2021-2022学年山东省德州市经开区七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年山东省德州市经开区七年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共48分）

1. 的平方根是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列式子正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 在，，，，，，，，中，无理数有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

4. 如图，点在的延长线上，下列条件中不能判定的是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 若在第二象限，且到轴的距离为，到轴的距离为，则点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，已知，，平分，则(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如果在轴上，那么点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知一个数的两个平方根是和，则数的立方根是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图所示，数轴上表示，的点分别为，，且，两点到点的距离相等，则点所表示的数是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 在实数范围内，下列判断正确的是(    )

A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则

11. 小明在某商店购买商品、共两次，这两次购买商品、的数量和费用如表：

若小丽需要购买个商品和个商品，则她要花费(    )

A. 元 B. 元 C. 元 D. 元

12. 已知关于，的方程组以下结论：当时，方程组的解也是方程的解；存在实数，使得；不论取什么实数，的值始终不变；若则其中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

13. 的算术平方根为______；比较大小： ______用“”，“”或“”连接．
14. 如图，若在中国象棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点，“马”位于点则“兵“位于点______．

15. 将点先沿轴向左平移个单位，再沿轴向下平移个单位，则平移后，所得点的坐标是______．
16. 如图，将直角三角形沿方向平移的长度得到三角形，已知，，，则图中阴影部分的面积为____．

17. 已知点与点在同一条平行于轴的直线上，且点到轴的距离等于，则点的坐标是______．
18. 如图，在平面直角坐标系上有点，第一次点跳动至点，第二次点跳动至点，第三次点跳动至点，第四次点跳动至点，依此规律跳动下去，则点与点之间的距离是______．

三、解答题（本大题共7小题，共78分）

19. 计算或解方程：
    ；
    ．
20. 解方程组：
    ；
    ．
21. 在如图所示的直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，是由平移得到，点是内一点，经过平移点变成点
    写出三个顶点的坐标
    请画出平移后的
    求的面积

22. 如图，，．
    求证：；
    若平分，平分，且，求的度数．

23. 已知方程组和方程组的解相同．
    求，的值．
    求的值．
24. 在平面直角坐标系中，若点的坐标满足，则我们称点为“健康点”；若点的坐标满足，则我们称点为“快乐点”．
    若点既是“健康点”又是“快乐点”，则点的坐标为______ ；
    在的条件下，若是轴上的“健康点”，是轴上的“快乐点”，求的面积；
    在的条件下，若为坐标轴上一点，且与面积相等，求点的坐标．

25. 问题发现：如图，直线，是与之间的一点，连接，，可以发现．
    
    请把下面的证明过程补充完整：
    证明：过点作，
    已知，辅助线的作法，
    ______，
    ______，
    作图，
    ______，______，
    ______等量代换，
    即．
    拓展探究：如果点运动到图所示的位置，其他条件不变，进一步探究发现：，，之间的关系是______．
    解决问题：如图，，，，请求出的度数．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
的平方根是．
故选：．
先化简，然后再根据平方根的定义求解即可．
本题考查了平方根的定义以及算术平方根，先把正确化简是解题的关键，本题比较容易出错．
 

2.【答案】 

【解析】解：，故A选项错误；
B.，故B选项正确；
C.，故C选项错误；
D.，故D选项错误．
故选：．
运用立方根，平方根及算术平方根的定义求解．
本题主要考查了立方根，平方根及算术平方根，解题的关键是熟记定义．
 

3.【答案】 

【解析】解：在，，，，，，，，中，
根据无理数的定义可得，无理数有：，，，四个．
故选D．
由于无理数就是无限不循环小数．初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像等有这样规律的数，由此即可判定选择项．
此题主要考查了实数的分类．注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，每两个之间依次多个等形式．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握平行线的判定定理．
根据平行线的判定定理同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行分别进行分析．
【解答】
解：，
内错角相等，两直线平行，故A能判定；
，
，故B不能判定；
，
同位角相等，两直线平行，故C能判定；
，
同旁内角互补，两直线平行，故D能判定；
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：在第二象限，
点的横坐标小于，纵坐标大于；
点到轴的距离是，即点的纵坐标为，到轴的距离为，即点的横坐标为，
点的坐标是故选C．
应先判断出点的横纵坐标的符号，进而根据到坐标轴的距离判断点的具体坐标．
本题考查的是点的坐标的几何意义：点到轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到轴的距离为点的横坐标的绝对值．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
再根据角平分线的概念，得：，
再根据两条直线平行，内错角相等得：，
故选：．
根据平行线的性质：两条直线平行，内错角相等及角平分线的性质，三角形内角和定理解答．
考查了平行线的性质、角平分线的概念，要熟练掌握．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查点的坐标的知识根据点在轴上，可知的横坐标为，即可得的值，再确定点的坐标即可．
【解答】

解：在轴上，
，
解得，，
点的坐标是．
故选B．
 

8.【答案】 

【解析】解：一个数的两个平方根是和，
，
解得：，
则，
的立方根是．
故选：．
首先根据平方根的性质，可得：，据此求出的值是多少；然后求出的值，进而求出的值，进而求出的立方根．
此题主要考查了平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
 

9.【答案】 

【解析】解：设点所表示的数是．
点、所表示的数分别是、，
；
又，两点到点的距离相等，
，
．
故选：．
根据题意分别求得点在数轴上所表示的数，然后由来求点所表示的数．
本题考查了实数与数轴的对应关系．解题时，采用了“数形结合”的数学的思想．
 

10.【答案】 

【解析】解：、根据绝对值的性质可知：两个数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数，故选项错误；
B、平方大的，即这个数的绝对值大，不一定这个数大，如两个负数，故说法错误；
C、两个数可能互为相反数，如，，故选项错误；
D、根据立方根的定义，显然这两个数相等，故选项正确．
故选：．
解答此题的关键是熟知以下概念：
一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，的绝对值是．
如果一个数的平方等于，那么这个数叫作的平方根．
 

11.【答案】 

【解析】解：设商品的单价为元，商品的单价为元，
依题意得：，
得：，
购买个商品和个商品共需元．
故选：．
设商品的单价为元，商品的单价为元，利用总价单价数量，结合小明两次购物购买商品的数量及总价，即可得出关于，的二元一次方程组，利用即可求出小丽购买个商品和个商品所需费用．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：当时，原方程组可整理得：，
解得：，
把代入得：
，
即正确，
解方程组，得：
若，
则，
解得：，
即存在实数，使得，
即正确，
解方程组，，得：
，
，
不论取什么实数，的值始终不变，故正确；
解方程组，，得：
，
若
，故错误，
故选：．
直接利用二元一次一次方程组的解法表示出方程组的解进而分别分析得出答案．
本题主要考查解二元一次方程组的能力，熟练掌握解二元一次方程组的技能和二元一次方程的解得定义．
 

13.【答案】   

【解析】解：，
的算术平方根为，
，
，
故答案为：，．
先求出，即可得出答案．
本题考查了实数的大小比较法则的应用，主要考查学生的比较能力，题目是一道比较好的题目，难度不大．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图所示：则“兵“位于点：．
故答案为：．
直接利用已知点坐标建立平面直角坐标系进而得出答案．
本题考查坐标位置的确定，解题的关键是建立平面直角坐标系．
 

15.【答案】 

【解析】解：点先沿轴向左平移个单位，再沿轴向下平移个单位，
点的横坐标为，纵坐标为，
点的坐标是．
故答案为：．
根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求解即可．
本题考查了坐标与图形变化平移，主要利用了平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了平移的基本性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．同时考查了梯形的面积公式．
根据平移的性质可得，则阴影部分的面积梯形的面积，再根据梯形的面积公式即可得到答案．
【解答】
解：直角三角形沿的方向平移距离得到三角形，
，，
，
，
，
，
．
故答案为．  

17.【答案】或 

【解析】解：点与点在同一条平行于轴的直线上，
，
到轴的距离等于，
，
点的坐标为或．
故答案为：或．
根据平行于轴的直线上的点的纵坐标相等求出，再根据点到轴的距离等于横坐标的绝对值求出，然后写出点的坐标即可．
本题考查了点的坐标，主要利用了平行于轴的直线上点的坐标特征，点到轴的距离等于横坐标的绝对值．
 

18.【答案】 

【解析】解：观察发现，第次跳动至点的坐标是，
第次跳动至点的坐标是，
第次跳动至点的坐标是，
第次跳动至点的坐标是，

第次跳动至点的坐标是，
则第次跳动至点的坐标是，
第次跳动至点的坐标是．
点与点的纵坐标相等，
点与点之间的距离，
故答案为：．
根据图形观察发现，第偶数次跳动至点的坐标，横坐标是次数的一半加上，纵坐标是次数的一半，奇数次跳动与该偶数次跳动的横坐标的相反数加上，纵坐标相同，可分别求出点与点的坐标，进而可求出点与点之间的距离．
本题考查了坐标与图形的性质，以及图形的变化问题，结合图形得到偶数次跳动的点的横坐标与纵坐标的变化情况是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式
；
，
，
，
，． 

【解析】根据二次根式的性质，立方根的性质，绝对值的性质进行计算便可；
用直接开平方法解一元二次方程便可．
本题主要考查了实数的运算，解一元二次方程，关键是熟记二次根式的性质，立方根的性质，绝对值的性质，解一元二次方程的方法．
 

20.【答案】解：，
，得，
解得，
将代入，得，
解得，
原方程组的解为；
，
由得，
由得，
，得，
解得，
将代入，得，
解得，
原方程组的解为：． 

【解析】根据加减消元法，解方程即可；
由得，由得，根据加减消元法，解方程即可．
本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键．
 

21.【答案】解：由图知，、、；

如图所示，即为所求．
的面积为

． 

【解析】根据三个顶点在坐标系中的位置即可得出答案；
将三个顶点分别向右平移个单位，向下平移个单位得到其对应点，再首尾顺次连接即可；
用矩形的面积减去四周三个三角形的面积．
本题主要考查作图平移变换，解题的关键是掌握平移变换的定义和性质．
 

22.【答案】证明：，
，
又，
，
；
解：，，
，，
平分，
，
，
平分，
． 

【解析】利用同旁内角互补，说明；
由，得，由角平分线的性质可求得的度数．
本题考查了平行线的判定和性质以及角平分线的性质．熟记平行线的判定定理与性质定理是解决本题的关键．
 

23.【答案】解：方程组和方程组的解相同，
和同解，
，
得，，
，得，
，
将代入可得，
方程组的解为，
，
得，，
得，，
，得，
，
将代入，得，
方程组的解为；
将，代入可得，
． 

【解析】由同解方程可得和同解，先解出、，再求解、即可；
将所求代入所求的代数式即可求解．
本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法，理解同解方程的含义，利用加减消元法和代入消元法解二元一次方程组是解题的关键．
 

24.【答案】 

【解析】解：点既是“健康点”又是“快乐点”，则坐标应该满足和，
解得：，
的坐标为；
故答案为：；
设直线交轴于，如图：

是轴上的“健康点”，在中，令得，
，
是轴上的“快乐点”，在中，令得，
，
在中，令得，
，
，



；
过作的平行线，交轴于，交轴于，如图：

此时、，到的距离都等于到的距离，与面积相等，
设直线解析式为，将，代入得：
，解得，
直线解析式为，
设过于平行的直线解析式为，
将代入得，
，
过于平行的直线解析式为，
令得，令得，
，，
由，根据对称性，当，即时，过作，交轴于，则、也符合条件，
而直线解析式为，同理可得：，
与面积相等，的坐标为，，，．
点既是“健康点”又是“快乐点”，则坐标应该满足和，解即可得答案；
设直线交轴于，求出、、的坐标，根据即可求出答案；
过作的平行线，交轴于，交轴于，、到的距离都等于到的距离，与面积相等，求出、坐标，再根据对称性可求、坐标．
本题考查三角形面积，涉及新定义、坐标轴上点坐标特征等知识，解题的关键是理解“健康点”、“快乐点”含义．
 

25.【答案】平行于同一条直线的两直线平行  两直线平行，内错角相等    两直线平行，内错角相等     

【解析】证明：过点作，如图，
已知，辅助线的作法，
平行于同一条直线的两直线平行，
两直线平行，内错角相等，
作图，
，两直线平行，内错角相等，
等量代换，
即．
解：作，如图，
，
，
，，
；
解：作，如图，
，
，
，，
，
，
．
故答案为平行于同一条直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，内错角相等；；．
过点作，利用平行于同一条直线的两直线平行和平行线的性质得到，，则；
利用中的方法和两直线平行，同旁内角互补课得到；
作，如图，利用平行线的性质得到，，则，所以，从而得到的度数．
本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．也考查了平行线的判定与性质．