排5号”如何表示？（8，3）表示什么意思？
4、地球仪中是如何通过经纬度来确定位置的？
5、你有什么好的确定位置的方法？
二、自学教材，完成课本上提出的问题与操作。并思考：
本节课主要介绍了哪两种确定地理位置的方法？是如何确定的？
参考：（1）用直角坐标系中的点来确定位置：建立合适的直角坐标系，然后用一对有序实数来表示位置。
（2）、用角度和距离确定点的位置：选择观测点为坐标原点，建立直角坐标系，令x轴的正方向为东向，y轴的正方向为北向，再由已知的角度确定被观测点所在的方向，由距离确定其点的位置，这是一种用“极坐标”来确定物体位置的方法，这种方法在军事和地理中经常用到。方向角是以南北方向为准向两边偏，即“北偏东××度”，“北偏西××度”，“南偏东××度”，“南偏西××度”。方向角的取值范围是“0≤≤90”。
【一显身手】：完成课本76页练习
【拓展训练】：
１、 （★★★）下图是一个中国棋盘，你能结合棋盘读懂棋谱吗？棋子最终结果位置如何？你听说过不用象棋和棋盘的对弈者吗？他们是如何通过语言来下棋的？
车二进四
车3退2
炮七退三
车6进1
２、 （★★★）小游戏：请同学们按照行、列来确立自己在班级所处位置的坐标，然后请横、纵坐标相等的同学站起来，请问：站立的同学位置有何规律？若（1，1）位置的同学为原点，则位置（4，4）如何用角度和距离的方法确定位置？哪些同学能够马上说出自己位置的两种表示方法？
【反思总结】
本节你有什么收获？
你提出了什么问题？发现了什么？
你还有困难与困惑吗？
对于老师的教学，你有何建议？
【阅读材料】：
GPS定位系统
GPS（Global Positioning System）即全球定位系统，是由美国建立的一个卫星导航定位系统，利用该系统，用户可以在全球范围内实现全天候、连续、实时的三维导航定位和测速；另外，利用该系统，用户还能够进行高精度的时间传递和高精度的精密定位。
GPS计划始于1973年 ，已于1994年进入完全运行状态。GPS的整个系统由空间部分、地面控制部分和用户部分所组成：
空间部分；太空部分
GPS的空间部分是由24颗GPS工作卫星所组成，这些GPS工作卫星共同组成了GPS卫星星座，其中21颗为可用于导航的卫星，3颗为活动的备用卫星。这24颗卫星分布在6个倾角为55°的轨道上绕地球运行。卫星的运行周期约为12恒星时。每颗GPS工作卫星都发出用于导航定位的信号。GPS用户正是利用这些信号来进行工作的。
控制部分：
GPS的控制部分由分布在全球的由若干个跟踪站所组成的监控系统所构成，根据其作用的不同，这些跟踪站又被分为主控站、监控站和注入站。主控站有一个，位于美国克罗拉多（Colorado）的法尔孔（Falcon）空军基地，它的作用是根据各监控站对GPS的观测数据，计算出卫星的星历和卫星钟的改正参数等，并将这些数据通过注入站注入到卫星中去；同时，它还对卫星进行控制，向卫星发布指令，当工作卫星出现故障时，调度备用卫星，替代失效的工作卫星工作；另外，主控站也具有监控站的功能。监控站有五个，除了主控站外，其它四个分别位于夏威夷（Hawaii）、阿松森群岛（Ascencion）、迭哥伽西亚（Diego Garcia）、卡瓦加兰（Kwajalein），监控站的作用是接收卫星信号，监测卫星的工作状态；注入站有三个，它们分别位于阿松森群岛（Ascencion）、迭哥伽西亚（Diego Garcia）、卡瓦加兰（Kwajalein），注入站的作用是将主控站计算出的卫星星历和卫星钟的改正数等注入到卫星中去。
用户部分：地面接收
GPS的用户部分由GPS接收机、数据处理软件及相应的用户设备如计算机气象仪器等所组成。它的作用是接收GPS卫星所发出的信号，利用这些信号进行导航定位等工作。 以上这三个部分共同组成了一个完整的GPS系统。
§24.6.2图形的变换与坐标
【学习目标】：
1、知道在平面内，确定点的位置一般需要两个数据；
2、掌握运用直角坐标系和方位坐标的方法来描述物体的位置。
【教学重点】：
建立平面直角坐标系用直角坐标和方位坐标确定物体的位置。
【教学难点】：如何确立变换后图像的相应坐标点的坐标。
【快乐学习】
一、想一想：我们初中主要学习了哪些图形的变换，其中哪些图形在变换前后是全等的？哪些是相似的？分别有哪些主要特征？
二、阅读课本76页例题：并完成下列问题：
图形的平移：
向右平移a(a>0)个单位后坐标为
点A（x，y） （ ）
向左平移a(a>0)个单位后坐标为
点A（x，y） （ ）
向上平移a(a>0)个单位后坐标为
点A（x，y） （ ）
向下平移a(a>0)个单位后坐标为
点A（x，y） （ ）
用文字写出体现上述变化的规律：
拓展学习：
自己随便写一个直线的解析式然后在直线上任取2点，将这两点分别向右平移1个单位，再向下平移2个单位，写出对应坐标并求出经过平移后的两点的直线的解析式。
小组内整理一下不同直线对应的解析式的变化，你能发现一条直线平移前后的变化规律吗？（我们可以称这种方法为取特殊点法）
提示：左右平移应将变量x本身进行加减（注意：左加右减）相应的平移单位；上下平移应将变量y本身进行加减（注意：下加上减）相应的平移单位；最后整理成一般形式即可。这个规律适应所有的函数图像。你能举例说明吗？
三、 学习课本77页“思考”，并完成“试一试”，然后完成下列问题：
图形的对称：
关于y轴对称
点A（x，y） （ ）
关于x轴对称
点A（x，y） （ ）
关于原点o中心对称
点A（x，y） （ ）
文字总结上述规律：
拓展：你能用上述平移中的“取特殊点”法发现函数图像分别关于x轴、y轴、原点对称的规律吗？（可以以直线为例）写出你的发现过程：
（提示：与点的变换规律类似）
四、 学习课本78页“思考”，之后小结将图形因某一中心进行放大或缩小后各顶点坐标的变化。位似比为1：2的两个位似图形。
【一显身手】：
1、已知△ABC各顶点的坐标为A（2,1），B（0,3），C（4,0）
（1）把△ABC向上平移一个单位，所得三角形三个顶点坐标为___________ ____
（2）把△ABC向右平移一个单位，所得三角形三个顶点坐标为___________ ___
（3）把△ABC先向下平移一个单位，再向左平移一个单位，所得三角形三个顶点坐标为______________
2、（★★★）若已知点M(-1,0),点N(0,1)，则直线MN与y轴对称的直线解析式是__________,与x轴对称的直线解析式是__________,关于原点成中心对称的直线的解析式是： 将直线MN向右平移1个单位，然后向下平移一个单位，所得到的直线的解析式是：
3、（★★）在平面直角坐标系中A(2,3); B(7,4);C(8,5)
（1）作出△ABC关于y轴对称的△ABC，并写出△ABC各顶点的坐标；
（2）将△ABC向右平移6个单位，作出平移后的△ABC，并写出△ABC各顶点的坐标；
（3）观察△ABC和△ABC，它们是否关于某直线对称？若是，请在图上画出这条对称轴。
【反思总结】
本节你有什么收获？
你提出了什么问题？发现了什么？
你还有困难与困惑吗？
对于老师的教学，你有何建议？
§24.7复习课
【复习目标】
1．能理清本章的知识及其联系，画出知识结构图。
2．会运用相似三角形的识别方法、性质进行有关问题的简单的说理或计算，提高解决实际问题的能力，培养应用数学知识的意识。
3．能用坐标来表示物体的位置，感受点的坐标由于图形的变化而相应地也发生变化，体会到数与形之间的关系。
4、通过复习，形成知识体系，整体把握本章内容。
【复习过程】
１、 结合目录，阅读课本，理清本章知识，自己画出知识结构图。（可参考课本单元小结）然后同学之间交流修正。
2、快速浏览本章中所有例题、证明、绘图，分类整理各类题型与方法，然后与同学之间进行交流修正。
3、（★★★★）课外结合上述两个环节，自己出一份测试题，题目多少、形式不限，但是尽可能的考察到本章所学的知识点，尽可能的联系生活实际。然后小组内交换做题，看看谁出的题目最好。
图形的相似单元自我检测
一、选择题
1、两个相似三角形的面积比为 4：9，周长和是20 cm，则这两个三角形的周长分别是（ ）
A、8cm和12cm B、 7cm和13cm C、9cm和11cm D、4cm和16cm
2、如图 1，已知 DE//BC，且，那么ADE与ABC的面积比等于（ ）
A、2：5 B、2：3 C、4：9 D、4：25
3、如图2，ABC∽ADB，下列关系成立的是（ ）
A、ADB=ACB B、ADB=ABC
C、CDB=CAB D、ABC=BDC
4、如图3，已知ABC中，DE//FG//BC，且AD：DF：FB=1：2：3，则等于（ ）
A、1：9：36 B、1：4：9 C、1：8：27 D、1：8：36
5、下列说法中，正确的是（ ）
A、所有的等腰三角形都相似 B、所有的菱形都相似
C、所有的矩形都相似 D、所有的等腰直角三角形都相似
6、小明在华联超市的北偏西30方向上，则华联超市在小明的（ ）
A: 北偏西30 B:南偏东60 C: 南偏东30 D: 北偏西60
7、若两个相似三角形的面积之比为2：3，则它们对应角的平分线之比为。（ ）
A、 B、 C、 D、
8、用一个3倍放大镜照一个ABC，下面说法中正确的是（ ）
A、ABC放大后，A是原来的3倍
B、ABC放大后，周长是原来的3倍
C、ABC放大后，面积是原来的3倍
D、 以上都不对
9、四边形ABCD与四边形ABCD位似，O为位似中心，若OA : O A = 1：3，则S:S=( )
A: 1:9 B: 1:3 C: 1:4 D: 1:5
10、如图4，，CDAB于D，DEBC于E，则与RtCDE相似的直角三角形共有（ ）
A、4个 B、3个 C、 2个 D、1个
11、如图5，ABC中，BD、CE是高，且BD、CE交于F点，则图中与AEC相似（不包括其本身）的三角形个数是 ( )
A、1 B、2 C、3 D、4
12、如图6，在ABC中，M是BC边的中点，AD是∠A的平分线，BD⊥AD于D，AB=12,AC=18,则MD的长为( )
A、3 B、4 C、5 D、6
二、填空题，
13、已知，则
14、同一时刻，一竿高为2 m，影长为 1.2 m，某塔的影长为 18 m，则塔高为_____.
15、在比例尺为1：4 00O的平面图上，量得某学校的校园的周长是，则此学校校园的实际周长是_____米．
16、一个多边形的边长依次为l、2、3、4、5、6，与它相似的另一个多边形的最大边长为8，那么另一个多边形的周长是_____．
17、梯形的面积为12cm，高为3cm，则梯形的中位线为__________.
18、ABC中，G是的重心，且AG=12，GC=6，BG=10.则三中线的和为_______
19、若三角形的三边，且，则此三角形的周长为_____．
20、点P（-2，2）沿x轴的正方向平移4个单位得到点P的坐标为__________.
三、解答题
21、如图：△ABC中，∠B=90，点D、E在BC上，且AB=BD =DE =EC，求证：△ADE ∽ △CDA
22、如图，一油桶高1m，桶内有油，一根木棒长1.2m，从桶盖的小口处斜插入桶内，一端插到桶底，另一端到小口，抽出木棒量得棒上未浸油部分长0.48m.求桶内油面的高度。
23、已知,如图，EF是平行四边形ABCD外的一条直线，AA,BB,CC,DD都垂直于EF，ABCD为垂足，求证：AA+CC=BB+DD
24、如图（1）、( 2 )，在两个全等的直角三角形中，∠C=∠C=90，AC=6，BC=8，AB=10,分别在两个三角形中画出如图所示的正方形DEFG和正方形CMNP。 通过计算比较一下，哪个正方形的边长大些？
总结自己存在的问题，分析原因，制定弥补方案。
答案：
§24.1 相似的图形
【一显身手】
1、略；2、（1）~（a），（2）~（d），(3)~（g）；3、相似、相似、不一定相似、相似、不一定相似、相似。
§24.2相似的图形性质（1）成比例线段
【自主探究训练】
1、 不成比例；2、成比例。方法提示：按照大小排列后计算是否成比例。
补充练习：
（3） x=9；2、所添的数可以是：2；；
【过关题目】
4、 m=12；2、x=9或-9；x=9；3、a= 6； b= 9； c=21；4、；
5、
§24.2相似的图形性质（2）相似图形的性质
【一显身手】
1、C；2、D；3、10；4、68°；5、；6、x=27；y=24；ａ=85°7、c
黄金分割练习1、a；2、距离一边12.4米或者7.6米
§24.3.1 相似三角形
【一显身手】：1、略；2、其他两边都是14米；3、全等；4 ；24；5、D；6、C
§24.3.2相似三角形的判定（1）
【挑战自我】：
1、错、对、对、错、错；2、∠ADC=∠ACB或者∠ACD=∠B；3、∠ADC=∠AEB或者∠ACD=∠B或者∠BDC=∠BEC（2.3题还可添加公共角两边对应成比例）
§24.3.2相似三角形的判定（2）
自主练习：
7、 △ABC∽△CBD∽△ACD(证明略)
8、 ED=2.4
3、解：因为BM:MC=3:4可设比例系数为x，则BM=3x，MC=4x；
所以在平行四边形ABCD中AD=BC=7x；
因为：在平行四边形ABCD中AD∥BC
所以：∠DBC=∠ADB; ∠DAM=∠AMB;
所以：△AFD∽△MFB
所以：BF:FD=BM:AD=3x：7x=设BF=3a则FD=7a
所以：BF:BD=3a:10a=3:10
4、提示：先证明△ADB∽△AEC,得出AE:AD=AC:AB然后根据公共角∠A，运用两边对应成比例及夹角相等来证明结论。
【挑战自我】
1、方案1：另两边长分别为2.5；3
方案2：另两边长分别为1.6；2.4
方案3：另两边长分别为；
2.令一个三角形三边分别是4、5、x；另一三角形y、4、5然后，令他们相似。根据对应边成比例，求得x=25/4;y=16/5,检验能构成三角形，故符合条件。
§24.3.3相似三角形的性质
【一显身手】
1、 BC=20、 =18、=30；2、54；3、8，10；4、D；
5、C；6、相似比：甲：乙=5：2，面积比：甲：乙=25：4
7、9㎝
§24.3.4相似三角形的应用
二、（2）10m；三、略
四、（1）提示：证明△BGD∽△BCE,(2)提示：由ＢＤ·ＢＣ＝ＢＧ·ＢＥ及AD是斜边的中线，也是高线，可得出BA=BD，而ＢＤ·ＢＣ=2DB=BA故：BA=BG·BC可得到△BAG∽△BEA从而正的垂直关系。
【一显身手】
1、 A;2、D；3、B；4、AB=(5+)m
【深度探究】
五、 +=(提示：由△DEF∽△DAB可得=，由△BEF∽△BDC可得：=，而+=1，所以+=1即+=)
拓展：EF=EG(提示：===,所以EF=EG）
面积相等的三角形：△ABD与△ABC;△CDA与△CDB;△AEC与△BED;△GEC与△EFD;△AEG与△BEF
二、相似三角形略，结论：+=
提示：过A′作A′M∥B B′交CD于点M则构成梯形MA′CA,图形便于上题基本相同，也可以用其他方法。
§24．4 中位线
【一显身手】1、26；2、8；3、26；4、4；5、2；6、2（连结梯形对角线中点的线段等于上下低差的一半）
【拓展训练】
1、 提示：连结对角线，运用中位线定理；
等腰梯形——菱形 菱形——矩形
矩形——菱形 正方形——正方形
2、 略；3、2a
§24．5 画相似图形
【一显身手】
4、 D；2、D；3、18；4、略
【拓展训练】
提示：
如图：先在△ABC的边BC上作正方形DEFG，（过AB上任取一点G作GD⊥BC于点D，然后，以GD为边作正方形）然后连结并延长BF交AC于点I，过点I作IJ⊥BC于点J，然后，以IJ为边作正方形KIJH为所求。
需要进一步探讨的是：每一条边上都可以作出一个正方形，但是哪一个正方形面积最大呢？可以发现其边长等于所在底边与底边上的高的积除以二者的和，这样，要使边长大，可以是二者的和最小的即可，这样，经过计算实验（也可以推理论证）知，三边中其长度居于中间的边上的正方形面积最大。（注意思考探究等腰三角形）
§24、6．1用坐标确定位置
本节略（请小组内自行讨论确立答案）
§24.6.2图形的变换与坐标
【一显身手】
5、 （1）A（2,2），B（0,4），C（4,1），（2）A（3,1），B（1,3），C（5,0），（3）A（1,0），B（-1,2），C（3,-1）
6、 y=-x+1;y=-x-1;y=x-1;y=x-1
A(-2,3),B(-7,4),C(-8,5);A (8,3),B (13,4),C (14,5)
对称轴：x=3
图形的相似单元自我检测
一、D B C D C C B A A C A
二、19：13；14、30M；15、2400;16、28；17、4㎝；18、42、
19、18；20（2，2）
三、21、提示：计算公共角的两边成比例。
22、0.6m
23、提示：作平行四边形的对角线，过交点作垂线，利用梯形的中位线。
24、（1）的边长为；（2)的边长为，故（2）的边长长些。
提示：可以利用正方形的边长与所在直角三角形的一边之比加上边长与该边上高长之比的和等于1这一结论来计算。（可以利用三角形的性质来证明，可类比§24.3.4相似三角形的应用中关于小孔成像的结论证明方法。同时也是§24．5 画相似图形中拓展训练的特例。
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