高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.1 空间向量及其运算第1课时导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.1 空间向量及其运算第1课时导学案，共16页。学案主要包含了空间向量的有关概念，空间向量的加减运算，空间向量的数乘运算等内容，欢迎下载使用。

1．1.1 空间向量及其线性运算
第1课时 空间向量及其线性运算
学习目标 1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念.2.经历由平面向量的运算及其运算律推广到空间向量的过程.3.掌握空间向量的线性运算．
导语
国庆期间，某游客从上海世博园(O)游览结束后乘车到外滩(A)观赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B)游玩，如图1，游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个过程？如果游客还要登上东方明珠顶端(D)俯瞰上海美丽的夜景，如图2，那么他实际发生的位移是什么？又如何表示呢？
一、空间向量的有关概念
知识梳理
1．在空间，把具有方向和大小的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模．
空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模，a的起点是A，终点是B，则a也可记作eq \(AB,\s\up6(→))，其模记为|a|或|eq \(AB,\s\up6(→))|.
2．几类特殊的空间向量
注意点：
(1)平面向量是一种特殊的空间向量．
(2)两个向量相等的充要条件为长度相等，方向相同．
(3)向量不能比较大小．
(4)共线向量不一定具备传递性，比如0．
例1 (1)下列关于空间向量的说法中正确的是( )
A．单位向量都相等
B．若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反
C．若向量eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))满足|eq \(AB,\s\up6(→))|>|eq \(CD,\s\up6(→))|，则eq \(AB,\s\up6(→))>eq \(CD,\s\up6(→))
D．相等向量其方向必相同
答案 D
解析 A中，单位向量长度相等，方向不确定；
B中，|a|＝|b|只能说明a，b的长度相等而方向不确定；
C中，向量不能比较大小．
(2)(多选)下列命题为真命题的是( )
A．若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b
B．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(A1C1,\s\up6(——→))
C．若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p
D．空间中，a∥b，b∥c，则a∥c
答案 BC
解析 A为假命题，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同，而A中向量a与b的方向不一定相同；
B为真命题，eq \(AC,\s\up6(→))与eq \(A1C1,\s\up6(——→))的方向相同，模也相等，故eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(A1C1,\s\up6(——→))；
C为真命题，向量的相等满足传递性；
D为假命题，平行向量不一定具有传递性，当b＝0时，a与c不一定平行．
反思感悟 空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念．
跟踪训练1 如图所示，以长方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中，
(1)试写出与eq \(AB,\s\up6(→))相等的所有向量；
(2)试写出eq \(AA1,\s\up6(→))的相反向量；
(3)若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量eq \(AC1,\s\up6(→))的模．
解 (1)与向量eq \(AB,\s\up6(→))相等的所有向量(除它自身之外)有eq \(A1B1,\s\up6(——→))，eq \(DC,\s\up6(→))及eq \(D1C1,\s\up6(——→))共3个．
(2)向量eq \(AA1,\s\up6(→))的相反向量为eq \(A1A,\s\up6(—→))，eq \(B1B,\s\up6(—→))，eq \(C1C,\s\up6(—→))，eq \(D1D,\s\up6(—→)).
(3)|eq \(AC1,\s\up6(→))|＝eq \r(|AC|2＋|CC1|2)＝eq \r(|AB|2＋|BC|2＋|CC1|2)＝3.
二、空间向量的加减运算
问题 空间中的任意两个向量是否共面？为什么？
提示 共面，任意两个向量都可以平移到同一个平面内，因此空间中向量的加减运算与平面中一致．
知识梳理
注意点：
(1)求向量和时，可以首尾相接，也可共起点；求向量差时，可以共起点．
(2)三角形法则、平行四边形法则在空间向量中也适用．
例2 (1)(多选)如图，在正方体ABCD －A1B1C1D1中，下列各式运算结果为eq \(BD1,\s\up6(→))的是( )
A.eq \(A1D1,\s\up6(——→))－eq \(A1A,\s\up6(—→))－eq \(AB,\s\up6(→))
B.eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BB1,\s\up6(→))－eq \(D1C1,\s\up6(——→))
C.eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(DD1,\s\up6(→))
D.eq \(B1D1,\s\up6(——→))－eq \(A1A,\s\up6(—→))＋eq \(DD1,\s\up6(→))
答案 AB
解析 A中，eq \(A1D1,\s\up6(——→))－eq \(A1A,\s\up6(—→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AD1,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(BD1,\s\up6(→))；
B中，eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BB1,\s\up6(→))－eq \(D1C1,\s\up6(——→))＝eq \(BC1,\s\up6(→))＋eq \(C1D1,\s\up6(——→))＝eq \(BD1,\s\up6(→))；
C中，eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(DD1,\s\up6(→))＝eq \(BD,\s\up6(→))－eq \(DD1,\s\up6(→))＝eq \(BD,\s\up6(→))－eq \(BB1,\s\up6(→))＝eq \(B1D,\s\up6(—→))≠eq \(BD1,\s\up6(→))；
D中，eq \(B1D1,\s\up6(——→))－eq \(A1A,\s\up6(——→))＋eq \(DD1,\s\up6(→))＝eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(DD1,\s\up6(→))＝eq \(BD1,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(→))≠eq \(BD1,\s\up6(→)).故选AB.
(2)化简(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→)))－(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(BD,\s\up6(→)))＝________.
答案 0
解析 方法一(转化为加法运算)
(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→)))－(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(BD,\s\up6(→)))＝eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))
＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))
＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＝0．
方法二(转化为减法运算)
(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→)))－(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(BD,\s\up6(→)))
＝(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))＋(eq \(BD,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→)))
＝eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝0．
反思感悟 空间向量加法、减法运算的两个技巧
(1)巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．
(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．
跟踪训练2 如图，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简以下式子，并在图中标出化简结果．
(1)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(DC,\s\up6(→))；
(2)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(DG,\s\up6(→))－eq \(CE,\s\up6(→)).
解 (1)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))，如图中向量eq \(AD,\s\up6(→)).
(2)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(DG,\s\up6(→))－eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BG,\s\up6(→))＋eq \(EC,\s\up6(→))＝eq \(AG,\s\up6(→))＋eq \(GF,\s\up6(→))＝eq \(AF,\s\up6(→))，如图中向量eq \(AF,\s\up6(→)).
三、空间向量的数乘运算
知识梳理
注意点：
(1)当λ＝0或a＝0时，λa＝0．
(2)λ的正负影响着向量λa的方向，λ的绝对值的大小影响着λa的长度．
(3)向量λa与向量a一定是共线向量．
例3 如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设eq \(AA1,\s\up6(→))＝a，eq \(AB,\s\up6(→))＝b，eq \(AD,\s\up6(→))＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
(1)eq \(AP,\s\up6(→))；(2)eq \(A1N,\s\up6(—→))；(3)eq \(MP,\s\up6(→)).
解 (1)∵P是C1D1的中点，
∴eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(A1D1,\s\up6(——→))＋eq \(D1P,\s\up6(—→))＝a＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(D1C1,\s\up6(——→))
＝a＋c＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋eq \f(1,2)b＋c.
(2)∵N是BC的中点，
∴eq \(A1N,\s\up6(—→))＝eq \(A1A,\s\up6(—→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BN,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))
＝－a＋b＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq \f(1,2)c.
(3)∵M是AA1的中点，
∴eq \(MP,\s\up6(→))＝eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(A1A,\s\up6(—→))＋eq \(AP,\s\up6(→))
＝－eq \f(1,2)a＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋c＋\f(1,2)b))＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c.
延伸探究
1.例3的条件不变，试用a，b，c表示向量eq \(PN,\s\up6(→)).
解 因为P，N分别是D1C1，BC的中点，
所以eq \(PN,\s\up6(→))＝eq \(PC1,\s\up6(→))＋eq \(C1C,\s\up6(—→))＋eq \(CN,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋(－eq \(AA1,\s\up6(→)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)\(AD,\s\up6(→))))＝－a＋eq \f(1,2)b－eq \f(1,2)c.
2．若把例3中“P是C1D1的中点”改为“P在线段C1D1上，且eq \f(C1P,PD1)＝eq \f(1,2)”，其他条件不变，如何表示eq \(AP,\s\up6(→))？
解 eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))1＋eq \(D1P,\s\up6(—→))＝eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋c＋eq \f(2,3)b.
反思感悟 利用数乘运算进行向量表示的技巧
(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．
(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．
跟踪训练3 已知四边形ABCD为正方形，P是四边形ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形的中心O，Q是CD的中点，求下列各题中x，y的值．
(1)eq \(OQ,\s\up6(→))＝eq \(PQ,\s\up6(→))＋xeq \(PC,\s\up6(→))＋yeq \(PA,\s\up6(→))；
(2)eq \(PA,\s\up6(→))＝xeq \(PO,\s\up6(→))＋yeq \(PQ,\s\up6(→))＋eq \(PD,\s\up6(→)).
解 (1)由图可知，eq \(OQ,\s\up6(→))＝eq \(PQ,\s\up6(→))－eq \(PO,\s\up6(→))
＝eq \(PQ,\s\up6(→))－eq \f(1,2)(eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→)))
＝eq \(PQ,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(PA,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(PC,\s\up6(→))，
∴x＝y＝－eq \f(1,2).
(2)∵eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝2eq \(PO,\s\up6(→))，
∴eq \(PA,\s\up6(→))＝2eq \(PO,\s\up6(→))－eq \(PC,\s\up6(→)).
∵eq \(PC,\s\up6(→))＋eq \(PD,\s\up6(→))＝2eq \(PQ,\s\up6(→))，
∴eq \(PC,\s\up6(→))＝2eq \(PQ,\s\up6(→))－eq \(PD,\s\up6(→))，
∴eq \(PA,\s\up6(→))＝2eq \(PO,\s\up6(→))－(2eq \(PQ,\s\up6(→))－eq \(PD,\s\up6(→)))＝2eq \(PO,\s\up6(→))－2eq \(PQ,\s\up6(→))＋eq \(PD,\s\up6(→)).
∴x＝2，y＝－2.
1．知识清单：
(1)向量的相关概念．
(2)向量的线性运算(加法、减法和数乘)．
(3)向量的线性运算的运算律．
2．方法归纳：类比、三角形法则、平行四边形法则、数形结合思想．
3．常见误区：应抓住向量的“大小”和“方向”两个要素，并注意它是一个“量”，而不是一个数．
1．(多选)下列命题中，真命题是( )
A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
C．只有零向量的模等于0
D．共线的单位向量都相等
答案 ABC
解析 容易判断D是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量．
2．化简eq \(PM,\s\up6(→))－eq \(PN,\s\up6(→))＋eq \(MN,\s\up6(→))所得的结果是( )
A.eq \(PM,\s\up6(→)) B.eq \(NP,\s\up6(→))
C．0 D.eq \(MN,\s\up6(→))
答案 C
解析 eq \(PM,\s\up6(→))－eq \(PN,\s\up6(→))＋eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(NM,\s\up6(→))＋eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(NM,\s\up6(→))－eq \(NM,\s\up6(→))＝0．
3．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且eq \(AO,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(DO,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))，则四边形ABCD是( )
A．平行四边形 B．空间四边形
C．等腰梯形 D．矩形
答案 A
解析 ∵eq \(AO,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(DO,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))，
∴eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→)).
∴eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(DC,\s\up6(→))且|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(DC,\s\up6(→))|.
∴四边形ABCD为平行四边形．
4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知下列各式：①(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))＋eq \(CC1,\s\up6(→))；②(eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(A1D1,\s\up6(——→)))＋eq \(D1C1,\s\up6(——→))；③(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BB1,\s\up6(→)))＋eq \(B1C1,\s\up6(——→))；④(eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(A1B1,\s\up6(——→)))＋eq \(B1C1,\s\up6(——→)).其中运算结果为eq \(AC1,\s\up6(→))的有________个．
答案 4
解析 根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断：
①(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))＋eq \(CC1,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CC1,\s\up6(→))＝eq \(AC1,\s\up6(→))；
②(eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(A1D1,\s\up6(——→)))＋eq \(D1C1,\s\up6(——→))＝eq \(AD1,\s\up6(→))＋eq \(D1C1,\s\up6(——→))＝eq \(AC1,\s\up6(→))；
③(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BB1,\s\up6(→)))＋eq \(B1C1,\s\up6(——→))＝eq \(AB1,\s\up6(→))＋eq \(B1C1,\s\up6(——→))＝eq \(AC1,\s\up6(→))；
④(eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(A1B1,\s\up6(——→)))＋eq \(B1C1,\s\up6(——→))＝eq \(AB1,\s\up6(→))＋eq \(B1C1,\s\up6(——→))＝eq \(AC1,\s\up6(→)).
所以4个式子的运算结果都是eq \(AC1,\s\up6(→)).
课时对点练
1．下列说法中正确的是( )
A．空间中共线的向量必在同一条直线上
B.eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(CD,\s\up6(→))的充要条件是A与C重合，B与D重合
C．数乘运算中，λ既决定大小，又决定方向
D．在四边形ABCD中，一定有eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))
答案 C
解析 对于A，向量共线是指表示向量的有向线段所在直线平行或重合，所以A错误；
对于B，eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(CD,\s\up6(→))的充要条件是|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(CD,\s\up6(→))|，且eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))同向．但A与C，B与D不一定重合，所以B错误；
对于C，λ既决定大小又决定方向，所以C正确；
对于D，满足eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))的一定是平行四边形，一般四边形是不满足的，因而D错误．
综上可知，正确的为B.
2．向量a，b互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是( )
A．a＝b B．a＋b为实数0
C．a与b方向相同 D．|a|＝3
答案 D
解析 向量a，b互为相反向量，则a，b模相等，方向相反，故选D.
3.如图，在四棱柱的上底面ABCD中，eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，则下列向量相等的是( )
A.eq \(AD,\s\up6(→))与eq \(CB,\s\up6(→))
B.eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OC,\s\up6(→))
C.eq \(AC,\s\up6(→))与eq \(DB,\s\up6(→))
D.eq \(DO,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→))
答案 D
解析 对于A，eq \(AD,\s\up6(→))与eq \(CB,\s\up6(→))的方向相反，因而不是相等向量，所以A错误；
对于B，eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OC,\s\up6(→))的方向相反，因而不是相等向量，所以B错误；
对于C，eq \(AC,\s\up6(→))与eq \(DB,\s\up6(→))的方向不同，因而不是相等向量，所以C错误；
对于D，eq \(DO,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→))的方向相同，大小相等，是相等向量，因而D正确．
4.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若eq \(CA,\s\up6(→))＝a，eq \(CB,\s\up6(→))＝b，eq \(CC1,\s\up6(→))＝c，则eq \(A1B,\s\up6(—→))等于( )
A．a＋b－c
B．a－b＋c
C．b－a－c
D．b－a＋c
答案 C
解析 eq \(A1B,\s\up6(—→))＝eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AA1,\s\up6(→))＝(eq \(CB,\s\up6(→))－eq \(CA,\s\up6(→)))－eq \(AA1,\s\up6(→))，
∵eq \(AA1,\s\up6(→))＝eq \(CC1,\s\up6(→))＝c，
∴eq \(A1B,\s\up6(—→))＝b－a－c.
5.如图，在空间四边形OABC中，eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，点M，N分别为OA，BC的中点，则eq \(MN,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c
B．－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c
C.eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b－eq \f(2,3)c
D.eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b－eq \f(1,2)c
答案 B
解析 eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BN,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)a＋(b－a)＋eq \f(1,2)(c－b)＝－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c.
6．(多选)已知平行六面体ABCD－A′B′C′D′，则下列四式中正确的有( )
A.eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))
B.eq \(AC′,\s\up6(——→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(B′C′,\s\up6(———→))＋eq \(CC′,\s\up6(—→))
C.eq \(AA′,\s\up6(—→))＝eq \(CC′,\s\up6(—→))
D.eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BB′,\s\up6(—→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(C′C,\s\up6(——→))＝eq \(AC′,\s\up6(—→))
答案 ABC
解析 作出平行六面体ABCD－A′B′C′D′的图象如图，可得eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))，故A正确；eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(B′C′,\s\up6(———→))＋eq \(CC′,\s\up6(—→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CC′,\s\up6(—→))＝eq \(AC′,\s\up6(—→))，故B正确；C显然正确；eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BB′,\s\up6(—→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(C′C,\s\up6(——→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))，故D不正确．综上，正确的有ABC.
7．设A，B，C，D为空间任意四点，则eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝________.
答案 eq \(AD,\s\up6(→))
解析 eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→)).
8．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M是AA1的中点，已知eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，eq \(AA1,\s\up6(→))＝c，用a，b，c表示eq \(CM,\s\up6(→))，则eq \(CM,\s\up6(→))＝________.
答案 －a－b＋eq \f(1,2)c
解析 ∵eq \(CM,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AM,\s\up6(→))＝－eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AM,\s\up6(→))，
又∵M是AA1的中点，
∴eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AA1,\s\up6(→))，
∴eq \(CM,\s\up6(→))＝－eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AA1,\s\up6(→))，
∵eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，eq \(AA1,\s\up6(→))＝c，
∴eq \(CM,\s\up6(→))＝－a－b＋eq \f(1,2)c.
9.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是BB1的中点．化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量．
(1)eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(BA1,\s\up6(→))；
(2)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AA1,\s\up6(→))；
(3)eq \(AA1,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→)).
解 (1)eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(BA1,\s\up6(→))＝eq \(CA1,\s\up6(→)).
(2)因为M是BB1的中点，
所以eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BB1,\s\up6(→)).
又eq \(AA1,\s\up6(→))＝eq \(BB1,\s\up6(→))，
所以eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AA1,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \(AM,\s\up6(→)).
(3)eq \(AA1,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(CA1,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(BA1,\s\up6(→)).
向量eq \(CA1,\s\up6(→))，eq \(AM,\s\up6(→))，eq \(BA1,\s\up6(→))如图所示．
10.如图，设O为▱ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点，若eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(OD,\s\up6(→))＋xeq \(OB,\s\up6(→))＋yeq \(OA,\s\up6(→))，求x，y的值．
解 ∵eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CE,\s\up6(→))
＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(OC,\s\up6(→))
＝－eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(OC,\s\up6(→))＝－eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(OD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→)))
＝－eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(OD,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))
＝－eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(OD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,2)eq \(OD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up6(→))－eq \f(3,2)eq \(OA,\s\up6(→))，
又eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(OD,\s\up6(→))＋xeq \(OB,\s\up6(→))＋yeq \(OA,\s\up6(→))，
∴x＝eq \f(1,2)，y＝－eq \f(3,2).
11．已知空间中任意四个点A，B，C，D，则eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→))等于( )
A.eq \(DB,\s\up6(→)) B.eq \(AB,\s\up6(→)) C.eq \(AC,\s\up6(→)) D.eq \(BA,\s\up6(→))
答案 D
解析 方法一 eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→))＝(eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→)))－eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→)).
方法二 eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(DA,\s\up6(→))＋(eq \(CD,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→)))＝eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→)).
12.如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，AC与BD的交点为O，点M在BC′上，且BM＝2MC′，则eq \(OM,\s\up6(→))等于( )
A．－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(7,6)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AA′,\s\up6(—→))
B．－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(5,6)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AA′,\s\up6(—→))
C．eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,6)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AA′,\s\up6(—→))
D．eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,6)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AA′,\s\up6(—→))
答案 C
解析 因为BM＝2MC′，
所以eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(BC′,\s\up6(—→))，
在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，
eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(BC′,\s\up6(—→))＝eq \f(1,2)eq \(DB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA′,\s\up6(—→)))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→)))＋eq \f(2,3)(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA′,\s\up6(—→)))
＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,6)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AA′,\s\up6(—→)).
13．如图，在四面体ABCD中，E，G分别是CD，BE的中点，若记eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，eq \(AC,\s\up6(→))＝c，则eq \(AG,\s\up6(→))＝________.
答案 eq \f(1,2)a＋eq \f(1,4)b＋eq \f(1,4)c
解析 在四面体ABCD中，E，G分别是CD，BE的中点，
则eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BG,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)×eq \f(1,2)(eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→)))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))
＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AD,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))
＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→))
＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,4)b＋eq \f(1,4)c.
14.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．
(1)化简eq \(A1O,\s\up6(—→))－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＝________.
(2)用eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AA1,\s\up6(→))表示eq \(OC1,\s\up6(→))，则eq \(OC1,\s\up6(→))＝________.
答案 (1)eq \(A1A,\s\up6(—→)) (2)eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(→))
解析 (1)eq \(A1O,\s\up6(—→))－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(A1O,\s\up6(—→))－eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＝eq \(A1O,\s\up6(→))－eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \(A1O,\s\up6(—→))＋eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \(A1A,\s\up6(—→)).
(2)因为eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))，
所以eq \(OC1,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(CC1,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＋eq \(AA1,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(→)).
15．在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，若eq \(AC′,\s\up6(—→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(y,2)eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(z,3)eq \(CC′,\s\up6(—→))，则x＋y＋z＝________.
答案 6
解析 在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，eq \(AC′,\s\up6(—→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CC′,\s\up6(—→))，又eq \(AC′,\s\up6(—→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(y,2)eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(z,3)eq \(CC′,\s\up6(—→))，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,\f(y,2)＝1，,\f(z,3)＝1，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝2，,z＝3，))∴x＋y＋z＝6.
16.如图，已知ABCD－A′B′C′D′是平行六面体．
(1)化简eq \f(1,2)eq \(AA′,\s\up6(—→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))，并在图中标出其结果；
(2)设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC′B′对角线BC′上的eq \f(3,4)分点，设eq \(MN,\s\up6(→))＝αeq \(AB,\s\up6(→))＋βeq \(AD,\s\up6(→))＋γeq \(AA′,\s\up6(—→))，试求α，β，γ的值．
解 (1)如图，取AA′的中点E，在D′C′上取一点F，使D′F＝2FC′，连接EF，
则eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AA′,\s\up6(—→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→)).
(2)因为eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(BN,\s\up6(→))
＝eq \f(1,2)eq \(DB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(BC′,\s\up6(—→))＝eq \f(1,2)(eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))＋eq \f(3,4)(eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CC′,\s\up6(—→)))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AA′,\s\up6(—→))，
所以α＝eq \f(1,2)，β＝eq \f(1,4)，γ＝eq \f(3,4).名称
定义及表示
零向量
规定长度为0的向量叫做零向量，记为0
单位向量
模为1的向量叫做单位向量
相反向量
与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，记为－a
共线向量
如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a
相等向量
方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量
加法运算
三角形
法则
语言叙述
首尾顺次相接，首指向尾为和
图形叙述
平行四边形法则
语言叙述
共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和
图形叙述
减法运算
三角形
法则
语言叙述
共起点，连终点，方向指向被减向量
图形叙述
加法运算
交换律
a＋b＝b＋a
结合律
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
定义
与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为空间向量的数乘
几何意义
λ>0
λa与向量a的方向相同
λa的长度是a的长度的|λ|倍
λ<0
λa与向量a的方向相反
λ＝0
λa＝0，其方向是任意的
运算律
结合律
λ(μa)＝(λμ)a
分配律
(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb