2021学年1.1.1 空间向量及其运算第二课时学案设计

第二课时　空间向量的数量积

如果一个物体在力F的作用下产生位移S，那么力F所作的功W＝F×S＝|F||S|cos θ，为了在数学中体现“功”这样一个标量，我们引入了“数量积”的概念．

[问题]　(1)空间向量的数量积的定义是什么？

(2)空间向量数量积有哪些运算律？与平面向量数量积的运算律一样吗？

知识点　空间向量的数量积

1．空间向量的夹角

如果〈a，b〉＝，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b；

2．空间向量数量积的定义

已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫作a与b的数量积(也称为内积)，记作a·b；

3．数量积的几何意义

(1)向量的投影

如图所示， 过a的始点和终点分别向b所在的直线作垂线，即可得到向量a在向量b上的投影a′；

(2)数量积的几何意义：a与b的数量积等于a在b上的投影a′的数量与b的长度的乘积，特别地，a与单位向量e的数量积等于a在e上的投影a′的数量．规定零向量与任意向量的数量积为0.

4．空间向量数量积的性质

(1)a⊥b⇔a·b＝0；

(2)a·a＝|a|2＝a2；

(3)|a·b|≤|a||b|；

(4)(λa)·b＝λ(a·b)；

(5)a·b＝b·a(交换律)；

(6)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．

1．当两个非零向量同向时，它们的夹角为多少度？反向时，它们的夹角为多少度？

提示：0°　180°

2．空间向量a在向量b上的投影是向量吗？

提示：是向量．

1．下列命题中正确的是(　　)

A．(a·b)2＝a2·b2

B．|a·b|≤|a||b|

C．(a·b)·c＝a·(b·c)

D．若a⊥(b－c)，则a·b＝a·c＝0

解析：选B　对于A项，左边＝|a|2|b|2cos2〈a，b〉，右边＝|a|2|b|2，

∴左边≤右边，故A错误．

对于C项，数量积不满足结合律，∴C错误．

在D中，∵a·(b－c)＝0，∴a·b－a·c＝0，∴a·b＝a·c，但a·b与a·c不一定等于零，故D错误．对于B项，∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，－1≤cos 〈a，b〉≤1，

∴|a·b|≤|a||b|，故B正确．

2．已知空间向量a，b，|a|＝2，|b|＝，a·b＝－2，则〈a，b〉＝________．

解析：∵cos 〈a，b〉＝＝－，∴〈a，b〉＝.

答案：

3.如图，在正方体ABCD­A′B′C′D′中，则〈，〉＝________，〈， 〉＝________．

解析：∵＝，∴〈，〉＝〈，〉．

又∵∠CAB＝45°，∴〈，〉＝45°.

〈，〉＝180°－〈，〉＝180°－45°＝135°.

答案：45°　135°

4．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，则·＝________，·＝________．

解析：如图，·＝·＝||·||·cos 〈，〉＝a·a cos 45°＝a2.

·＝·＝||·||·cos 〈，〉＝a×a×cos 60°＝a2.

答案：a2　a2

[例1]　已知空间四边形OABC各边及对角线长都相等，E，F分别为AB，OC的中点，求向量与夹角的余弦值．

[解]　如图，设＝a，＝b，＝c，且|a|＝|b|＝|c|＝1.

易知∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝，

则a·b＝b·c＝c·a＝.

∵＝(＋)＝(a＋b)，

＝－＝－＝c－b，

∴·＝(a＋b)·＝a·c＋b·c－a·b－b2＝－.

又||＝||＝，

∴cos 〈，〉＝＝－.

∴向量与夹角的余弦值为－.

求空间向量的夹角

求两非零向量的夹角θ或其余弦值一般利用夹角公式cosθ＝求解，当θ∈⇔a·b>0，θ∈⇔a·b<0转化为解不等式(组)．

[注意]　向量与向量的夹角为∠BAC而与的夹角为π－∠BAC.　　　　

[跟踪训练]

如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则向量与的夹角等于(　　)

A．45°　　　　　　　　  B．60°

C．90°     D．120°

解析：选B　因为E，F，G，H分别是所在棱的中点．所以由三角形中位线定理可得，

与同向共线，与同向共线，∴〈，〉＝〈，〉，在正方体中△A1BC1为等边三角形，

∴〈，〉＝〈，〉＝60°，故选B.

角度一　空间向量数量积的运算

[例2]　如图所示，已知正四面体OABC的棱长为1，点E，F分别是OA，OC的中点．求下列向量的数量积：

(1)·；

(2)·；

(3)(＋)·(＋).

[解]　(1)正四面体的棱长为1，则||＝||＝1.△OAB为等边三角形，∠AOB＝60°，于是

·＝||||cos 〈，〉

＝||||cos ∠AOB＝1×1×cos 60°＝.

(2)由于E，F分别是OA，OC的中点，

∴＝，

于是·＝||||cos 〈，〉

＝||·||cos 〈，〉

＝×1×1×cos 〈，〉

＝×1×1×cos 120°＝－.

(3)(＋)·(＋)

＝(＋)·(－＋－)

＝(＋)·(＋－2)

＝2＋·－2·＋·＋2－2·

＝1＋－2×＋＋1－2×＝1.

[母题探究]

(变条件，变设问)若H为BC的中点，其他条件不变，求EH的长．

解：由题意知＝(＋)，＝，

∴＝－＝(＋－)，

∴||2＝(＋2＋2＋2·－2·－2·)，

又||＝||＝||＝1.且〈，〉＝60°，〈，〉＝60°，〈，〉＝60°.

∴·＝，·＝，·＝.

∴||2＝＝，

即||＝，∴EH的长为.

角度二　平面向量的投影

[例3]　(2021·辽宁营口市高二月考)已知|a|＝4，空间向量e为单位向量，〈a，e〉＝，则空间向量a在向量e方向上的投影的数量为(　　)

A．2     B．－2

C．－     D．

[解析]　由题意，|a|＝4，|e|＝1，〈a，e〉＝，

则空间向量a在向量e方向上的投影数量为＝＝4×＝－2.故选B.

[答案]　B

求空间向量数量积的步骤

(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；

(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积；

(3)根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模；

(4)代入公式a·b＝|a|·|b|·cos 〈a，b〉求解．

[注意]　在求两个向量夹角时，要注意向量的方向．

[跟踪训练]

1．平行六面体(底面是平行四边形的四棱柱)ABCD­A1B1C1D1过顶点A的三条棱的夹角分别是，，，所有的棱长都为2，则AC1的长等于(　　)

A．3      B．2

C．2     D．2

解析：选D　∵＝＋＋，

∴||＝

＝

＝＝＝2，故选D.

2．在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝1，OB＝2，OC＝3，G为△ABC的重心，则·(＋＋)＝________．

解析：由已知·＝·＝·＝0，且＝(＋＋)，

故·(＋＋)＝(＋＋)2

＝(||2＋||2＋||2)

＝(1＋4＋9)＝.

答案：

1．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，下列各对向量夹角为45°的是(　　)

A．与      B．与

C．与      D．与

解析：选A　A、B、C、D四个选项中两个向量的夹角依次是45°，135°，90°，180°，故选A.

2．在空间四边形ABCD中，·＋·＋· ＝(　　)

A．－1     B．0

C．1     D．不确定

解析：选B　

如图，

令＝a，＝b，＝c，

则·＋·＋·，

＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)，

＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a＝0.故选B.

3.如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，以顶点A为顶点的三条棱的长均为2，且两两所成角均为60°，则||＝__________．

解析：设＝a，＝b，＝c，∴|a|＝|b|＝|c|＝2，〈a，b〉＝〈a，c〉＝〈c，b〉＝60°

||2＝|a＋b＋c|2＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2a·b＋2a·c＋2c·b＝24，∴||＝2.

答案：2

4．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，则·＝________．

解析：如图，

由题意·＝(＋＋)·(－)＝－(·＋·＋·)

＝－||2＝－1.

答案：－1

5．已知空间中四点A，B，E，C，若·＝·，则 ________．(填“⊥”“∥”或“＝”)

解析：∵·＝·，∴·(－)＝· ＝0.∴⊥．

答案：⊥