2020-2021学年第一章 集合与常用逻辑用语1.1 集合1.1.3 集合的基本运算第1课时学案设计

这是一份2020-2021学年第一章 集合与常用逻辑用语1.1 集合1.1.3 集合的基本运算第1课时学案设计，共12页。学案主要包含了交集的概念及应用，并集的概念及应用，交集等内容，欢迎下载使用。

学习目标 1.理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个简单集合的交集和并集.2.能使用维恩图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．
导语
在研究集合时，经常遇到有关集合中元素个数的问题，大家看一个问题，某超市进了两次货，第一次进的货是圆珠笔、钢笔、橡皮、笔记本、方便面、汽水共6种，第二次进的货是圆珠笔、铅笔、火腿肠、方便面共4种，两次一共进了几种货？两次进的货一样的有几种？我们知道，实数有加、减、乘、除运算，那么集合是否也有类似的运算呢？
一、交集的概念及应用
问题1 某超市进了两次货，第一次进的货是圆珠笔、钢笔、橡皮、笔记本、方便面、汽水共6种，第二次进的货是圆珠笔、铅笔、火腿肠、方便面共4种，我们用集合A表示第一次进货的品种，用集合B表示第二次进货的品种，通过观察，你能用集合C表示两次进货一样的品种吗？并讨论集合A，B与集合C的关系．
提示 由A＝{圆珠笔，钢笔，橡皮，笔记本，方便面，汽水}，B＝{圆珠笔，铅笔，火腿肠，方便面}知，集合C＝{圆珠笔，方便面}，可见，集合C是由所有既属于集合A又属于集合B的元素组成的．
知识梳理
1．交集
2．交集的运算性质
(1)A∩B＝B∩A.
(2)A∩A＝A.
(3)A∩∅＝∅∩A＝∅.
(4)如果A⊆B，则A∩B＝A，反之也成立．
注意点：
(1)A∩B仍是一个集合．
(2)文字语言中“所有”的含义：A∩B中任一元素都是A与B的公共元素，A与B的公共元素都属于A∩B.
(3)如果两个集合没有公共元素，不能说两个集合没有交集，而是A∩B＝∅.
例1 (1)若A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则图中阴影部分表示的集合为( )
A．{2} B．{3}
C．{－3,2} D．{－2,3}
答案 A
解析 易知A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，B＝{－3,2}，图中阴影部分表示的集合为A∩B＝{2}．
(2)(多选)设A＝[－1,2]，B＝[0,4]，则A∩B等于( )
A．[0,2] B．{x|0≤x≤2}
C．[0,4] D．{x|0≤x≤4}
答案 AB
解析 在数轴上表示出A与B，如图所示．
则由交集的定义知，A∩B＝[0,2]＝{x|0≤x≤2}．
反思感悟 求集合A∩B的常用方法
(1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用交集的定义求解．
(2)数形结合法：若集合是用描述法或区间表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解．
跟踪训练1 (1)若区间A＝(－2,1)，B＝(0,2)，则集合A∩B等于( )
A．(－1,1) B．(－2,1)
C．(－2,2) D．(0,1)
答案 D
解析 如图，因为A＝(－2,1)，B＝(0,2)，
所以A∩B＝(0,1)．
(2)(多选)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中的元素有( )
A．6 B．8 C．12 D．14
答案 BD
解析 ∵8＝3×2＋2,14＝3×4＋2，
∴8∈A,14∈A，
∴A∩B＝{8,14}．
二、并集的概念及应用
问题2 对于问题1中的集合A与集合B，你能用集合D表示两次一共进货的品种吗？并讨论集合A，B与集合D的关系．
提示 A＝{圆珠笔，钢笔，橡皮，笔记本，方便面，汽水}，B＝{圆珠笔，铅笔，火腿肠，方便面}，则D＝{圆珠笔，钢笔，橡皮，笔记本，方便面，汽水，铅笔、火腿肠}，容易发现集合D是由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的．
知识梳理
1．并集
2．并集的运算性质
(1)A∪B＝B∪A.
(2)A∪A＝A.
(3)A∪∅＝∅∪A＝A.
(4)如果A⊆B，则A∪B＝B，反之也成立．
注意点：
(1)A∪B仍是一个集合．
(2)并集符号语言中的“或”包含三种情况：①x∈A且x∉B；②x∈A且x∈B；③x∉A且x∈B.
(3)对概念中“所有”的理解，要注意集合元素的互异性．
例2 (1)设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N等于( )
A．{0} B．{0,2}
C．{－2,0} D．{－2,0,2}
答案 D
解析 M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}＝{0，－2}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}＝{0,2}，故M∪N＝{－2,0,2}．
(2)(多选)已知集合M＝{x|－35}，则M∪N等于( )
A．{x|x<－5或x>－3}
B．{x|－5C．(－∞，－5)∪(－3，＋∞)
D．(－5,5)
答案 AC
解析 在数轴上表示集合M，N，如图所示，
则M∪N＝{x|x<－5或x>－3}．
反思感悟 求集合M∪N的常用方法
(1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解．
(2)数形结合法：若集合是用描述法或区间表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解．
跟踪训练2 (1)已知区间P＝(－1,1)，Q＝(0,2)，那么P∪Q等于( )
A．(－1,2) B．(0,1)
C．(－1,0) D．(1,2)
答案 A
解析 因为P＝(－1,1)，
Q＝(0,2)，画数轴如图所示，
所以P∪Q＝(－1,2)．
(2)(多选)点集A＝{(x，y)|x<0}，B＝{(x，y)|y<0}，则A∪B中的元素可能在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 BCD
解析 由题意得，A∪B中的元素是由横坐标小于0或纵坐标小于0的点构成的集合，所以A∪B中的元素不可能在第一象限，可能在第二、三、四象限．
三、交集、并集运算的综合应用
例3 已知区间A＝(2,4)，B＝(a,3a)(a>0)．
(1)若A∪B＝B，求a的取值范围；
(2)若A∩B＝∅，求a的取值范围．
解 (1)因为A∪B＝B，所以A⊆B，如图．
观察数轴可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2≥a，,4≤3a，))
所以eq \f(4,3)≤a≤2.
(2)A∩B＝∅有两类情况：B在A的左边和B在A的右边，如图．
观察数轴可知，a≥4或3a≤2，
又a>0，所以0延伸探究 本例条件下，若A∩B＝(3,4)，求a的值．
解 画出数轴如图，
观察数轴可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3，,3a≥4，))即a＝3.
反思感悟 利用集合交集、并集的性质解题的方法
(1)A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝B⇔A⊆B.
(2)当集合B⊆A时，如果集合A是一个确定的集合，而集合B不确定，运算时要考虑B＝∅的情况，切不可漏掉．
跟踪训练3 (1)A＝{x|x≤－1或x≥3}，B＝{x|aA．3≤a<4 B．－1C．a≤－1 D．a<－1
答案 C
解析 利用数轴，若A∪B＝R，则a≤－1.
(2)已知集合A＝{x|－3≤x≤5}，B＝{x|2m－1≤x≤2m＋9}，若A∪B＝B，则m的取值范围是________，若A∩B＝A，则m的取值范围是________．
答案 {m|－2≤m≤－1} {m|－2≤m≤－1}
解析 ∵A∪B＝B，∴A⊆B，如图所示，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2m－1≤－3，,2m＋9≥5，))解得－2≤m≤－1.
∴m的取值范围为{m|－2≤m≤－1}．
当A∩B＝A时，同样A⊆B，所以结论是一样的．
1．知识清单：
(1)交集、并集的概念及运算．
(2)交集、并集运算的性质．
(3)求参数值或范围．
2．方法归纳：数形结合、分类讨论．
3．常见误区：由交集、并集的关系求解参数时漏掉对集合为空集的讨论．
1．若集合M＝{－1,0,1,2}，N＝{x|x(x－1)＝0}，则M∩N等于( )
A．{－1,0,1,2} B．{0,1,2}
C．{－1,0,1} D．{0,1}
答案 D
解析 N＝{0,1}，M∩N＝{0,1}．
2.已知集合M＝{－1,0,1}，P＝{0,1,2,3}，则图中阴影部分所表示的集合是( )
A．{0,1} B．{0}
C．{－1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}
答案 D
解析 由维恩图，可知阴影部分所表示的集合是M∪P.因为M＝{－1,0,1}，P＝{0,1,2,3}，故M∪P＝{－1,0,1,2,3}．
3．(多选)已知集合A＝{x|x＝4n－1，n∈N}，B＝{y|y＝2n－1，n∈N}，C＝{－1,0,1,3,5,7,9}，则集合A∩B∩C中的元素为( )
A．－1 B．3 C．5 D．7
答案 ABD
解析 －1＝4×0－1＝2×0－1，
3＝4×1－1＝2×2－1，
7＝4×2－1＝2×4－1.
4．若集合A＝{x|－1答案 R {x|－1解析 借助数轴可知，A∪B＝R，A∩B＝{x|－15．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝4}，B＝{(x，y)|x－y＝2}，则A∩B＝________.
答案 {(3,1)}
解析 由题意知A∩B＝{(x，y)|x＋y＝4且x－y＝2}＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x，y\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝4,x－y＝2))))))，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝4，,x－y＝2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝1，))故A∩B＝{(3,1)}．
1．(多选)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，则能成为A∩B的元素的是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 AD
解析 由题意得，B＝{1,4,7,10}，所以A∩B＝{1,4}．
2．A，B是两个集合，则集合{x|x∈A且x∈B}可用阴影表示为( )
答案 D
解析 集合{x|x∈A且x∈B}＝A∩B.
3．满足M⊆{a1，a2，a3，a4}且M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}的集合M的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 由题意得，集合M含有元素a1，a2且不含元素a3，故M＝{a1，a2}或M＝{a1，a2，a4}．
4．设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|xA．a<2 B．a>－2
C．a>－1 D．－1答案 C
解析 A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x－1.
5．(多选)已知集合A＝{x|x2＝x}，集合B中有两个元素且满足A∪B＝{0,1,2}，则集合B可以是( )
A．{0,1} B．{0,2}
C．{0,3} D．{1,2}
答案 BD
解析 由题意知，集合A＝{0,1}，
∵B中有两个元素且A∪B＝{0,1,2}，
∴B可以为{0,2}，{1,2}．
6．若集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|－2答案 {x|x>－2}
解析 画出数轴如图所示，故A∪B＝{x|x>－2}．
7．设S＝{x|x<－1或x>5}，T＝{x|a答案 －3解析 在数轴上表示集合S，T如图所示．因为S∪T＝R，由数轴可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<－1，,a＋8>5，))解得－38.已知集合M＝{x|－1≤x≤3}，N＝{x|x＝2k－1，k∈N＋}，维恩图如图所示，则阴影部分所表示的集合的元素共有____个，若N＝{x|x＝3k－1，k∈N}，则阴影部分的元素有____个．
答案 2 2
解析 M＝{x|－1≤x≤3}，集合N是全体正奇数组成的集合，则阴影部分所表示的集合为M∩N＝{1,3}，
即阴影部分所表示的集合共有2个元素．
若N＝{x|x＝3k－1，k∈N}，则M∩N＝{－1,2}，
即阴影部分所表示的集合共有2个元素．
9．已知集合A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－x>0,3x＋6>0))))))，集合B＝{x|2x－1<3}，求A∩B，A∪B.
解 解不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－x>0，,3x＋6>0，))得－2即A＝{x|－2解不等式2x－1<3，得x<2，
即B＝{x|x<2}，
在数轴上分别表示集合A，B，如图所示．
则A∩B＝{x|－210．设A＝{x|x2＋ax＋12＝0}，B＝{x|x2＋3x＋2b＝0}，A∩B＝{2}，C＝{2，－3}．
(1)求a，b的值及A，B；
(2)求(A∪B)∩C.
解 (1)∵A∩B＝{2}，∴2∈A且2∈B，
∴4＋2a＋12＝0,4＋6＋2b＝0，
解得a＝－8，b＝－5，
∴A＝{x|x2－8x＋12＝0}＝{2,6}，
B＝{x|x2＋3x－10＝0}＝{2，－5}．
(2)由(1)知A∪B＝{－5,2,6}，
又C＝{2，－3}，∴(A∪B)∩C＝{2}．
11．设A，B是非空集合，定义A*B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，已知A＝{x|0≤x≤3}，B＝{x|x≥1}，则A*B等于( )
A．{x|1≤x<3}
B．{x|1≤x≤3}
C．{x|0≤x<1或x>3}
D．{x|0≤x≤1或x≥3}
答案 C
解析 由题意知A∪B＝{x|x≥0}，
A∩B＝{x|1≤x≤3}，
∴A*B＝{x|0≤x<1或x>3}．
12．下列表示图形中的阴影部分正确的是( )
A．(A∪C)∩(B∪C)
B．(A∪B)∩(A∪C)
C．(A∪B)∩(B∪C)
D．(A∪B)∩C
答案 A
解析 阴影部分完全覆盖了C部分，这样就要求交集运算的两边都含有C部分．所以A正确．
13．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．
答案 12
解析 设所求人数为x，则x＋10＝30－8⇒x＝12.
14．已知集合A＝{x|x2－px－2＝0}，B＝{x|x2＋qx＋r＝0}，且A∪B＝{－2,1,5}，A∩B＝
{－2}，则p＋q＋r＝________.
答案 －14
解析 因为A∩B＝{－2}，
所以－2∈A且－2∈B，
将x＝－2代入x2－px－2＝0，得p＝－1，
所以A＝{1，－2}，
因为A∪B＝{－2,1,5}，A∩B＝{－2}，
所以B＝{－2,5}，
所以q＝－[(－2)＋5]＝－3，r＝(－2)×5＝－10，
所以p＋q＋r＝－14.
15．某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种．则该网店
(1)第一天售出但第二天未售出的商品有________种；
(2)这三天售出的商品最少有________种．
答案 (1)16 (2)29
解析 设三天都售出的商品有x种，第一天售出，第二天未售出，且第三天售出的商品有y种，则三天售出商品的种类关系如图所示．
由图可知，(1)第一天售出但第二天未售出的商品有19－(3－x)－x＝16(种)．
(2)这三天售出的商品有(16－y)＋y＋x＋(3－x)＋(6＋x)＋(4－x)＋(14－y)＝43－y(种)．
由于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(16－y≥0，,y≥0，,14－y≥0，))所以0≤y≤14.
所以(43－y)min＝43－14＝29(种)．
16．已知集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|x<－1或x>16}，分别根据下列条件求实数a的取值范围．
(1)A∩B＝∅；
(2)A⊆(A∩B)．
解 (1)若A＝∅，则A∩B＝∅成立．
此时2a＋1>3a－5，即a<6.
若A≠∅，如图所示，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a＋1≤3a－5，,2a＋1≥－1，,3a－5≤16，))解得6≤a≤7.
综上，满足条件A∩B＝∅的实数a的取值范围是{a|a≤7}．
(2)因为A⊆(A∩B)，所以A∩B＝A，即A⊆B.
显然A＝∅满足条件，此时a<6.
若A≠∅，如图所示，
或
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a＋1≤3a－5，,3a－5<－1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a＋1≤3a－5，,2a＋1>16.))
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a＋1≤3a－5，,3a－5<－1，))解得a∈∅；
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a＋1≤3a－5，,2a＋1>16，))解得a>eq \f(15,2).
综上，满足条件A⊆(A∩B)的实数a的取值范围是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<6或a>\f(15,2))))).