数学苏教版 (2019)5.1 函数的概念和图象教学课件ppt

第二课时　函数的图象

课标要求　1.理解用函数图象表示函数.2.会画函数图象，并结合图象求函数值域.

素养要求　通过函数图象的画法及图象的应用，提升学生的直观想象素养与逻辑推理素养.

1.思考　在初中已经学习了画一次函数、二次函数的图象，想一想画函数图象有哪些步骤？

提示　画函数图象的步骤：(1)列表：取几个自变量的整数值，并求出y值.(2)描点：用表中x，y对应值作为点的横、纵坐标，在坐标平面中描点.(3)连线：用平滑的曲线顺次连接各点，得到函数的图象.

2.填空　将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点(x0，f(x0)).当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时，就得到一系列这样的点.所有这些点组成的集合(点集)为{(x，f(x))|x∈A}，即{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数y＝f(x)的图象.

温馨提醒　函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等.

要检验一个图形是否为函数的图象，其法则为：在定义域内任取一个x对应的点作垂直于x轴的直线，若此直线与图形有唯一交点，则图形为函数图象；若无交点或多于1个交点，则不是函数图象.

3.做一做　思考辨析，判断正误

(1)任何一个函数都可以画出图象.(　　)

(2)函数的图象一定是其定义域上的一条连续不断的曲线.(　　)

(3)函数f(x)＝x＋1与g(x)＝x＋1(x∈N)的图象相同.(　　)

(4)函数y＝f(x)图象上所有的点组成的集合是{y|y＝f(x)，x∈A}.(　　)

提示　×　有的函数不能画出图象，如f(x)＝

(2)×　反例：f(x)＝的图象就不是连续的曲线.

(3)×　两函数的定义域不同，则图象不同.

(4)×　集合应为{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}.

题型一　画函数图象

例1 画出下列函数的图象：

(1)y＝x2＋x，x∈{－1，0，1，2，3}；

(2)y＝x2＋x，x∈R；

(3)y＝x2＋x，x∈[－1，1).

解　(1)列表：

描点得该函数的图象如图①：

(2)y＝x2＋x＝－，

故函数图象的对称轴为x＝－，顶点为.

又y＝x2＋x开口向上，且与x轴、y轴分别交于点(－1，0)，(0，0).故图象如图②.

                       ①　　　　　　　　　②

(3)y＝x2＋x，x∈[－1，1)的图象是y＝x2＋x，x∈R的图象上x∈[－1，1)的一段，如图，其中点(－1，0)在图象上，用实心点表示；点(1，2)不在图象上，用空心点表示.

思维升华　(1)作函数图象主要有三步：列表、描点、连线.作图象时一般应先确定函数的定义域，在定义域内化简函数解析式，再列表画出图象.

(2)函数的图象可能是平滑的曲线，也可能是一群孤立的点，画图时要注意关键点，如图象与坐标轴的交点、区间端点，二次函数的顶点等等，还要分清这些关键点是实心点还是空心点.

训练1 作出下列函数图象：

(1)y＝1－x(x∈Z且|x|≤2)；

(2)y＝2x2－4x－3(0≤x<3).

解　(1)∵x∈Z且|x|≤2，

∴x∈{－2，－1，0，1，2}.

∴图象为一直线上的孤立点(如图①).

(2)∵y＝2(x－1)2－5，

∴当x＝0时，y＝－3；

当x＝3时，y＝3；当x＝1时，y＝－5.

所画函数图象如图②.

题型二　函数图象的应用

例2 画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题：

(1)比较f(0)，f(1)，f(3)的大小；

(2)若x1<x2<1，比较f(x1)与f(x2)的大小；

(3)求函数f(x)的值域.

解　因为函数f(x)＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4的定义域为R，

列表：

描点，连线，得函数图象如图：

(1)根据图象，

容易发现f(0)＝3，

f(1)＝4，f(3)＝0，

所以f(3)<f(0)<f(1).

(2)根据图象，容易发现当x1<x2<1时，有f(x1)<f(x2).

(3)根据图象，可以看出函数的图象是以(1，4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，4].

迁移1 如果将x1<x2<1改为x1>x2>1, 试比较f(x1)与f(x2)的大小.

解　当x1>x2>1时，结合图象知f(x1)<f(x2).

迁移2 如果函数的定义域为[－1，4]，求函数的值域.

解　当定义域为[－1，4]时，结合图象知值域为[－5，4].

思维升华　函数图象很直观，在解题过程中常用来帮助理解问题的数学本质，依托函数图象可以更直观地寻求问题的解决思路和要点.

训练2 (1)已知f(x)的图象如图所示，则f(x)的定义域为________，值域为________.

(2)若函数f(x)＝x2－4x＋3(x≥0)的图象与直线y＝m有两个交点，求实数m的取值范围.

(1)答案　[－2，4]∪[5，8]　[－4，3]

解析　函数的定义域对应图象上所有点横坐标的取值集合，值域对应纵坐标的取值集合.

(2)解　f(x)＝x2－4x＋3(x≥0)的图象如图所示，

若f(x)的图象与直线y＝m有2个不同交点，

则由图易知－1<m≤3，即实数m的取值范围为(－1，3].

题型三　由函数图象求值域

例3 作出下列函数的图象并求出其值域.

(1)y＝2x＋1，x∈[0，2]；

(2)y＝，x∈[2，＋∞)；

(3)y＝x2＋2x，x∈[－2，2].

解　(1)列表：

当x∈[0，2]时，图象是直线y＝2x＋1的一部分，观察图象可知，其值域为[1，5].

(2)列表：

当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝图象的一部分，观察图象可知，其值域为(0，1].

(3)列表：

画图象，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x≤2之间的部分.由图可得函数的值域是[－1，8].

思维升华　数形结合法求函数值域要注意找函数的最高点与最低点，并注意定义域的影响.

训练3 已知函数f(x)＝x2－2x(－1≤x≤2).

(1)画出f(x)图象的简图；

(2)根据图象写出f(x)的值域.

解　(1)f(x)图象的简图如图所示.

(2)观察f(x)的图象可知，f(x)图象上所有点的纵坐标的取值范围是[－1，3]，则f(x)的值域是[－1，3].

[课堂小结]

1.掌握1个知识点

函数图象的画法.

2.注意2个易错点

(1)作图时应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式.

(2)在作图象时，注意一些关键点，如与坐标轴的交点、最高点或最低点，要分清这些关键点是实心点还是空心点.

一、基础达标

1.(多选)下列四个图形中可能是函数y＝f(x)图象的是(　　)

答案　AD

解析　A，D都满足函数的定义；在B中，当x＝0时，有两个函数值与之对应，不满足函数对应的唯一性；在C中，存在一个x有两个y与x对应，不满足函数对应的唯一性，故选AD.

2.若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　)

答案　B

解析　A中的定义域不是[－2，2]，C中图形不满足唯一性，D中的值域不是[0，2]，故选B.

3.函数y＝的大致图象是(　　)

答案　A

解析　y＝的定义域为{x|x≠－1}，排除C，D；当x＝0时，y＝0，排除B.

4.已知函数y＝f(x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图象是如图所示的曲线ABC，其中A(1，3)，B(2，1)，C(3，2)，则f(g(2))＝(　　)

A.3   B.2 

C.1   D.0

答案　B

解析　由题图知g(2)＝1，∴f(g(2))＝f(1)＝2.故选B.

5.函数f(x)＝x2＋x－2(－1≤x≤2)的值域为(　　)

A.[－2，4]   B.

C.   D.

答案　B

解析　作出函数y＝x2＋x－2，x∈[－1，2]的图象，观察图象可知值域为.

6.已知函数f(x)＝x－，且此函数图象过点(5，4)，则实数m的值为________.

答案　5

解析　由题意知f(5)＝5－＝4，∴m＝5.

7.函数y＝(x≥0)的值域是________.

答案　[－1，1)

解析　由＝＝1＋，∵x≥0，∴x＋1≥1，∴0<≤1，∴－2≤<0，∴－1≤1＋<1.

8.设[x]表示不超过x的最大整数，已知函数f(x)＝x－[x]，则f(－0.5)＝________；其值域为________.

答案　0.5　[0，1)

解析　f(－0.5)＝－0.5－(－1)＝0.5.

∵[x]表示不超过x的最大整数，∴[x]≤x，

∴0≤f(x)＝x－[x]<1.

9.画出下列函数的图象：

(1)y＝x＋1(x≤0)；

(2)y＝x2－2x(x>1，或x<－1).

解　(1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图①所示.

(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x>1，或x<－1)是抛物线y＝x2－2x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余曲线.如图②所示.

10.已知函数y＝f(x)的图象如图所示，求

(1)函数y＝f(x)的定义域；

(2)函数y＝f(x)的值域；

(3)y为何值时，只有唯一的x值与之对应？

解　(1)观察函数y＝f(x)的图象，可以看出图象上所有点的横坐标的取值范围是－3≤x≤0或1≤x≤4，所以定义域为[－3，0]∪[1，4].

(2)由图知值域为[－2，2].

(3)由图知，y∈(0，2]时，只有唯一的x值与之对应.

二、能力提升

11.定义在[－2，2]上的函数f(x)的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是(　　)

A.f(－2)，0　　　　　   B.0，2

C.f(－2)，2   D.f(2)，2

答案　C

解析　由图象可知，此函数的最小值是f(－2), 最大值是2.

12.若函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的定义域为________，值域为________.

答案　[－5，5]　[－2，3]

解析　由图象可以看出，函数y＝f(x)的自变量x的取值范围是－5≤x≤5，y的取值范围是－2≤y≤3，故y＝f(x)的定义域为[－5，5]，值域为[－2，3].

13.画出函数f(x)＝x2＋2x＋3的图象，根据图象回答下列问题.

(1)比较f(－2)，f(1)，f(2)的大小；

(2)若函数定义域为[－2，2]，求函数的值域；

(3)若x1<x2<－1，比较f(x1)与f(x2)的大小.

解　函数f(x)＝x2＋2x＋3的图象如图所示.

(1)由图象知f(－2)<f(1)<f(2).

(2)当x∈[－2，2]时，f(x)的最小值为f(－1)＝2，

f(x)的最大值为f(2)＝11.

∴f(x)的值域为[2，11].

(3)当x1<x2<－1时，有f(x1)>f(x2).

三、创新拓展

14.根据如图所示的函数y＝f(x)的图象填空：

(1)f(0)＝________，

f(1)＝________，

f(2)＝________.

(2)若－1＜x1＜x2＜1，则f(x1)与f(x2)的大小是________.

答案　(1)2　3　0　(2)f(x1)＜f(x2)

解析　结合图象知

(1)f(0)＝2，f(1)＝3，f(2)＝0.

(2)若－1＜x1＜x2＜1，则由图象知f(x1)＜f(x2).