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小升初暑假班衔接教材数学
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目录
第一讲 负数…………………………………………………………2
第二讲 数轴…………………………………………………………5
第三讲 绝对值………………………………………………………9
第四讲 有理数的加法………………………………………………13
第五讲 有理数的减法及加减混合算………………………………17
第六讲 有理数的乘法………………………………………………21
第七讲 有理数的除法………………………………………………23
第八讲 有理数的乘方………………………………………………25
第九讲 有理数的混合运算…………………………………………28
第十讲 代数式及代数式求值………………………………………31
第十一讲 合并同类项…………………………………………………34
第十二讲 一元一次方程………………………………………………39
第十三讲 一元一次方程的应用………………………………………43
第十四讲 丰富的图形世界……………………………………………49
第十五讲 平面图形及其位置关系……………………………………59
专题一 负数
1、 相关知识链接
小学学过的数：
（1） 整数（自然数）：0，1，2，3…………
（2） 分数：……………
（3） 小数：0.5，1.2，0.25…………
提问：
（1） 温度：零上8度，零下8度，在数学中怎么表示？
（2） 海拔高度：+25，-25分别表示什么意思？
（3） 生活中常说负债800元，在数学中又是什么意思？
2、 教材知识详解
负数的产生：我们把其中一种意义的量规定为正，把另一种和它意义相反的量规定为负，这样就产生了负数。
【知识点1】正数与负数的概念
（1） 正数：像5，1.2，，125等比0大的数叫做正数。
（2） 负数：像-5，-1.2，-，-125等在正数前面加上“-”号的数叫做负数，负数比
0小，“-”不能省略。
注：（1）0既不是正数也不是负数，它是正数负数的分界点
（2）并不是所有带有“-”号的数字都叫做负数，例如0
【例1】下列那些数为负数
5，2，-8.3，4.7，-，0，-0
【知识点2】有理数及其分类
（1） 有理数：整数和分数统称为有理数，整数包括正整数、0、负整数、分数（包括正分数和负分数）。注：分数可以与有限小数和无限循环小数相互转化。
（2） 有理数分类：
按性质分类：
按定义分类：
【例2】把下列各数填在相应的集合内，－23，0.5，－, 28, 0, 4, , －5.2.
整数集合{ }
负数集合{ }
负分数集合{ }
非负正数数集合{ }
【基础练习】
1、零下30C记作（ ）0C；（ ）既不是正数，也不是负数。
2、在0.5,-3,+90%,12,0,- 这几个数中,正数有( ),负数有( )。
3、银行存折上的“2000.00”表示存入2000元，那么“-500.00”表示（ ）
4、将下面的数填在适当的（ ）里
1.65 -15.7 2340 96%
(1)冰城哈尔滨，一月份的平均气温是( )度。
(2)六(2)班( )的同学喜欢运动。
(3)调查表明，我国农村家庭电视机拥有率高达( )。
(4)杨老师身高( )米。
(5)某市今年参与马拉松比赛的人数是( )人。
5、在○里填上“>”、“<”、或“=”
-3 ○ 1 -5 ○ -6 -1.5 ○ - - ○ 0 0 ○ 5%
6、下列说法错误的是（ ）
A. 0既是正数也是负数； B.一个有理数不是整数就是分数；
C.0和正整数是自然数 ； D.有理数又可分为正有理数和负有理数。
7、下列实数，，，2.1984374……，中无理数有（ ）
Ａ．个 Ｂ．个 Ｃ．个 Ｄ．个
【基础提高】
1、 判断正误：
（1）有理数分整数、分数、正有理数、负有理数、零五类。 （ ）
（2）一个有理数不是正数就是负数。 （ ）
2、在-2,0,1,3这四个数中比0小的数是 （ ）
A．-2 B.0 C.1 D.2
3、零上130C记作+130C，零下2oC课记作 （ ）
A．2 B.-2 C. 2oC D. -2oC
4、在数，2，-2,0，-3.14中，负分数有 （ ）
A．0个 B.1个 C.2个 D.3个
5、一包盐上标：净重（5005）克，表示这包盐最重是（ ）克，最少有（ ）克。
6、观察下面一列数，根据规律写出横线上的数，
－；；－；； ； ；……
7、求下列各数的相反数
（1）-5 （2） （3）0 （4）3a （5）-2b
8、甲、乙两人同时从某地出发，如果甲向南走100m记作+100m，则乙向北走70m记作什么？这时甲、乙两人相距多少米？
9、在一次数学测验中，某班的平均分为86分，把高于平均分的高出部分的数记为正数。
（1）平平的96分，应记为多少？
（2）小聪被记作-11分，他实际得分是多少？
10、某化肥厂每月计划生产化肥500吨，2月份超额生产了12吨，3月份相差2吨，4月份相差3吨，5月份超额生产了6吨，6月份刚好完成计划指标，7月份超额生产了5吨，请你设计一个表格用有理数表示这6个月的生产情况。
专题二 数轴
1、 相关知识链接
（1） 有理数分为正有理数、0、负有理数。
（2） 观察温度计时发现：直线上的点可以表示有理数。
2、 教材知识详解
【知识点1】数轴的概念
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
0
1
2
-1
-2
3
注：（1）规定直线上向右的方向为正方向。
（3） 数轴三要素：原点、正方向、单位长度。
【例1】下列五个选项中，是数轴的是（ ）
0
1
-1
0
1
-1
2
1
0
1
-1
A. B. C. D.
0
1
2
-2
-1
3
E.
【知识点2】数轴上的点与有理数的关系
所有有理数都可以用数轴上的点来表示，0表示原点，正有理数可以用原点右边的点表示，负有理数可以用原点左边的点表示。但反过来，不能说数轴上的所有点都表示有理数。
【例2】如图，数轴上的点A、B、C、D分别表示什么数？
【知识点3】相反数的概念
0
1
-1
（1） 几何定义：在数轴上，原点两旁离开原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数；如图所示1和-1
（2） 代数定义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个数是另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。
特别地，0的相反数为0。
【例3】（1）的相反数是 ；一个数的相反数是，则这个数是 。
（2）分别写出下列A、B、C、D、E各点对应有理数的相反数
【知识点4】利用数轴比较有理数的大小
在数轴上表示的数，右边的数总是比左边大；
正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。
0
a
b
【例4】a、b为两个有理数，在数轴上的位置如图所示，把a、b、-a、-b、0按从小到大的顺序排列出来。
变式：已知a>b>0，比较a，-a，b，-b的大小。
【基础练习】
一、判断
1、在有理数中，如果一个数不是正数，则一定是负数。 ( )
2、数轴上有一个点，离开原点的距离是3个单位长度，则这个点表示的数一定是3 ( )
3、已知数轴上的一个点，表示的数为3，则这个点到原点的距离一定是3个单位长度。( )
4、已知点A和点B都在同一条数轴上，点A表示3，又知点B和点A相距5个单位长度，则点B表示的数一定是8。 ( )
5、若A，B表示两个相邻的整数，那么这两个点之间的距离是一个单位长度。 ( )
6、若A、B两点之间的距离是一个单位长度，那么这两点表示的数一定是两个相邻的整数( )
7、数轴上不存在最小的正整数。 ( )
8、数轴上不存在最小的负整数。 ( )
9、数轴上存在最小的整数。 ( )
10、数轴上存在最大的负整数。 ( )
二、填空
11、规定了__________、________和_________的直线叫做数轴；
12、温度计刻度线上的每个点都表示一个__________，0°C以上的点表示________，_________的点表示负温度。
13、在数轴上点A表示－2，则点A到原点的距离是______个单位；在数轴上点B表示+2，则点B到原点的距离是______个单位；在数轴上表示到原点的距离为1的点的数是___ ___；
14、在数轴上表示的两个数，______的数总是比________数小；
15、0大于一切________；
16、任何有理数都可以用___________上的点来表示；
17、点A在数轴上距原点为3个单位，且位于原点左侧，若将A向右移动4个单位，再向左移动1个单位，这时A点表示的数是_________________；
18、将数，从大到小用“>”连接是__________________________；
19、所有大于－3的负整数是______________，所有小于4且不是负数的数是_____________。
三、选择
20、如图所画出的数轴正确的是 ( )
0
0
0
1
1
1
2
(A)
(B)
(C)
(D)
21、下列四对关系式错误的是 ( )
(A)－3.7<0 (B) －2<－3 (C) 4.2> (D) >0
22、已知数轴上A、B两点的位置如图所示，那么下列说法错误的是 ( )
0
A
B
(A)A点表示的是负数 (B)B点表示的数是负数
(C)A点表示的数比B点表示的数大 (D)B点表示的数比0小
24、下列说法错误的是( )
(A)最小自然数是0 (B)最大的负整数是－1 (C)没有最小的负数 (D)最小的整数是0
25、在数轴上，原点左边的点表示的数是( )
(A)正数 (B)负数 (C)非正数 (D)非负数
26、从数轴上看，0是( )
(A)最小的整数 (B)最大的负数 (C)最小的有理数 (D)最小的非负数
【基础提高】
1、 下列各图中，是数轴的是（ ）A．
B．
C．
D．
0
1
1
0
1
-1
0
1
2、下列说法中正确的是（ ）
A．正数和负数互为相反数 B．0是最小的整数
C．在数轴上表示+4的点与表示-3的点之间相距1个单位长度
D．所有有理数都可以用数轴上的点表示
3、下列说法错误的是（ ）
A．所有的有理数都可以用数轴上的点表示 B．数轴上的原点表示0
C．在数轴上表示-3的点与表示+1的点的距离是2
D．数轴上表示-5的点，在原点负方向5个单位
4、数轴上表示-2.5与的点之间，表示整数的点的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5、 若-x=8，则x的相反数在原点的______侧．
6、 把在数轴上表示-2的点移动3个单位长度后，所得到对应点的数是_____．
7、 数轴上到原点的距离小于3的整数的个数为x，不大于3的整数的个数为y，等于3的整数的个数为z，则x+y+z=_____．
8、数轴的三要素是___、____、____．
9、在数轴上0与2之间(不包括0，2)，还有___个有理数．
10、在数轴上距离数1是2个单位的点表示的数是________；
11、指出下图所示的数轴上各点分别表示什么数．
A，B，C，D，E，F分别表示_____，_____，_____，_____，_____，_____．
12、在数轴上描出大于-3而小于5的所有整数点．
0
1
2
3
4
5
-5
-4
-3
-2
-1
13、 判断下面的数轴画的是否正确，如果不正确，请指出错在哪里？
-1
5
-2
-3
-4
-5
1
2
3
4
14、在数轴上表示，将点沿数轴向右平移3个单位到点，则点所表示的数为
A．3 Ｂ．2 Ｃ． Ｄ．2或
15、画出数轴，把下列各数在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序，用“<”连接起来。
16、比较下列每组数的大小
（1）和－ （2）－和－ （3）和
专题三 绝对值
1、 相关知识链接
只有符号不同的两个数是互为相反数；在数轴上位于原点的两旁，且与原点距离相等的两个点所对应的两个数互为相反数。
2、 教材知识详解
【知识点1】绝对值的概念
（1） 几何定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。数“a”的绝对值记作“|a|”，如|+2|=2，|-3|=3，|0|=0.
（2） 代数定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.即： a（a>0）, a（a0）
|a|= 0(a=0), 或|a|=
-a(a<0), -a（a<0）
注：a.绝对值表示一个数对应的点到原点的距离，由于距离总是正数或零，则有理数的绝对值不可能事负数，即a取任意有理数，都有|a|0.
b.离原点的距离越远，绝对值越大，离原点的距离越近，绝对值越小。
c.互为相反数的两个数绝对值相等。如：|2|=2，|-2|=2
【例1】求下列各数的绝对值。
（1） （2）+4.2 （3）0
【知识点2】两个负数大小的比较
绝对值大的反而小
【例2】比较下列有理数的大小
（1）-0.6与-60 （2）-与- （3）-与-
【基础练习】
一、填空题
1.一个数a与原点的距离叫做该数的_______.
2.－|－|=_______，－（－）=_______，－|+|=_______，－（+）=_______，+|－（）|=_______，+（－）=_______.
3._______的倒数是它本身，_______的绝对值是它本身.
4.a+b=0,则a与b_______.
5.若|x|=，则x的相反数是_______.
6.若|m－1|=m－1,则m_______1. 若|m－1|>m－1,则m_______1.
若|x|=|－4|,则x=_______. 若|－x|=||,则x=_______.
二、选择题
1.|x|=2,则这个数是（ ）
A.2 B.2和－2 C.－2 D.以上都错
2.|a|=－a，则a一定是（ ）
A.负数 B.正数 C.非正数 D.非负数
3.一个数在数轴上对应点到原点的距离为m，则这个数为（ ）
A.－m B.m C.±m D.2m
4.如果一个数的绝对值等于这个数的相反数，那么这个数是（ ）
A.正数 B.负数 C.正数、零 D.负数、零
5.下列说法中，正确的是（ ）
A.一个有理数的绝对值不小于它自身 B.若两个有理数的绝对值相等，则这两个数相等
C.若两个有理数的绝对值相等，则这两个数互为相反数 D.－a的绝对值等于a
三、判断题
1.若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等. （ ）
2.若两个数相等，则这两个数的绝对值也相等. （ ）
3.若x
四、解答题
1.若|x－2|+|y+3|+|z－5|=0计算:
（1）x,y,z的值.
（2）求|x|+|y|+|z|的值.
2.若2
3. （1）若=1,则x为正数，负数，还是0。（2）若=-1, 则x为正数，负数，还是0.
【基础提高】
一、填空题
1.互为相反数的两个数的绝对值_____.
2.一个数的绝对值越小，则该数在数轴上所对应的点，离原点越_____.
3.绝对值最小的数是_____.
4.绝对值等于5的数是_____，它们互为_____.
5.若b＜0且a=|b|，则a与b的关系是______.
6.一个数大于另一个数的绝对值，则这两个数的和一定_____0（填“＞”或“＜”）.
7.如果|a|＞a，那么a是_____.
8.绝对值大于2.5小于7.2的所有负整数为_____.
9.将下列各数由小到大排列顺序是_____.
－， ，|－|，0，|－5.1|
10.如果－|a|=|a|，那么a=_____.
11.已知|a|+|b|+|c|=0，则a=_____，b=_____，c=_____.
12.计算
（1）|－2|×(－2)=_____ （2）|－|×5.2=_____
（3）|－|－=_____ （4）－3－|－5.3|=_____
二、选择题
13.任何一个有理数的绝对值一定（ ）
A.大于0 B.小于0 C.不大于0 D.不小于0
14.若a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，则a+b一定是（ ）
A.正数 B.负数 C.非负数 D.非正数
15.下列说法正确的是（ ）
A.一个有理数的绝对值一定大于它本身 B.只有正数的绝对值等于它本身
C.负数的绝对值是它的相反数 D.一个数的绝对值是它的相反数，则这个数一定是负数
16.下列结论正确的是（ ）
A.若|x|=|y|，则x=－y B.若x=－y，则|x|=|y|
C.若|a|＜|b|，则a＜b D.若a＜b，则|a|＜|b|
专题四 有理数的加法
1、 相关知识链接
（1） 加法的定义：把两个数合成一个数的运算，叫做加法；
（2） 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；
（3） 加法分配律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。
2、 教材知识详解
【知识点1】有理数加法法则
（1） 同号两数相加；取相同的符号，并把绝对值相加。
数学表示：若a>0、b>0，则a+b=|a|+|b|；
若a<0、b<0，则a+b=-(|a|+|b|)；
（2） 异号两数相加，绝对值相等（相反数）时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并且用较大的绝对值减去较小的绝对值。
数学表示：若a>0、b<0，且|a|>|b|则a+b=|a|-|b|；
若a>0、b<0，则a+b=|b|-|a|；
（3） 一个数同0相加，仍得这个数。
【例1】计算：
（1）（+8）+（+2） （2）（-8）+（-2） （3）（-8）+（+2）
（4）（+8）+（-2） （5）（-8）+（+8） （6）（-8）+ 0
【知识点2】有理数加法的运算律
加法交换律：a + b = b + a
加法结合律：（a + b）+ c = a +（b + c）
【例2】计算 4.1+（+）+（-）+（-10.1）+7
【基础练习】
1.如果规定存款为正，取款为负，请根据李明同学的存取款情况
①一月份先存10元，后又存30元，两次合计存人 元，就是（＋10）＋（＋30）=
②三月份先存人25元，后取出10元，两次合计存人 元，就是（＋25）＋（－10）＝
2.计算：
（1）； （2）（—2.2）+3.8； （3）+（—5）；
（4）（—5）+0； （5）（+2）+（—2.2）； （6）（—）+（+0.8）；
（7）（—6）+8+（—4）+12； （8）
（9）0.36+(—7.4)+0.3+(—0.6)+0.64； （10）9+（—7）+ 10 +（—3）+（—9）；
3. 用简便方法计算下列各题：
4.
（1） （2）
（3） （4）
（5）
3、用算式表示：温度由—5℃上升8℃后所达到的温度．
4、有5筐菜，以每筐50千克为准，超过的千克数记为正，不足记为负，称重记录如下：
＋3，－6，－4，＋2，－1，总计超过或不足多少千克？5筐蔬菜的总重量是多少千克？
5. 一天下午要测量一次血压，下表是该病人星期一至星期五血压变化情况，该病人上个星期日的血压为160单位，血压的变化与前一天比较：
星期
一
二
三
四
五
血压的变化
升30单位
降20单位
升17单位
升18单位
降20单位
请算出星期五该病人的血压
【基础提高】
1．计算：
(1)3-8； (2)-4+7； (3)-6-9； (4)8-12；
(5)-15+7； (6)0-2； (7)-5+9+3； (8)10+（-17）+8；
2．计算：
(1)-4.2+5.7+（-8.4）+10； (2)6.1-3.7-4.9+1.8；
4．计算：
(1)12+(-18)+(-7)+15； (2)-40+28+(-19)+(-24)+(-32)；
5．计算：
(1)(+12)+(-18)+(-7)+(+15)； (2)(-40)+(+28)+(-19)+(-24)+(32)；
(3)(+4.7)+(-8.9)+(+7.5)+(-6)； (4)
专题五 有理数的减法及加减混合运算
1、 相关知识链接
减法是加法的逆运算。
2、 教材知识详解
【知识点1】有理数减法法则
减去一个数，等于加上这个数的相反数，即a-b=a+（-b），这里a、b表示任意有理数。
步骤：（1）变减为加，把减数的相反数变成加数；
（2）按照加法运算的步骤去做。
【例1】计算
（1）（－3）－（－5）； (2)0－7； (3)7.2－（－4.8）；
（4） (+4.7)-(-8.9)+(+7.5)-(-6) （5）-11-7-9+6
【知识点2】有理数加减混合运算的方法和步骤
第一步：运用减法法则将有理数混合运算中的减法转化成为加法；
第二步： 再运用加法法则、加法交换律、加法结合律进行运算。
【例2】计算：（1） （2）
【基础练习】
1. 已知两个数的和为正数，则( )
Ａ．一个加数为正，另一个加数为零 B.两个加数都为正数
Ｃ．两个加数一正一负，且正数的绝对值大于负数的绝对值 Ｄ．以上三种都有可能
2. 若两个数相加，如果和小于每个加数，那么( )
Ａ．这两个加数同为正数 B．这两个加数的符号不同
C．这两个加数同为负数 D．这两个加数中有一个为零
3. 笑笑超市一周内各天的盈亏情况如下:(盈余为正,亏损为负，单位：元)：132，-12，-105，127，-87，137，98，则一周总的盈亏情况是( )
A. 盈了 B. 亏了 C. 不盈不亏 D. 以上都不对
4. 下列运算过程正确的是（ ）
Ａ．（-3）+（-4）＝-3+-4=… Ｂ．（-3）+（-4）＝-3+4=…
Ｃ．（-3）-（-4）＝-3+4=… Ｄ．（-3）-（-4）＝-3-4=…
5. 如果室内温度为21℃，室外温度为－７℃，那么室外的温度比室内的温度低（ ）
Ａ．－28℃ Ｂ．－14℃ Ｃ．14℃ D．28℃
6. 汽车从A地出发向南行驶了48千米后到达B地，又从B地向北行驶20千米到达C地，则A地与C地的距离是( )
A．68千米 B．28千米 C．48千米 D．20千米
7. x＜0, y＞0时,则x, x+y, x－y，y中最小的数是 ( )
A. x Ｂ.x－y Ｃ. x+y D. y
8.｜x-1｜+|y+3|=0, 则y－x－的值是 （ ）
A .－4 B. －2 Ｃ.－１ Ｄ.１
9. 在正整数中,前50个偶数和减去50个奇数和的差是 ( )
A. 50 B. －50 C. 100 D.－100
10. 在1，—1，—2这三个数中，任意两数之和的最大值是 （ ）
Ａ.１ Ｂ.０ Ｃ.－１ Ｄ.－３
二、填空题
11. 计算：(-0.9)+(-2.7)= , 3.8-(+7)= .
12. 已知两数为 5和－8 ，这两个数的相反数的和是 ，两数和的绝对值是 .
13. 绝对值不小于5的所有正整数的和为 .
14. 若m，n互为相反数，则|m-1+n|= .
15. 已知x.y，z三个有理数之和为0，若x=8，y=-5，则z= .
16. 已知m是6的相反数，n比m的相反数小2，则m-n等于 。
17．在-13与23之间插入三个数，使这5个数中每相邻两个数之间的距离相等，则这三个数的和是 .
18.的绝对值的相反数与的相反数的和为______________。
【基础提高】
1、下列算式是否正确,若不正确请在题后的括号内加以改正：
(1)(-2)+(-2)=0 ( );
(2)(-6)+(+4)=-10 ( );
(3)+(-3)=+3 ( );
(4)(+)+(-)= ( );
(5)-(-)+(-7)=-7 ( ).
2.已知两个数-8和+5.
（1）求这两个数的相反数的和； （2）求这两个数和的相反数；
（3）求这两个数和的绝对值； （4）求这两个数绝对值的和.
3．分别根据下列条件，利用与表示a+b：
（1）a>0,b>0; （2）a<0,b<0
（3）a>0,b<0, > (4)a>0,b<0, <
4．选择题
（1）若a,b表示负有理数，且a>b,下列各式成立的是
A. a+b>(-a)+(-b); B. a+(-b)>(-a)+b C. (+a)+(-a) >(+b)+(-b) D. (-a)+(-b)
A. a, b的绝对值相等； B. a，b异号；
C. a，-b的和是非负数； D. a，b同号或其中至少一个为零.
（3）如果+[-1]=1，那么x等于（ ）
A．或- B．2或-2 C．或- D．1或-1
（4）若a+b=(-a)+(-b),那么下列各式成立的是（ ）
A．a=b=0 B．a>0,b<0,a=-b C．a+b=0 D．a+(-b)=0
5、计算
（1）（+23）+（-27）+（+9）+（-5）； （2）（-5.4）+(+0.2)+(-0.6)+(+0.35)+(-0.25);
（3）2+[6+(-2)+(-5)]+(-5.6); (4)(-3)+(4)+[(-)+(+2)+(1+1)];
（5）8+[6+(-3)+(-5)]+(-3).
专题六 有理数的乘法
1、相关知识链接
乘法交换律：axb=bxa(ab=ba)
2、教材知识详解
【知识点1】有理数乘法法则
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0。
步骤：（1）符号法则-----确定符号；（2）算数乘法-----确定绝对值。
【例1】 计算：（1）（-4）x(-8) (2)（ ）x( )
（3）（-267）x0 （4）0.5x0.7
知识链接：如果-5a是正数，那么a的符号是（ ）
【知识点2】互为倒数的概念
像-3与，与，乘积为1的两个有理数互为倒数
注意：（1）互为倒数的数是成对出现的，并且符号相同；（2）0没有倒数。
【知识点3】有理数乘法法则的推广
（1） 几个不等于0的数相乘，记得符号由负因数的个数决定。当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正。
（2） 几个数相乘，有一个因数为0，积为0.反之，如果积为0，那么，至少有一个因数为0.
（3） 当因数是带分数时，应先化成假分数，便于约分。
说明：①在有理数乘法中，每一个乘数都叫做一个因数；
②几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定符号，然后把绝对值相乘。
【例2】 计算：
【知识点3】有理数乘法的运算律
（1） 乘法交换律：ab=ba
（2） 乘法结合律：（ab）c=a(bc)
（3） 分配律：a(b+c)=ab+ac
【例3】 计算：
【例4】 计算：（1）
（2）
专题七 有理数的除法
1、相关知识链接
除以一个数就相当于乘以这个数的倒数。
2、教材知识详解
【知识点1】倒数的定义
定义：乘积是1的两个数互为倒数。一般地，=1（），也就是说，如果是不等于0的有理数，那么，的倒数是。
说明：①0没有倒数；②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数；③负倒数的定义：乘积为-1的两个数互为负倒数。
【知识点2】怎样求一个有理数的倒数
只要把这个有理数的分子与分母颠倒一下即可，即的倒数是；如果是小数，则先写成分数形式再将分子、分母颠倒位置。
另外，如果两个数互为倒数，则它们的积为1，即互为倒数，则=1，反之亦成立。
【例1】求下列各数的倒数，并用“〈”把它们连起来：
【知识点3】有理数除法的运算法则及步骤
有理数除法法则（一）：除以一个数等于乘以这个数的倒数，即（）。
有理数除法法则（二）：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。0除以任何一个不等于0的数，都得0。
说明：0不能做除数，即0出任何数都没有意义。
有理数除法运算的步骤：（1）确定上的符号；
（2）求出商的绝对值，依据是两个运算法则。
【例1】计算：
（1）（-18）÷3 （2）（-18）÷（-3） （3）0÷（-）
(4) (5)
【例2】计算：
（1） （2）
（3）
【例3】计算：
(1) (2)
（3）
专题八 有理数的乘方
1、相关知识链接
在小学我们已经学习过a·a，记作a2，读作a的平方(或a的二次方)；a·a·a记作a3，读作a的立方(或a的三次方)；那么，a·a·a·a
(n是正整数)呢？
2、教材知识详解
【知识点1】有理数乘方的意义
求n个相同因数a的积的运算，叫乘方，记作an
说明：
【知识点2】乘方的运算的法则
正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
a2n=(-a)2n(n是正整数)；a2n-1=-(-a)2n-1(n是正整数)；a2n≥0(a是有理数，n是正整数)．
【知识点3】计算有理数乘方的步骤
（1） 先确定幂的符号； (2)在确定幂的结果。
【知识点4】10n的意义
例1 计算：
(1) (-3)2，(-3)3，［-(-3)］5； (2)-32，-33，-(-3)5；
(3)(-1)2001，3×22，-42×(-4)2，-23÷(-2)3； (4)(-1)n-1．
【基础练习】
一、填空题
1.（－2）3的底数是_______，结果是_______.
2.－32的底数是_______，结果是_______.[来源:Zxxk.Com]
3.5·（－2）2=_______，48÷(－2)5=_______.
4.n为正整数，则（－1）2n=_______,(－1) 2n+1=_______.
5.一个数的平方等于这个数本身，则这个数为_______.
6.一个数的立方与这个数的差为0，则这个数是_______.[来源:Z,xx,k.Com]
二、选择题
1.如果a2=a,那么a的值为（ ）
A.1 B.0 C.1或0 D.－1
2.一个数的平方等于16，则这个数是（ ）
A.+4 B.－4 C.±4 D.±8
3.a为有理数，则下列说法正确的是（ ）
A.a2>0 B.a2－1>0 C.a2+1>0 D.a3+1>0[
4.下列式子中，正确的是（ ）
A.－102=(－10)×(－10) B.32=3×2
C.(－)3=－×× D.23=32
三、判断题
1.若一个数的平方为正数，则这个数一定不为0. （ ）
2.（－1）n=－n. （ ）
3.一个数的平方一定大于这个数. （ ）
4.平方是8的数有2个，它们是±2. （ ）[来源:学#科#网Z#X#X#K]
四、解答题
1.|a+3|+|b－2|=0,求ab的值.学。科。网]
[来源:Z*x
2.已知x2=(－2)2,y3=－1,求：(1)x×y2003的值. (2)的值.
解：∵x2=(－2)2=_______,∴x=_______.
∵y3=－1,∴y=_______.
∴x×y2003=_______.
=_______.
【基础提高】
1.填空：
(1)(－2)6中指数为_____，底数为_____.
－26中指数为_____，底数为_____.
(2)(－)4的底数是_____，结果是_____.－()4的底数是_____，结果是_____，－的底数是_____，结果是_____.
2.计算：
(1)(－)3 (2)－32×23 (3)(－3)2×(－2)3
(4)－2×32 (5)(－2×3)2 (6)(－2)14×(－)15
(7)－(－2)4 (8)(－1)2001 (9)－23+(－3)2
(10)(－2)2·(－3)2
3.若a2=16,b2=9,则a－b=_____.
专题九 有理数的混合运算
1、 教材知识详解
【知识点】有理数的混合运算的运算顺序是：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号内，再算括号外．
注意 有理数的混合运算中要特别注意正负号，这也是初中数学中最容易出错的地方．
在进行代数运算时，如遇下列情况可运用加法交换律和结合律，使计算变得简便。
（1）有些加数相加后可以得到整数时，可先行相加。
（2）分母相同或易于通分的分数，可先行相加。
（3）有相反的数可以互相消去得零的，可先行相加。
例1、（1）—42×[(1—7)÷6]+[(—5)3—3]÷(—2)3
例2、计算：（1） （2）
例3、采用两种不同的方法，将四个有理数(每个数都要用且只能用一次)3，4，－6，10通过加减乘除四则运算，使其结果等于24．
【基础练习】
选择题：
1、下列各组数中，相等的一组是 （ ）
A、23和22 B、（－2）3和（－3）2 C、（－2）3和－23 D、（－2×3）2和－（2×3）2
2、计算－16÷（－2）3－22×（－），结果应是 （ ）
A、0 B、－4 C、－3 D、4[来源:学科网]
3、下列各式中正确的是（ ）
A、－22＝－4 B、－（－2）2＝4 C、（－3）2＝6 D、（－1）3＝1
4、计算：（－2）201＋（－2）200的结果是 （ ）
A、1 B、－2 C、－2200 D、2200
二、解答题：
1、计算
（1）—|—3|2÷(—3)2； （2）0—(—3)2÷3× (—2)3；
（3）； （4）—14+(1—0.5)××[2—(—3)2]；
（5）12÷(—3—+1)； （6）．
2、计算：（1） ； （2）；
（3）（—5+23）—(—1)7； （4）||+．
2、 计算：（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
专题十 代数式及代数式求值
首先简要说明字母能表示什么？
字母可以表示任何数，用字母可以表达数量之间的运算关系，展示规律，简化公式的书写。
1、相关知识链接
加法交换律：
乘法交换律：
乘法结合律：
乘法分配律：
长方形的周长=
长方形的面积=
长方体的体积=
圆柱的体积=
圆的周长=
圆的面积=
2、教材知识详解
【知识点1】用字母表示运算律及公式
用a、b、c表示三个数，则
加法交换律：a + b = b + a
加法结合律：（a + b）+ c = a +（b + c）
乘法交换律：ab = ba
乘法结合律：（ab）c = a（bc）
乘法分配律：a（b + c）=ab + ac
长方形的周长=
长方形的面积=
长方体的体积=
圆柱的体积=
圆的周长=
圆的面积=
【例1】 用a，b分别表示梯形上底和下底，h表示高，用S表示面积，则梯形的面积公式是
【例2】 如果小明今年a岁，爸爸今年的岁数是小明得倍，妈妈比爸爸小两岁，则妈妈今年 岁。
【知识点2】代数式
由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方等代数运算所得的式子叫做代数式，单独一个数或一个字母也是代数式。
例如：5、a、3b、5a+2b、、2、…………
注：（1）在代数式中不能出现“=”“”“>”或“”等表达数量关系的符号；
（2）代数式中除含有数、字母和运算符号外，还可以有括号，如a + b（m + n）；
（3）代数式中的字母所表示的数必须是这个代数式有意义，如中a0.
【例3】对于代数式，正确的读法是 （ ）
A. 的3倍与的的差 B. 与的的差的3倍
C. 与除以2的差的3倍 D. 的3倍与的差的
【例4】用代数式表示
（1） 比a与b的和的一半小1的数；
（2） 数m的一半和它本身的和；
（3） 与a的和是1的数。
【例5】在式子：①m+5；②ab；③a=1；④0；⑤π；⑥3（m + n）；⑦3x>5中，是代数式的有 。
【知识点3】代数式求值的方法与步骤
代数式求值的一般步骤：
（1） 用数值代替数式中的字母；
（2） 按照代数式指明的运算顺序计算出结果。
【例6】当x=时，求代数式x2—4x—5的值。
【例7】当x=5，y=2，z=-1时，求x—yz的值。
【基础练习】
1、x的5倍与y的差等于（ ）。
A．5x-y B．5（x-y） C．x-5y D．x5-y
2、设甲数为a，乙数为b，用代数式表示
（1）甲乙两数的和的2倍； （2）甲数的 与乙数的 的差；
（3）甲、乙两数的平方和 ；（4）甲乙两数的和与甲两数的差的积。
（5）甲与乙的2倍的和 ；（6）甲数的 与乙数差的 ；
（7）甲、乙两数和的平方 ；（8）甲乙两数的和与甲乙两数的积的差 。
3、当时，求代数式的值
4、当m=2，n= –5时，求的值
5、 已知当时，2x-5y
6、一个塑料三角板，形状和尺寸如图所示，
（1）求出阴影部分的面积；
（2）当a=5cm，b=4cm，r=1cm时，计算出阴影部分的面积是多少。
【基础提高】
一、填空题：
１、一支圆珠笔 a 元，5 支圆珠笔共＿＿＿＿＿元。
２、“a 的 3 倍与 b 的的和”用代数式表示为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
３、比 a 的 2 倍小 3 的数是＿＿＿＿＿。
４、某商品原价为 a 元，打 7 折后的价格为＿＿＿＿＿＿元。
５、一个圆的半径为 r，则这个圆的面积为＿＿＿＿＿＿＿。
６、当 x＝－2 时，代数式 x2＋1 的值是＿＿＿＿＿＿＿。
７、代数式 x2－y 的意义是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
８、一个两位数，个位上的数字是为 a，十位上的数字为 b，则这个两位数是＿＿＿＿＿。
９、若 n 为整数，则奇数可表示为＿＿＿＿＿。
10、设某数为 a，则比某数大 30％ 的数是＿＿＿＿＿。
11、被 3 除商为 n 余 1 的数是＿＿＿＿＿。
12、校园里刚栽下一棵 1.8m 的高的小树苗，以后每年长 0.3m。则n 年后的树高是＿＿ m
二、求代数式的值：
１、已知：a＝12，b＝3，求 的值。
２、当 x＝－，y＝－，求 4x2－y 的值。
３、已知：a＋b＝4，ab＝1，求 2a＋3ab＋2b 的值。
专题十一 合并同类项
1、 相关知识链接
（1） 前面学习了字母表示数，用字母表示数可以把一般的数量或具有普遍意义的数量关系正确、简明的表达出来。
（2） 乘法分配律的逆运算：ab + ac = a（b + c）
2、 教材知识详解
【知识点1】代数式的系数与项
当代数式是数与字母的乘积时，字母前的数叫做这个代数式的系数，如1.5x的系数为1.5。
对于代数式3x2-2x-3，我们可以看做是3x2，-2x，-3这3个代数式的和，其中这三个代数式叫做代数式3x2-2x-3的项，每一项中字母前得数叫做这个项的系数。
注：（1）说明代数式系数的时候，要记得代数式前面的括号；
（2）只含字母的代数式的系数为1或-1,如a，nm的系数为1，-p的系数为-1；
（3）单独一个数的代数式（常数项），他们的系数是它本身，如-3的系数为-3；
（4）π是一个常数，含π的代数式的系数包含π，如-2πn2的系数为-2π。
【例1】说出代数式中的各项及各项的系数。
【例2】指出下列代数式的系数：（1）；（2）；（3）
【知识点2】所含字母相同，并且相同的字母的指数也相同的项，叫做同类项。如：xy2和-3xy2是同类项，πr和3r是同类项。
注：（1）同类项必须具备的两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相同；
（2）同类项与项的系数无关，与项中字母的排列顺序无关，如2a2bc与-6bca2是同类项；
（3）常数项都是同类项。
【例3】下列各题中的两项是不是同类项？为什么？
（1）2x2y与5x2y； （2）2ab3与2a3b； （3）4abc与4ab；
（4）3mn与-mn； （5）53与a3； （6）-5与+3.
【知识点3】合并同类项及其法则
把同类项合并成一项就叫做合并同类项。如：9a-6a=3a，-12x3y+4x3y=-8 x3y，这种整式的运算叫做合并同类项。
在合并同类项时，把同类项的系数相加作为结果的系数，字母和字母的指数不变。
步骤：（1）准确找出同类项；
（2）利用合并同类项的法则，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变；
（3）运用有理数的加减法法则计算出结果的系数，写出最后答案。
【例4】合并同类项
（1）； （2）
【知识点4】去括号法则
括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉后，原括号里各项的符号都不改变。
括号前是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变。
注：要变都变，要不变都不变。
【例5】去括号合并同类项
（1）； （2）
【基础练习】
一、选择题
1．下列说法正确的是（ ）．
A．3x2与ax2是同类项 B．6与x是同类项
C．3x3y2与－3x3y2是同类项 D．2x2y3与－2x3y2是同类项
2．下列各式合并同类项结果正确的是（ ）．
A．2x2－x2=1 B．x2+x3=x5 C．2a2－a2=a D．3x3－5x3=－2x3
3．代数式x2ym与nx2y（其中m，n为数字，n≠0）是同类项，则（ ）．
A．m=1，n为不等于零的任何数 B．m=1且n=0
C．m=0，n为任何数 D．m=0且n=1
二、填空题
4．在代数式中，和______是同类项，和_____是同类项，5和_______是同类项．
5．当a=_______时，与在x为任何数时值都相同．
6．若与是同类项，则m=_____，n=_______．
7．合并同类项： =_______．
8．代数式共有_______项．
9．代数式的系数为______．
三、解答题
10．合并同类项
（1）； （2）；
（3）； （4）
（5）(3x-5y)-(6x+7y)+(9x-2y) （6）2a-[3b-5a-(3a-5b)]
11．代数式求值：，其中x=3，y=－2．
【基础提高】
1.填空：(1) 如果是同类项，那么 .
(2) 如果是同类项，那么 . .
(3) 如果是同类项，那么 . .
(4) 如果是同类项，那么 .
(5) 如果与是同类项，那么 .
2. 合并下列多项式中的同类项：
（1）； （2）
（3）； （4）
3. 下列各题合并同类项的结果对不对？若不对，请改正。
（1） （2）
（3） （4）
4. 按下列步凑合并下列多项式（①找同类项 ②整理同类项位置 ③合并同类项）
（1） （2）
（3） （4）
（5）a-(a-3b+4c)+3(-c+2b) （6）(3x2-2xy+7)-(-4x2+5xy+6)
（7）2x2-{-3x+6+[4x2-(2x2-3x+2)]} （8）4(a+b)+2(a+b)-7(a+b)
(9)3(x-y)2-7(x-y)+8(x-y)2+6(x-y)
5、求多项式的值，其中x＝－2。
6、 求多项式的值，其中a＝－3,b=2。
专题十二 一元一次方程
1、 相关知识链接
（1） 等式：用等号“=”来表示相等关系的式子叫做等式；
（2） 代数式：由数和表示数的字母经过有限次加、减、乘、除、乘方等代数运算所得的式子叫做代数式，单独一个数或一个字母也是代数式。
2、 教材知识详解
【知识点1】方程和方程的解
含有未知数的等式叫做方程。使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解。
注：一个式子是方程必须满足两个条件：①是等式；②必须含有未知数。
【知识点2】一元一次方程
在一个方程中，只含有一个未知数x（元），并且未知数的指数是1（次），这样的方程叫做一元一次方程。
注：（1）一元一次方程的标准形式是ax+b=0（a0），其中x是未知数，a、b是已知数，a叫做未知数的系数。
（2）判断一个方程是否为一元一次方程，关键是看化简成最简形式后是否满足一元一次方程定义的三个条件：①只含有一个未知数；②未知数的次数是1；③未知数的系数不为零。三者缺一不可。
【例1】判断下列各式，哪些是等式，哪些是方程，哪些是一元一次方程。
（1）-2+5=3 （2）3x-1=7 （3）m=0 （4）x>3
（5）x+y=8 （6）2x2-5x+1=0 （7）2a+b
【知识点3】等式的基本性质
基本性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得的结果仍是等式。用字母表示为：若a=b，则a+m=b+m，a-m=b-m，其中a、b、m为任意代数式；
基本性质2：等式两边同时乘以同一个数（或除以同一个不为0的数），所得的结果仍是等式。用字母表示为：若a=b，则am=bm，，其中a、b、m为任意代数式；
【例2】用适当的代数式填空，使所得结果仍是等式，并说明是根据等式的哪一条性质以及怎样变形的。
（1）如果x-3=2，那么x= ；（2）如果4x=12，那么x= ；
（3）如果3-x=2，那么x= 。
【知识点4】解方程
求得方程的解的过程，叫做解方程。用等式的基本性质解一元一次方程ax+b=0（a0），先根据等式的基本性质1变形为ax=-b，再根据等式的基本性质2得x=- 。
【例3】 解方程：（1）3-y=6； （2）2x+10=22
【例4】 下列说法正确的是（ ）
A. 若ac=bc，则a=b B. 若，则a=b
C. 若a2=b2，则a=b D. 若x=6，则x=-2
【基础练习】
一、选择题：
1、下列各式中是一元一次方程的是（ ）
A. B. C. D.
2、方程的解是（ ）
A. B. C. 1 D. -1
3、若关于的方程的解满足方程，则的值为（ ）
A. 10 B. 8 C. D.
4、下列根据等式的性质正确的是（ ）
A. 由，得 B. 由，得
C. 由，得 D. 由，得
5、解方程时，去分母后，正确结果是（ ）
A. B.
C. C.
6、电视机售价连续两次降价10％，降价后每台电视的售价为a 元，则该电视机的原价为（ ）
A. 0.81a 元 B. 1.21a元 C. 元 D. 元
8、某商店卖出两件衣服，每件60元，其中一件赚25%，另一件亏25%，那么这两件衣服卖出后，商店是 ( )
A.不赚不亏 B.赚8元 C.亏8元 D. 赚8元
9、下列方程中，是一元一次方程的是（ ）
A. B. C. D.
二. 填空题：
1、，则________.
2、已知，则__________.
3、关于的方程的解是3，则的值为________________.
4、现有一个三位数，其个位数为，十位上的数字为，百位数上的数字为，则这个三位数表示为__________________.
5、甲、乙两班共有学生96名，甲班比乙班多2人，则乙班有____________人.
三、解方程:
1、 2、
3、 4、
【基础提高】
1、方程的解是（ ）
（A） （B） （C） （D）
2、已知等式，则下列等式中不一定成立的是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
3、方程的解是，则等于（ ）
（A） （B） （C） （D）
4、解方程，去分母，得（ ）
（A） （B）
（C） （D）
5、下列方程变形中，正确的是（ ）
（A）方程，移项，得
（B）方程，去括号，得
（C）方程，未知数系数化为1，得
（D）方程化成
6、某数的3倍比它的一半大2，若设某数为，则列方程为＿＿＿＿.
7、当＿＿＿时，代数式与的值互为相反数.
8、在公式中，已知，则＿＿＿.
9、解方程
(1) (2)
(3) (4)
10、已知是方程的根，求代数式的值.
专题十三 一元一次方程的应用
一、方程
1.方程的定义：含有未知数的等式叫做方程。使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。比如说方程中，时方程左右相等，所以是该方程的解。
2.一元一次方程：在一个方程中，只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次），这样的方程叫做一元一次方程。
二、解方程
1.等式的性质：
①等式两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得结果仍是等式。
②等式两边同时同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式。
等式的基本性质：若，则
（1）（c为一代数式） （2）（c为一代数式）
（3）（c为一数） （4）（c为一数，且）
2.移项解方程：（移项注意一定要变号）
解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1
解出方程后，可以把解代入方程中看自己的解是否正确。
3.列方程解应用题的步骤：
①审题。弄清已知什么，求什么？必要时列表或画线段图来帮助分析题意。
②设未知数。一般来说问什么就设什么为，并观察其他未知量能否用的代数式来表示。
③根据题意找出等量关系。
④根据等量关系列方程。注意如果单位不统一要统一单位。
⑤解方程
⑥检验方程的解是否符合实际意义。
4、一元一次方程的应用
A、 日历中的方程（重点记忆日历中数字之间的关系：同一竖行中，上一个数字和下一个数字相差7，同一横行中，前一个数字和后一数字相差1）常见考题有：发现日历中各数字之间的关系。
B、 我变胖了（周长一定的图形变形的基本关系式：变形前的周长=变形后的周长；等体积变形的基本关系式：变形前的体=变形后的体积）
C、 打折销售（7折表示原价的70%;利润=销售价-进价=进价*利润率；利润率=利润/进价*100%）
D、 希望工程义演（借助表格分析复杂问题中的数量关系，总量等于各分量之和）
E、 能追上小明吗？（追赶问题：同地不同时出发，前者走的路程=后者走的路程；同时不同地出发，前者走的路程+两者始发距离=追者走的路程；相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=全程）
F、 教育储蓄（利息=本金*利率*期数（时间）；本息和=本金+利息；利息税=利息*利税（20%））
七年级数学单元检测题 姓名 ：
一、填空题：（每小题3分，共30分）
1. 若是关于x的一元一次方程，则k=_____________.
2. 若，则3a =________；若，则=________；若x%=2.5，则x =___________.[来源:Zxxk.Com]
3. 当x =_________时，代数式的值相等.
4. 已知，用含有x的代数式表示y，得y =_____________.
5. 当x=时，二次三项式的值等于18，那么当x=2时，该代数式的值等于___________.
6. 若，则y=___________________.
7. 若代数式是同类项，则a=_________，b=__________.
8. 食堂存煤若干，原来每天烧3吨，用去15吨后改进设备，耗煤量每天降为原来的一半，结果多烧10天，则原有煤量是___________.
9. 当x=1时，代数式的值为0，则m的值为__________.
10. 某学校为保护环境，绿化家园，每年组织学生参加植树活动，去年植树x棵，今年比去年增加20%，则今年植树___________棵.
二、选择题：（每小题3分，共30分）
11. 若，则下列说法中不正确的是（ ）
A. B. x、y互为负倒数 C. D.
12. 下列各题中正确的是（ ）
A. 由移项得
B. 由去分母得
C. 由去括号得
D. 由移项、合并同类项得x=5
13. 若方程的解为x=5，则a等于（ ）
A. 80 B. 4 C. 16 D. 2
14. 一个两位数，把其十位数字与个位数字交换位置后，所得的数比原数多9，这样的两位数的个数有（ ）
A. 0 B. 1 C. 8 D. 9
15. 如果x=1是方程的解，那么关于y的方程=
的解是（ ）
A. B. 0 C. D. 4
16. 在三峡大江截流时，用载重卡车将一座石料运到围堰龙口，第一次运了这堆石料的少2万方，第二次员了剩下的多3万方，此时还剩下12万方未运，若这堆石料共有x万方，于是可列方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
17. 方程去分母得（ ）
A. B.
C. D.
18. 数学竞赛共有10道题，每答对一道题得5分，不答或答错一道题倒扣3分，要得到34分必须答对的天数是（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
19. 方程的解是（ ）
A. 0 B. 无数个解 C. 1 D. 无解
20. 商品按进价增加20%出售，因积压需降价处理，如果仍想获得8%的利润，则出售价需打（ ） A. 9折 B. 5折 C. 8折 D. 7.5折
三、解答题：（满分60分）
21. 解方程：（每小题5分，共10分）
（1） （2）[来
22. （8分）m为何值时，代数式的值与代数式的值的和等于5？
23. （10分）为节约能源，某单位按以下规定收取每月电费，用电不超过140度，按每度0.43元收费，如果超过140度，超过部分按每度0.57元收费. 若某用户四月份的电费平均每度0.5元，问该用户四月份应交电费多少元？
[来源:Zxxk.Com]
24. （10分）小明买苹果和梨共5千克，用去17元，其中苹果每千克4元，梨每千克3元问苹果和梨各买了多少千克？
K]
[来源:
25. （10分）某人将2 000元人民币按一年定期存入银行，到期后扣除20%的利息税得本息和2160元，求这种存款方式的年利率.
26. （12分）某同学在做作业时，不慎将墨水瓶碰翻，使一道作业题只看到如下字样：“甲、乙两地相距40千米，摩托车的速度为45千米/时，货车的速度为35千米/时，____________________？（横线部分表示被墨水覆盖的若干文字），请将这道题补充完整，并列出方程进行解答
专题十四 丰富的图形世界
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一.几种常见的几何体
1．柱体
① 棱柱体：〔如图（1)(2）〕，图中上下两个面称棱柱的底面，周围的面称棱柱的侧面，面与面的交线是棱柱的棱．其中侧面与侧面的交线是侧棱，棱与棱的交点是顶点．
点拨：正方体和长方体是特殊的棱柱，它们都是四棱柱．正方体是特殊的长方体．
② 圆柱：图（3）中上下两个圆面是圆柱的底面，这两个底面是半径相同的圆，周围是圆柱的侧面．
点拨：棱柱和圆柱统称柱体．
2．锥体
① 圆锥：〔如图（4）〕图中的圆面是圆锥的一个底面，中间曲面是圆锥的侧面，圆锥只有一个顶点．
② 棱锥：〔如图（5）〕图中下面多边形面是棱锥的一个底面，其余各三角形面是棱锥的侧面．
点拨：棱锥和圆锥统称锥体．
3．台体
① 圆台：〔如图（6）〕图中上下两个大小不同的圆面是圆台的底面，中间曲面是圆台的侧面．
② 棱台：〔如图（7）〕图中上下两个大小不同的多边形是棱台的底面，其余四边形是棱台的侧面．
4．球体：〔如图（8）〕图中半圆绕其直径旋转而成的几何体，球体表面是曲面．
二．几何体的展开图
1. 圆柱、圆锥、正三棱锥、正四棱锥、正五棱锥、正三棱柱的展开图：
2. 正方体的平面展开图(有11种):
三．用平面截一个几何体出现的截面形状
1.用一个平面去截正方体，可能出现下面几种情况：
三角形 正方形 长方形 梯形 五边形 六边形
点拨：用平面去截几何体，所得的截面就是这个平面与几何体每个面相交的线所围成的图形．正方体只有六个面，所以截面最多有六条边，即截面边数最多的图形是六边形．
2. 几种常见的几何体的截面:
几何体
截面形状
正方体
三角形、正方形、长方形、梯形、五边形、六边形
圆 柱
圆、长方形、正方形、……
圆 锥
圆、三角形、……
球
圆
点拨：用平面去截圆柱体，可以与圆柱的三个面(两个底面，一个侧面)同时相交，由于圆柱侧面为曲面，相交得到是曲线，无法截出三角形．
四．识别物体的三视图
1．主视图、左视图、俯视图的定义
从不同方向观察同一物体，从正面看图叫主视图，从左面看图叫左视图，从上面看图叫做俯视图．
2．几种几何体的三视图
(1)正方体：三视图都是正方形．
(2)球 体：三视图都是圆．
(3)圆柱体：
(4)圆锥体：
点拨：圆锥的主视图、左视图都是三角形，而俯视图的图中有一个点表示圆锥的顶点，因为从上往下看圆锥时先看到圆锥的顶点，再看到底面的圆．
3．用若干个小正方体搭成几何体的三视图
如图：从正面看2列每列1层;从左面看2列每列1层;从上面看2列左列2层右列1层．则三视图是：
点拨：①主视图与俯视图列数相同，俯视图中每列的方框内的最大数字即为主视图本列的层数．
②左视图的列数与俯视图的行数相同，俯视图每一横行的方框内的最大数字即为左视图中的列的层数．
五．生活中的平面图形
1．多边形的定义
三角形、四边形、五边形等都是多边形，它们都是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭图形．边长都相等的多边形叫正多边形．
2．多边形的分割
设一个多边形的边数为n(n≥3) ,从这个n边形的一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以得到(n－3)条线段，这些线段又把这个n边形分割成(n－2)个三角形．
3．扇形与弧的定义及区别
(1)弧：圆上两点之间部分叫弧．
(2)扇形：由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫扇形．
(3)扇形与弧的区别:弧是一段曲线，而扇形是一个面．
二、课堂精讲例题
例1 常见几何体的特征
(1)列说法中，正确的个数是（ ）.
①柱体的两个底面一样大；②圆柱、圆锥的底面都是圆；③棱柱的底面是四边形；④长方体一定是柱体；⑤正棱柱的侧面一定是长方形.
（A）2个 （B）3个 （C）4个 （D）5个
（2）观察下图，请把左边的图形绕着给定的直线旋转一周后可能形成的几何体选出来( )
A B C D
例2常见几何体的展开图问题
下列展开图中，不能围成几何体的是（ ）.
例3常见的平面图形问题
从五边形的同一顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个五边形分成_______个三角形.
若是一个六边形，可以分割成_______个三角形.
【基础训练】
1.如下图中为棱柱的是（ ）
2.如图绕虚线旋转得到的几何体是（ ）.
3.下列各个平面图形中，属于圆锥的表面展开图的是( )
A B C D
例4正方体的展开图问题
(1) 如右上图是个正方体的展开图，图中已标出三个面在正方体中的位置，F表示前面,R表示右面,D表示下面,试判断另外三个面A,B,C在正方体中的位置.
例5截一个几何体问题
用平面截几何体可得到平面图形，在表示几何体的字母后填上它可截出的平面图形的号码。
A
B
C
D
E
1
2
3
4
5
6
A（ ）；B（ ）；C（ ）；D（ ）；E（ ）.
例6 几何体的三视图问题
画出下列立方体的三视图:
1.有上图每个图形都是由6个全等的正方形组成的，其中不是正方体的展开图的是（ ）
A B C D
2．（10菏泽）如图是一个由多个相同小正方体堆积而成的几何体的俯视图，图中所示数字为该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图是（ ）
1
3
1
2
1
A． B． C． D．
3.判断题
1．用一个平面去截一个正方体，截出的面一定是正方形或长方形．（ ）
2．用一个平面去截一个圆柱，截出的面一定是圆．（ ）
3．用一个平面去截圆锥，截出的面一定是三角形．（ ）
4．用一个平面去截一个球，无论如何截，截面都是一个圆．（ ）
例7 正方体的三视图问题
用小立方块搭一几何体，使得它的主视图和俯视图如图所示，这样的几何体最少要_____个立方块，最多要____个立方块.
例8最短距离问题
如图，正方体盒子中，一只蚂蚁从B点沿正方体的表面爬到D1点，画出蚂蚁爬行的最短线路.
【基础训练】
1.将左边的正方体展开能得到的图形是 （ ）
A B C D
2.如右上图，用小立方块搭一个几何体，使得它的主视图和俯视图如图所示。这样的几何体只有一种吗？它最少需要多少个小立方块？最多需要多少个小立方块？
3.某正方体盒子，如图左边下方A处有一只蚂蚁，从A处爬行到侧棱GF上的中点M点处，如果蚂蚁爬行路线最短，请画出这条最短路线图．
专题检测
1．如上右图，四个几何体分别为长方体、圆柱体、球体和三棱柱，这四个几何体中有三个的某一种视图都是同一种几何图形，则另一个几何体是 （ ）
2．如图，下列图形经过折叠不能围成棱柱的是（ ）
A B C D
3.如图是一块带有圆形空洞和方形空洞的小木板，则下列物体中既可以堵住圆形空洞，又可以堵住方形空洞的是 （ ）
（A） （B） （C） （D）
4. 如左上图是一个正四面体，它的四个面都是正三角形，现沿它的三条棱AC、BC、CD剪开展成平面图形，则所得的展开图是（ ）
5.如图是一个五棱柱，填空：
（1）这个棱柱的上下底面是____边形，有_____个侧面；（2）这个棱柱有_____条侧棱，共有_______条棱；
（3）这个棱柱共有_____个顶点．
6.如图，可用一个正方形制作成一副“七巧板”，利用“七巧板”能拼出各种各样的图案，根据“七巧板”的制作过程，请你解答下列问题.
⑴“七巧板”的七个图形，可以归纳为三种不同形状的平面图形，即一块正方形，一块_____________和五块____________.
⑵请按要求将七巧板的七块图形重新拼接（不重叠，并且图形中间不留缝隙），在下面空白处画出示意图.①拼成一个等腰直角三角形； ②拼成一个长与宽不等的长方形； ③拼成一个六边形.
⑶发挥你的想象力，用七巧板拼成一个图案，在下面空白处画出示意图.
3
4
2
2
3
7.用小立方体搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，这样的几何体只有一种吗？它最多需要多少个小立方体？它最少需要多少个小立方体？请你画出这两种情况下的左视图。
主视图
俯视图
8.如上图，用白萝卜等材料做一个正方体，并把正方体表面涂上颜色.
（1）把正方体的棱二等分，然后沿等分线把正方体切开，得到8个小正方体.观察其中三面被涂色的有a个，如图①,那么a等于 ；
（2）把正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开，得到27个小正方体.观察其中三面被涂色的有a个，各面都没有涂色的b个，如图②,那么a+b= ；
（3）把正方体的棱四等分，然后沿等分线把正方体切开，得到64个小正方体.观察其中两面被涂成红色有c个，各面都没有涂色的b个，如图③,那么b+c= .
9.把棱长为1cm的若干个小正方体摆放如图所示的几何体，然后在露出的表面上涂上颜色（不含底面）
正方向
（1） 该几何体中有多少小正方体？ （2）画出主视图；（3）求出涂上颜色部分的总面积.
10.如图用1、2、3、4标出的四块正方形，以及由字母标出的八块正方形中任意一块，一共要用5块连在一起的正方形折成一个无盖方盒，共有几种不同的方法？请选择合适的方法。
1
2
3
4
专题十五 平面图形及其位置关系
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一、线段、射线、直线
1、线段、射线、直线的定义
（1）线段：线段可以近似地看成是一条有两个端点的崩直了的线。线段可以量出长度。
（2）射线：将线段向一个方向无限延伸就形成了射线，射线有一个端点。射线无法量出长度。
（3）直线：将线段向两个方向无限延伸就形成了直线，直线没有端点。直线无法量出长度。
结论：直线、射线、线段之间的区别：
联系：射线是直线的一部分。线段是射线的一部分，也是直线的一部分
2、线段、射线、直线的表示方法
（1）线段的表示方法有两种：一是用两个端点来表示，二是用一个小写的英文字母来表示。
（2）射线的表示方法只有一种：用端点和射线上的另一个点来表示，端点要写在前面。
（3）直线的表示方法有两种：一是用直线上的两个点来表示，二是用一个小写的英文字母来表示。
3、直线公理：过两点有且只有一条直线。简称两点确定一条直线。
4、线段的比较
（1）叠合比较法；（2）度量比较法。
5、线段公理：“两点之间，线段最短”。连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离。
6、线段的中点：如果线段上有一点，把线段分成相等的两条线段，这个点叫这条线段的中点。
若C是线段AB的中点，则：AC=BC=AB或AB=2AC=2BC。
例题：1、如果线段AB=5cm，BC= 3cm，那么A、C两点间的距离是（ ）
A．8 cm B、2㎝ C．4 cm D．不能确定
2、已知线段AB=20㎝，C为 AB中点，D为CB 上一点，E为DB的中点，且EB=3 ㎝，则CD= ________cm．
3、平面上有三个点，可以确定直线的条数是（ ）
A、1 B．2 C．3 D．1或 3
二、角
1、角的概念：
（1）角可以看成是由两条有共同端点的射线组成的图形。两条射线叫角的边，共同的端点叫角的顶点。
（2）角还可以看成是一条射线绕着他的端点旋转所成的图形。
2、角的表示方法：
角用“∠”符号表示
（1）分别用两条边上的两个点和顶点来表示。（顶点必须在中间）
（2）在角的内部写上阿拉伯数字，然后用这个阿拉伯数字来表示角。
（3）在角的内部写上小写的希腊字母，然后用这个希腊字母来表示角。
（4）直接用一个大写英文字母来表示。
3、角的度量：会用量角器来度量角的大小。
4、角的单位：角的单位有度、分、秒，用°、′、″表示，角的单位是60进制与时间单位是类似的。度、分、秒的换算：1°=60′，1′=60″。
5、锐角、直角、钝角、平角、周角的概念和大小
（1）平角：角的两边成一条直线时，这个角叫平角。
（2）周角：角的一边旋转一周，与另一边重合时，这个角叫周角。
（3）0°<锐角<90°，直角=90°，90°<钝角<180°，平角=180°，周角=360°。
6、画两个角的和，以及画两个角的差
（1）用量角器量出要画的两个角的大小，再用量角器来画。
（2）三角板的每个角的度数，30°、60°、90°、45°。
7、角的平分线：从角的顶点出发将一个角分成两个相等的角的射线叫角的平分线。
（若BD是∠ABC的平分线，则有：∠ABD=∠CBD=∠ABC；∠ABC=2∠ABD=2∠CBD）
8、角的计算。
练习：
1．已知αβ是两个钝角，计算（α+β）的值，甲、乙、丙、丁四种不同的答案分别是24°，48°，76°，86°，其中只有一个答案是正确的，则正确的答案是（ ）
A．86° B．76° C．48° D．24°
2．甲同学看乙同学的方向为北偏东60°则乙同学看甲同学的方向为（ ）
A．南偏东30° B．南偏西60° C．东偏南60° D．南偏西30°
3.如图1―4－5所示，AC为一条直线，O是AC上一点，∠AOB＝120° ，OE、OF分别平分∠AOB和∠BOC．
（1）求∠EOF的大小；
（2）当OB绕O旋转时，OE、OF仍为∠AOB和∠BOC平分线，问：OF、OF有怎样的位置关系？为什么？
三、平行线和垂线
1、平行线的定义：
（1）如果在同一平面内的两条不相交的直线叫平行线。
（2）平行线用“∥”来表示；强调要在同一平面内，若不在同一平面内的两条直线，又不平行，又不相交，叫异面直线；线段、射线的平行关系根据它所在的直线来决定，若它们所在的直线不相交，就平行，若所在的直线相交，就不平行。
2、平行的公理及推论：
（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。
（2）平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。（平行于同一直线的两直线平行）
3、画已知直线的平行线的方法
用直尺和三角板画平行线。
4、垂直的概念：
（1）如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
（2）两条线段互相垂直指它们所在的直线互相垂直。
（3）两条直线垂直用“⊥”来表示，如直线AB与直线CD垂直，记作：AB⊥BC
5、垂线段的概念：
（1）过一点A做直线a的垂线，垂足为B，则线段AB叫直线a的垂线段。
（2）直线外一点A到直线a的垂线段长度叫点A到直线a的距离。
（3）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
6、垂直的性质：平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
四、七巧板
七巧板的制作：七巧板由5块三角形，1块正方形，一块平行四边形组成。
课后作业
1.下列说法正确的是（ ）
A. 两点之间的连线中，直线最短 B.若P是线段AB的中点，则AP=BP
C. 若AP=BP, 则P是线段AB的中点 D. 两点之间的线段叫做者两点之间的距离
2.如果线段AB=5cm,线段BC=4cm,那么A,C两点之间的距离是（ ）
A. 9cm B.1cm C.1cm或9cm D.以上答案都不对
3.在直线L上依次取三点M,N,P, 已知MN=5,NP=3, Q是线段MP的中点，则线段QN的长度是（ ）
A. 1 B. 1.5 C. 2.5 D. 4
4.已知点C是线段AB上的一点，M,N分别是线段AC,BC的中点，则下列结论正确的是（ ）
A. MC=AB B. NC=AB C.MN=AB D.AM=AB
5. 已知线段AB=6cm,C是AB的中点，C是AC的中点，则DB等于（ ）
A. 1.5cm B. 4.5 cm C3 cm. D.3.5 cm
6.把两条线段AB和CD放在同一条直线上比较长短时，下列说法错误的是（ ）
A. 如果线段AB的两个端点均落在线段CD的内部，那么AB
AB〉CD
D. 如果B，D重合，A，C位于点B的同侧，且落在线段CD的外部，则AB〉CD
7.如图，量一量线段AB,BC,CA的长度，
就能得到结论（ ）
A. AB=BC+CA B. AB
8. 如图，BC=4 cm,BD=7 cm , D是AC的中点，则AC= cm， AB= cm
9. 如图，从甲地到乙地有四条道路，其中最短的路线是 ，最长的路线是 。
10. 如图，D,E分别是线段AB,AC的中点，量一量线段DE和BC的长度，
得到DE= BC(填一个数)
第9 题图 第10题图
11、如右图，点C分AB为2∶3,点D分AB为1∶4， 若AB为5 cm,则AC=_____cm,
BD=_____cm,CD=______cm.
12、若线段AB=a,C是线段AB上任一点，MN分别是AC、BC的中点，则MN=_______+_______=_______AC+_______BC=_______.
13、 已知线段AB，在AB的延长线上取一点C，使BC=2AB，再在BA的延长线上取一点D，使DA=AC，则线段DC=______AB，BC=_____CD
14、 已知线段AB=10㎝，点C是AB的中点，点D是AC中点，则线段CD=_________㎝。
15、计算______度 ______分______秒
______度______分______秒 =______度
16、观察图中的图形,并阅读图形下面的相关文字:
（1）像这样,10条直线相交,最多交点的个数是( )
A.40个 B.45个 C.50个 D.55个
（2）像这样, n条直线相交,最多交点的个数是 （ ）
17、平面上有四个点,过其中每两点画直线,可以画多少条?（画图说明）
第一讲 负数…………………………………………………………2
第二讲 数轴…………………………………………………………5
第三讲 绝对值………………………………………………………9
第四讲 有理数的加法………………………………………………13
第五讲 有理数的减法及加减混合算………………………………17
第六讲 有理数的乘法………………………………………………21
第七讲 有理数的除法………………………………………………23
第八讲 有理数的乘方………………………………………………25
第九讲 有理数的混合运算…………………………………………28
第十讲 代数式及代数式求值………………………………………31
第十一讲 合并同类项…………………………………………………34
第十二讲 一元一次方程………………………………………………39
第十三讲 一元一次方程的应用………………………………………43
第十四讲 丰富的图形世界……………………………………………49
第十五讲 平面图形及其位置关系……………………………………59
专题一 负数
1、 相关知识链接
小学学过的数：
（1） 整数（自然数）：0，1，2，3…………
（2） 分数：……………
（3） 小数：0.5，1.2，0.25…………
提问：
（1） 温度：零上8度，零下8度，在数学中怎么表示？
（2） 海拔高度：+25，-25分别表示什么意思？
（3） 生活中常说负债800元，在数学中又是什么意思？
2、 教材知识详解
负数的产生：我们把其中一种意义的量规定为正，把另一种和它意义相反的量规定为负，这样就产生了负数。
【知识点1】正数与负数的概念
（1） 正数：像5，1.2，，125等比0大的数叫做正数。
（2） 负数：像-5，-1.2，-，-125等在正数前面加上“-”号的数叫做负数，负数比
0小，“-”不能省略。
注：（1）0既不是正数也不是负数，它是正数负数的分界点
（2）并不是所有带有“-”号的数字都叫做负数，例如0
【例1】下列那些数为负数
5，2，-8.3，4.7，-，0，-0
【知识点2】有理数及其分类
（1） 有理数：整数和分数统称为有理数，整数包括正整数、0、负整数、分数（包括正分数和负分数）。注：分数可以与有限小数和无限循环小数相互转化。
（2） 有理数分类：
按性质分类：
按定义分类：
【例2】把下列各数填在相应的集合内，－23，0.5，－, 28, 0, 4, , －5.2.
整数集合{ }
负数集合{ }
负分数集合{ }
非负正数数集合{ }
【基础练习】
1、零下30C记作（ ）0C；（ ）既不是正数，也不是负数。
2、在0.5,-3,+90%,12,0,- 这几个数中,正数有( ),负数有( )。
3、银行存折上的“2000.00”表示存入2000元，那么“-500.00”表示（ ）
4、将下面的数填在适当的（ ）里
1.65 -15.7 2340 96%
(1)冰城哈尔滨，一月份的平均气温是( )度。
(2)六(2)班( )的同学喜欢运动。
(3)调查表明，我国农村家庭电视机拥有率高达( )。
(4)杨老师身高( )米。
(5)某市今年参与马拉松比赛的人数是( )人。
5、在○里填上“>”、“<”、或“=”
-3 ○ 1 -5 ○ -6 -1.5 ○ - - ○ 0 0 ○ 5%
6、下列说法错误的是（ ）
A. 0既是正数也是负数； B.一个有理数不是整数就是分数；
C.0和正整数是自然数 ； D.有理数又可分为正有理数和负有理数。
7、下列实数，，，2.1984374……，中无理数有（ ）
Ａ．个 Ｂ．个 Ｃ．个 Ｄ．个
【基础提高】
1、 判断正误：
（1）有理数分整数、分数、正有理数、负有理数、零五类。 （ ）
（2）一个有理数不是正数就是负数。 （ ）
2、在-2,0,1,3这四个数中比0小的数是 （ ）
A．-2 B.0 C.1 D.2
3、零上130C记作+130C，零下2oC课记作 （ ）
A．2 B.-2 C. 2oC D. -2oC
4、在数，2，-2,0，-3.14中，负分数有 （ ）
A．0个 B.1个 C.2个 D.3个
5、一包盐上标：净重（5005）克，表示这包盐最重是（ ）克，最少有（ ）克。
6、观察下面一列数，根据规律写出横线上的数，
－；；－；； ； ；……
7、求下列各数的相反数
（1）-5 （2） （3）0 （4）3a （5）-2b
8、甲、乙两人同时从某地出发，如果甲向南走100m记作+100m，则乙向北走70m记作什么？这时甲、乙两人相距多少米？
9、在一次数学测验中，某班的平均分为86分，把高于平均分的高出部分的数记为正数。
（1）平平的96分，应记为多少？
（2）小聪被记作-11分，他实际得分是多少？
10、某化肥厂每月计划生产化肥500吨，2月份超额生产了12吨，3月份相差2吨，4月份相差3吨，5月份超额生产了6吨，6月份刚好完成计划指标，7月份超额生产了5吨，请你设计一个表格用有理数表示这6个月的生产情况。
专题二 数轴
1、 相关知识链接
（1） 有理数分为正有理数、0、负有理数。
（2） 观察温度计时发现：直线上的点可以表示有理数。
2、 教材知识详解
【知识点1】数轴的概念
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
0
1
2
-1
-2
3
注：（1）规定直线上向右的方向为正方向。
（3） 数轴三要素：原点、正方向、单位长度。
【例1】下列五个选项中，是数轴的是（ ）
0
1
-1
0
1
-1
2
1
0
1
-1
A. B. C. D.
0
1
2
-2
-1
3
E.
【知识点2】数轴上的点与有理数的关系
所有有理数都可以用数轴上的点来表示，0表示原点，正有理数可以用原点右边的点表示，负有理数可以用原点左边的点表示。但反过来，不能说数轴上的所有点都表示有理数。
【例2】如图，数轴上的点A、B、C、D分别表示什么数？
【知识点3】相反数的概念
0
1
-1
（1） 几何定义：在数轴上，原点两旁离开原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数；如图所示1和-1
（2） 代数定义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个数是另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。
特别地，0的相反数为0。
【例3】（1）的相反数是 ；一个数的相反数是，则这个数是 。
（2）分别写出下列A、B、C、D、E各点对应有理数的相反数
【知识点4】利用数轴比较有理数的大小
在数轴上表示的数，右边的数总是比左边大；
正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。
0
a
b
【例4】a、b为两个有理数，在数轴上的位置如图所示，把a、b、-a、-b、0按从小到大的顺序排列出来。
变式：已知a>b>0，比较a，-a，b，-b的大小。
【基础练习】
一、判断
1、在有理数中，如果一个数不是正数，则一定是负数。 ( )
2、数轴上有一个点，离开原点的距离是3个单位长度，则这个点表示的数一定是3 ( )
3、已知数轴上的一个点，表示的数为3，则这个点到原点的距离一定是3个单位长度。( )
4、已知点A和点B都在同一条数轴上，点A表示3，又知点B和点A相距5个单位长度，则点B表示的数一定是8。 ( )
5、若A，B表示两个相邻的整数，那么这两个点之间的距离是一个单位长度。 ( )
6、若A、B两点之间的距离是一个单位长度，那么这两点表示的数一定是两个相邻的整数( )
7、数轴上不存在最小的正整数。 ( )
8、数轴上不存在最小的负整数。 ( )
9、数轴上存在最小的整数。 ( )
10、数轴上存在最大的负整数。 ( )
二、填空
11、规定了__________、________和_________的直线叫做数轴；
12、温度计刻度线上的每个点都表示一个__________，0°C以上的点表示________，_________的点表示负温度。
13、在数轴上点A表示－2，则点A到原点的距离是______个单位；在数轴上点B表示+2，则点B到原点的距离是______个单位；在数轴上表示到原点的距离为1的点的数是___ ___；
14、在数轴上表示的两个数，______的数总是比________数小；
15、0大于一切________；
16、任何有理数都可以用___________上的点来表示；
17、点A在数轴上距原点为3个单位，且位于原点左侧，若将A向右移动4个单位，再向左移动1个单位，这时A点表示的数是_________________；
18、将数，从大到小用“>”连接是__________________________；
19、所有大于－3的负整数是______________，所有小于4且不是负数的数是_____________。
三、选择
20、如图所画出的数轴正确的是 ( )
0
0
0
1
1
1
2
(A)
(B)
(C)
(D)
21、下列四对关系式错误的是 ( )
(A)－3.7<0 (B) －2<－3 (C) 4.2> (D) >0
22、已知数轴上A、B两点的位置如图所示，那么下列说法错误的是 ( )
0
A
B
(A)A点表示的是负数 (B)B点表示的数是负数
(C)A点表示的数比B点表示的数大 (D)B点表示的数比0小
24、下列说法错误的是( )
(A)最小自然数是0 (B)最大的负整数是－1 (C)没有最小的负数 (D)最小的整数是0
25、在数轴上，原点左边的点表示的数是( )
(A)正数 (B)负数 (C)非正数 (D)非负数
26、从数轴上看，0是( )
(A)最小的整数 (B)最大的负数 (C)最小的有理数 (D)最小的非负数
【基础提高】
1、 下列各图中，是数轴的是（ ）A．
B．
C．
D．
0
1
1
0
1
-1
0
1
2、下列说法中正确的是（ ）
A．正数和负数互为相反数 B．0是最小的整数
C．在数轴上表示+4的点与表示-3的点之间相距1个单位长度
D．所有有理数都可以用数轴上的点表示
3、下列说法错误的是（ ）
A．所有的有理数都可以用数轴上的点表示 B．数轴上的原点表示0
C．在数轴上表示-3的点与表示+1的点的距离是2
D．数轴上表示-5的点，在原点负方向5个单位
4、数轴上表示-2.5与的点之间，表示整数的点的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5、 若-x=8，则x的相反数在原点的______侧．
6、 把在数轴上表示-2的点移动3个单位长度后，所得到对应点的数是_____．
7、 数轴上到原点的距离小于3的整数的个数为x，不大于3的整数的个数为y，等于3的整数的个数为z，则x+y+z=_____．
8、数轴的三要素是___、____、____．
9、在数轴上0与2之间(不包括0，2)，还有___个有理数．
10、在数轴上距离数1是2个单位的点表示的数是________；
11、指出下图所示的数轴上各点分别表示什么数．
A，B，C，D，E，F分别表示_____，_____，_____，_____，_____，_____．
12、在数轴上描出大于-3而小于5的所有整数点．
0
1
2
3
4
5
-5
-4
-3
-2
-1
13、 判断下面的数轴画的是否正确，如果不正确，请指出错在哪里？
-1
5
-2
-3
-4
-5
1
2
3
4
14、在数轴上表示，将点沿数轴向右平移3个单位到点，则点所表示的数为
A．3 Ｂ．2 Ｃ． Ｄ．2或
15、画出数轴，把下列各数在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序，用“<”连接起来。
16、比较下列每组数的大小
（1）和－ （2）－和－ （3）和
专题三 绝对值
1、 相关知识链接
只有符号不同的两个数是互为相反数；在数轴上位于原点的两旁，且与原点距离相等的两个点所对应的两个数互为相反数。
2、 教材知识详解
【知识点1】绝对值的概念
（1） 几何定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。数“a”的绝对值记作“|a|”，如|+2|=2，|-3|=3，|0|=0.
（2） 代数定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.即： a（a>0）, a（a0）
|a|= 0(a=0), 或|a|=
-a(a<0), -a（a<0）
注：a.绝对值表示一个数对应的点到原点的距离，由于距离总是正数或零，则有理数的绝对值不可能事负数，即a取任意有理数，都有|a|0.
b.离原点的距离越远，绝对值越大，离原点的距离越近，绝对值越小。
c.互为相反数的两个数绝对值相等。如：|2|=2，|-2|=2
【例1】求下列各数的绝对值。
（1） （2）+4.2 （3）0
【知识点2】两个负数大小的比较
绝对值大的反而小
【例2】比较下列有理数的大小
（1）-0.6与-60 （2）-与- （3）-与-
【基础练习】
一、填空题
1.一个数a与原点的距离叫做该数的_______.
2.－|－|=_______，－（－）=_______，－|+|=_______，－（+）=_______，+|－（）|=_______，+（－）=_______.
3._______的倒数是它本身，_______的绝对值是它本身.
4.a+b=0,则a与b_______.
5.若|x|=，则x的相反数是_______.
6.若|m－1|=m－1,则m_______1. 若|m－1|>m－1,则m_______1.
若|x|=|－4|,则x=_______. 若|－x|=||,则x=_______.
二、选择题
1.|x|=2,则这个数是（ ）
A.2 B.2和－2 C.－2 D.以上都错
2.|a|=－a，则a一定是（ ）
A.负数 B.正数 C.非正数 D.非负数
3.一个数在数轴上对应点到原点的距离为m，则这个数为（ ）
A.－m B.m C.±m D.2m
4.如果一个数的绝对值等于这个数的相反数，那么这个数是（ ）
A.正数 B.负数 C.正数、零 D.负数、零
5.下列说法中，正确的是（ ）
A.一个有理数的绝对值不小于它自身 B.若两个有理数的绝对值相等，则这两个数相等
C.若两个有理数的绝对值相等，则这两个数互为相反数 D.－a的绝对值等于a
三、判断题
1.若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等. （ ）
2.若两个数相等，则这两个数的绝对值也相等. （ ）
3.若x
四、解答题
1.若|x－2|+|y+3|+|z－5|=0计算:
（1）x,y,z的值.
（2）求|x|+|y|+|z|的值.
2.若2
3. （1）若=1,则x为正数，负数，还是0。（2）若=-1, 则x为正数，负数，还是0.
【基础提高】
一、填空题
1.互为相反数的两个数的绝对值_____.
2.一个数的绝对值越小，则该数在数轴上所对应的点，离原点越_____.
3.绝对值最小的数是_____.
4.绝对值等于5的数是_____，它们互为_____.
5.若b＜0且a=|b|，则a与b的关系是______.
6.一个数大于另一个数的绝对值，则这两个数的和一定_____0（填“＞”或“＜”）.
7.如果|a|＞a，那么a是_____.
8.绝对值大于2.5小于7.2的所有负整数为_____.
9.将下列各数由小到大排列顺序是_____.
－， ，|－|，0，|－5.1|
10.如果－|a|=|a|，那么a=_____.
11.已知|a|+|b|+|c|=0，则a=_____，b=_____，c=_____.
12.计算
（1）|－2|×(－2)=_____ （2）|－|×5.2=_____
（3）|－|－=_____ （4）－3－|－5.3|=_____
二、选择题
13.任何一个有理数的绝对值一定（ ）
A.大于0 B.小于0 C.不大于0 D.不小于0
14.若a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，则a+b一定是（ ）
A.正数 B.负数 C.非负数 D.非正数
15.下列说法正确的是（ ）
A.一个有理数的绝对值一定大于它本身 B.只有正数的绝对值等于它本身
C.负数的绝对值是它的相反数 D.一个数的绝对值是它的相反数，则这个数一定是负数
16.下列结论正确的是（ ）
A.若|x|=|y|，则x=－y B.若x=－y，则|x|=|y|
C.若|a|＜|b|，则a＜b D.若a＜b，则|a|＜|b|
专题四 有理数的加法
1、 相关知识链接
（1） 加法的定义：把两个数合成一个数的运算，叫做加法；
（2） 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；
（3） 加法分配律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。
2、 教材知识详解
【知识点1】有理数加法法则
（1） 同号两数相加；取相同的符号，并把绝对值相加。
数学表示：若a>0、b>0，则a+b=|a|+|b|；
若a<0、b<0，则a+b=-(|a|+|b|)；
（2） 异号两数相加，绝对值相等（相反数）时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并且用较大的绝对值减去较小的绝对值。
数学表示：若a>0、b<0，且|a|>|b|则a+b=|a|-|b|；
若a>0、b<0，则a+b=|b|-|a|；
（3） 一个数同0相加，仍得这个数。
【例1】计算：
（1）（+8）+（+2） （2）（-8）+（-2） （3）（-8）+（+2）
（4）（+8）+（-2） （5）（-8）+（+8） （6）（-8）+ 0
【知识点2】有理数加法的运算律
加法交换律：a + b = b + a
加法结合律：（a + b）+ c = a +（b + c）
【例2】计算 4.1+（+）+（-）+（-10.1）+7
【基础练习】
1.如果规定存款为正，取款为负，请根据李明同学的存取款情况
①一月份先存10元，后又存30元，两次合计存人 元，就是（＋10）＋（＋30）=
②三月份先存人25元，后取出10元，两次合计存人 元，就是（＋25）＋（－10）＝
2.计算：
（1）； （2）（—2.2）+3.8； （3）+（—5）；
（4）（—5）+0； （5）（+2）+（—2.2）； （6）（—）+（+0.8）；
（7）（—6）+8+（—4）+12； （8）
（9）0.36+(—7.4)+0.3+(—0.6)+0.64； （10）9+（—7）+ 10 +（—3）+（—9）；
3. 用简便方法计算下列各题：
4.
（1） （2）
（3） （4）
（5）
3、用算式表示：温度由—5℃上升8℃后所达到的温度．
4、有5筐菜，以每筐50千克为准，超过的千克数记为正，不足记为负，称重记录如下：
＋3，－6，－4，＋2，－1，总计超过或不足多少千克？5筐蔬菜的总重量是多少千克？
5. 一天下午要测量一次血压，下表是该病人星期一至星期五血压变化情况，该病人上个星期日的血压为160单位，血压的变化与前一天比较：
星期
一
二
三
四
五
血压的变化
升30单位
降20单位
升17单位
升18单位
降20单位
请算出星期五该病人的血压
【基础提高】
1．计算：
(1)3-8； (2)-4+7； (3)-6-9； (4)8-12；
(5)-15+7； (6)0-2； (7)-5+9+3； (8)10+（-17）+8；
2．计算：
(1)-4.2+5.7+（-8.4）+10； (2)6.1-3.7-4.9+1.8；
4．计算：
(1)12+(-18)+(-7)+15； (2)-40+28+(-19)+(-24)+(-32)；
5．计算：
(1)(+12)+(-18)+(-7)+(+15)； (2)(-40)+(+28)+(-19)+(-24)+(32)；
(3)(+4.7)+(-8.9)+(+7.5)+(-6)； (4)
专题五 有理数的减法及加减混合运算
1、 相关知识链接
减法是加法的逆运算。
2、 教材知识详解
【知识点1】有理数减法法则
减去一个数，等于加上这个数的相反数，即a-b=a+（-b），这里a、b表示任意有理数。
步骤：（1）变减为加，把减数的相反数变成加数；
（2）按照加法运算的步骤去做。
【例1】计算
（1）（－3）－（－5）； (2)0－7； (3)7.2－（－4.8）；
（4） (+4.7)-(-8.9)+(+7.5)-(-6) （5）-11-7-9+6
【知识点2】有理数加减混合运算的方法和步骤
第一步：运用减法法则将有理数混合运算中的减法转化成为加法；
第二步： 再运用加法法则、加法交换律、加法结合律进行运算。
【例2】计算：（1） （2）
【基础练习】
1. 已知两个数的和为正数，则( )
Ａ．一个加数为正，另一个加数为零 B.两个加数都为正数
Ｃ．两个加数一正一负，且正数的绝对值大于负数的绝对值 Ｄ．以上三种都有可能
2. 若两个数相加，如果和小于每个加数，那么( )
Ａ．这两个加数同为正数 B．这两个加数的符号不同
C．这两个加数同为负数 D．这两个加数中有一个为零
3. 笑笑超市一周内各天的盈亏情况如下:(盈余为正,亏损为负，单位：元)：132，-12，-105，127，-87，137，98，则一周总的盈亏情况是( )
A. 盈了 B. 亏了 C. 不盈不亏 D. 以上都不对
4. 下列运算过程正确的是（ ）
Ａ．（-3）+（-4）＝-3+-4=… Ｂ．（-3）+（-4）＝-3+4=…
Ｃ．（-3）-（-4）＝-3+4=… Ｄ．（-3）-（-4）＝-3-4=…
5. 如果室内温度为21℃，室外温度为－７℃，那么室外的温度比室内的温度低（ ）
Ａ．－28℃ Ｂ．－14℃ Ｃ．14℃ D．28℃
6. 汽车从A地出发向南行驶了48千米后到达B地，又从B地向北行驶20千米到达C地，则A地与C地的距离是( )
A．68千米 B．28千米 C．48千米 D．20千米
7. x＜0, y＞0时,则x, x+y, x－y，y中最小的数是 ( )
A. x Ｂ.x－y Ｃ. x+y D. y
8.｜x-1｜+|y+3|=0, 则y－x－的值是 （ ）
A .－4 B. －2 Ｃ.－１ Ｄ.１
9. 在正整数中,前50个偶数和减去50个奇数和的差是 ( )
A. 50 B. －50 C. 100 D.－100
10. 在1，—1，—2这三个数中，任意两数之和的最大值是 （ ）
Ａ.１ Ｂ.０ Ｃ.－１ Ｄ.－３
二、填空题
11. 计算：(-0.9)+(-2.7)= , 3.8-(+7)= .
12. 已知两数为 5和－8 ，这两个数的相反数的和是 ，两数和的绝对值是 .
13. 绝对值不小于5的所有正整数的和为 .
14. 若m，n互为相反数，则|m-1+n|= .
15. 已知x.y，z三个有理数之和为0，若x=8，y=-5，则z= .
16. 已知m是6的相反数，n比m的相反数小2，则m-n等于 。
17．在-13与23之间插入三个数，使这5个数中每相邻两个数之间的距离相等，则这三个数的和是 .
18.的绝对值的相反数与的相反数的和为______________。
【基础提高】
1、下列算式是否正确,若不正确请在题后的括号内加以改正：
(1)(-2)+(-2)=0 ( );
(2)(-6)+(+4)=-10 ( );
(3)+(-3)=+3 ( );
(4)(+)+(-)= ( );
(5)-(-)+(-7)=-7 ( ).
2.已知两个数-8和+5.
（1）求这两个数的相反数的和； （2）求这两个数和的相反数；
（3）求这两个数和的绝对值； （4）求这两个数绝对值的和.
3．分别根据下列条件，利用与表示a+b：
（1）a>0,b>0; （2）a<0,b<0
（3）a>0,b<0, > (4)a>0,b<0, <
4．选择题
（1）若a,b表示负有理数，且a>b,下列各式成立的是
A. a+b>(-a)+(-b); B. a+(-b)>(-a)+b C. (+a)+(-a) >(+b)+(-b) D. (-a)+(-b)
A. a, b的绝对值相等； B. a，b异号；
C. a，-b的和是非负数； D. a，b同号或其中至少一个为零.
（3）如果+[-1]=1，那么x等于（ ）
A．或- B．2或-2 C．或- D．1或-1
（4）若a+b=(-a)+(-b),那么下列各式成立的是（ ）
A．a=b=0 B．a>0,b<0,a=-b C．a+b=0 D．a+(-b)=0
5、计算
（1）（+23）+（-27）+（+9）+（-5）； （2）（-5.4）+(+0.2)+(-0.6)+(+0.35)+(-0.25);
（3）2+[6+(-2)+(-5)]+(-5.6); (4)(-3)+(4)+[(-)+(+2)+(1+1)];
（5）8+[6+(-3)+(-5)]+(-3).
专题六 有理数的乘法
1、相关知识链接
乘法交换律：axb=bxa(ab=ba)
2、教材知识详解
【知识点1】有理数乘法法则
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0。
步骤：（1）符号法则-----确定符号；（2）算数乘法-----确定绝对值。
【例1】 计算：（1）（-4）x(-8) (2)（ ）x( )
（3）（-267）x0 （4）0.5x0.7
知识链接：如果-5a是正数，那么a的符号是（ ）
【知识点2】互为倒数的概念
像-3与，与，乘积为1的两个有理数互为倒数
注意：（1）互为倒数的数是成对出现的，并且符号相同；（2）0没有倒数。
【知识点3】有理数乘法法则的推广
（1） 几个不等于0的数相乘，记得符号由负因数的个数决定。当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正。
（2） 几个数相乘，有一个因数为0，积为0.反之，如果积为0，那么，至少有一个因数为0.
（3） 当因数是带分数时，应先化成假分数，便于约分。
说明：①在有理数乘法中，每一个乘数都叫做一个因数；
②几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定符号，然后把绝对值相乘。
【例2】 计算：
【知识点3】有理数乘法的运算律
（1） 乘法交换律：ab=ba
（2） 乘法结合律：（ab）c=a(bc)
（3） 分配律：a(b+c)=ab+ac
【例3】 计算：
【例4】 计算：（1）
（2）
专题七 有理数的除法
1、相关知识链接
除以一个数就相当于乘以这个数的倒数。
2、教材知识详解
【知识点1】倒数的定义
定义：乘积是1的两个数互为倒数。一般地，=1（），也就是说，如果是不等于0的有理数，那么，的倒数是。
说明：①0没有倒数；②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数；③负倒数的定义：乘积为-1的两个数互为负倒数。
【知识点2】怎样求一个有理数的倒数
只要把这个有理数的分子与分母颠倒一下即可，即的倒数是；如果是小数，则先写成分数形式再将分子、分母颠倒位置。
另外，如果两个数互为倒数，则它们的积为1，即互为倒数，则=1，反之亦成立。
【例1】求下列各数的倒数，并用“〈”把它们连起来：
【知识点3】有理数除法的运算法则及步骤
有理数除法法则（一）：除以一个数等于乘以这个数的倒数，即（）。
有理数除法法则（二）：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。0除以任何一个不等于0的数，都得0。
说明：0不能做除数，即0出任何数都没有意义。
有理数除法运算的步骤：（1）确定上的符号；
（2）求出商的绝对值，依据是两个运算法则。
【例1】计算：
（1）（-18）÷3 （2）（-18）÷（-3） （3）0÷（-）
(4) (5)
【例2】计算：
（1） （2）
（3）
【例3】计算：
(1) (2)
（3）
专题八 有理数的乘方
1、相关知识链接
在小学我们已经学习过a·a，记作a2，读作a的平方(或a的二次方)；a·a·a记作a3，读作a的立方(或a的三次方)；那么，a·a·a·a
(n是正整数)呢？
2、教材知识详解
【知识点1】有理数乘方的意义
求n个相同因数a的积的运算，叫乘方，记作an
说明：
【知识点2】乘方的运算的法则
正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
a2n=(-a)2n(n是正整数)；a2n-1=-(-a)2n-1(n是正整数)；a2n≥0(a是有理数，n是正整数)．
【知识点3】计算有理数乘方的步骤
（1） 先确定幂的符号； (2)在确定幂的结果。
【知识点4】10n的意义
例1 计算：
(1) (-3)2，(-3)3，［-(-3)］5； (2)-32，-33，-(-3)5；
(3)(-1)2001，3×22，-42×(-4)2，-23÷(-2)3； (4)(-1)n-1．
【基础练习】
一、填空题
1.（－2）3的底数是_______，结果是_______.
2.－32的底数是_______，结果是_______.[来源:Zxxk.Com]
3.5·（－2）2=_______，48÷(－2)5=_______.
4.n为正整数，则（－1）2n=_______,(－1) 2n+1=_______.
5.一个数的平方等于这个数本身，则这个数为_______.
6.一个数的立方与这个数的差为0，则这个数是_______.[来源:Z,xx,k.Com]
二、选择题
1.如果a2=a,那么a的值为（ ）
A.1 B.0 C.1或0 D.－1
2.一个数的平方等于16，则这个数是（ ）
A.+4 B.－4 C.±4 D.±8
3.a为有理数，则下列说法正确的是（ ）
A.a2>0 B.a2－1>0 C.a2+1>0 D.a3+1>0[
4.下列式子中，正确的是（ ）
A.－102=(－10)×(－10) B.32=3×2
C.(－)3=－×× D.23=32
三、判断题
1.若一个数的平方为正数，则这个数一定不为0. （ ）
2.（－1）n=－n. （ ）
3.一个数的平方一定大于这个数. （ ）
4.平方是8的数有2个，它们是±2. （ ）[来源:学#科#网Z#X#X#K]
四、解答题
1.|a+3|+|b－2|=0,求ab的值.学。科。网]
[来源:Z*x
2.已知x2=(－2)2,y3=－1,求：(1)x×y2003的值. (2)的值.
解：∵x2=(－2)2=_______,∴x=_______.
∵y3=－1,∴y=_______.
∴x×y2003=_______.
=_______.
【基础提高】
1.填空：
(1)(－2)6中指数为_____，底数为_____.
－26中指数为_____，底数为_____.
(2)(－)4的底数是_____，结果是_____.－()4的底数是_____，结果是_____，－的底数是_____，结果是_____.
2.计算：
(1)(－)3 (2)－32×23 (3)(－3)2×(－2)3
(4)－2×32 (5)(－2×3)2 (6)(－2)14×(－)15
(7)－(－2)4 (8)(－1)2001 (9)－23+(－3)2
(10)(－2)2·(－3)2
3.若a2=16,b2=9,则a－b=_____.
专题九 有理数的混合运算
1、 教材知识详解
【知识点】有理数的混合运算的运算顺序是：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号内，再算括号外．
注意 有理数的混合运算中要特别注意正负号，这也是初中数学中最容易出错的地方．
在进行代数运算时，如遇下列情况可运用加法交换律和结合律，使计算变得简便。
（1）有些加数相加后可以得到整数时，可先行相加。
（2）分母相同或易于通分的分数，可先行相加。
（3）有相反的数可以互相消去得零的，可先行相加。
例1、（1）—42×[(1—7)÷6]+[(—5)3—3]÷(—2)3
例2、计算：（1） （2）
例3、采用两种不同的方法，将四个有理数(每个数都要用且只能用一次)3，4，－6，10通过加减乘除四则运算，使其结果等于24．
【基础练习】
选择题：
1、下列各组数中，相等的一组是 （ ）
A、23和22 B、（－2）3和（－3）2 C、（－2）3和－23 D、（－2×3）2和－（2×3）2
2、计算－16÷（－2）3－22×（－），结果应是 （ ）
A、0 B、－4 C、－3 D、4[来源:学科网]
3、下列各式中正确的是（ ）
A、－22＝－4 B、－（－2）2＝4 C、（－3）2＝6 D、（－1）3＝1
4、计算：（－2）201＋（－2）200的结果是 （ ）
A、1 B、－2 C、－2200 D、2200
二、解答题：
1、计算
（1）—|—3|2÷(—3)2； （2）0—(—3)2÷3× (—2)3；
（3）； （4）—14+(1—0.5)××[2—(—3)2]；
（5）12÷(—3—+1)； （6）．
2、计算：（1） ； （2）；
（3）（—5+23）—(—1)7； （4）||+．
2、 计算：（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
专题十 代数式及代数式求值
首先简要说明字母能表示什么？
字母可以表示任何数，用字母可以表达数量之间的运算关系，展示规律，简化公式的书写。
1、相关知识链接
加法交换律：
乘法交换律：
乘法结合律：
乘法分配律：
长方形的周长=
长方形的面积=
长方体的体积=
圆柱的体积=
圆的周长=
圆的面积=
2、教材知识详解
【知识点1】用字母表示运算律及公式
用a、b、c表示三个数，则
加法交换律：a + b = b + a
加法结合律：（a + b）+ c = a +（b + c）
乘法交换律：ab = ba
乘法结合律：（ab）c = a（bc）
乘法分配律：a（b + c）=ab + ac
长方形的周长=
长方形的面积=
长方体的体积=
圆柱的体积=
圆的周长=
圆的面积=
【例1】 用a，b分别表示梯形上底和下底，h表示高，用S表示面积，则梯形的面积公式是
【例2】 如果小明今年a岁，爸爸今年的岁数是小明得倍，妈妈比爸爸小两岁，则妈妈今年 岁。
【知识点2】代数式
由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方等代数运算所得的式子叫做代数式，单独一个数或一个字母也是代数式。
例如：5、a、3b、5a+2b、、2、…………
注：（1）在代数式中不能出现“=”“”“>”或“”等表达数量关系的符号；
（2）代数式中除含有数、字母和运算符号外，还可以有括号，如a + b（m + n）；
（3）代数式中的字母所表示的数必须是这个代数式有意义，如中a0.
【例3】对于代数式，正确的读法是 （ ）
A. 的3倍与的的差 B. 与的的差的3倍
C. 与除以2的差的3倍 D. 的3倍与的差的
【例4】用代数式表示
（1） 比a与b的和的一半小1的数；
（2） 数m的一半和它本身的和；
（3） 与a的和是1的数。
【例5】在式子：①m+5；②ab；③a=1；④0；⑤π；⑥3（m + n）；⑦3x>5中，是代数式的有 。
【知识点3】代数式求值的方法与步骤
代数式求值的一般步骤：
（1） 用数值代替数式中的字母；
（2） 按照代数式指明的运算顺序计算出结果。
【例6】当x=时，求代数式x2—4x—5的值。
【例7】当x=5，y=2，z=-1时，求x—yz的值。
【基础练习】
1、x的5倍与y的差等于（ ）。
A．5x-y B．5（x-y） C．x-5y D．x5-y
2、设甲数为a，乙数为b，用代数式表示
（1）甲乙两数的和的2倍； （2）甲数的 与乙数的 的差；
（3）甲、乙两数的平方和 ；（4）甲乙两数的和与甲两数的差的积。
（5）甲与乙的2倍的和 ；（6）甲数的 与乙数差的 ；
（7）甲、乙两数和的平方 ；（8）甲乙两数的和与甲乙两数的积的差 。
3、当时，求代数式的值
4、当m=2，n= –5时，求的值
5、 已知当时，2x-5y
6、一个塑料三角板，形状和尺寸如图所示，
（1）求出阴影部分的面积；
（2）当a=5cm，b=4cm，r=1cm时，计算出阴影部分的面积是多少。
【基础提高】
一、填空题：
１、一支圆珠笔 a 元，5 支圆珠笔共＿＿＿＿＿元。
２、“a 的 3 倍与 b 的的和”用代数式表示为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
３、比 a 的 2 倍小 3 的数是＿＿＿＿＿。
４、某商品原价为 a 元，打 7 折后的价格为＿＿＿＿＿＿元。
５、一个圆的半径为 r，则这个圆的面积为＿＿＿＿＿＿＿。
６、当 x＝－2 时，代数式 x2＋1 的值是＿＿＿＿＿＿＿。
７、代数式 x2－y 的意义是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
８、一个两位数，个位上的数字是为 a，十位上的数字为 b，则这个两位数是＿＿＿＿＿。
９、若 n 为整数，则奇数可表示为＿＿＿＿＿。
10、设某数为 a，则比某数大 30％ 的数是＿＿＿＿＿。
11、被 3 除商为 n 余 1 的数是＿＿＿＿＿。
12、校园里刚栽下一棵 1.8m 的高的小树苗，以后每年长 0.3m。则n 年后的树高是＿＿ m
二、求代数式的值：
１、已知：a＝12，b＝3，求 的值。
２、当 x＝－，y＝－，求 4x2－y 的值。
３、已知：a＋b＝4，ab＝1，求 2a＋3ab＋2b 的值。
专题十一 合并同类项
1、 相关知识链接
（1） 前面学习了字母表示数，用字母表示数可以把一般的数量或具有普遍意义的数量关系正确、简明的表达出来。
（2） 乘法分配律的逆运算：ab + ac = a（b + c）
2、 教材知识详解
【知识点1】代数式的系数与项
当代数式是数与字母的乘积时，字母前的数叫做这个代数式的系数，如1.5x的系数为1.5。
对于代数式3x2-2x-3，我们可以看做是3x2，-2x，-3这3个代数式的和，其中这三个代数式叫做代数式3x2-2x-3的项，每一项中字母前得数叫做这个项的系数。
注：（1）说明代数式系数的时候，要记得代数式前面的括号；
（2）只含字母的代数式的系数为1或-1,如a，nm的系数为1，-p的系数为-1；
（3）单独一个数的代数式（常数项），他们的系数是它本身，如-3的系数为-3；
（4）π是一个常数，含π的代数式的系数包含π，如-2πn2的系数为-2π。
【例1】说出代数式中的各项及各项的系数。
【例2】指出下列代数式的系数：（1）；（2）；（3）
【知识点2】所含字母相同，并且相同的字母的指数也相同的项，叫做同类项。如：xy2和-3xy2是同类项，πr和3r是同类项。
注：（1）同类项必须具备的两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相同；
（2）同类项与项的系数无关，与项中字母的排列顺序无关，如2a2bc与-6bca2是同类项；
（3）常数项都是同类项。
【例3】下列各题中的两项是不是同类项？为什么？
（1）2x2y与5x2y； （2）2ab3与2a3b； （3）4abc与4ab；
（4）3mn与-mn； （5）53与a3； （6）-5与+3.
【知识点3】合并同类项及其法则
把同类项合并成一项就叫做合并同类项。如：9a-6a=3a，-12x3y+4x3y=-8 x3y，这种整式的运算叫做合并同类项。
在合并同类项时，把同类项的系数相加作为结果的系数，字母和字母的指数不变。
步骤：（1）准确找出同类项；
（2）利用合并同类项的法则，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变；
（3）运用有理数的加减法法则计算出结果的系数，写出最后答案。
【例4】合并同类项
（1）； （2）
【知识点4】去括号法则
括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉后，原括号里各项的符号都不改变。
括号前是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变。
注：要变都变，要不变都不变。
【例5】去括号合并同类项
（1）； （2）
【基础练习】
一、选择题
1．下列说法正确的是（ ）．
A．3x2与ax2是同类项 B．6与x是同类项
C．3x3y2与－3x3y2是同类项 D．2x2y3与－2x3y2是同类项
2．下列各式合并同类项结果正确的是（ ）．
A．2x2－x2=1 B．x2+x3=x5 C．2a2－a2=a D．3x3－5x3=－2x3
3．代数式x2ym与nx2y（其中m，n为数字，n≠0）是同类项，则（ ）．
A．m=1，n为不等于零的任何数 B．m=1且n=0
C．m=0，n为任何数 D．m=0且n=1
二、填空题
4．在代数式中，和______是同类项，和_____是同类项，5和_______是同类项．
5．当a=_______时，与在x为任何数时值都相同．
6．若与是同类项，则m=_____，n=_______．
7．合并同类项： =_______．
8．代数式共有_______项．
9．代数式的系数为______．
三、解答题
10．合并同类项
（1）； （2）；
（3）； （4）
（5）(3x-5y)-(6x+7y)+(9x-2y) （6）2a-[3b-5a-(3a-5b)]
11．代数式求值：，其中x=3，y=－2．
【基础提高】
1.填空：(1) 如果是同类项，那么 .
(2) 如果是同类项，那么 . .
(3) 如果是同类项，那么 . .
(4) 如果是同类项，那么 .
(5) 如果与是同类项，那么 .
2. 合并下列多项式中的同类项：
（1）； （2）
（3）； （4）
3. 下列各题合并同类项的结果对不对？若不对，请改正。
（1） （2）
（3） （4）
4. 按下列步凑合并下列多项式（①找同类项 ②整理同类项位置 ③合并同类项）
（1） （2）
（3） （4）
（5）a-(a-3b+4c)+3(-c+2b) （6）(3x2-2xy+7)-(-4x2+5xy+6)
（7）2x2-{-3x+6+[4x2-(2x2-3x+2)]} （8）4(a+b)+2(a+b)-7(a+b)
(9)3(x-y)2-7(x-y)+8(x-y)2+6(x-y)
5、求多项式的值，其中x＝－2。
6、 求多项式的值，其中a＝－3,b=2。
专题十二 一元一次方程
1、 相关知识链接
（1） 等式：用等号“=”来表示相等关系的式子叫做等式；
（2） 代数式：由数和表示数的字母经过有限次加、减、乘、除、乘方等代数运算所得的式子叫做代数式，单独一个数或一个字母也是代数式。
2、 教材知识详解
【知识点1】方程和方程的解
含有未知数的等式叫做方程。使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解。
注：一个式子是方程必须满足两个条件：①是等式；②必须含有未知数。
【知识点2】一元一次方程
在一个方程中，只含有一个未知数x（元），并且未知数的指数是1（次），这样的方程叫做一元一次方程。
注：（1）一元一次方程的标准形式是ax+b=0（a0），其中x是未知数，a、b是已知数，a叫做未知数的系数。
（2）判断一个方程是否为一元一次方程，关键是看化简成最简形式后是否满足一元一次方程定义的三个条件：①只含有一个未知数；②未知数的次数是1；③未知数的系数不为零。三者缺一不可。
【例1】判断下列各式，哪些是等式，哪些是方程，哪些是一元一次方程。
（1）-2+5=3 （2）3x-1=7 （3）m=0 （4）x>3
（5）x+y=8 （6）2x2-5x+1=0 （7）2a+b
【知识点3】等式的基本性质
基本性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得的结果仍是等式。用字母表示为：若a=b，则a+m=b+m，a-m=b-m，其中a、b、m为任意代数式；
基本性质2：等式两边同时乘以同一个数（或除以同一个不为0的数），所得的结果仍是等式。用字母表示为：若a=b，则am=bm，，其中a、b、m为任意代数式；
【例2】用适当的代数式填空，使所得结果仍是等式，并说明是根据等式的哪一条性质以及怎样变形的。
（1）如果x-3=2，那么x= ；（2）如果4x=12，那么x= ；
（3）如果3-x=2，那么x= 。
【知识点4】解方程
求得方程的解的过程，叫做解方程。用等式的基本性质解一元一次方程ax+b=0（a0），先根据等式的基本性质1变形为ax=-b，再根据等式的基本性质2得x=- 。
【例3】 解方程：（1）3-y=6； （2）2x+10=22
【例4】 下列说法正确的是（ ）
A. 若ac=bc，则a=b B. 若，则a=b
C. 若a2=b2，则a=b D. 若x=6，则x=-2
【基础练习】
一、选择题：
1、下列各式中是一元一次方程的是（ ）
A. B. C. D.
2、方程的解是（ ）
A. B. C. 1 D. -1
3、若关于的方程的解满足方程，则的值为（ ）
A. 10 B. 8 C. D.
4、下列根据等式的性质正确的是（ ）
A. 由，得 B. 由，得
C. 由，得 D. 由，得
5、解方程时，去分母后，正确结果是（ ）
A. B.
C. C.
6、电视机售价连续两次降价10％，降价后每台电视的售价为a 元，则该电视机的原价为（ ）
A. 0.81a 元 B. 1.21a元 C. 元 D. 元
8、某商店卖出两件衣服，每件60元，其中一件赚25%，另一件亏25%，那么这两件衣服卖出后，商店是 ( )
A.不赚不亏 B.赚8元 C.亏8元 D. 赚8元
9、下列方程中，是一元一次方程的是（ ）
A. B. C. D.
二. 填空题：
1、，则________.
2、已知，则__________.
3、关于的方程的解是3，则的值为________________.
4、现有一个三位数，其个位数为，十位上的数字为，百位数上的数字为，则这个三位数表示为__________________.
5、甲、乙两班共有学生96名，甲班比乙班多2人，则乙班有____________人.
三、解方程:
1、 2、
3、 4、
【基础提高】
1、方程的解是（ ）
（A） （B） （C） （D）
2、已知等式，则下列等式中不一定成立的是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
3、方程的解是，则等于（ ）
（A） （B） （C） （D）
4、解方程，去分母，得（ ）
（A） （B）
（C） （D）
5、下列方程变形中，正确的是（ ）
（A）方程，移项，得
（B）方程，去括号，得
（C）方程，未知数系数化为1，得
（D）方程化成
6、某数的3倍比它的一半大2，若设某数为，则列方程为＿＿＿＿.
7、当＿＿＿时，代数式与的值互为相反数.
8、在公式中，已知，则＿＿＿.
9、解方程
(1) (2)
(3) (4)
10、已知是方程的根，求代数式的值.
专题十三 一元一次方程的应用
一、方程
1.方程的定义：含有未知数的等式叫做方程。使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。比如说方程中，时方程左右相等，所以是该方程的解。
2.一元一次方程：在一个方程中，只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次），这样的方程叫做一元一次方程。
二、解方程
1.等式的性质：
①等式两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得结果仍是等式。
②等式两边同时同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式。
等式的基本性质：若，则
（1）（c为一代数式） （2）（c为一代数式）
（3）（c为一数） （4）（c为一数，且）
2.移项解方程：（移项注意一定要变号）
解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1
解出方程后，可以把解代入方程中看自己的解是否正确。
3.列方程解应用题的步骤：
①审题。弄清已知什么，求什么？必要时列表或画线段图来帮助分析题意。
②设未知数。一般来说问什么就设什么为，并观察其他未知量能否用的代数式来表示。
③根据题意找出等量关系。
④根据等量关系列方程。注意如果单位不统一要统一单位。
⑤解方程
⑥检验方程的解是否符合实际意义。
4、一元一次方程的应用
A、 日历中的方程（重点记忆日历中数字之间的关系：同一竖行中，上一个数字和下一个数字相差7，同一横行中，前一个数字和后一数字相差1）常见考题有：发现日历中各数字之间的关系。
B、 我变胖了（周长一定的图形变形的基本关系式：变形前的周长=变形后的周长；等体积变形的基本关系式：变形前的体=变形后的体积）
C、 打折销售（7折表示原价的70%;利润=销售价-进价=进价*利润率；利润率=利润/进价*100%）
D、 希望工程义演（借助表格分析复杂问题中的数量关系，总量等于各分量之和）
E、 能追上小明吗？（追赶问题：同地不同时出发，前者走的路程=后者走的路程；同时不同地出发，前者走的路程+两者始发距离=追者走的路程；相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=全程）
F、 教育储蓄（利息=本金*利率*期数（时间）；本息和=本金+利息；利息税=利息*利税（20%））
七年级数学单元检测题 姓名 ：
一、填空题：（每小题3分，共30分）
1. 若是关于x的一元一次方程，则k=_____________.
2. 若，则3a =________；若，则=________；若x%=2.5，则x =___________.[来源:Zxxk.Com]
3. 当x =_________时，代数式的值相等.
4. 已知，用含有x的代数式表示y，得y =_____________.
5. 当x=时，二次三项式的值等于18，那么当x=2时，该代数式的值等于___________.
6. 若，则y=___________________.
7. 若代数式是同类项，则a=_________，b=__________.
8. 食堂存煤若干，原来每天烧3吨，用去15吨后改进设备，耗煤量每天降为原来的一半，结果多烧10天，则原有煤量是___________.
9. 当x=1时，代数式的值为0，则m的值为__________.
10. 某学校为保护环境，绿化家园，每年组织学生参加植树活动，去年植树x棵，今年比去年增加20%，则今年植树___________棵.
二、选择题：（每小题3分，共30分）
11. 若，则下列说法中不正确的是（ ）
A. B. x、y互为负倒数 C. D.
12. 下列各题中正确的是（ ）
A. 由移项得
B. 由去分母得
C. 由去括号得
D. 由移项、合并同类项得x=5
13. 若方程的解为x=5，则a等于（ ）
A. 80 B. 4 C. 16 D. 2
14. 一个两位数，把其十位数字与个位数字交换位置后，所得的数比原数多9，这样的两位数的个数有（ ）
A. 0 B. 1 C. 8 D. 9
15. 如果x=1是方程的解，那么关于y的方程=
的解是（ ）
A. B. 0 C. D. 4
16. 在三峡大江截流时，用载重卡车将一座石料运到围堰龙口，第一次运了这堆石料的少2万方，第二次员了剩下的多3万方，此时还剩下12万方未运，若这堆石料共有x万方，于是可列方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
17. 方程去分母得（ ）
A. B.
C. D.
18. 数学竞赛共有10道题，每答对一道题得5分，不答或答错一道题倒扣3分，要得到34分必须答对的天数是（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
19. 方程的解是（ ）
A. 0 B. 无数个解 C. 1 D. 无解
20. 商品按进价增加20%出售，因积压需降价处理，如果仍想获得8%的利润，则出售价需打（ ） A. 9折 B. 5折 C. 8折 D. 7.5折
三、解答题：（满分60分）
21. 解方程：（每小题5分，共10分）
（1） （2）[来
22. （8分）m为何值时，代数式的值与代数式的值的和等于5？
23. （10分）为节约能源，某单位按以下规定收取每月电费，用电不超过140度，按每度0.43元收费，如果超过140度，超过部分按每度0.57元收费. 若某用户四月份的电费平均每度0.5元，问该用户四月份应交电费多少元？
[来源:Zxxk.Com]
24. （10分）小明买苹果和梨共5千克，用去17元，其中苹果每千克4元，梨每千克3元问苹果和梨各买了多少千克？
K]
[来源:
25. （10分）某人将2 000元人民币按一年定期存入银行，到期后扣除20%的利息税得本息和2160元，求这种存款方式的年利率.
26. （12分）某同学在做作业时，不慎将墨水瓶碰翻，使一道作业题只看到如下字样：“甲、乙两地相距40千米，摩托车的速度为45千米/时，货车的速度为35千米/时，____________________？（横线部分表示被墨水覆盖的若干文字），请将这道题补充完整，并列出方程进行解答
专题十四 丰富的图形世界
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一.几种常见的几何体
1．柱体
① 棱柱体：〔如图（1)(2）〕，图中上下两个面称棱柱的底面，周围的面称棱柱的侧面，面与面的交线是棱柱的棱．其中侧面与侧面的交线是侧棱，棱与棱的交点是顶点．
点拨：正方体和长方体是特殊的棱柱，它们都是四棱柱．正方体是特殊的长方体．
② 圆柱：图（3）中上下两个圆面是圆柱的底面，这两个底面是半径相同的圆，周围是圆柱的侧面．
点拨：棱柱和圆柱统称柱体．
2．锥体
① 圆锥：〔如图（4）〕图中的圆面是圆锥的一个底面，中间曲面是圆锥的侧面，圆锥只有一个顶点．
② 棱锥：〔如图（5）〕图中下面多边形面是棱锥的一个底面，其余各三角形面是棱锥的侧面．
点拨：棱锥和圆锥统称锥体．
3．台体
① 圆台：〔如图（6）〕图中上下两个大小不同的圆面是圆台的底面，中间曲面是圆台的侧面．
② 棱台：〔如图（7）〕图中上下两个大小不同的多边形是棱台的底面，其余四边形是棱台的侧面．
4．球体：〔如图（8）〕图中半圆绕其直径旋转而成的几何体，球体表面是曲面．
二．几何体的展开图
1. 圆柱、圆锥、正三棱锥、正四棱锥、正五棱锥、正三棱柱的展开图：
2. 正方体的平面展开图(有11种):
三．用平面截一个几何体出现的截面形状
1.用一个平面去截正方体，可能出现下面几种情况：
三角形 正方形 长方形 梯形 五边形 六边形
点拨：用平面去截几何体，所得的截面就是这个平面与几何体每个面相交的线所围成的图形．正方体只有六个面，所以截面最多有六条边，即截面边数最多的图形是六边形．
2. 几种常见的几何体的截面:
几何体
截面形状
正方体
三角形、正方形、长方形、梯形、五边形、六边形
圆 柱
圆、长方形、正方形、……
圆 锥
圆、三角形、……
球
圆
点拨：用平面去截圆柱体，可以与圆柱的三个面(两个底面，一个侧面)同时相交，由于圆柱侧面为曲面，相交得到是曲线，无法截出三角形．
四．识别物体的三视图
1．主视图、左视图、俯视图的定义
从不同方向观察同一物体，从正面看图叫主视图，从左面看图叫左视图，从上面看图叫做俯视图．
2．几种几何体的三视图
(1)正方体：三视图都是正方形．
(2)球 体：三视图都是圆．
(3)圆柱体：
(4)圆锥体：
点拨：圆锥的主视图、左视图都是三角形，而俯视图的图中有一个点表示圆锥的顶点，因为从上往下看圆锥时先看到圆锥的顶点，再看到底面的圆．
3．用若干个小正方体搭成几何体的三视图
如图：从正面看2列每列1层;从左面看2列每列1层;从上面看2列左列2层右列1层．则三视图是：
点拨：①主视图与俯视图列数相同，俯视图中每列的方框内的最大数字即为主视图本列的层数．
②左视图的列数与俯视图的行数相同，俯视图每一横行的方框内的最大数字即为左视图中的列的层数．
五．生活中的平面图形
1．多边形的定义
三角形、四边形、五边形等都是多边形，它们都是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭图形．边长都相等的多边形叫正多边形．
2．多边形的分割
设一个多边形的边数为n(n≥3) ,从这个n边形的一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以得到(n－3)条线段，这些线段又把这个n边形分割成(n－2)个三角形．
3．扇形与弧的定义及区别
(1)弧：圆上两点之间部分叫弧．
(2)扇形：由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫扇形．
(3)扇形与弧的区别:弧是一段曲线，而扇形是一个面．
二、课堂精讲例题
例1 常见几何体的特征
(1)列说法中，正确的个数是（ ）.
①柱体的两个底面一样大；②圆柱、圆锥的底面都是圆；③棱柱的底面是四边形；④长方体一定是柱体；⑤正棱柱的侧面一定是长方形.
（A）2个 （B）3个 （C）4个 （D）5个
（2）观察下图，请把左边的图形绕着给定的直线旋转一周后可能形成的几何体选出来( )
A B C D
例2常见几何体的展开图问题
下列展开图中，不能围成几何体的是（ ）.
例3常见的平面图形问题
从五边形的同一顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个五边形分成_______个三角形.
若是一个六边形，可以分割成_______个三角形.
【基础训练】
1.如下图中为棱柱的是（ ）
2.如图绕虚线旋转得到的几何体是（ ）.
3.下列各个平面图形中，属于圆锥的表面展开图的是( )
A B C D
例4正方体的展开图问题
(1) 如右上图是个正方体的展开图，图中已标出三个面在正方体中的位置，F表示前面,R表示右面,D表示下面,试判断另外三个面A,B,C在正方体中的位置.
例5截一个几何体问题
用平面截几何体可得到平面图形，在表示几何体的字母后填上它可截出的平面图形的号码。
A
B
C
D
E
1
2
3
4
5
6
A（ ）；B（ ）；C（ ）；D（ ）；E（ ）.
例6 几何体的三视图问题
画出下列立方体的三视图:
1.有上图每个图形都是由6个全等的正方形组成的，其中不是正方体的展开图的是（ ）
A B C D
2．（10菏泽）如图是一个由多个相同小正方体堆积而成的几何体的俯视图，图中所示数字为该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图是（ ）
1
3
1
2
1
A． B． C． D．
3.判断题
1．用一个平面去截一个正方体，截出的面一定是正方形或长方形．（ ）
2．用一个平面去截一个圆柱，截出的面一定是圆．（ ）
3．用一个平面去截圆锥，截出的面一定是三角形．（ ）
4．用一个平面去截一个球，无论如何截，截面都是一个圆．（ ）
例7 正方体的三视图问题
用小立方块搭一几何体，使得它的主视图和俯视图如图所示，这样的几何体最少要_____个立方块，最多要____个立方块.
例8最短距离问题
如图，正方体盒子中，一只蚂蚁从B点沿正方体的表面爬到D1点，画出蚂蚁爬行的最短线路.
【基础训练】
1.将左边的正方体展开能得到的图形是 （ ）
A B C D
2.如右上图，用小立方块搭一个几何体，使得它的主视图和俯视图如图所示。这样的几何体只有一种吗？它最少需要多少个小立方块？最多需要多少个小立方块？
3.某正方体盒子，如图左边下方A处有一只蚂蚁，从A处爬行到侧棱GF上的中点M点处，如果蚂蚁爬行路线最短，请画出这条最短路线图．
专题检测
1．如上右图，四个几何体分别为长方体、圆柱体、球体和三棱柱，这四个几何体中有三个的某一种视图都是同一种几何图形，则另一个几何体是 （ ）
2．如图，下列图形经过折叠不能围成棱柱的是（ ）
A B C D
3.如图是一块带有圆形空洞和方形空洞的小木板，则下列物体中既可以堵住圆形空洞，又可以堵住方形空洞的是 （ ）
（A） （B） （C） （D）
4. 如左上图是一个正四面体，它的四个面都是正三角形，现沿它的三条棱AC、BC、CD剪开展成平面图形，则所得的展开图是（ ）
5.如图是一个五棱柱，填空：
（1）这个棱柱的上下底面是____边形，有_____个侧面；（2）这个棱柱有_____条侧棱，共有_______条棱；
（3）这个棱柱共有_____个顶点．
6.如图，可用一个正方形制作成一副“七巧板”，利用“七巧板”能拼出各种各样的图案，根据“七巧板”的制作过程，请你解答下列问题.
⑴“七巧板”的七个图形，可以归纳为三种不同形状的平面图形，即一块正方形，一块_____________和五块____________.
⑵请按要求将七巧板的七块图形重新拼接（不重叠，并且图形中间不留缝隙），在下面空白处画出示意图.①拼成一个等腰直角三角形； ②拼成一个长与宽不等的长方形； ③拼成一个六边形.
⑶发挥你的想象力，用七巧板拼成一个图案，在下面空白处画出示意图.
3
4
2
2
3
7.用小立方体搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，这样的几何体只有一种吗？它最多需要多少个小立方体？它最少需要多少个小立方体？请你画出这两种情况下的左视图。
主视图
俯视图
8.如上图，用白萝卜等材料做一个正方体，并把正方体表面涂上颜色.
（1）把正方体的棱二等分，然后沿等分线把正方体切开，得到8个小正方体.观察其中三面被涂色的有a个，如图①,那么a等于 ；
（2）把正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开，得到27个小正方体.观察其中三面被涂色的有a个，各面都没有涂色的b个，如图②,那么a+b= ；
（3）把正方体的棱四等分，然后沿等分线把正方体切开，得到64个小正方体.观察其中两面被涂成红色有c个，各面都没有涂色的b个，如图③,那么b+c= .
9.把棱长为1cm的若干个小正方体摆放如图所示的几何体，然后在露出的表面上涂上颜色（不含底面）
正方向
（1） 该几何体中有多少小正方体？ （2）画出主视图；（3）求出涂上颜色部分的总面积.
10.如图用1、2、3、4标出的四块正方形，以及由字母标出的八块正方形中任意一块，一共要用5块连在一起的正方形折成一个无盖方盒，共有几种不同的方法？请选择合适的方法。
1
2
3
4
专题十五 平面图形及其位置关系
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一、线段、射线、直线
1、线段、射线、直线的定义
（1）线段：线段可以近似地看成是一条有两个端点的崩直了的线。线段可以量出长度。
（2）射线：将线段向一个方向无限延伸就形成了射线，射线有一个端点。射线无法量出长度。
（3）直线：将线段向两个方向无限延伸就形成了直线，直线没有端点。直线无法量出长度。
结论：直线、射线、线段之间的区别：
联系：射线是直线的一部分。线段是射线的一部分，也是直线的一部分
2、线段、射线、直线的表示方法
（1）线段的表示方法有两种：一是用两个端点来表示，二是用一个小写的英文字母来表示。
（2）射线的表示方法只有一种：用端点和射线上的另一个点来表示，端点要写在前面。
（3）直线的表示方法有两种：一是用直线上的两个点来表示，二是用一个小写的英文字母来表示。
3、直线公理：过两点有且只有一条直线。简称两点确定一条直线。
4、线段的比较
（1）叠合比较法；（2）度量比较法。
5、线段公理：“两点之间，线段最短”。连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离。
6、线段的中点：如果线段上有一点，把线段分成相等的两条线段，这个点叫这条线段的中点。
若C是线段AB的中点，则：AC=BC=AB或AB=2AC=2BC。
例题：1、如果线段AB=5cm，BC= 3cm，那么A、C两点间的距离是（ ）
A．8 cm B、2㎝ C．4 cm D．不能确定
2、已知线段AB=20㎝，C为 AB中点，D为CB 上一点，E为DB的中点，且EB=3 ㎝，则CD= ________cm．
3、平面上有三个点，可以确定直线的条数是（ ）
A、1 B．2 C．3 D．1或 3
二、角
1、角的概念：
（1）角可以看成是由两条有共同端点的射线组成的图形。两条射线叫角的边，共同的端点叫角的顶点。
（2）角还可以看成是一条射线绕着他的端点旋转所成的图形。
2、角的表示方法：
角用“∠”符号表示
（1）分别用两条边上的两个点和顶点来表示。（顶点必须在中间）
（2）在角的内部写上阿拉伯数字，然后用这个阿拉伯数字来表示角。
（3）在角的内部写上小写的希腊字母，然后用这个希腊字母来表示角。
（4）直接用一个大写英文字母来表示。
3、角的度量：会用量角器来度量角的大小。
4、角的单位：角的单位有度、分、秒，用°、′、″表示，角的单位是60进制与时间单位是类似的。度、分、秒的换算：1°=60′，1′=60″。
5、锐角、直角、钝角、平角、周角的概念和大小
（1）平角：角的两边成一条直线时，这个角叫平角。
（2）周角：角的一边旋转一周，与另一边重合时，这个角叫周角。
（3）0°<锐角<90°，直角=90°，90°<钝角<180°，平角=180°，周角=360°。
6、画两个角的和，以及画两个角的差
（1）用量角器量出要画的两个角的大小，再用量角器来画。
（2）三角板的每个角的度数，30°、60°、90°、45°。
7、角的平分线：从角的顶点出发将一个角分成两个相等的角的射线叫角的平分线。
（若BD是∠ABC的平分线，则有：∠ABD=∠CBD=∠ABC；∠ABC=2∠ABD=2∠CBD）
8、角的计算。
练习：
1．已知αβ是两个钝角，计算（α+β）的值，甲、乙、丙、丁四种不同的答案分别是24°，48°，76°，86°，其中只有一个答案是正确的，则正确的答案是（ ）
A．86° B．76° C．48° D．24°
2．甲同学看乙同学的方向为北偏东60°则乙同学看甲同学的方向为（ ）
A．南偏东30° B．南偏西60° C．东偏南60° D．南偏西30°
3.如图1―4－5所示，AC为一条直线，O是AC上一点，∠AOB＝120° ，OE、OF分别平分∠AOB和∠BOC．
（1）求∠EOF的大小；
（2）当OB绕O旋转时，OE、OF仍为∠AOB和∠BOC平分线，问：OF、OF有怎样的位置关系？为什么？
三、平行线和垂线
1、平行线的定义：
（1）如果在同一平面内的两条不相交的直线叫平行线。
（2）平行线用“∥”来表示；强调要在同一平面内，若不在同一平面内的两条直线，又不平行，又不相交，叫异面直线；线段、射线的平行关系根据它所在的直线来决定，若它们所在的直线不相交，就平行，若所在的直线相交，就不平行。
2、平行的公理及推论：
（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。
（2）平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。（平行于同一直线的两直线平行）
3、画已知直线的平行线的方法
用直尺和三角板画平行线。
4、垂直的概念：
（1）如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
（2）两条线段互相垂直指它们所在的直线互相垂直。
（3）两条直线垂直用“⊥”来表示，如直线AB与直线CD垂直，记作：AB⊥BC
5、垂线段的概念：
（1）过一点A做直线a的垂线，垂足为B，则线段AB叫直线a的垂线段。
（2）直线外一点A到直线a的垂线段长度叫点A到直线a的距离。
（3）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
6、垂直的性质：平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
四、七巧板
七巧板的制作：七巧板由5块三角形，1块正方形，一块平行四边形组成。
课后作业
1.下列说法正确的是（ ）
A. 两点之间的连线中，直线最短 B.若P是线段AB的中点，则AP=BP
C. 若AP=BP, 则P是线段AB的中点 D. 两点之间的线段叫做者两点之间的距离
2.如果线段AB=5cm,线段BC=4cm,那么A,C两点之间的距离是（ ）
A. 9cm B.1cm C.1cm或9cm D.以上答案都不对
3.在直线L上依次取三点M,N,P, 已知MN=5,NP=3, Q是线段MP的中点，则线段QN的长度是（ ）
A. 1 B. 1.5 C. 2.5 D. 4
4.已知点C是线段AB上的一点，M,N分别是线段AC,BC的中点，则下列结论正确的是（ ）
A. MC=AB B. NC=AB C.MN=AB D.AM=AB
5. 已知线段AB=6cm,C是AB的中点，C是AC的中点，则DB等于（ ）
A. 1.5cm B. 4.5 cm C3 cm. D.3.5 cm
6.把两条线段AB和CD放在同一条直线上比较长短时，下列说法错误的是（ ）
A. 如果线段AB的两个端点均落在线段CD的内部，那么AB
AB〉CD
D. 如果B，D重合，A，C位于点B的同侧，且落在线段CD的外部，则AB〉CD
7.如图，量一量线段AB,BC,CA的长度，
就能得到结论（ ）
A. AB=BC+CA B. AB
8. 如图，BC=4 cm,BD=7 cm , D是AC的中点，则AC= cm， AB= cm
9. 如图，从甲地到乙地有四条道路，其中最短的路线是 ，最长的路线是 。
10. 如图，D,E分别是线段AB,AC的中点，量一量线段DE和BC的长度，
得到DE= BC(填一个数)
第9 题图 第10题图
11、如右图，点C分AB为2∶3,点D分AB为1∶4， 若AB为5 cm,则AC=_____cm,
BD=_____cm,CD=______cm.
12、若线段AB=a,C是线段AB上任一点，MN分别是AC、BC的中点，则MN=_______+_______=_______AC+_______BC=_______.
13、 已知线段AB，在AB的延长线上取一点C，使BC=2AB，再在BA的延长线上取一点D，使DA=AC，则线段DC=______AB，BC=_____CD
14、 已知线段AB=10㎝，点C是AB的中点，点D是AC中点，则线段CD=_________㎝。
15、计算______度 ______分______秒
______度______分______秒 =______度
16、观察图中的图形,并阅读图形下面的相关文字:
（1）像这样,10条直线相交,最多交点的个数是( )
A.40个 B.45个 C.50个 D.55个
（2）像这样, n条直线相交,最多交点的个数是 （ ）
17、平面上有四个点,过其中每两点画直线,可以画多少条?（画图说明）
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