沪科版九年级上册22.3 相似三角形的性质第1课时教学设计

这是一份沪科版九年级上册22.3 相似三角形的性质第1课时教学设计，共3页。教案主要包含了情境导入，合作探究，板书设计等内容，欢迎下载使用。


1．明确相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比与相似比的关系；(重点)
2．理解并掌握相似三角形的周长比等于相似比；(重点)
3．运用相似三角形的性质1、2解决实际问题．(难点)

一、情境导入
在前面我们学习了相似多边形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，相似三角形是相似多边形中的一种，因此三对对应角相等，三对对应边成比例．那么，在两个相似三角形中是否只有对应角相等、对应边成比例这个性质呢？本节课我们将研究相似三角形的其他性质．
二、合作探究
探究点一：相似三角形性质定理1
【类型一】 相似三角形对应高的比
如图，△ABC中，DE∥BC，AH⊥BC于点H，AH交DE于点G.已知DE＝10，BC＝15，AG＝12.求GH的长．
解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC.
又∵AH⊥BC，DE∥BC，
∴AH⊥DE.
∴eq \f(DE,BC)＝eq \f(AG,AH)，即eq \f(10,15)＝eq \f(12,AH).
∴AH＝18.
∴GH＝AH－AG＝18－12＝6.
方法总结：利用相似三角形的性质：对应高的比等于相似比；将所求线段转化为求对应高的差．
【类型二】 相似三角形对应角平分线的比
两个相似三角形的两条对应边的长分别是6cm和8cm，如果它们对应的两条角平分线的和为42cm，那么这两条角平分线的长分别是多少？
解：(方法一)设其中较短的角平分线的长为xcm，则另一条角平分线的长为(42－x)cm.
根据题意，得eq \f(x,42－x)＝eq \f(6,8).解得x＝18.
所以42－x＝42－18＝24(cm)．
(方法二)设较短的角平分线长为xcm，则由相似性质有eq \f(x,42)＝eq \f(6,14).解得x＝18.较长的角平分线长为24cm.
故这两条角平分线的长分别为18cm，24cm.
方法总结：在利用相似三角形的性质解题时，一定要注意“对应”二字，只有对应线段的比才等于相似比，而相似比即为对应边的比．列比例式时，尽可能回避复杂方程的变形．
【类型三】 相似三角形对应中线的比
已知△ABC∽△A′B′C′，eq \f(AB,A′B′)＝eq \f(2,3)，AB边上的中线CD＝4cm，求A′B′边上的中线C′D′的长．
解：∵△ABC∽△A′B′C′，CD是AB边上的中线，C′D′是A′B′边上的中线，
∴eq \f(CD,C′D′)＝eq \f(AB,A′B′)＝eq \f(2,3)，
又∵CD＝4cm，
∴C′D′＝eq \f(3CD,2)＝eq \f(3,2)×4＝6(cm)．
即A′B′边上的中线C′D′的长是6cm.
方法总结：相似三角形对应中线的比等于相似比．
探究点二：相似三角形性质定理1的应用
如图所示，路边有两根电线杆，分别在高为3m的A处和6m的C处用铁丝将两电线杆固定，求铁丝AD与铁丝BC的交点M距地面的高．
解析：如图所示，过点M作MH⊥BD于点H.由题意得AB∥MH∥CD，故△ABM∽△DCM，△BMH∽△BCD，故eq \f(BM,MC)＝eq \f(AB,CD)＝eq \f(1,2)，eq \f(MH,CD)＝eq \f(BM,BC)，故MH可求．
解：过点M作MH⊥BD于点H，∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴AB∥MH∥CD，∴△ABM∽△DCM，△BMH∽△BCD.∴eq \f(BM,MC)＝eq \f(AB,CD)＝eq \f(3,6)＝eq \f(1,2)，∴eq \f(BM,BC)＝eq \f(1,3).又∵eq \f(BM,BC)＝eq \f(MH,CD)，∴eq \f(MH,CD)＝eq \f(1,3)，∴MH＝eq \f(1,3)CD＝eq \f(1,3)×6＝2(m)，即点M距地面的高为2m.
探究点三：相似三角形的周长比
已知△ABC∽△A′B′C′，AD是△ABC的中线，A′D′是△A′B′C′的中线，若eq \f(AD,A′D′)＝eq \f(1,2)，且△A′B′C′的周长为20cm，求△ABC的周长．
解：因为△ABC∽△A′B′C′，所以它们周长的比等于它们的相似比，对应边中线的比等于相似比，即相似比k＝eq \f(AD,A′D′)＝eq \f(1,2)，eq \f(△ABC的周长,△A′B′C′的周长)＝eq \f(1,2).
已知△A′B′C′的周长为20cm，所以△ABC的周长为10cm.
易错提醒：在相似表达式△ABC∽△A′B′C′及对应中线比eq \f(AD,A′D′)＝eq \f(1,2)中，都是△ABC在前，△A′B′C′在后，而在解题时，△A′B′C′在前，△ABC在后，顺序已经不同了，所以相似比要随之调整或者直接把相关量代入关系式中求解．
三、板书设计
1．相似三角形中的对应线段之比：相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比．
2．相似三角形的周长之比等于相似比．
通过探索相似三角形中对应线段和周长的比与相似比的关系，经历“观察－猜想－论证－归纳”的过程，渗透逻辑推理的方法，培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨治学的态度，并在其中体会类比的数学思想，培养学生大胆猜测、勇于探索、勤于思考的数学品质，提高分析问题和解决问题的能力．