2021-2022学年河北省承德市兴隆县八年级（下）期末数学试卷(解析版)

2021-2022学年河北省承德市兴隆县八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共16小题，共42分）

1. 下列事件：调查长江现有鱼的数量；调查你班每位同学穿鞋的尺码；了解一批电视机的使用寿命；校正某本书上的印刷错误．最适合做全面调查的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 函数 中自变量的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，点是边的中点，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 点一定在(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

5. 一个多边形的内角和是外角和的倍，则这个多边形是边形．(    )

A. 三 B. 四 C. 五 D. 六

6. 去年某校有人参加中考，为了了解他们的数学成绩．从中抽取名考生的数学成绩，其中有名考生达到优秀，那么该校考生达到优秀的人数约有(    )

A. 名 B. 名 C. 名 D. 名

7. 如图，矩形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点、，，，则图中阴影部分的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图所示，四边形的对角线，交于点下列条件中，可判定四边形为矩形的是(    )

A.
B. 是等边三角形
C.
D.

9. 已知数据，，，，，的中位数是，如果这组数据有唯一的众数，那么的值(    )

A.  B.  C.  D. 或

10. 已知：将直线向上平移个单位长度后得到直线，则下列关于直线的说法正确的是(    )

A. 经过第一、二、四象限 B. 与轴交于
C. 与轴交于 D. 随的增大而减小

11. 下列命题是真命题的是(    )

A. 对角线相互垂直的四边形是平行四边形
B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 对角线相等且垂直的四边形是正方形
D. 对角线相互垂直平分的四边形是菱形

12. 下列说法正确的是(    )

A. 若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则甲组数据之和比乙组数据之和大
B. 从，，，，中随机抽取一个数，是偶数的可能性比较大
C. 数据，，，，的众数是
D. 若某种游戏活动的中奖率是，则参加这种活动次必有次中奖

13. 小明家、食堂、图书馆在同一条直线上，小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家，如图反映了这个过程中，小明离家的距离与时间之间的对应关系．根据图象，下列说法正确的是(    )

A. 小明吃早餐用了
B. 小明读报用了
C. 食堂到图书馆的距离为
D. 小明从图书馆回家的速度为

14. 如图，已知长方形中，，在边上取一点，将折叠使点恰好落在边上的点，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

15. 下列说法中，正确的是(    )

A. 连接矩形各边中点得到的四边形是正方形
B. 连接等腰梯形各边中点得到的四边形是菱形
C. 连接平行四边形各边中点得到的四边形是矩形
D. 连接菱形各边中点得到的四边形是正方形

16. 一次函数与的图象在同一平面直角坐标系中的位置如图所示，小华根据图象写出下面三条信息：
    ，；
    不等式的解集是；
    方程组的解是．
    你认为小华写正确(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共3小题，共12分）

17. 某商店选用每千克元的甲种糖千克，每千克元的乙种糖千克，每千克元的丙种糖千克，混合成杂拌糖出售，则这种杂拌糖的售价应为每千克______．
18. 已知▱中，的平分线交于点，且，，则▱的周长等于______．

19. 如图，点、为正方形对角线两点，且，连接、、、，则四边形的形状为______，的度数为______．

三、解答题（本大题共7小题，共66分）

20. 如图，在平行四边形中，、分别是、上的点，且求证：．

21. 如图，点，点求：
    求和的解析式；
    在坐标平面内存在一点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点的坐标．

22. 已知菱形的一个内角为，边长为，求菱形的两条对角线的长和面积．

23. 老师随机抽查了本学期学生读课外书册数的情况，绘制成条形图图和不完整的扇形图图，其中条形图被墨迹遮盖了一部分．
    则条形图中被遮盖的数为______，册数的中位数为______；
    求扇形图中读书为册的部分的圆心角的度数；
    随后又补查了另外几人，得知最少的读了册，将其与之前的数据合并后，发现册数的中位数没改变，则最多补查了______人．
     

24. 某地区山峰的高度每增加百米，气温大约降低，气温和高度百米的函数关系如图所示．
    请根据图象解决下列问题：
    求高度为百米时的气温；
    求关于的函数表达式；
    测得山顶的气温为，求该山峰的高度．

25. 如图，已知直线与轴相交于点，直线：交轴于点，交直线于点．
    求直线的解析式；
    过动点作轴的垂线，与直线相交于点，与直线相交于点，当时求的值；
    点为上一点，若直接写出点的坐标．

26. 如图，正方形的边长为，过顶点作直线与边交于点点不与、重合，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为点，．
    求证：≌；
    写出线段、、之间的数量关系，并说明理由；
    当点和点之间的距离最小时，请直接写出的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】调查长江现有鱼的数量，普查的意义或价值不大，应选择抽样调查；
因为鞋的尺码需使每一个学生都合适才可，故需采用全面调查的方式；
了解一批电视机的使用寿命，调查过程带有破坏性，只能采取抽样调查，而不能将整批电视机全部用于实验；
校正某本书上的印刷错误，是精确度要求高的调查，适于全面调查．
故选D．
本题需要根据具体情况正确选择普查或抽样调查等方法，调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查．
本题考查的是调查方法的选择；正确选择调查方式要根据全面调查的优缺点再结合实际情况去分析．
 

2.【答案】 

【解析】解：根据题意，得，
解得．
故选：．
本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数即可求解．
考查了函数自变量的范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
 

3.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
；
又点是的中点，
是的中位线，
根据三角形的中位线定理可得：．
则
故选：．
因为四边形是平行四边形，所以；再根据点是的中点，得出是的中位线，由，即可求得．
此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分．还考查了三角形中位线的性质：三角形的中位线平行且等于三角形第三边的一半．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
点一定在第二象限．
故选：．
根据平方数非负数的性质判断出点的纵坐标是正数，再根据各象限内点的坐标特征解答．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
 

5.【答案】 

【解析】解：设这个多边形边数为，内角和为，
多边形外角和为，

解得：，
故选：．
利用多边形的外角和为以及多边形内角和定理即可解决答案．
本题主要考查多边形内角和定理与外角和定理，熟练掌握该定理是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：抽取名考生的数学成绩，其中有名考生达到优秀，
该校考生的优秀率是：，
该校达到优秀的考生约有：名；
故选：．
根据已知求出该校考生的优秀率，再根据该校的总人数，即可求出答案．
此题考查了用样本估计总体，关键是根据样本求出优秀率，运用了样本估计总体的思想．
 

7.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，，，
，
≌；
；
；
；
；
故选：．
首先证≌，由此可得出，由此可将阴影部分的面积转化为的面积．
此题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质以及图形面积的求法．
 

8.【答案】 

【解析】解：、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故不能；
B、是等边三角形不能判定四边形为矩形；
C、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故能判定；
D、四边形的内角和是，故不能．
故选：．
根据矩形的性质可知矩形的对角线平分且相等可得，故求解．
矩形的判定定理有：
有一个角是直角的平行四边形是矩形；
有三个角是直角的四边形是矩形；
对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，，，，这组数据有唯一的众数，且和都出现两次 
有或两种情况 
当时，这组数据为：，，，，，，中位数为： 满足题意．
当时，这组数据为：，，，，，，中位数为：，不满足题意，所以舍去．
，
故选A．
本题考查了众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于最中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则最中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
解答本题的关键是熟练掌握中位数和众数的定义．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确把握变换规律是解题关键．利用一次函数图象的平移规律，得出解析式，逐项判定即可．
【解答】
解：将直线向上平移个单位长度后得到直线，
A、直线经过第一、二、三象限，错误；
B、直线与轴交于，错误；
C、直线与轴交于，正确；
D、直线，随的增大而增大，错误；
故选：．  

11.【答案】 

【解析】解：对角线相互平分的四边形是平行四边形，故A是假命题，不符合题意；
对角线相等的平行四边形是矩形，故B是假命题，不符合题意；
对角线相等且垂直的平行四边形是正方形，故C是假命题，不符合题意；
对角线相互垂直平分的四边形是菱形，故D是真命题，符合题意；
故选：．
根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定定理逐项判断．
本题考查命题与定理，解题的关键是掌握平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定．
 

12.【答案】 

【解析】解：、若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则甲组数据的波动大，故本选项不符合题意；
B、从，，，，中随机抽取一个数，是奇数的可能性比较大，故本选项不符合题意；
C、数据，，，，的众数是，故本选项符合题意；
D、某种游戏活动的中奖率是，若参加这种活动次不一定有次中奖，故本选项不符合题意．
故选：．
直接利用方差的意义以及众数的定义和概率的意义分别分析得出答案．
此题主要考查了概率的意义以及众数和方差，正确把握相关定义是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：小明吃早餐用了，A错误；
小明读报用了，B正确；
食堂到图书馆的距离为，C错误；
小明从图书馆回家的速度为，D错误；
故选：．
根据函数图象判断即可．
本题考查的是函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合题意正确计算是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，
根据题意得：≌，
，
在中由勾股定理得：，
即，
，
，
故选：．
将折叠使点恰好落在边上的点，可得≌，所以，在中由勾股定理得：，已知、的长可求出的长，即可得到．
本题主要考查运用勾股定理、全等三角形等知识，解题时，我们常常设要求的线段长为，然后根据折叠和轴对称的性质用含的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
 

15.【答案】 

【解析】解：、连接矩形各边中点得到的四边形是菱形，故此选项错误；
B、连接等腰梯形各边中点得到的四边形是菱形，故此选项正确；
C、连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形，故此选项错误；
D、连接菱形各边中点得到的四边形是矩形，故此选项错误；
故选：．
连接矩形各边中点得到的四边形，被四条边分割出来的四个三角形是全等三角形，所以四条边相等，那么新四边形为菱形；
等腰梯形的对角线相等，连接等腰梯形各边中点得到的四边形的四条边都平行且等于对角线的一半，故四边相等是菱形；
连接平行四边形各边中点得到的四边形两组对边平行，故是平行四边形；
连接菱形各边中点得到的新四边形的两组对边分别平行于菱形的两条对角线，菱形的两条对角线是互相垂直的，那么新四边形的两组对边分别平行，邻边垂直，那么新四边形为矩形．
此题主要考查了三角形中位线，平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定，关键是熟练掌握三角形中位线定理，以及各个四边形对角线的特殊性．
 

16.【答案】 

【解析】解：根据一次函数的图象可得，，，故正确；
由图象可知：不等式的解集是，故正确；
因为一次函数与的图象的交点坐标为，
所以方程组的解是故正确．
故本题选D．
根据一次函数图象的性质以及一次函数与二元一次方程组的关系逐一分析即可．
本题考查了一次函数与二元一次方程组、一次函数与一元一次不等式、一次函数图象与系数的关系，利用数形结合思想是解题的关键．
 

17.【答案】元 

【解析】解：这种杂拌糖的售价应为每千克元．
故答案为：元．
利用加权平均数的计算方法列式进行计算即可得解．
本题考查的是加权平均数的求法，理解平均单价三种糖的总价值总质量是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：为的平分线

▱



▱的周长．
故答案为．
平行四边形的性质和角平分线，可证，则可求出▱的周长．
本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．
 

19.【答案】菱形   

【解析】解：连接，交于，

四边形是正方形，
，，，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，
，
四边形是菱形，
，，
，
故答案为：菱形，．
连接，交于，根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形可判断四边形的形状，再利用等腰三角形的性质和菱形的性质可得的度数．
本题主要考查了正方形的性质，菱形的判定，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
 

20.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
． 

【解析】由四边形是平行四边形，即可得，，又由，易证得四边形是平行四边形，则可得．
此题考查了平行四边形的判定与性质．此题难度不大，关键是根据平行四边形的性质解答．
 

21.【答案】解：点，点，
，
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为；
设点，
当，为边时，四边形是平行四边形，
与互相平分，
，，
，，
点；
当、为边时，四边形是平行四边形，
与互相平分，
，
，，
点；
当、为边时，四边形是平行四边形，
与互相平分，
，，
，，
点，
综上所述：点坐标为：或或． 

【解析】由两点之间距离公式可求的长，由待定系数法可求直线的解析式；
分三种情况讨论，由平行四边形的性质可求解．
本题考查了平行四边形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
 

22.【答案】解：四边形是菱形，
，，，，，，
，，
，，
． 

【解析】由菱形的性质可得，，，，由直角三角形的性质可求，的长，由菱形的面积公式可求解．
本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键．
 

23.【答案】     

【解析】解：抽查的学生总数为人，
读书为册的学生数为人，
所以条形图中被遮盖的数为，册数的中位数为；
故答案为：；；
扇形图中读书为册的部分的圆心角的度数为：；
因为册和册的人数和为，中位数没改变，所以总人数不能超过，即最多补查了人．
故答案为：．
用读书为册的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再用总人数分别减去读书为册、册和册的人数得到读书册的人数，然后根据中位数的定义求册数的中位数；
用乘读书为册所占比例即可；
根据中位数的定义可判断总人数不能超过，从而得到最多补查的人数．
此题考查了条形统计图与扇形统计图的知识．注意掌握条形统计图与扇形统计图各量的对应关系是解此题的关键．
 

24.【答案】解：由题意得，高度增加百米，则气温降低，
，
高度为百米时的气温大约是；

设关于的函数表达式为，
则：，
解得，
关于的函数表达式为；

当时，，
解得．
该山峰的高度大约为百米． 

【解析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．
根据高度每增加百米，气温大约降低，由百米时温度为，即可得出高度为百米时的气温；
应用待定系数法解答即可；
根据的结论解答即可．
 

25.【答案】解：点在直线直线上，
，即，
设直线解析式为，
把、代入可得 ，
解得 ，
直线的函数表达式为；
轴，
、的横坐标为，
设、的纵坐标分别为和，
，，
、两点的坐标分别为：，，
当点在点右侧时，点在点的上方，
，
解得：；
当点在点左侧时，点在点的下方，
，
解得：，
的取值为或；
直线：交轴于点，
，
，
，
，
点为上一点，
设点坐标为，如图所示：

则，
解得：，
点坐标为或． 

【解析】可先求得点坐标，再由、两点的坐标，利用待定系数法可求得直线的函数表达式；
用可分别表示出、的坐标，则可表示出的长，由条件可得到关于的方程，则可求得的值；
设点坐标为，根据列方程求解即可．
本题考查了两条直线相交或平行问题，涉及待定系数法、函数图象的交点、三角形的面积、分类讨论思想等知识．在中求得点坐标是解题的关键，注意函数图象的交点坐标满足每个函数的解析式，在中用表示出的长是解题的关键，在中三角形面积的表示是关键．
 

26.【答案】证明：四边形是正方形，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌；

，理由：
由知，≌，
，
在中，，
；

如图，连接，要最小，则点与点重合，
，，
点，，在同一条线上，
即点正方形的对角线的交点，
最小，
连接，在中，，
，
，
当点和点之间的距离最小时，的长为． 

【解析】利用同角的余角相等判断出，即可得出结论；
由≌得出，再用勾股定理，即可得出结论；
先判断出当点和点之间的距离最小时，点是正方形的对角线的交点．
此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，判断出是解的关键．