突破4.4 对数函数（重难点突破）-【新教材精选】2022-2023学年高一数学重难点课时训 （人教A版2019必修第一册）

突破4.4 对数函数 一、考情分析 二、考点梳理 考点一 对数函数及其性质 (1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质  三、题型突破 (一) 对数函数的概念与图像 例1、（1）给出下列函数： ①y＝x2；②y＝log3（x﹣1）；③y＝logx+1x；④y＝logπx．其中是对数函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】由对数函数的定义依次判断即可． 【答案】解：①y＝x2的真数为x2，故不是对数函数； ②y＝log3（x﹣1）的真数为x﹣1，故不是对数函数；③y＝logx+1x的底数为x+1，故不是对数函数； ④y＝logπx是对数函数；故选：A． （2）．（2021·福建厦门市·厦门外国语学校）若函数的图象经过点(4，2)，则函数g(x)＝loga的图象是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据函数的图象经过点(4，2)可求出的值，把的值代入函数的解析式，从而根据函数的定义域及单调性排除选项. 【详解】 由题意可知f(4)＝2，即a3＝2，所以a＝. 所以， 因为函数的定义域为，且函数在定义域内单调递减，所以排除选项A，B，C. 故选：D. 【变式训练1-1】、函数f(x)＝loga|x|＋1(0＜a＜1)的图象大致为(　　) 【答案】A 【解析】选A　由函数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y轴对称．设g(x)＝loga|x|，先画出x>0时，g(x)的图象，然后根据g(x)的图象关于y轴对称画出x<0时g(x)的图象，最后由函数g(x)的图象向上整体平移一个单位即得f(x)的图象，结合图象知选A. 【变式训练1-2】、（2019秋•洛南县期末）函数y＝|lg（x+1）|的图象是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题研究一个对数型函数的图象特征，函数y＝|lg（x+1）|的图象可由函数y＝lg（x+1）的图象将X轴下方的部分翻折到X轴上部而得到，故首先要研究清楚函数y＝lg（x+1）的图象，由图象特征选出正确选项 【答案】解：由于函数y＝lg（x+1）的图象可由函数y＝lgx的图象左移一个单位而得到，函数y＝lgx的图象与X轴的交点是（1，0）， 故函数y＝lg（x+1）的图象与X轴的交点是（0，0），即函数y＝|lg（x+1）|的图象与X轴的公共点是（0，0），考察四个选项中的图象只有A选项符合题意故选：A． 例2．（1）、函数y＝的图象大致是(　　) 【答案】B 【解析】当x＜0时，函数的图象是抛物线；当x≥0时，只需把y＝2x的图象在y轴右侧的部分向下平移1个单位即可，故大致图象为B. （2）、计算：＋log2(log216)＝________. 【答案】： 【解析】：原式＝＋log24＝＋2＝. 【变式训练2-1】．（2020·浙江高一单元测试）已知，且，，若，则下列不等式可能正确的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】∵，∴若，则，即． ∴，故A正确．，故D正确． 若，则，∴，，故BC错误， 故选：AD 【变式训练2-2】．已知函数，则_______. 【答案】 【解析】 ．故答案为：－1 【变式训练2-3】．图中曲线是对数函数的图象，已知取，，，四个值，则相应于，，，的值依次为　　 A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】A 【解析】由已知中曲线是对数函数的图象， 由对数函数的图象和性质，可得，，，的值从小到大依次为：，，，， 由取，，，四个值， 故，，，的值依次为，，，，故选：． (二)、 比较大小 例3．（1）、（2019·浙江湖州高一期中）下列各式中错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A、∵y＝3x，在R上为增函数，∵0.8＞0.7，∴30.8＞30.7，故A正确； B、∵y＝log0.5x，在上为减函数，∵0.4＜0.6，∴log0..50.4＞log0..50.6，故B正确； C、∵y＝0.75x，在R上为减函数，∵﹣0.1＜0.1，∴0.75﹣0.1＞0.750.1，故C错误； D、∵，在上为增函数，∵，∴，故D正确.故选：C． （2）、（2021·江西高三月考（文））已知，，，则，，的大小关系为（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用指数函数的性质及对数函数的性质即可得到. 【详解】 ∵，，， ∴． 故选：C. 【变式训练3-1】．（2020·全国高一课时练习）设则（ ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a 【答案】A 【解析】 ，.故选：A. 【变式训练3-2】．（2021·全国高三月考（理））已知，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 利用指数函数与对数函数的性质借助中间值即可比较 【详解】 因为， ， ， 又由于，所以. 故选：D. 、对数函数过定点问题 例4.（1）、（2019秋•水富县校级月考）已知函数y＝3+loga（2x+3）（a＞0，a≠1）的图象必经过定点P，则P点 坐标是（　　） A．（1，3） B．（﹣，4） C．（﹣1，3） D．（﹣1，4） 【分析】令2x+3＝1，求得x的值，从而求得P点的坐标． 【答案】解：令2x+3＝1，可得 x＝﹣1，此时y＝3． 即函数y＝3+loga（2x+3）（a＞0，a≠1））的图象必经过定点P的坐标为（﹣1，3）．故选：C． 【点睛】本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，属于基础题． （2）、（2021·镇远县文德民族中学校高一月考）函数的图象过定点（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用真数为可求得定点的坐标. 【详解】 对于函数，令，可得，则， 因此，函数的图象过定点. 故选：C. 【变式训练4-1】．（2021·福建厦门市·厦门外国语学校）已知函数且的图像恒过定点，点在幂函数的图像上，则（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】 先求得函数且的定点，再根据点在幂函数的图象上，求得幂函数的解析式即可. 【详解】 令，得， 所以函数且的图像恒过定点， 设幂函数为， 因为点在幂函数的图象上， 所以，解得， 所以， 故选：B 【变式训练4-2】．（2021·渤海大学附属高级中学）(多选)已知函数的图象恒过点A，则下列函数图象也过点A的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】 先判断函数图象恒过的定点A，再逐一判断选项函数是否过该定点A即可. 【详解】 令，得，即函数的图象恒过点． 选项A中，函数，令，得，此时函数图象过点，满足题意； 选项B中，函数，令，得，此时函数图象过点，满足题意； 选项C中，函数，令，得，此时函数图象过点，满足题意； 选项D中，函数，令，得，此时函数图象不过点，不满足题意． 故选:ABC． (四) 、有关对数函数奇偶性问题 例5．（1）、（多选题）下列函数中，是奇函数且存在零点的是(　　) A．y＝x3＋x B．y＝log2x C．y＝2x2－3 D．y＝x|x| 【答案】AD 【解析】A中，y＝x3＋x为奇函数，且存在零点x＝0，与题意相符；B中，y＝log2x为非奇非偶函数，与题意不符；C （2）、（2021·云南省下关第一中学高二月考）设函数，则关于的不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 确定函数的奇偶性与单调性，然后由函数的奇偶性与单调性解不等式． 【详解】 函数定义域是，即， ，函数为偶函数， 又时，，其中在是递减，也递减， 因此在是递减， 不等式化为，所以，解得或． 故选：C． 【变式训练5-1】．（2020·全国高三课时练习（理））“”是“函数为奇函数”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 时， ，当 时， ，函数为奇函数；当 时，，函数不是奇函数时， 不一定奇函数，当是奇函数时，由可得，所以“”是“函数为奇函数”的必要不充分条件 ，故选B. 【变式训练5-2】．（2019·黄梅国际育才高级中学高一月考）已知奇函数在上是增函数，若，，，则的大小关系为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意：，且：， 据此：，结合函数的单调性有：， 即.本题选择C选项. (五) 、有关对数函数定义域问题 例6．（1）、函数y＝的定义域为(　　) A．(－∞，2)　　　　　　　 B．(2，＋∞) C．(2,3)∪(3，＋∞) D．(2,4)∪(4，＋∞) 【答案】C 【解析】：选C　根据题意得 解得x>2且x≠3，故选C. （2）、（2019·六盘水市第二中学高一期中（理））函数的定义域是__________． 【答案】 【解析】由题意可得，即，解得且. 因此，函数的定义域是.故答案为：. 【变式训练6-1】．（2021·北京市陈经纶中学高三开学考试）函数的定义域为_______. 【答案】 【分析】 根据偶次根号下的被开方数大于等于零，分母不为，对数的真数大于零，列出不等式组，进行求解再用集合或区间的形式表示出来. 【详解】 解：要使函数有意义，则， ，所以，或，解得或， 因此，函数的定义域是. 故答案为：. 【变式训练6-2】．（2021·乾安县第七中学（文））若函数的定义域为，则实数的取值范围是________ 【答案】 【分析】 根据函数的定义域为，转化为，对恒成立求解. 【详解】 因为函数的定义域为， 所以，对恒成立， 当时，解得，不成立， 当时，由， 解得， 综上：实数的取值范围是. 故答案为： (六) 、对数型复合函数的单调性问题与最值问题 例7．（1）、（2020·丽水外国语实验学校高一月考）已知函数. （1）求函数的定义域及值域； （2）求函数的单调递增区间. 【答案】（1）定义域为，值域为；（2）增区间为，减区间为. 【分析】 （1）由题意利用对数函数的性质，求得函数的定义域. （2）由题意利用复合函数的单调性，二次函数､对数函数的性质，求得函数的增区间和减区间. 【详解】 （1）由函数，可得，求得， 可得函数的定义域为. 令，故当时，t取得最大值为4，故的最大值为. 当t趋于零时，趋于，故函数的值域为. （2）由于二次函数t的图象的对称轴为，定义域为， 故函数的增区间，即函数t的增区间为， 函数的减区间，即函数t的减区间为. （2）、（2021·贵州师大附中高一开学考试）已知函数. （1）求函数的定义域； （2）若函数的最小值为-2，求实数的值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）根据对数函数的知识列不等式组，由此求得的定义域. （2）对进行分类讨论，求得的最值，由此列方程求得的值. 【详解】 （1）由得, 所以函数的定义域为. （2）， 设， 所以，又，则 当时，，值域为 当时，，值域为. 所以当时，函数有最小值，解得 【变式训练7-1】．（2020·全国高一课时练习）函数在上为减函数，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】若函数在上为减函数,则，计算得出，所以B选项是正确的. 【变式训练7-2】．（2020·怀仁市第一中学校云东校区高一期末（理））已知函数. (1)当时,求； (2)求解关于的不等式； (3)若恒成立,求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【解析】 （1）当时， （2）由得： 或 当时，解不等式可得：或 当时，解不等式可得：或 综上所述：当时，的解集为；当时，的解集为 （3）由得： 或 ①当时，， 或，解得： ②当时，， 或，解得： 综上所述：的取值范围为 例8．（2019·内蒙古集宁一中高三月考）已知 (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性并予以证明； (3)求使的的取值范围． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析. 【解析】(1)由>0 ，解得x∈(－1,1)． (2)f(－x)＝loga＝－f(x)，且x∈(－1,1)，∴函数y＝f(x)是奇函数． (3)若a>1，f(x)>0，则>1，解得00，则0<<1，解得－1101时，y>0； 当01时，y<0； 当00在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数