初中数学华师大版九年级上册1.锐角三角函数第1课时导学案

教学目标

1.理解锐角三角函数的定义.

2.熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算.

教学重难点

重点：理解锐角三角函数的定义.

难点：掌握三角函数之间的关系并会计算.

教学过程

复习巩固

1.直角三角形两锐角、三边之间的关系：

如图，在Rt △ABC中，∠C＝90°.

两锐角关系：∠A+∠B＝90°.

三边关系：AC2 + BC2 ＝AB2.

2.相似三角形的性质：

相似三角形对应边成比例，对应角相等.

导入新课

活动1（学生交流，教师点评）

【探究】任意画Rt△ABC 和Rt△A′B′C′，使得∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′＝α，那么 与 有什么关系.能解释一下吗？

教师引出课题： 24.3　　锐角三角函数

1　锐角三角函数　（第1课时）

探究新知

探究点一　锐角的正弦、余弦、正切

活动2（学生交流，教师点评）

接着探究上面的问题，可得在Rt△ABC 和Rt△A′B′C′中，因为∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′＝α，所以Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，

.

这就是说，在Rt△ABC中，当锐角∠A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值.

【总结】

1.∠A的正弦的定义

在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sin A，即

sin A＝＝.

活动3（学生交流，教师点评）

【思考】

一般情况下，在Rt△ABC中，当锐角∠A取其他确定的值时，∠A的对边与邻边的比值还会是一个固定的值吗？

【探索】观察下图

易知 Rt△AB1C1∽ Rt△AB2C2 ∽ Rt△AB3C3

则＝，＝＝.

同样可以发现，对于锐角∠A的每一个确定的值，其邻边与斜边的比值、对边与邻边的比值都是一个定值.

【总结】

2.∠A的余弦的定义

在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的对边为a，∠A的邻边为b，斜边为c.

∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cos A，

即.

3.∠A的正切的定义

在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的对边为a，∠A的邻边为b，斜边为c.

∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tan A，

即tan A＝ ＝.

探究点二　锐角三角函数的概念

【归纳】在Rt△ABC中，∠C＝90°，对于锐角∠A的每一个确定的值，sin A有唯一确定的值与它对应，所以sinA是锐角∠A的函数.同样地，cosA，tanA也是锐角∠A的函数.

sin A＝＝，

cos A＝＝，

tan A＝ ＝，

以上分别叫做锐角∠A的正弦、余弦、正切，统称为锐角∠A的锐角三角函数.

锐角三角函数的取值范围：

0<sin A<1，　　0<cos A<1，　　tan A>0.

【注意】sin A、cos A、tan A的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关.

活动4　合作探究解决问题（小组交流，教师点评）

典例讲解(师生互动)

例1　在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，AB＝13，求∠A的三个三角函数值.

【解】sin A＝＝，cos A＝＝，tan A＝＝.

例2　如图，∠C＝90°，CD⊥AB.

(1)sinB可以是哪两条线段之比?

(2)若AC＝5，CD＝3，求sinB的值.

【解】（1）.

（2）∵ ∠B　＝∠ACD，

∴ sin B＝sin ∠ACD.

在Rt△ACD中，AD＝ ＝ ＝4，

sin ∠ACD＝，

∴ sin B.

【题后总结】(学生总结，老师点评)求一个角的正弦值，除了用定义直接求外，还可以转化为求和它相等角的正弦值.

【即学即练】（小组交流，教师点评）

在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，求cos A、sin B、tan B的值.

【解】∵ sinA＝＝，

∴ 设AB＝13x，BC＝12x.

由勾股定理，得AC＝＝＝5x.

∴ cos A＝＝，sin B＝＝，tan B＝＝.

【题后总结】(学生总结，老师点评)根据sin A＝能得到BC与AB的关系，进而通过设未知数，根据勾股定理求出AC.

课堂练习

1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果sin A＝，那么sin B的值是(　　)

A.  B.

C. D.3

2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，求sin A、cos A、tan A的值.

3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，tanA＝，求sinA、cosB的值.

4.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，M是直角边AC上一点，MN⊥AB于点N，AN＝3，AM＝4，求cos B的值.

参考答案

1.A　

2.【解】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB ＝10，BC＝6，

∴ .

由勾股定理，得，

∴ .

3.【解】∵ ，AC＝8，

.

，.

4.【解】∵ ∠C＝90°，MN⊥AB，

∴ ∠C＝∠ANM＝90°.

又∵ ∠A＝∠A，

∴ △AMN∽△ABC，

∴ ＝＝.

设AC＝3x，AB＝4x，

由勾股定理，得BC＝＝x.

在Rt△ABC中，cos B＝＝＝.

课堂小结

 (学生总结，老师点评)

锐角∠A的正弦，余弦，正切

sin A＝＝；

cos A＝＝；

tan A＝ ＝.

锐角∠A的正弦、余弦、正切，统称为锐角∠A的锐角三角函数.

【注意】sin A、 cos A 、tan A的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关.

布置作业

教材第107页练习题第1，2，3题.

板书设计

课题　24.3　锐角三角函数

1　锐角三角形函数（第1课时）

【探究】　　　　　　　　　　　　　例1

锐角∠A的正弦，余弦，正切

　　　　　　　　　　　　　　　　　例2

sin A＝＝；

cos A＝＝；

tan A＝ ＝.

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