2021-2022学年山东省威海市经开区八年级（下）期中数学试卷（五四学制）（含解析）

2021-2022学年山东省威海市经开区八年级（下）期中数学试卷（五四学制）

副标题

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 已知，是方程的两个实数根，则的值是

A.  B.  C.  D.

2. 实数，在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是
    

A.  B.  C.  D.

3. 化简二次根式的结果为

A.  B.  C.  D.

4. 化简：

A.  B.  C.  D.

5. 已知，则的值为

A.  B.  C.  D.

6. 用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是

A.  B.  C.  D.

7. 如果，那么的取值范围是

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在中，点是边上的一点，若，，，的面积为，则的面积为

A.  B.  C.  D.

9. 如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是

A.  B.
C.  D.

10. 如图，在中，，，：：，，则的长为

A.
B.
C.
D.

11. 如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形，若：：，则四边形与四边形的面积比为

A. ： B. ： C. ： D. ：

12. 如图所示，在中，，相交于点，是的中点，连接并延长交于点，已知，则下列结论：；；；∽其中一定正确的是   

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13. 若，则______．
14. 若与最简二次根式是同类二次根式，则______．
15. 将个数，，，排成行、列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做阶行列式．若，则 ______ ．
16. 某公司在年的盈利额为万元，预计年的盈利额将达到万元．若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，那么该公司在年的盈利额为______万元．
17. 如图，为▱的边延长线上的一点，且：：，的面积为，则▱的面积为______．

18. 如图，平面直角坐标系中，已知点和点，点是的中点，点在折线上，直线截，所得的三角形与相似，那么点的坐标是______．
     

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分）

19. 计算下列各题：
    ；
    ．
20. 解方程：
    用配方法解
    用公式法解
21. 某湿地风景区特色旅游项目：水上游艇，旅游人员消费后风景区可盈利元人，每天消费人员为人，为增加盈利，准备提高票价，经调查发现，在其他条件不变的情况下，票价每涨元，消费人员就减少人．现该项目要保证每天盈利元，同时又要旅游者得到实惠，那么票价应涨价多少元？
22. 如图，在锐角三角形中，点，分别在边，上，于点，交于点，于点，．
    求证：∽；
    若，，求的值．
    
     

23. 的面积为，与边上的高之比为：，矩形的边在上，点、分别在，上，且邻边与的比为：．
    求及的长；
    求矩形的周长．
     

24. 如图，是等边三角形，点，分别在，上，且，与相交于点，
     

证明：≌；

证明：∽；

若，，求的长．

25. 在中，，，，现有动点从点出发，沿向点方向运动，动点从点出发，沿线段向点方向运动，如果点的速度是，点的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动设运动时间为秒，求：
    用含的代数式表示______，______；
    当为多少时，的长度等于？
    当为多少时，以点，，为顶点的三角形与相似？

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：，是方程的两个实数根，
，，
．
故选：．
根据根与系数的关系可得出、，将其代入中即可求出结论．
本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于、两根之积等于是解题的关键．
 

2.【答案】

【解析】

【分析】
此题主要考查了二次根式的性质与化简以及实数与数轴，正确得出各项符号是解题关键．
直接利用数轴上 ， 的位置，得出 ， ，再利用绝对值以及二次根式的性质化简得出答案．
【解答】
解：由图可知： ， ，
则

．
故选： ．   

3.【答案】

【解析】解：，



故选：．
先判断的正负，再化简二次根式．
本题考查了二次根式的化简，此题容易忘记判断的正负而出错．
 

4.【答案】

【解析】解：由题意可知：，
原式



故选：．
根据二次根式的性质即可求出答案．
本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
 

5.【答案】

【解析】分析
根据平方数和二次根式的非负性得出，的值，再代入求出的值即可．
详解
解：，
，


，
故选C．
点评
本题考查了非负数的性质，掌握几个非负数的和为，则这几个数都同时为是解题的关键．
 

6.【答案】

【解析】

【分析】
此题考查了解一元二次方程 配方法，利用此方法解方程时，首先将方程常数项移到右边，二次项系数化为 ，然后两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方后转化为两个一元一次方程来求解．
方程两边除以 变形后，两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
【解答】
解：移项得： ，
两边除以 得： ，
配方得： ，即 ．
故选： ．   

7.【答案】

【解析】解：由题意知，
解得：，
故选：．
根据二次根式的被开方数是非负数且分母不等于零可得．
本题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
 

8.【答案】

【解析】解：，，
∽，
．
，
，
．
故选：．
由、可得出∽，根据相似三角形的性质结合，可求出的值，将其代入中即可求出结论．
本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质求出的值是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
【解答】

解： 、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
B 、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
C 、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确．
D 、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
故选： ．
 

10.【答案】

【解析】解：，
．
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
．
，
∽，
，
，
，
．
故选：．
由可得出，结合可得出，进而可得出，结合可证出四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质可得出，由可得出∽，根据相似三角形的性质可得出，再根据，即可求出的长度．
本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的性质以及平行四边形的判定与性质，根据相似三角形的性质找出是解题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：四边形和是以点为位似中心的位似图形，：：，
：：：，
四边形与四边形的面积比为：，
故选：．
根据题意求出两个相似多边形的相似比，根据相似多边形的性质解答．
本题考查的是位似变换的性质，掌握位似图形与相似图形的关系、相似多边形的性质是解题的关键．
 

12.【答案】

【解析】解：在▱中，，
点是的中点，
，
，
∽，
，
，
，
；故正确；
，，
；故正确；
，
，
，故正确；
不平行于，
与只有一个角相等，
与不一定相似，故错误，
故选：．
本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
 

13.【答案】

【解析】解：，
，
．
故答案为：．
由题干可得，根据比等式的性质即可解得、的比值．
本题是基础题，考查了比例的基本性质，比较简单．
 

14.【答案】

【解析】解：，
，
解得：，
故答案为：．
根据同类二次根式的被开方数相同可得出关于的方程，解出即可得出答案．
此题考查了同类二次根式的知识，解答本题需要掌握同类二次根式的被开方数相同这个知识点，难度一般．
 

15.【答案】

【解析】解：定义，
若，
，
化简得，
即．
利用上述规律列出式子，再化简，直接开平方解方程．
本题需要利用上述规律先列出式子，再进行开平方．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：；同号且；；同号且法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为，再开平方取正负，分开求得方程解”．
 

16.【答案】

【解析】解：设盈利额增长的百分率为，则该公司在年的盈利额为；
由题意得，，
解得或不合题意，舍去，
故
该公司在年的盈利额为：万元．
故答案为：．
此题可通过设出营业额增长的百分率，根据等量关系“年的营业额等于年的营业额乘增长的百分率乘增长的百分率”列出一元二次方程求解增长的百分率，再通过一元一次方程解得：年的盈利额等于年的营业额乘增长的百分率．
此题考查增长率的定义，同学们应加强培养对应用题的理解能力，判断出题干信息，列出一元二次方程去求解．
 

17.【答案】

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
∽，
，
，
，
的面积为，
，
，
，，
，
，
∽，
，
，
，
故答案为．
用相似三角形的面积比等于相似比的平方，以及面积的和差求解．
此题是相似三角形的性质和判定，主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质，解本题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方．
 

18.【答案】，，

【解析】

【分析】
本题考查了相似三角形的判定：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了坐标与图形性质．注意分类讨论思想解决此题．
分类讨论：当 时， ∽ ，易得 点坐标为 ；当 时， ∽ ，易得 点坐标为 ；当 时，如图，由于 ，则 ∽ ，计算出 、 ，则可利用比例式计算出 ，于是可得到 的长，从而得到 点坐标．
【解答】
解：当 时， ∽ ，
由点 是 的中点，可得 为 的中点，
此时 点坐标为 ；
当 时， ∽ ，
由点 是 的中点，可得 为 的中点，
此时 点坐标为 ；
当 时，如图，

，
∽ ，
，
点 和点 ，
，
点 是 的中点，
，
，
，
，
此时 点坐标为 ，
综上所述，满足条件的 点坐标为 ， ， ．
故答案为： ， ， ．   

19.【答案】解：原式


；
原式
．

【解析】先化简二次根式，根据二次根式的乘除法即可得出答案；
根据多项式除以单项式的法则和完全平方公式化简即可得出答案．
本题考查了二次根式的混合运算，掌握是解题的关键．
 

20.【答案】解：，
，
，
，
，
，
解得，．
，，，
，
，
解得．

【解析】方程用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式；方程用公式法求解方程的根．
配方法的一般步骤：
把常数项移到等号的右边；
把二次项的系数化为；
等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为，一次项的系数是的倍数．
 

21.【答案】解：设票价应涨价元，则每天可售出张票，
根据题意得：，
解得：，．
又要让旅游者得到实惠，
．
答：票价应涨价元．

【解析】设票价应涨价元，则每天可售出张票，根据总利润单张利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

22.【答案】证明

，
，
且
∽；
，
∽

，
∽，
 

【解析】本题考查了相似三角形的性质和判定，熟练运用相似的性质和判定是解决问题的关键．
由可得且，可得，且可证：∽；
由，可得∽，可得，再证∽可求的值．
 

23.【答案】解：设，，
根据题意得：，
解得：，
，；
四边形是矩形，
，，
∽，
设，，则，
∽，
，即，
解得：，
，，
四边形的周长．

【解析】根据三角形的面积公式解答即可；
根据矩形的性质和相似三角形的判定和性质解答即可．
本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的性质和判定，明确相似三角形的对应高的比等于相似比是解题的关键．
 

24.【答案】解：Ⅰ是等边三角形，
，，
在与中
，
≌；
Ⅱ由得：，
又，
，
又，
∽；
Ⅲ，，
∽，
，
，
．

【解析】Ⅰ根据等边三角形的性质，利用证得≌；
Ⅱ由≌得，又，可证，又，由此可以证明∽；
Ⅲ根据相似三角形的性质解答即可．
本题考查相似三角形的判定和性质，关键是利用了等边三角形的性质和相似三角形的判定和性质求解，有一定的综合性．
 

25.【答案】 

【解析】解：动点从点出发，沿向点方向运动，点的速度是，
，
．
动点从点出发，沿线段向点方向运动，点的速度是，
．
故答案为：；；
在中，
，
．
整理得：．
解得：或．
当为或时，的长度等于．
当∽时，
∽，
．
．
解得：．
当∽时，
∽，
．
．
解得：．
综上，当为或时，以点，，为顶点的三角形与相似．
利用距离速度时间分别求得线段，的长度即可得到结论；
在中，利用勾股定理列出方程即可求解；
分两种情况：∽和∽，利用相似三角形对应边成比例列出方程即可求解．
本题主要考查了相似三角形的综合运用，勾股定理，相似三角形的性质，利用分类讨论的思想解答是解题的关键．