苏教版 (2019)必修 第一册3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式图片课件ppt

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1.了解一元二次方程的根与二次函数零点的关系.2.会用函数的图象判断一元二次方程的根的情况.
通过用二次函数的图象判断一元二次方程的根的情况，提升学生的直观想象素养、逻辑推理素养.
问题导学预习教材必备知识探究
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
一、一元二次函数的零点1.思考　函数与方程有着一定的联系，如一次函数y＝ax＋b(a≠0)与一元一次方程ax＋b＝0(a≠0)之间关系的探究：
发现一次函数图象与x轴交点的横坐标就是对应方程的解.你能否对二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象与x轴交点的横坐标和对应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解建立联系？提示　能，二次函数图象与x轴交点的横坐标也是对应的一元二次方程的解.
2.填空　一般地，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)当函数值取零时自变量x的值，即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与__________________，也称为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点.
温馨提醒　函数的零点不是点，而是一个实数.
3.做一做　思考辨析，判断正误(1)二次函数的零点是其图象与x轴的交点.(　　)提示　零点不是点，是图象与x轴交点的横坐标. (2)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)一定有零点.(　　)提示　当Δ＝b2－4ac<0时，没有零点. (3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点即为对应方程ax2＋bx＋c＝0的根.(　　)
二、二次函数图象、一元二次方程的根与二次函数的零点之间的关系 1.思考　(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点个数、函数的图象与x轴的交点个数、方程f(x)＝0根的个数有什么关系？提示　相等.
(2)如何判断二次函数的零点的情况？提示　二次函数的零点就是相应一元二次方程的实数根，判断是否有零点，即用Δ＝b2－4ac判断一元二次方程的根的情况，解一元二次方程得函数的零点.也可画出函数的图象，图象与x轴的交点的横坐标即为函数零点.
2.填空　二次函数的图象、一元二次方程的根与二次函数的零点之间的关系(当a>0时 )
温馨提醒　关于函数零点个数的判断方法(1)能直接求出零点的直接求零点判断；(2)利用函数的图象判断零点个数：①原理：函数的零点个数⇐方程的根的个数⇐移项拆分为两个初等函数，函数图象的交点个数；②关键：拆分成的两个函数应方便作图.
3.做一做　(1)函数y＝2x2－5x＋2的零点是(　　)
(2)若函数y＝x2－4x＋2k无零点，则k的取值范围是______________.
解析　由题意知，方程x2－4x＋2k＝0无实数解，则Δ＝16－8k<0，得k>2.
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
题型一　二次函数零点的判断
例1 判断下列二次函数是否存在零点，若存在，求出零点.(1)y＝－x2＋2x＋3.(2)y＝x2－x－6.(3)y＝2x2＋3x＋2.解　(1)由y＝－x2＋2x＋3＝0，得x1＝－1，x2＝3，∴二次函数y＝－x2＋2x＋3有两个零点－1和3.(2)由y＝x2－x－6＝0得x1＝－2，x2＝3，∴二次函数y＝x2－x－6有两个零点－2和3.(3)由2x2＋3x＋2＝0得Δ＝9－4×2×2＝－7<0，∴方程没有实数根，∴二次函数y＝2x2＋3x＋2没有零点.
二次函数的零点就是相应一元二次方程的实数根，判断是否有零点，即用Δ＝b2－4ac判断一元二次方程的根的情况，解一元二次方程得函数的零点.也可画出函数的图象，图象与x轴的交点的横坐标即为函数零点.
训练1 判断下列二次函数零点的个数.(1)y＝x2－7x＋12.(2)y＝x2＋1.(3)y＝3x2＋6x＋3.解　(1)由y＝0，即x2－7x＋12＝0，得Δ＝49－4×12＝1>0，∴方程x2－7x＋12＝0有两个不等实根，∴函数有两个零点.(2)由x2＋1＝0得Δ＝－4<0，即方程无实根，∴函数有0个零点.(3)由y＝0，即3x2＋6x＋3＝0，∵Δ＝36－4×3×3＝0，∴方程3x2＋6x＋3＝0有一个实数根，∴函数有一个零点.
题型二　函数零点与参数的值
例2 若函数y＝x2＋x－a的一个零点是－3，求实数a的值，并求函数y＝x2＋x－a其余的零点.解　由题意知y|x＝－3＝0，即(－3)2－3－a＝0，a＝6，∴y＝x2＋x－6.解方程x2＋x－6＝0，得x＝－3或2.∴函数其余的零点是2.
由函数的零点(方程的根)求参数的取值时，由条件构建关于参数的关系式；解关系式求参数值；结合一元二次方程根的判别式Δ＝b2－4ac及根与系数的关系列式求解.
训练2 (1)已知函数y1＝x2－ax＋b有两个零点，则函数y2＝－bx2＋ax－1的零点个数为________.
解析　函数y1＝x2－ax＋b有两个零点，即方程x2－ax＋b＝0有两个不相等的实数根，或函数y1＝x2－ax＋b的图象与x轴有两个不同的交点，因而Δ1＝a2－4b>0.对于函数y2＝－bx2＋ax－1，当b＝0，a≠0时，y2＝－bx2＋ax－1只有1个零点；当b≠0时，由于Δ2＝a2－4b>0，因而y2＝－bx2＋ax－1有2个零点.综上，函数y2＝－bx2＋ax－1的零点个数为1或2.
题型三　一元二次方程根的分布
例3 已知一元二次方程x2＋mx＋1＝0的两根都在(0，2)内，求实数m的取值范围.
解　设y＝x2＋mx＋1，
解决一元二次方程根的分布问题应注意(1)可转化为函数问题，要画出符合题意的草图.(2)结合二次函数图象草图考虑四个方面；①Δ的大小；②对称轴与所给端点值的关系；③开口方向；④端点处的函数值与零的关系.(3)列出不等式(组)，要验证图象是否符合.(4)看根的正负问题，可利用根与系数的关系及根的判别式列不等式求解.
训练3 若关于x的方程4x2＋(m－2)x＋m－5＝0的一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(0，2)内，则实数m的取值范围是(　　)
1.掌握1个概念——函数的零点二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点就是方程y＝0的实数根，也就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数而不是一个点，在写函数零点时，所写的一定是一个数，而不是一个坐标.2.提升1个素养——数形结合结合二次函数图象理解一元二次方程的根与函数的零点的关系.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
1.函数y＝－x2＋x＋2的零点个数是(　　)A.0 B.1 C.2 D.3解析　由－x2＋x＋2＝0得Δ＝1＋8＝9>0，∴方程有两个实根，即函数有两个零点.
2.已知关于x的方程x2－ax＋3＝0的一个根大于1，另一个根小于1，则实数a的取值范围是(　　)A.(4，＋∞) B.(－∞，4)C.(－∞，2) D.(2，＋∞)解析　∵关于x的方程x2－ax＋3＝0的一个根大于1，另一个根小于1，∴令y＝x2－ax＋3，其图象开口向上，只需y|x＝1＝1－a＋3＝4－a<0，得a>4.故选A.
3.若二次函数y＝ax2＋2x＋1(a≠0)有一个正零点和一个负零点，则有(　　)A.a<0 B.a>0C.a<－1 D.a>1解析　法一　由y＝ax2＋2x＋1(a≠0)的图象过(0，1)点，知要使函数的图象与x轴的交点分别在y轴的左、右两侧，则a<0.
4.若关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实根1，2，则函数y＝cx2＋bx＋a的零点为(　　)
5.若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)满足y|x＝1＝0，且a>b>c，则该函数的零点个数为(　　)A.1 B.2C.0 D.不能确定解析　由y|x＝1＝a＋b＋c＝0，又a>b>c，∴a>0，c<0，∴Δ＝b2－4ac>0，∴函数的零点有2个.
6.函数y＝x2－mx－2的一个零点是－1，则m＝________，另一个零点是________.
∴y＝x2－x－2，由x2－x－2＝0得x1＝－1或x2＝2.
7.已知函数y＝ax2＋2ax＋c(a≠0)的一个零点为1，则它的另一个零点为________.
解析　由题意知ax2＋2ax＋c＝0的一个根为1，设另一根为x0，则1＋x0＝－2，∴x0＝－3.
8.函数y＝x2－5x－6在区间[1，4]上的零点个数是________.
解析　由x2－5x－6＝0得x1＝－1，x2＝6，即函数的零点是－1，6，∴函数在区间[1，4]上的零点个数为0.
9.已知二次函数y＝－x2－x＋a只有一个零点，求实数a的值.
10.已知函数y＝ax2＋2ax＋1有两个零点x1，x2且x1∈(0，1)，x2∈(－4，－2)，求实数a的取值范围.解　∵y＝ax2＋2ax＋1有两个零点x1，x2，又函数的图象过(0，1)，x1∈(0，1)，x2∈(－4，－2)，
11.若函数y＝ax2－2(a＋1)x＋a－1有且仅有一个零点，则实数a＝___________.
当a≠0时，ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0为一元二次方程，且有两个相等的实数根，∴Δ＝4(a＋1)2－4a(a－1)
12.在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则y＝x⊙(x－2)的零点为(　　)A.0和2 B.－2和1C.－1和2 D.－2和0解析　由题意y＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，令y＝0，∴x＝－2或x＝1.
13.若二次函数y＝x2＋2x－m＋1没有零点，试说明关于x的方程x2＋mx＋12m＝1一定有实数根.解　由题意知，关于x的方程x2＋2x－m＋1＝0没有实数根，∴此方程的判别式Δ＝22－4×1×(－m＋1)<0，解得m<0.方程x2＋mx＋12m＝1的根的判别式Δ′＝m2－4×1×(12m－1)＝m2－48m＋4，∵m<0，∴m2>0，－48m>0，∴m2－48m＋4>0，即Δ′>0，∴方程x2＋mx＋12m＝1有两个不相等的实数根，即一定有实数根.
14.(多选)若函数y1＝(x－2)(x－5)－1有两个零点x1，x2，且x12且x2>5C.x1<2且x2>5D.25
解析　令y2＝(x－2)·(x－5)，则y1＝y2－1，∴函数y1＝(x－2)(x－5)－1的零点就是函数y2＝(x－2)(x－5)与函数y＝1图象的交点的横坐标.在同一坐标系内画出y2＝(x－2)(x－5)的图象与y＝1的图象如图所示，结合图象知只有C正确.