湘教版初中数学七年级上册期中测试卷（困难）（含答案解析）

湘教版初中数学七年级上册期中测试卷

考试范围：第一.二.三章；考试时间：120分钟；总分：120分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 设实数、、满足，且，则的最小值(    )

A.  B.  C.  D.

3. 如图，，，，是数轴上四个点，点表示数为，点表示的数为，，则数所对应的点在线段上．(    )

A.  B.  C.  D.

4. 已知是以为未知数的一元一次方程，如果，那么的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 将正整数按以下规律排列：

表中数在第二行第一列，与有序数对对应，数与对应；数与对应，根据这一规律，数对应的有序数对为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 一只小球落在数轴上的某点处，第一次从处向右跳个单位到处，第二次从向左跳个单位到处，第三次从向右跳个单位到处，第四次从向左跳个单位到处，若小球按以上规律跳了次时，它落在数轴上的点处所表示的数恰好是，则这只小球的初始位置点所表示的数是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，有三张正方形纸片，，，它们的边长分别为，，，将三张纸片按图，图两种不同方式放置于同一长方形中，记图中阴影部分周长为，面积为，图中阴影部分周长为，面积为若，则：的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 为响应习总书记“绿水青山，就是金山银山”的号召，某校今年月争取到一批植树任务，领到一批树苗，按下列方法依次由各班领取：第一班领取全部的和棵，第二班领取余下的和棵，第三班领取余下的和棵，，最后树苗全部被领完，且各班领取的树苗相等，则班级数为(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

9. ，两地相距，一列快车以的速度从地匀速驶往地，到达地后立刻原路返回地，一列慢车以的速度从地匀速驶往地两车同时出发，截止到它们都到达终点时，两车恰好相距的次数是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 商店对某种手机的售价作了调整，按原售价的折出售，此时的利润率为，若此种手机的进价为元，设该手机的原售价为元，则下列方程正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

11. 正方形的轨道上有两个点甲与乙，开始时甲在处，乙在处，它们沿着正方形轨道顺时针同时出发，甲的速度为每秒，乙的速度为每秒，已知正方形轨道的边长为，则乙在第次追上甲时的位置(    )

A. 上 B. 上 C. 上 D. 上

12. 九章算术中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲仍发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，日到齐国；乙从齐国出发，日到长安．现乙先出发日，甲才从长安出发．问甲出发几日，甲乙相逢？设甲出发日，甲乙相逢，可列方程(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 写出一个数，使这个数的绝对值等于它的相反数：______．
14. 某公园划船项目收费标准如下：

某班名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为小时，则租船的总费用最低为          元．

15. 如图，自左至右，第个图由个正六边形、个正方形和个等边三角形组成；第个图由个正六边形、个正方形和个等边三角形组成；第个图由个正六边形、个正方形和个等边三角形组成：，按照此规律，第个图中正方形和等边三角形的个数之和为          ．
16. 据我国古代易经记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录采集到的野果的个数．她一共采集到了个野果，则在第根绳子上的打结数是________．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 阅读材料：我们知道，若点、在数轴上分别表示有理数、，、两点间的距离表示为则所以式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离．根据上述材料，探究下列问题．
    式子的最小值是______．
    式子的最大值是______．
    式子的最小值是______．
    化简．
18. 用配方法说明：无论取何值，代数式的值总大于，再求出当取何值时，代数式的值最小？最小值是多少？
19. 判断一个正整数能被整除的方法是：把这个正整数各个数位上的数字相加，如果所得的和能够被整除，则这个正整数就能被整除．请证明对于任意三位正整数，这个判断方法都是正确的．
20. 甲、乙两位同学同时从学校沿同一路线到离学校千米的户外拓展中心参加活动．甲同学有一半路程以千米时的速度行走，另一半路程以千米时的速度行走；乙同学有一半时间以千米时的速度行走，另一半时间以千米时的速度行走，其中．
    设甲、乙两位同学从学校走到户外拓展中心的时间分别为，，用含，的式子分别表示，；
    设甲、乙两位同学从学校走到户外拓展中心的平均速度分别为，，用含，的式子分别表示，；
    请你判断哪位同学先到达户外拓展中心？请说明理由．
21. 若与互为相反数，求代数式的值．
22. 阅读材料：
    我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．
    尝试应用：
    把看成一个整体，求将合并的结果；
    已知，求代数式的值；
    拓广探索：
    已知，，，求的值．
23. 某商店为迎接新年举行促销活动，促销活动有以下两种优惠方案：

方案一：购买一件商品打八折，购买两件以上在商品总价打八折的基础上再打九折；

方案二：购买一件商品打八五折，折后价格每满元再送元抵用券，可以用于抵扣其他商品的价格．

注：两种优惠只能选择其中一种参加

小明想购买一件标价元的衣服和一双标价元的鞋子，请你帮助小明算一算选择哪种优惠方案更合算．

如果衣服和鞋子的标价都是在进价的基础上加价了，那么这两种优惠方案商店是赚了还是亏了？为什么？

如果小明已决定要购买标价为元的鞋子，又想两种方案的优惠额相同，那么小明想购买的衣服的标价低于元应调整为多少元？

24. 随着出行方式的多样化，某市三类打车方式的收费标准如下表：

已知打车的平均车速均为千米小时，如：乘坐千米，耗时分钟，出租车的收费为：元；滴滴快车的收费为：元；出行的收费为：元．
如果乘车从甲地到乙地，全程千米．使用滴滴快车，需要支付的打车费用是______元；
如果乘车从甲地到乙地，用滴滴快车比乘坐出租车节省元，求甲乙两地之间的距离；
出行为了和滴滴快车竞争客户，分别推出了优惠方式：滴滴快车对于乘车路程在千米以上含千米的客户每次收费立减元；出行车费半价优惠．对出行和滴滴快车两种打车方式，试分析采用哪一种打车方式更合算？

25. 某工人计划加工一批产品，如果每小时加工产品个，就可以在预定时间完成任务，如果每小时多加工个，就可以提前小时完成任务．
    该产品的预定加工时间为几小时？
    若该产品销售时的标价为元个，按标价的八折销售时，每个仍可以盈利元，该批产品总成本为多少元？
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、原式，不符合题意；
B、原式，不符合题意；
C、原式，符合题意；
D、原式，不符合题意．
故选C
各项计算得到结果，即可作出判断．
此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了绝对值先由题中给定的不等式及判断、、的正负，得到，运用绝对值的几何意义解答即可．
【解答】
解：，且，
，异号，，，
又且，
．
由绝对值的几何意义知表示到、、的距离之和，
当在表示点的数的位置时，距离最小，即最小，最小值是与之间的距离，即．
故选D．  

3.【答案】 

【解析】解：点表示数为，点表示的数为，
，
，
，
点表示的数为，

，
，
数所对应的点在点左侧，
数所对应的点在点之间，
故选：．
 

4.【答案】 

【解析】解：一元一次方程则系数为，且系数
，，
，，
，
，
，
，
，
，，
，，
原式．
故选：．
根据一元一次方程的定义，则系数为，且系数，得出；由，得，，
．
本题主要考查了如何去绝对值以及一元一次方程的定义：只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是根据一元一次方程的定义求的值．去绝对值时注意、与的关系．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了规律型中数字的变换类，解题的关键是找出变换规律“”本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据奇数行首位数的变化，找出变化规律是关键．设第行第一个数为为正整数，观察研究奇数行的第一个数，根据数的变换找出变换规律，依此规律即可找出，再根据数的排布方式即可得出结论． 

【解答】

解：设第行第一个数为为正整数，
观察，发现规律：，，，，
．
当时，，，
数对应的有序数对为．
故选D．

6.【答案】 

【解析】解：设点所表示的数是，
则点所表示的数是，
点所表示的数是，
点所表示的数是，
点所表示的数是，
点所表示的数是，
，
解得，，
故选：．
根据题意可以用代数式表示出前几个点表示的数，从而可以发现它们的变化规律，进而求得这只小球的初始位置点所表示的数．
本题考查列代数式，数轴，数式规律问题，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
 

7.【答案】 

【解析】解：设大长方形的宽短边长为，
由图知，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
：的值为，
故选：．
根据题目中的数据，设大长方形的宽短边长为，表示出，，，，再代入即可求解．
本题主要考查整式的混合运算，明确整式的混合运算的计算方法是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：设树苗总数棵，根据题意得：
，
解得：，
把代入可得；
第一班也就是每个班取棵，
共有班级数是：个．
故选：．
设树苗总数为棵，根据各班的树苗数都相等，可得出第一班和第二班领取的树苗数相等，由此可得出方程．
本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是得出各班的树苗数都相等这个等量关系，因为第一班，第二班领取数量好表示，所以我们就选取这两班建立等量关系．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了行程问题中的相遇问题和追及问题，正确根据相等关系列出方程是解决本题的关键．
由题意知，快车到达终点要小时，而慢车到达终点要小时，第一次相距是在相遇之前，相遇之后有再一次相距，之后快车回头又有相距的时刻，超越之后再一次相距，当在快车到达终点之后，停止行驶，慢车在向行驶时又有一次相距的时刻，所以总共有次．
【解答】
解：设两车相距时，行驶的时间为小时，依题意得：
当快车从地开往地，慢车从地开往地，相遇前相距时，
则有：，解得：

当快车继续开往地，慢车继续开往地，相遇后背离而行，相距时，
，解得：；

快车从地到地全程需要小时，此时慢车从地到地行驶，
，
快车又从地返回地是追慢车，追上前相距，
则有：，解得：

当快车追上慢车后并超过慢车，相距，
则有，解得

快车返回地终点所需时间是小时， 此刻慢车行驶了， 距终点还需行驶，
则有：，解得：．
综合所述两车恰好相距的次数为次．
故选A．  

10.【答案】 

【解析】【解析】
此题考查了一元一次方程的应用，与实际结合，是近几年的热点考题，首先读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解设该手机的原售价是元，从而得出售价为，等量关系：实际售价进价利润率，列方程即可得出答案．
【解答】
解：设该照相机的原售价是元，
根据题意得：，
整理得：，
故选A．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查数式规律问题，一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出题目中的变化规律．根据题意可以得到前几次相遇的地点，从而可以发现其中的规律，进而求得第次相遇的地点，本题得以解决．
【解答】
解：设乙走秒第一次追上甲．
根据题意，得，
解得．
乙走秒第一次追上甲，则乙在第次追上甲时的位置是上；
设乙再走秒第二次追上甲．
根据题意，得，解得．
乙再走秒第二次追上甲，则乙在第次追上甲时的位置是上；
同理，乙再走秒第三次追上甲，则乙在第次追上甲时的位置是上；
乙再走秒第四次追上甲，则乙在第次追上甲时的位置是上；
乙在第次追上甲时的位置又回到上；
 ， 
每四次一个循环，
 ，
 乙在第次追上甲时的位置在上， 
故选B．  

12.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示出两人所走路程所占百分比是解题关键．根据题意设甲乙经过日相逢，则甲、乙分别所走路程占总路程的和，进而得出等式．
【解答】
解：设甲乙经过日相逢，可列方程：
．
故选C．  

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了绝对值：若，则；若，则；若，则也考查了相反数．
根据绝对值的意义求解．
【解答】
解：一个数的绝对值等于它的相反数，那么这个数是或负数．
故答案为：答案不唯一  

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了有理数的运算，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．分四类情况，分别计算即可得出结论．
【解答】
解：因为共有人，
当租两人船时，所以艘，
因为每小时元，所以租船费用为元，
当租四人船时，因为艘人，
所以要租艘四人船和艘两人船，
因为四人船每小时元，所以租船费用为元，
当租六人船时，所以艘，
因为每小时元，所以租船费用为元，
当租八人船时，因为艘人，
所以要租艘八人船和艘两人船，
因为人船每小时元，所以租船费用元．
当租艘四人船，艘六人船，艘八人船，元．
，
当租艘四人船，艘六人船，艘八人船费用最低是元，
故答案为：．  

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是图形的变化类，根据题意找出规律是解答此题的关键．根据题中正方形和等边三角形的个数找出规律，进而可得出结论．
【解答】
解：因为第个图由个正六边形、个正方形和个等边三角形组成，
所以正方形和等边三角形的和；
因为第个图由个正方形和个等边三角形组成，
所以正方形和等边三角形的和；
因为第个图由个正方形和个等边三角形组成，
所以正方形和等边三角形的和，
，
所以第个图中正方形和等边三角形的个数之和．
故答案为：．  

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题是以古代“结绳计数”为背景，按五进一计数，运用了类比的方法，根据图中的数学列式计算；本题题型新颖，一方面让学生了解了古代的数学知识，另一方面也考查了学生运用一元一次方程解决问题的能力．
设在第根绳子上的打结数是个，由于从右到左依次排列的绳子上打结，满进五一，所以从右到左的数分别为、、，结合总数是个列方程解决问题．
【解答】
解：设在第根绳子上的打结数是个，根据题意，得
，
解得：，
所以，在第根绳子上的打结数是个．
故答案为：．  

17.【答案】解：的最小值表示到的距离与到的距离之和最小，
应在和之间的线段上，
的最小值是；
故答案为：；
表示到的距离减去到的距离，
时取得最大值，
的最大值是，
故答案为：；
表示到，，，，的距离和，
时有最小值，
最小值是，
故答案为：；
当时，
，
当时，
，
当时，
，
综上，的化简结果为：或或． 

【解析】本题考查数轴表示数的意义，解题的关键是理解绝对值的意义，掌握两点距离的计算方法．
的最小值表示到的距离与到的距离之和最小，那么应在和之间的线段上；
表示到的距离减去到的距离，则时取得最大值；
为中间值时有最小值，由此即可求解；
分为三种情况，分别去绝对值化简即可．
 

18.【答案】解：


，
，
代数式的值都大于零；
当，即时，代数式有最小值，最小值为． 

【解析】首先将原式变形为，根据非负数的意义就可以得出代数式的值总是正数，并且当，即时，代数式有最小值．
本题考查了配方法的应用：配方法的理论依据是公式二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方．
 

19.【答案】解：设一个三位正整数百位上的数字为，十位上的数字为，个位上的数字为为整数，且，，，
则这个三位正整数可设为．
由题意可知，，的和能被整除，
所以可设，其中为正整数．
所以．
因为，，均为正整数，所以为正整数，
所以能够被整除．
即对于任意三位正整数，这个判断方法都是正确的． 

【解析】此题考查了列代数式和整式的加减，关键是会用代数式正确表示一个三位数．  设设一个三位正整数百位上的数字为，十位上的数字为，个位上的数字为为整数，且，，，表示出这个三位数，根据题意设，其中为正整数．将用代数式表示的这个三位数变形为，易得结论．
 

20.【答案】解：，
，
，
，
，
且，，
，
，
，
，
乙同学先到达户外拓展中心． 

【解析】认真读懂题意，根据题意直接列出式子．
认真读懂题意，根据题意直接列出式子．
利用前面解题的结果判断，甲、乙二人时间差与零的大小比较，从而得出甲、乙的大小．
本题考查了分式的应用，关键要掌握分式加减运算时分式的通分和利用公式进行化简．
 

21.【答案】解：与互为相反数，
，．
，．
原式． 

【解析】由与互为相反数可知，，然后代入计算即可．
本题主要考查的是求代数式的值，根据题意得到，是解题的关键．
 

22.【答案】解：

；



；


，
因为，，，
则原式． 

【解析】此题主要考查了整式的化简求值，关键是注意去括号时符号的变化和整体思想的应用．
利用整体思想，把看成一个整体，合并即可得到结果；
原式可化为，整体代入即可；
由得到，依据，，，整体代入进行计算即可．
 

23.【答案】解：方案一：元
方案二：元
元
元
因为
所以参加第一种方案更优惠．
元，元
元
因为
所以商场赚了．
设衣服的标价为元，依题意列方程得，

解得：
答：衣服的标价为元． 

【解析】本题考查的是百分数的应用，折扣的含义，以及方程的应用有关知识．
先分别计算方案一，方案二的费用，然后再进行比较即可；
先分别计算衣服和鞋子的进价，再与中的费用比较计算即可；
设衣服的标价为元，依题意列方程得即可解答．
 

24.【答案】解：；
因为，
所以甲、乙两地的距离大于千米，
所以设两地的距离为，依题意得：
，
解得：，
答：甲乙两地之间的距离为千米；
设打车的路程为，当时，依题意得：
出行的收费为：元，
滴滴快车的收费为：元，
当时，有，解得：，
故当千米时，两者都可以选；
当时，滴滴快车没有优惠，此时滴滴快车的收费为：，
故选出行；
当时，，，则，故选滴滴快车；
当时，，故选出行．
故当千米时，选出行；当时，选滴滴快车；当千米时，两者都行；当千米时，选出行． 

【解析】

【分析】
本题主要考查一元一次方程的应用，解答的关键理解清楚题意找到等量关系，对路程进行讨论．
根据题意进行求解即可；
可设甲乙两地的距离为，列出相应的方程求解即可；
可设打车的路程为，则分别表示出出行的收费及滴滴快车的收费，再进行讨论即可．
【解答】
解：由题意得：分钟，
则滴滴快车的打车费为：元；
故答案为：；
见答案．  

25.【答案】解：设这批产品需要加工个，
，
，
，
答：该产品的预定加工时间为小时；
设该批产品成本为元个，
，
，
，
答：该批产品总成本为元． 

【解析】设这批产品需要加工个，根据按现在的加工速度可以提前小时完成任务列方程，解方程即可；
先计算每个产品的成本，由可知：该产品一共有个，可得结论．
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．