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2021学年1.1 空间向量及其运算教案及反思
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这是一份2021学年1.1 空间向量及其运算教案及反思，共21页。
1.1 空间向量及其运算
★★★★学习目标★★★★
1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量等的概念.
2.会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差，了解向量加法的交换律和结合律．
3.掌握空间向量数乘运算的定义及数乘运算的运算律.
4.了解平行(共线)向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法.
5.理解共线向量的充要条件和共面向量的充要条件及其推论，并能应用其证明空间向量的共线、共面问题．
6.掌握空间向量夹角概念及表示方法.
7.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算规律.
8.掌握两个向量的数量积的主要用途，能运用数量积求向量夹角和判断向量的共线与垂直．
★★★★问题导学★★★★
知识点一 空间向量的概念
思考 类比平面向量的概念，给出空间向量的概念．
答案 在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量．
梳理 (1)在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．
空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，a的起点是A，终点是B，则a也可记作，其模记为|a|或||.
(2)几类特殊的空间向量
名称
定义及表示
零向量
规定长度为0的向量叫零向量，记为0
单位向量
模为1的向量叫单位向量
相反向量
与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为－a
相等向量
方向相同且模相等的向量称为相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量
知识点二 空间向量的加减运算及运算律
思考1 下面给出了两个空间向量a、b，作出b＋a，b－a.
答案 如图，空间中的两个向量a，b相加时，我们可以先把向量a，b平移到同一个平面α内，以任意点O为起点作＝a，＝b，则＝＋＝a＋b，＝－＝b－a.
思考2 由上述的运算过程总结一下，如何求空间两个向量
的和与差？下面两个图形中的运算分别运用了什么运算法则？
答案 先将两个向量平移到同一个平面，然后运用平面向量的运算法则(三角形法则、平行四边形法则)运算即可；图1是三角形法则，图2是平行四边形法则．
梳理 (1)类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算．
＝＋＝a＋b
＝－＝a－b
＝＋＝＋＝a＋b
(2)空间向量加法交换律
a＋b＝b＋a
空间向量加法结合律
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
知识点三 空间向量的数乘运算
思考 实数λ和空间向量a的乘积λa的意义是什么？向量的数乘运算满足哪些运算律？
答案 λ＞0时，λa和a方向相同；λ＜0时，λa和a方向相反；λa的长度是a的长度的|λ|倍．
空间向量的数乘运算满足分配律及结合律：
①分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb，
②结合律：λ(μa)＝(λμ)a.
梳理 (1)实数与向量的积
与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算，记作λa，其长度和方向规定如下：
①|λa|＝|λ||a|.
②当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向相反；当λ＝0时，λa＝0.
(2)空间向量数乘运算满足以下运算律
①λ(μa)＝(λμ)a；
②λ(a＋b)＝λa＋λb；
③(λ1＋λ2)a＝λ1a＋λ2a(拓展)．
知识点四 共线向量与共面向量
思考1 回顾平面向量中关于向量共线知识，给出空间中共线向量的定义．
答案 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．
思考2 空间中任何两个向量都是共面向量，这个结论是否正确？
答案 正确．根据向量相等的定义，可以把向量进行平移，空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，成为共面向量．
梳理 (1)平行(共线)向量
定义
表示空间向量的有向线段所在的直线的位置关系：互相平行或重合
充要条件
对空间任意两个向量a，b(b≠0)，存在唯一实数λ，使a＝λb
点P在直线l上的充要条件
存在实数t满足等式＝＋ta在直线l上取向量＝a，则＝＋t
向量a为直线的方向向量
(2)共面向量
定义
平行于同一个平面的向量
三个向量共面的充要条件
向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y)使p＝xa＋yb
点P位于平面ABC内的充要条件
存在有序实数对(x，y)，使＝x＋y
对空间任一点O，有＝＋x＋y
知识点五 空间向量数量积的概念
思考 如图所示，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，类比平面向量有关运算，如何求向量与的数量积？并总结求两个向量数量积的方法．
解析∵＝－，
∴·＝·－·
＝||||cos〈，〉－||||cos〈，〉
＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－16.
求两个向量的数量积需先确定这两个向量的模和夹角，当夹角和长度不确定时，可用已知夹角和长度的向量来表示该向量，再代入计算．
梳理 (1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.
(2)数量积的运算律
数乘向量与向量数量积的结合律
(λa)·b＝λ(a·b)
交换律
a·b＝b·a
分配律
a·(b＋c)＝a·b＋a·c
(3)空间向量的夹角
①定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉．②范围：〈a，b〉∈[0，π]．特别地：当〈a，b〉＝时，a⊥b.
知识点六 空间向量的数量积的性质
两个向量数量积的性质
①若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0
②若a与b同向，则a·b＝|a|·|b|；若反向，则a·b＝－|a|·|b|.
特别地，a·a＝|a|2或|a|＝
③若θ为a，b的夹角，则cos θ＝
④|a·b|≤|a|·|b|
★★★★题型探究★★★★
类型一 有关空间向量的概念的理解
例1 给出以下结论：①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；②若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b；③在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有＝；④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中不正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 两个空间向量相等，它们的起点、终点不一定相同，故①不正确；若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则不一定能判断出a＝b，故②不正确；在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有＝成立，故③正确；④显然正确；空间中任意两个单位向量的模必相等，但这两个向量不一定相等，故⑤错误．故选C.
反思与感悟 在空间，平面向量、向量的模、相等向量的概念和平面向量完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反．
跟踪训练1 (1)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，
下列四对向量：①与；②与；③与；④与.其中互为相反向量的有n对，则n等于( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 B
解析 对于①与，③与长度相等，方向相反，互为相反向量；对于②与长度相等，方向不相反；④与长度相等，方向相同．故互为相反向量的有2对．
(2)判断下列命题的真假．
①空间向量就是空间中的一条有向线段；
②不相等的两个空间向量的模必不相等；
③任一向量与它的相反向量不相等；
④向量与向量的长度相等．
解 ①假命题，有向线段是空间向量的一种表示形式，但不能把二者完全等同起来．
②假命题，不相等的两个空间向量的模也可以相等，只要它们的方向不相同即可．
③假命题，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的．
④真命题，与仅是方向相反，它们的长度是相等的．
类型二 空间向量的加减运算
例2 如图，已知长方体ABCD-A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．
(1) －；
(2) ＋＋.
解析 (1) －＝－＝＋＝.
(2) ＋＋＝(＋)＋＝＋＝.向量、如图所示．
反思与感悟 根据向量相等的概念，向量运算时可以根据需要进行平移向量；化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则进行化简，在化简过程中遇到减法时可灵活应用相反向量转化成加法，也可以按减法法则进行运算，加减法之间可相互转化，另外化简的结果要在图中标注好．
跟踪训练2 如图所示，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1，M为A1C1与B1D1的交点，化简下列向量表达式．
(1) ＋1.
(2) ＋ － 1.
(3) ＋1＋
(4) ＋＋＋＋.
解析 (1) ＋＝.
(2) ＋＝＋＝.
(3) ＋＋＝＋＝
(4)＋＋＋＋＝0.
类型三 空间向量的数乘运算
例3 设A是△BCD所在平面外的一点，G是△BCD的重心．求证：＝(＋＋)．
证明 连接BG，延长后交CD于点E，由G为△BCD的重心，
知.
由题意知E为CD的中点，
∴.
∴
＝
反思与感悟 应用向量的加减法法则和数乘运算表示向量是向量运算的前提，表示向量时要注意选定向量，明确转化的目标．
跟踪训练3 已知在空间四边形OABC中，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在MN上，且MG＝2GN，如图所示，
记＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量.
解析 ＝＋＝＋＝＋ ＝a＋ [－a＋c＋(b－c)]＝a＋b＋c.
类型四 向量共线问题
例4 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2，F在对角线A1C上，且＝.
求证：E，F，B三点共线．
证明 设＝a，＝b，＝c.
∵＝21，＝，
∴＝1，＝.
∴＝＝b，＝ (－1)＝(＋－1)＝a＋b－c.
∴＝－＝a－b－c＝.
又＝＋＋＝－b－c＋a＝a－b－c，
∴＝.∴E，F，B三点共线．
反思与感悟 判定向量a，b(b≠0)共线，只需利用已知条件找到x，使a＝xb即可．证明点共线，只需证明对应的向量共线．
跟踪训练2 如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，
请判断向量与＋是否共线？
解析 设AC中点为G，连接EG，FG，
∴＝，＝，
又∵，，
共面，
∴＝＋＝＋＝ (＋)，
∴与 ＋共线．
类型五 向量共面问题
例5 如图，已知、、、、、、、、为空间的个点，且，，，，，，.
求证：（1）、、、四点共面，、、、四点共面；
（2）；
（3）.
【解析】（1）∵，，∴A、B、C、D四点共面．
∵，，∴E、F、G、H四点共面．
（2），∴.
（3）.
考点：空间向量的运算.
反思与感悟 利用向量法证明四点共面，实质上是证明向量共面问题，解题的关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中要注意区分向量所在的直线的位置关系与向量的位置关系．
跟踪训练5（2020·黑龙江省北安市实验中学高二单元测试）若e1、e2、e3是三个不共面向量，则向量a＝3e1＋2e2＋e3，b＝－e1＋e2＋3e3，c＝2e1－e2－4e3是否共面？请说明理由．
【答案】共面
【解析】设c＝λ1a＋λ2b，则
⇒λ1＝，λ2＝－．
即c＝a－b．∴a、b、c共面．
类型六 空间向量的数量积运算
例6 （2020·广西壮族自治区高二期末（理））如图，在和中，是的中点，，，，若，则与的夹角的余弦值等于__________．
【答案】
【解析】由题意可得 ，
∴.由，可得
.
∴，即，
∴，故答案为.
反思与感悟 两向量的数量积，其运算结果是数量，而不是向量．零向量与任意向量的数量积为0.向量的数量积不满足结合律．
跟踪训练6 （2020·上海交大附中高二期中）如图，在大小为45°的二面角AEFD中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是( )
A． B．
C．1 D．
【答案】D
【解析】,
故，故选
类型七 利用数量积求夹角
例7（2020·山东省高二期末）如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C．向量与的夹角是60° D．与AC所成角的余弦值为
【答案】AB
【解析】以顶点A为端点的三条棱长都相等, 它们彼此的夹角都是60°，
可设棱长为1,则
而
， 所以A正确.
=0,所以B正确.
向量,
显然 为等边三角形，则.
所以向量与的夹角是 ,向量与的夹角是,则C不正确
又，
则，
所以，所以D不正确.故选：AB
反思与感悟 利用向量求异面直线夹角的方法：
跟踪训练7 已知：PO、PA分别是平面α的垂线、斜线，AO是PA在平面α内的射影，l⊂α，且l⊥OA.
求证：l⊥PA.
证明 如图，取直线l的方向向量a，同时取向量，.
因为l⊥OA，
所以a·＝0.
因为PO⊥α，且l⊂α，所以l⊥PO，
因此a·＝0.
又因为a·＝a·(＋)
＝a·＋a·＝0，
所以l⊥PA.
类型八 利用数量积求距离
例8 在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB和CD成60°角．求B、D间的距离
【答案】2或.
【解析】∵∠ACD=90°，∴＝0.
同理＝0
∵AB和CD成60°角，∴〈〉＝60°或120°.
∵，
∴
＝3＋2×1×1×cos〈〉
当＜，＞=60°时，·=4，则||=2；
当＜，＞=120°时，·=2，则|
反思与感悟 利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|＝求解即可．
跟踪训练8（2020·宁夏回族自治区贺兰县景博中学高二月考（理））平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,向量两两的夹角均为60°,且||=1,||=2,||=3,则||等于( )
A．5 B．6 C．4 D．8
【答案】A
【解析】在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中有，=
所以有=，于是有=
=
=25
所以，答案选A
★★★★综合训练★★★★
一、单选题
1．（2020·江西高二期中（理））在下列命题中：
①若、共线，则表示、的有向线段所在的直线平行；
②若表示、的有向线段所在直线是异面直线，则、一定不共面；
③若、、 三向量两两共面，则、、三向量一定也共面；
④已知三向量、、不共面，则空间任意一个向量总可以唯一表示为,
．其中正确命题的个数为
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】①若、共线，则表示、的有向线段所在的直线可共线；②若、共面，则表示、的有向线段所在直线一定不是异面直线；因此若表示、的有向线段所在直线是异面直线，则、一定不共面；③若、，则、 三向量两两共面，但、、三向量不一定共面；④当三向量、、两两不共面时，空间任意一个向量才可以唯一表示为,．总上，②正确，选B.
2．（2020·新疆阿克苏市实验中学高二月考（理））在平行六面体ABCD-EFGH中，若=x﹣2y+3z，，则x＋y＋z等于( )
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】在平行六面体ABCD﹣EFGH中，=++，
∵=x﹣2y+3z，=，
∴x=1，﹣2y=1，3z=1，
∴，z=，
∴x+y+z=，故选：C．
3．（2020·四川树德中学高二期中（理））如图所示，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为.求与夹角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意．
以为空间向量的基底，，，
，
，
，
∴．∴与夹角的余弦值为．故选：B．
4．（2020·山东高二期末（理））在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F分别是BC，AD的中点，则
A．0 B． C．2 D．
【答案】B
【解析】如图所示，
棱长为2的正四面体中，
因为分别是的中点，
所以
，故选B．
5．（2020·宁夏回族自治区宁夏育才中学高二期末（理））已知为空间任意一点，若，则四点（ ）
A．一定不共面 B．一定共面 C．不一定共面 D．无法判断
【答案】B
【解析】由若 ，当且仅当 时， 四点共面．
，
而 故 四点共面，故选B
6．（2020·山东省青岛二中高二期末）有下列四个命题：
①已知和是两个互相垂直的单位向量，23，4，且⊥，则实数k＝6；
②已知正四面体O﹣ABC的棱长为1，则（）•（）＝1；
③已知A（1，1，0），B（0，3，0），C（2，2，3），则向量在上正投影的数量是；
④已知2，32，37（{，，}为空间向量的一个基底），则向量，，不可能共面．
其中正确命题的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】①23，4，且，
，解得，所以①正确．
②
，所以②正确．
③，，
向量在上正投影，所以③正确．
④假设向量，，共面，则，
所以，
，
所以，，，
得，，
所以向量，，共面，所以④不正确．
即正确的有个，故选：．
7．（2020·宁夏回族自治区贺兰县景博中学高二月考（理））平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,向量两两的夹角均为60°,且||=1,||=2,||=3,则||等于( )
A．5 B．6 C．4 D．8
【答案】A
【解析】在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中有，=
所以有=，于是有=
=
=25
所以，答案选A
8．（2020·山东省章丘四中高二月考）如图所示，在空间四边形中，，点在上，且为中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由向量的加法和减法运算：
.故选：B
9．（2020·江苏省苏州实验中学高二月考）平行六面体中，，则实数x，y，z的值分别为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
,.故选:C.
10．（2020·山东省高二期末）如图，平行六面体中，与的交点为，设，，，则下列选项中与向量相等的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】如图所示，，
，，，，，
，
故选：．
11．（2020·延安市第一中学高二月考（理））四棱柱的底面为矩形，，，，，则的长为（ ）
A． B．46 C． D．32
【答案】C
【解析】由,.
由底面为矩形得；，，另；，
,
考点：空间向量的运算及几何意义.
12．（2020·福建省莆田一中高二期末）已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于，点分别是的中点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
故选：C
二、填空题
13．（2020·涟水县第一中学高二月考）是空间四点，有以下条件：
①； ②；
③； ④，
能使四点一定共面的条件是______
【答案】④
【解析】对于④，，由空间向量共面定理可知四点一定共面，①②③不满足共面定理的条件.故答案为：④
14．（2020·江苏省邗江中学高二期中）已知为空间两两垂直的单位向量，且 则数量积=_________________
【答案】
【解析】因为为空间两两垂直的单位向量，且
则以为一组正交基底，所以，
所以故答案为：
15．（2020·湖南省衡阳市八中高二期中（理））已知是空间任一点，四点满足任三点均不共线，但四点共面，且，则________.
【答案】-1
【解析】∵2x•3y•4z•，
∴2x•3y•4z•，
∵O是空间任意一点，A、B、C、D四点满足任三点均不共线，但四点共面
∴﹣2x﹣3y﹣4z＝1，∴2x+3y+4z＝﹣1，故答案为﹣1
16．（2020·上海交大附中高二期中）平行六面体中，已知底面四边形为正方形，且，其中，设，，体对角线，则的值是______.
【答案】
【解析】，
故
，解得.故答案为：.
1.1 空间向量及其运算
★★★★学习目标★★★★
1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量等的概念.
2.会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差，了解向量加法的交换律和结合律．
3.掌握空间向量数乘运算的定义及数乘运算的运算律.
4.了解平行(共线)向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法.
5.理解共线向量的充要条件和共面向量的充要条件及其推论，并能应用其证明空间向量的共线、共面问题．
6.掌握空间向量夹角概念及表示方法.
7.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算规律.
8.掌握两个向量的数量积的主要用途，能运用数量积求向量夹角和判断向量的共线与垂直．
★★★★问题导学★★★★
知识点一 空间向量的概念
思考 类比平面向量的概念，给出空间向量的概念．
答案 在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量．
梳理 (1)在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．
空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，a的起点是A，终点是B，则a也可记作，其模记为|a|或||.
(2)几类特殊的空间向量
名称
定义及表示
零向量
规定长度为0的向量叫零向量，记为0
单位向量
模为1的向量叫单位向量
相反向量
与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为－a
相等向量
方向相同且模相等的向量称为相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量
知识点二 空间向量的加减运算及运算律
思考1 下面给出了两个空间向量a、b，作出b＋a，b－a.
答案 如图，空间中的两个向量a，b相加时，我们可以先把向量a，b平移到同一个平面α内，以任意点O为起点作＝a，＝b，则＝＋＝a＋b，＝－＝b－a.
思考2 由上述的运算过程总结一下，如何求空间两个向量
的和与差？下面两个图形中的运算分别运用了什么运算法则？
答案 先将两个向量平移到同一个平面，然后运用平面向量的运算法则(三角形法则、平行四边形法则)运算即可；图1是三角形法则，图2是平行四边形法则．
梳理 (1)类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算．
＝＋＝a＋b
＝－＝a－b
＝＋＝＋＝a＋b
(2)空间向量加法交换律
a＋b＝b＋a
空间向量加法结合律
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
知识点三 空间向量的数乘运算
思考 实数λ和空间向量a的乘积λa的意义是什么？向量的数乘运算满足哪些运算律？
答案 λ＞0时，λa和a方向相同；λ＜0时，λa和a方向相反；λa的长度是a的长度的|λ|倍．
空间向量的数乘运算满足分配律及结合律：
①分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb，
②结合律：λ(μa)＝(λμ)a.
梳理 (1)实数与向量的积
与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算，记作λa，其长度和方向规定如下：
①|λa|＝|λ||a|.
②当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向相反；当λ＝0时，λa＝0.
(2)空间向量数乘运算满足以下运算律
①λ(μa)＝(λμ)a；
②λ(a＋b)＝λa＋λb；
③(λ1＋λ2)a＝λ1a＋λ2a(拓展)．
知识点四 共线向量与共面向量
思考1 回顾平面向量中关于向量共线知识，给出空间中共线向量的定义．
答案 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．
思考2 空间中任何两个向量都是共面向量，这个结论是否正确？
答案 正确．根据向量相等的定义，可以把向量进行平移，空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，成为共面向量．
梳理 (1)平行(共线)向量
定义
表示空间向量的有向线段所在的直线的位置关系：互相平行或重合
充要条件
对空间任意两个向量a，b(b≠0)，存在唯一实数λ，使a＝λb
点P在直线l上的充要条件
存在实数t满足等式＝＋ta在直线l上取向量＝a，则＝＋t
向量a为直线的方向向量
(2)共面向量
定义
平行于同一个平面的向量
三个向量共面的充要条件
向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y)使p＝xa＋yb
点P位于平面ABC内的充要条件
存在有序实数对(x，y)，使＝x＋y
对空间任一点O，有＝＋x＋y
知识点五 空间向量数量积的概念
思考 如图所示，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，类比平面向量有关运算，如何求向量与的数量积？并总结求两个向量数量积的方法．
解析∵＝－，
∴·＝·－·
＝||||cos〈，〉－||||cos〈，〉
＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－16.
求两个向量的数量积需先确定这两个向量的模和夹角，当夹角和长度不确定时，可用已知夹角和长度的向量来表示该向量，再代入计算．
梳理 (1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.
(2)数量积的运算律
数乘向量与向量数量积的结合律
(λa)·b＝λ(a·b)
交换律
a·b＝b·a
分配律
a·(b＋c)＝a·b＋a·c
(3)空间向量的夹角
①定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉．②范围：〈a，b〉∈[0，π]．特别地：当〈a，b〉＝时，a⊥b.
知识点六 空间向量的数量积的性质
两个向量数量积的性质
①若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0
②若a与b同向，则a·b＝|a|·|b|；若反向，则a·b＝－|a|·|b|.
特别地，a·a＝|a|2或|a|＝
③若θ为a，b的夹角，则cos θ＝
④|a·b|≤|a|·|b|
★★★★题型探究★★★★
类型一 有关空间向量的概念的理解
例1 给出以下结论：①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；②若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b；③在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有＝；④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中不正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 两个空间向量相等，它们的起点、终点不一定相同，故①不正确；若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则不一定能判断出a＝b，故②不正确；在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有＝成立，故③正确；④显然正确；空间中任意两个单位向量的模必相等，但这两个向量不一定相等，故⑤错误．故选C.
反思与感悟 在空间，平面向量、向量的模、相等向量的概念和平面向量完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反．
跟踪训练1 (1)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，
下列四对向量：①与；②与；③与；④与.其中互为相反向量的有n对，则n等于( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 B
解析 对于①与，③与长度相等，方向相反，互为相反向量；对于②与长度相等，方向不相反；④与长度相等，方向相同．故互为相反向量的有2对．
(2)判断下列命题的真假．
①空间向量就是空间中的一条有向线段；
②不相等的两个空间向量的模必不相等；
③任一向量与它的相反向量不相等；
④向量与向量的长度相等．
解 ①假命题，有向线段是空间向量的一种表示形式，但不能把二者完全等同起来．
②假命题，不相等的两个空间向量的模也可以相等，只要它们的方向不相同即可．
③假命题，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的．
④真命题，与仅是方向相反，它们的长度是相等的．
类型二 空间向量的加减运算
例2 如图，已知长方体ABCD-A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．
(1) －；
(2) ＋＋.
解析 (1) －＝－＝＋＝.
(2) ＋＋＝(＋)＋＝＋＝.向量、如图所示．
反思与感悟 根据向量相等的概念，向量运算时可以根据需要进行平移向量；化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则进行化简，在化简过程中遇到减法时可灵活应用相反向量转化成加法，也可以按减法法则进行运算，加减法之间可相互转化，另外化简的结果要在图中标注好．
跟踪训练2 如图所示，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1，M为A1C1与B1D1的交点，化简下列向量表达式．
(1) ＋1.
(2) ＋ － 1.
(3) ＋1＋
(4) ＋＋＋＋.
解析 (1) ＋＝.
(2) ＋＝＋＝.
(3) ＋＋＝＋＝
(4)＋＋＋＋＝0.
类型三 空间向量的数乘运算
例3 设A是△BCD所在平面外的一点，G是△BCD的重心．求证：＝(＋＋)．
证明 连接BG，延长后交CD于点E，由G为△BCD的重心，
知.
由题意知E为CD的中点，
∴.
∴
＝
反思与感悟 应用向量的加减法法则和数乘运算表示向量是向量运算的前提，表示向量时要注意选定向量，明确转化的目标．
跟踪训练3 已知在空间四边形OABC中，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在MN上，且MG＝2GN，如图所示，
记＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量.
解析 ＝＋＝＋＝＋ ＝a＋ [－a＋c＋(b－c)]＝a＋b＋c.
类型四 向量共线问题
例4 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2，F在对角线A1C上，且＝.
求证：E，F，B三点共线．
证明 设＝a，＝b，＝c.
∵＝21，＝，
∴＝1，＝.
∴＝＝b，＝ (－1)＝(＋－1)＝a＋b－c.
∴＝－＝a－b－c＝.
又＝＋＋＝－b－c＋a＝a－b－c，
∴＝.∴E，F，B三点共线．
反思与感悟 判定向量a，b(b≠0)共线，只需利用已知条件找到x，使a＝xb即可．证明点共线，只需证明对应的向量共线．
跟踪训练2 如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，
请判断向量与＋是否共线？
解析 设AC中点为G，连接EG，FG，
∴＝，＝，
又∵，，
共面，
∴＝＋＝＋＝ (＋)，
∴与 ＋共线．
类型五 向量共面问题
例5 如图，已知、、、、、、、、为空间的个点，且，，，，，，.
求证：（1）、、、四点共面，、、、四点共面；
（2）；
（3）.
【解析】（1）∵，，∴A、B、C、D四点共面．
∵，，∴E、F、G、H四点共面．
（2），∴.
（3）.
考点：空间向量的运算.
反思与感悟 利用向量法证明四点共面，实质上是证明向量共面问题，解题的关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中要注意区分向量所在的直线的位置关系与向量的位置关系．
跟踪训练5（2020·黑龙江省北安市实验中学高二单元测试）若e1、e2、e3是三个不共面向量，则向量a＝3e1＋2e2＋e3，b＝－e1＋e2＋3e3，c＝2e1－e2－4e3是否共面？请说明理由．
【答案】共面
【解析】设c＝λ1a＋λ2b，则
⇒λ1＝，λ2＝－．
即c＝a－b．∴a、b、c共面．
类型六 空间向量的数量积运算
例6 （2020·广西壮族自治区高二期末（理））如图，在和中，是的中点，，，，若，则与的夹角的余弦值等于__________．
【答案】
【解析】由题意可得 ，
∴.由，可得
.
∴，即，
∴，故答案为.
反思与感悟 两向量的数量积，其运算结果是数量，而不是向量．零向量与任意向量的数量积为0.向量的数量积不满足结合律．
跟踪训练6 （2020·上海交大附中高二期中）如图，在大小为45°的二面角AEFD中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是( )
A． B．
C．1 D．
【答案】D
【解析】,
故，故选
类型七 利用数量积求夹角
例7（2020·山东省高二期末）如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C．向量与的夹角是60° D．与AC所成角的余弦值为
【答案】AB
【解析】以顶点A为端点的三条棱长都相等, 它们彼此的夹角都是60°，
可设棱长为1,则
而
， 所以A正确.
=0,所以B正确.
向量,
显然 为等边三角形，则.
所以向量与的夹角是 ,向量与的夹角是,则C不正确
又，
则，
所以，所以D不正确.故选：AB
反思与感悟 利用向量求异面直线夹角的方法：
跟踪训练7 已知：PO、PA分别是平面α的垂线、斜线，AO是PA在平面α内的射影，l⊂α，且l⊥OA.
求证：l⊥PA.
证明 如图，取直线l的方向向量a，同时取向量，.
因为l⊥OA，
所以a·＝0.
因为PO⊥α，且l⊂α，所以l⊥PO，
因此a·＝0.
又因为a·＝a·(＋)
＝a·＋a·＝0，
所以l⊥PA.
类型八 利用数量积求距离
例8 在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB和CD成60°角．求B、D间的距离
【答案】2或.
【解析】∵∠ACD=90°，∴＝0.
同理＝0
∵AB和CD成60°角，∴〈〉＝60°或120°.
∵，
∴
＝3＋2×1×1×cos〈〉
当＜，＞=60°时，·=4，则||=2；
当＜，＞=120°时，·=2，则|
反思与感悟 利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|＝求解即可．
跟踪训练8（2020·宁夏回族自治区贺兰县景博中学高二月考（理））平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,向量两两的夹角均为60°,且||=1,||=2,||=3,则||等于( )
A．5 B．6 C．4 D．8
【答案】A
【解析】在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中有，=
所以有=，于是有=
=
=25
所以，答案选A
★★★★综合训练★★★★
一、单选题
1．（2020·江西高二期中（理））在下列命题中：
①若、共线，则表示、的有向线段所在的直线平行；
②若表示、的有向线段所在直线是异面直线，则、一定不共面；
③若、、 三向量两两共面，则、、三向量一定也共面；
④已知三向量、、不共面，则空间任意一个向量总可以唯一表示为,
．其中正确命题的个数为
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】①若、共线，则表示、的有向线段所在的直线可共线；②若、共面，则表示、的有向线段所在直线一定不是异面直线；因此若表示、的有向线段所在直线是异面直线，则、一定不共面；③若、，则、 三向量两两共面，但、、三向量不一定共面；④当三向量、、两两不共面时，空间任意一个向量才可以唯一表示为,．总上，②正确，选B.
2．（2020·新疆阿克苏市实验中学高二月考（理））在平行六面体ABCD-EFGH中，若=x﹣2y+3z，，则x＋y＋z等于( )
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】在平行六面体ABCD﹣EFGH中，=++，
∵=x﹣2y+3z，=，
∴x=1，﹣2y=1，3z=1，
∴，z=，
∴x+y+z=，故选：C．
3．（2020·四川树德中学高二期中（理））如图所示，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为.求与夹角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意．
以为空间向量的基底，，，
，
，
，
∴．∴与夹角的余弦值为．故选：B．
4．（2020·山东高二期末（理））在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F分别是BC，AD的中点，则
A．0 B． C．2 D．
【答案】B
【解析】如图所示，
棱长为2的正四面体中，
因为分别是的中点，
所以
，故选B．
5．（2020·宁夏回族自治区宁夏育才中学高二期末（理））已知为空间任意一点，若，则四点（ ）
A．一定不共面 B．一定共面 C．不一定共面 D．无法判断
【答案】B
【解析】由若 ，当且仅当 时， 四点共面．
，
而 故 四点共面，故选B
6．（2020·山东省青岛二中高二期末）有下列四个命题：
①已知和是两个互相垂直的单位向量，23，4，且⊥，则实数k＝6；
②已知正四面体O﹣ABC的棱长为1，则（）•（）＝1；
③已知A（1，1，0），B（0，3，0），C（2，2，3），则向量在上正投影的数量是；
④已知2，32，37（{，，}为空间向量的一个基底），则向量，，不可能共面．
其中正确命题的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】①23，4，且，
，解得，所以①正确．
②
，所以②正确．
③，，
向量在上正投影，所以③正确．
④假设向量，，共面，则，
所以，
，
所以，，，
得，，
所以向量，，共面，所以④不正确．
即正确的有个，故选：．
7．（2020·宁夏回族自治区贺兰县景博中学高二月考（理））平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,向量两两的夹角均为60°,且||=1,||=2,||=3,则||等于( )
A．5 B．6 C．4 D．8
【答案】A
【解析】在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中有，=
所以有=，于是有=
=
=25
所以，答案选A
8．（2020·山东省章丘四中高二月考）如图所示，在空间四边形中，，点在上，且为中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由向量的加法和减法运算：
.故选：B
9．（2020·江苏省苏州实验中学高二月考）平行六面体中，，则实数x，y，z的值分别为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
,.故选:C.
10．（2020·山东省高二期末）如图，平行六面体中，与的交点为，设，，，则下列选项中与向量相等的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】如图所示，，
，，，，，
，
故选：．
11．（2020·延安市第一中学高二月考（理））四棱柱的底面为矩形，，，，，则的长为（ ）
A． B．46 C． D．32
【答案】C
【解析】由,.
由底面为矩形得；，，另；，
,
考点：空间向量的运算及几何意义.
12．（2020·福建省莆田一中高二期末）已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于，点分别是的中点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
故选：C
二、填空题
13．（2020·涟水县第一中学高二月考）是空间四点，有以下条件：
①； ②；
③； ④，
能使四点一定共面的条件是______
【答案】④
【解析】对于④，，由空间向量共面定理可知四点一定共面，①②③不满足共面定理的条件.故答案为：④
14．（2020·江苏省邗江中学高二期中）已知为空间两两垂直的单位向量，且 则数量积=_________________
【答案】
【解析】因为为空间两两垂直的单位向量，且
则以为一组正交基底，所以，
所以故答案为：
15．（2020·湖南省衡阳市八中高二期中（理））已知是空间任一点，四点满足任三点均不共线，但四点共面，且，则________.
【答案】-1
【解析】∵2x•3y•4z•，
∴2x•3y•4z•，
∵O是空间任意一点，A、B、C、D四点满足任三点均不共线，但四点共面
∴﹣2x﹣3y﹣4z＝1，∴2x+3y+4z＝﹣1，故答案为﹣1
16．（2020·上海交大附中高二期中）平行六面体中，已知底面四边形为正方形，且，其中，设，，体对角线，则的值是______.
【答案】
【解析】，
故
，解得.故答案为：.
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