2022年7月浙江省普通高中学业水平考试数学冲刺试卷05（含答案解析）

2022年7月浙江省普通高中学业水平考试数学冲刺试卷05

一、单选题(本大题共15小题，每小题3分，共45分)

1．集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（       ）

A． B．

C． D．

2．已知复数z满足（i是虚数单位），则（       ）

A． B． C．3 D．5

3．已知向量，“”是“”的（       ）.

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

4．若函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

5．我国著名数学家华罗庚曾说：数缺形时少直观，形少数时难人微，数形结合百般好，割裂分家万事休.在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的解析式琢磨函数图像的特征.如函数，的图像大致为（       ）

A． B．

C． D．

6．关于函数，描述不正确的是（       ）

A．的定义域为 B．的值域为

C．在定义域上是增函数 D．的图像关于原点对称

7．已知，，，则正数，，的大小关系为（       ）

A． B． C． D．

8．将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图象，再将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则

A． B． C． D．

9．若，则（       ）

A． B． C．-3 D．3

10．设D是所在平面内一点，，则（       ）

A． B． C． D．

11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则△ABC的面积为（       ）

A． B． C． D．

12．如图，在下列四个正方体中，A，B，C，D分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，A，B，C，D四点共面的是（       ）．

A． B．

C． D．

13．某校1000名学生参加数学竞赛，随机抽取了20名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（       ）

A．频率分布直方图中a的值为0.012

B．估计这20名学生数学考试成绩的第60百分位数为80

C．估计这20名学生数学考试成绩的众数为80

D．估计总体中成绩落在内的学生人数为110

14．已知向量，，则下列结论正确的是（       ）

A． B． C． D．

15．已知 x，y＞0，当x+y＝2时，求的最小值（       ）

A． B． C． D．

二、多选题(本大题共3小题，每小题3分，共9分)

16．已知函数在区间上是减函数，则整数a的取值可以为（       ）

A． B． C．0 D．1

17．甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以，和表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（       ）

A．，，是两两互斥的事件 B．事件与事件B相互独立

C． D．

18．已知二次函数，若对任意，则（       ）

A．当时，恒成立

B．当时，恒成立

C．使得成立

D．对任意，，均有恒成立

二、填空题(本大题共4小题，每空3分，共15分)

19．已知函数是奇函数，则__________.

20．已知复数，则＝________．

21．某校举行篮球比赛，甲、乙两班各出5名运动员（3男2女）进行比赛，为增加趣味性，下半场从两班各抽取两人交换队伍后进行比赛，则下半场从乙班抽取一名运动员为女生的概率是_________．

22．如图，在边长为4的正三角形，E为边的中点，过E作于D．把沿翻折至的位置，连接．翻折过程中，其中正确的结论是_________

①；②存在某个位置，使；

③若，则的长是定值；④若，则四面体的体积最大值为

三、解答题(本大题共3小题，共31分)

23．设函数.

(1)求函数单调递减区间；

(2)求函数在区间上的最值.

24．如图所示的几何体由三棱锥和正四棱锥拼接而成，平面，，，，，O为四边形对角线的交点．

(1)求证：平面；

(2)求二面角的正弦值．

25．已知函数（a＞0，且a≠1）

(1)已知f（4a）=4，若函数在上有零点，求的最小值

(2)若函数 ，对于

 恒成立，求a的取值范围.

答案与解析

1．B

【解析】

【分析】

求得解.

【详解】

解：图中阴影部分所表示的集合为.

故选：B

2．B

【解析】

【分析】

根据复数的相等再结合共轭复数的概念求得，再求模即可.

【详解】

设，则，所以，，所以，所以．

故选：B．

3．C

【解析】

【分析】

根据向量的平方即模长的平方，结合充要条件的概念即可得结果.

【详解】

，故“”是“”的充要条件，

故选：C.

4．C

【解析】

【分析】

根据二次函数的性质即可求解.

【详解】

由可知是二次函数，其对称轴为 ，

要使得函数在 上时是减函数，则必须 ，

即 ；

故选：C.

5．B

【解析】

【分析】

根据题意求出函数的定义域并判断出函数的奇偶性，再代入特殊值点即可判断答案.

【详解】

由题意，函数定义域为，，于是排除AD，又，所以C错误，B正确.

故选：B.

6．C

【解析】

【分析】

求出函数的定义域，值域，函数的单调性，对称性， 对选项ABCD分别进行判断即可得．

【详解】

解：由题设有，解得或，

故函数的定义域为，故A正确．

当时，，此时，

所以为上的奇函数，故其图象关于原点对称，故D正确．

，

当时，

当时，，

故的值域为，故B正确．

由可得不是定义域上的增函数，故C错误．

故选：C．

7．A

【解析】

【分析】

由已知求出m，n，p，再借助商值比较法及“媒介”数推理判断作答.

【详解】

由，得，由，得，

因此，，即，

由，得，于是得，

所以正数，，的大小关系为.

故选：A

8．D

【解析】

【详解】

 把函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得，

 将的图象向右平移个单位，

得到，故选D.

9．C

【解析】

【分析】

利用诱导公式，弦化切进行计算.

【详解】

，

分子分母同除以，

，

解得：

故选：C

10．D

【解析】

【分析】

根据向量的加减法的运算法则，结合向量的数乘，即可求得答案.

【详解】

由题意可得 ,

故选:D

11．A

【解析】

【分析】

由结合三角形的内角和得，由正弦定理可得，再由余弦定理可得，，即可求出△ABC的面积.

【详解】

因为，则，所以得：，

又即，

由正弦定理可得：，即，

有余弦定理可得：，

即，解得：，，

则△ABC的面积为.

故选：A.

12．D

【解析】

【分析】

根据正方体的性质判断点是否共面，并应用平面的性质画出截面即可判断.

【详解】

由正方体性质，选项A，B，C中，A，B，C，D四点显然不共面．

对于D选项，如下图取E，F为正方体所在棱的中点，依次连接ADCEBF，

易知ADCEBF为平面正六边形，所以A，B，C，D四点共面．

故选：D

13．B

【解析】

【分析】

根据所有矩形的面积和为1求出，然后逐一判断即可.

【详解】

由可得，故A错误

前三个矩形的面积和为，所以这20名学生数学考试成绩的第60百分位数为80，故B正确

这20名学生数学考试成绩的众数为，故C错误

这20名学生数学考试成绩落在内的学生人数为，则总体中成绩落在内的学生人数为，故D错误

故选：B

14．D

【解析】

【分析】

根据数量积的坐标运算计算可得；

【详解】

解：因为，，

所以，故A错误；

，，

所以，，故B、C错误；

，故；

故选：D

15．C

【解析】

【分析】

由，再展开化简，根据基本不等式求最小值即可

【详解】

由题，，当且仅当，即，即时取等号

故选：C

16．AB

【解析】

【分析】

依题意函数在各段上单调递减，且在断点左边的函数值不小于右边的函数值，即可得到不等式组，解得即可；

【详解】

解：由题意可得，解得，

∴整数a的取值为或．

故选：AB

17．AC

【解析】

【分析】

根据已知条件，结合互斥事件的概念和条件概率公式，即可求解.

【详解】

由题意得可知，，是两两互斥的事件，故A正确；

，，

，故C正确；

由

事件与事件B不独立，故B、D错误；

故选：AC

18．AD

【解析】

【分析】

二次函数开口向下，对称轴为，结合二次函数的性质对选项逐一判断即可.

【详解】

依题意，二次函数的对称轴为.

因为，所以其函数图象为开口向下的抛物线，

对于A选项，当时，，关于直线对称，

所以恒成立，所以A选项正确；

对于B选项，当，若，则不等式可化为，

所以；

若，则不等式可化为，所以，所以B选项错误；

对于C选项，因为，所以，

所以二次函数的图象开口向下，且二次函数与x轴无交点，所以不存在使得成立，所以C选项错误；

对于D选项，，

所以对任意，，均有恒成立，所以D选项正确，

故选：AD.

19．1

【解析】

【分析】

根据函数奇偶性的性质进行求解即可.

【详解】

设，因为是奇函数，

所以，

即，

整理得到，故.

故答案为：1.

20．##

【解析】

【分析】

根据复数的乘除法与共轭复数的概念求解即可

【详解】

，故

故答案为：

21．##0.4

【解析】

【分析】

根据古典概型的计算公式即可求解.

【详解】

解：乙班共5名运动员，其中2名女生，故抽取一名女生的概率.

故答案为：

22．①③④

【解析】

【分析】

根据线面垂直的性质判断①，②；取中点，可证明，从而可计算出，判断③；折叠过程中，不动，当到平面的距离最大时，四面体的体积最大，从而计算出最大体积后判断④．

【详解】

因为，平面,

所以平面，

又平面，所以，①正确；

若存在某个位置，使，如图，连接，因为，

所以，

连接， 中，，平面，

所以平面，

而平面，所以，

由选项①的判断有，且平面，平面，

所以平面，又平面，所以，则，这是不可能的，事实上，②错；

设M是中点，连接，则，所以，

从而，D是中点，所以，若，即，

所以，所以，且由得，

所以，边长为则4，则

为定值，③正确；

折叠过程中，不变，不动，当F到平面的距离最大时，

四面体的体积最大，由选项C的判断知当平面时，

F到平面的距离最大且为，又，

所以此最大值为，④正确，

故答案为：①③④．

23．(1)

(2)最小值为，最大值是

【解析】

【分析】

(1)根据诱导公式和二倍角公式化简得：，再根据余弦函数的单调性求解即可；

(2)化简得,再根据，求解即可.

(1)

，

当        ，即时是单调递减区间；

(2)

，

因为，所以，

，

，

 故最小值为，最大值是；

24．(1)证明见解析

(2)

【解析】

【分析】

(1)取AD中点M，连QM，OM，证得PO//QM即可得解.

(2)在正四棱锥中作出二面角的平面角，借助直角三角形计算即可.

(1)

取AD中点M，连QM，OM，如图，

因O是正四棱锥底面中心，即O是BD中点，则OM//AB//PQ，，

于是得PQMO是平行四边形，PO//QM，而平面ADQ，平面ADQ，

所以PO//平面ADQ.

(2)

在正四棱锥中，DOAO，PO平面ABCD，DO平面ABCD，则PODO，而，平面POA，

因此，DO平面POA，而平面POA，则DOPA，过O作OEPA于E，连DE，如图，

，平面DOE，则有PA平面DOE，即PADE，从而得是二面角的平面角，

因平面，则PQAQ，，而，则PO=2，，

中，，于是得，

所以二面角的正弦值.

25．(1)；

(2)

【解析】

【分析】

（1）先求出，进而转化为在上有根，求出，从而得到的取值范围及最小值；

（2）分和分类讨论，利用单调性解不等式，转化为恒成立问题，结合二次函数单调性，求出最值，求出a的取值范围.

(1)

,解得：，

因为在上有零点，

所以在上有根，即在上有根，

因为，所以，

所以的最小值为；

(2)

，

若，则，

所以对于恒成立，

令，则对称轴为，

所以在单调递增，

当时，，

因为，所以恒成立，满足题意，

所以满足要求；

当时，，

所以对于恒成立，

令，则对称轴为，

所以在单调递增，

当时，，

令，解得：或，

因为，所以，

综上：a的取值范围是.