2022年7月浙江省普通高中学业水平考试数学冲刺试卷02（含答案解析）

2022年7月浙江省普通高中学业水平考试数学冲刺试卷02

一、单选题(本大题共18小题，每小题3分，共54分)

1．已知集合，则（       ）

A． B． C． D．

2．已知复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（       ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．已知，则“”是“”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．若正实数满足，则（       ）

A．有最大值 B．有最大值4

C．有最小值 D．有最小值2

5．已知且满足，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

6．已知，则（       ）．

A． B． C． D．

7．已知，则（       ）

A． B． C． D．

8．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为10，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为（       ）

A．10 B．11 C．12 D．13

9．已知函数的部分图象如下图所示，先将的图象向右平移个单位长度（纵坐标不变），再将横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，则（       ）

A． B．

C． D．

10．已知，则（       ）

A． B． C． D．

11．在矩形中，，．若点是的中点，点是的三等分点，且，则（       ）

A． B． C． D．

12．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，则△ABC是（       ）

A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形

13．已知直线l，m和平面、，下列命题正确的是（       ）

A．，

B．，，，

C．，，

D．，，，，

14．校园文创，是指以学校特有的校园文化内涵为基础，经过精妙构思和创作，生产符合校园文化精神、传播校园文化品牌的特殊产品和服务．它既是学校文化的物化形式，同时也是学校文化的传播载体．某文创小组设计了一款校园香囊，它是由6个边长为6cm的全等正三角形拼接而成的六面体（如图），那么香囊内可供填充的容量约为（       ）

A． B． C． D．

15．已知A，B，C三所学校分别有4%，4%，5%的人获得“三好学生”称号．假设这三个学校的人数之比为，现从这三个学校中任选一人，这个人获得“三好学生”称号的概率是（       ）

A． B． C． D．

16．，若是的最小值，则的取值范围为（       ）.

A．[1，2] B．[1，0] C．[1，2] D．

17．如图，棱长为1的正方体中，为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的个数是（       ）

①平面平面②的取值范围是 ③三棱锥的体积为定值

④

A．1 B．2 C．3 D．4

18．已知函数满足，又函数的图像关于点对称，且，则（          ）

A．2023 B．

C．2022 D．

二、填空题(本大题共4小题，每空3分，共15分)

19．已知函数则________；方程的解为________．

20．若复数为纯虚数，其中，为虚数单位，则____________．

21．已知是奇函数，则__________．（写出一个值即可）

22．如图直角梯形ABCD中，EF是CD边上长为6 的可移动的线段，，， ，则的取值范围为 ________________ .   

三、解答题(本大题共3小题，共31分)

23．已知函数．

(1)求函数的最小正周期和对称中心；

(2)若，方程有两个实数解，求实数m的取值范围．

24．某中学为研究本校高三学生在市联考中的语文成绩，随机抽取了100位同学的语文成绩作为样本，得到以分组的样本频率分布直方图如图．

(1)求直方图中的值；

(2)请估计本次联考该校语文成绩的中位数和平均数；

(3)样本内语文分数在的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出2人，求选出的两名学生中恰有一人成绩在中的概率．

25．设定义在上的奇函数（且，）

(1)已知，函数，，求的值域；

(2)若，，对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．

答案与解析

1．B

【解析】

【分析】

根据集合的并集运算求解即可.

【详解】

，

故选：B

2．A

【解析】

【分析】

首先根据复数的运算得到，再根据复数的几何意义求解即可.

【详解】

由题意可得，

则z在复平面内对应的点位于第一象限.

故选：A

3．D

【解析】

【分析】

利用充分条件和必要条件的定义判断.

【详解】

解：由，

显然由推不出，比如推不出，

又推不出，比如推不出，

故“”是“”的既不充分也不必要条件，

故选：D．

4．A

【解析】

【分析】

结合基本不等式及其变形形式分别检验各选项的结论是否成立即可.

【详解】

因为正实数满足

所以，当且仅当，，即取等号，故A正确、C错误．

，当且仅当，，即取等号，故B、D错误．

故选：A

5．C

【解析】

【分析】

设，求出结合条件可得结果.

【详解】

设，可得，

解得，，

因为可得，

所以.

故选：C.

6．A

【解析】

【分析】

利用配凑法直接得出函数的解析式.

【详解】

因为，

所以．

故选：A

7．C

【解析】

【分析】

根据指数函数的单调性可得，根据对数函数的单调性可得、，进而得出结果.

【详解】

因为，所以，

因为，所以，

因为，即，

所以.

故选：C

8．D

【解析】

【分析】

根据方差的定义分析判断．

【详解】

设5个数据分别是，

则由方差为5得，

显然最大值不可能大于14，假如，则，不合题意，

若最大值为14，不妨设，，

则只能一个0，两个1，还有一个是4，不合题意，

若最大值为13，不妨设，此时如，，，，满足题意．

故选：D．

9．D

【解析】

【分析】

根据两角和的正弦公式可得，再根据周期求解得，结合图形可得，代入最低点可得可得，进而根据三角函数图象平移的方法求得即可

【详解】

，由图知周期，

解得，又最小值为，所以，故.

又，结合，可得，

所以.

将的图象向右平移个单位长度（纵坐标不变），

得到，再将横坐标缩小为原来的，

得到

故选：D.

10．D

【解析】

【分析】

根据同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得；

【详解】

解：因为，所以，

故选：D.

11．B

【解析】

【分析】

以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算可求得的值.

【详解】

以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，

则、、，则，，

因此，.

故选：B.

12．C

【解析】

【分析】

由倍角公式结合余弦定理得出三角形的形状.

【详解】

由题意，可得，即

因为，所以，即，故△ABC是直角三角形

故选：C

13．D

【解析】

【分析】

A、B、C根据线线、线面的位置关系，结合平面的基本性质判断线面、面面的位置关系，根据面面平行的判定判断D.

【详解】

A：，，则或，错误；

B：若时，或相交；若相交时，，错误；

C：，，，则平行、相交、重合都有可能，错误；

D：，且，，根据面面平行的判定知：，正确.

故选：D

14．C

【解析】

【分析】

根据给定条件，求出棱长为6cm的正四面体的体积作答.

【详解】

依题意，这个六面体可视为共底面的两个棱长为6cm的正四面体拼接而成，

如图，正四面体棱长为6cm，O为正的中心，连接OC，OD，

则正的半径，正四面体的高，

于是得，

所以这个六面体香囊内可供填充的容量约为.

故选：C

15．A

【解析】

【分析】

由已知设出3所学校的人数，求出获得“三好学生”称号的人数，再利用古典概率公式计算作答.

【详解】

设A，B，C三所学校的人数分别为，

则A，B，C三所学校获得“三好学生”称号的人数分别为，

所以从这三个学校中任选一人，获得“三好学生”称号的概率是．

故选：A

16．D

【解析】

【分析】

先求出时，的最小值，由题意可得在上递减，且，从而可求出的取值范围

【详解】

由于当时，在时取得最小值，

因为是的最小值，

所以当时，是递减的，则，此时最小值为，

因此，解得，

故选：D．

17．C

【解析】

【分析】

根据线面位置关系进行判断．判断①，举反例判断②，利用体积公式，判断③，利用垂直关系的转化判断④.

【详解】

∵平面，∴平面平面，①正确；

若是上靠近的一个四等分点，，此时，，此时为钝角，②错；

由于，则平面，因此的底面是确定的，高也是定值，其体积为定值，③正确；

而，，所以，且,，所以平面,平面，因此，④正确．

故选：C．

18．D

【解析】

【分析】

根据题意得到函数的周期为求解.

【详解】

解：因为函数满足，

所以，

又函数的图像关于点对称，

所以，

联立得，即，

所以其周期为，

所以，

，

.

故选：D

19．     －2     1

【解析】

【分析】

根据分段函数的性质求解即可.

【详解】

2×(－1)＝－2；

x＜0时，f(x)＜0，故f(x)＝1＞0时，x≥0，则，解得x＝1.

故答案为：－2；1.

20．1

【解析】

【分析】

依题意知，解之即可．

【详解】

因为复数为纯虚数，则，解得．

故答案为：1．

21．（答案不唯一）

【解析】

【分析】

根据正弦函数的性质计算可得；

【详解】

解：因为是奇函数，所以，，解得，．

故答案为：（答案不唯一）

22．

【解析】

【分析】

首先在上取一点，使得，取的中点，连接，，根据题意得到，再根据的最值求解即可.

【详解】

在上取一点，使得，取的中点，连接，，

如图所示：

则，，，

，即.

，

当时，取得最小值，此时，

所以.

当与重合时，，，

则，

当与重合时，，，

则，

所以，即的取值范围为.

故答案为：

23．(1)最小正周期，对称中心为

(2)

【解析】

【分析】

（1）先将通过和差、二倍角公式、辅助角公式化简，再套用周期和对称中心的公式即可.

（2）结合正弦函数的图像即可求得答案.

(1)

        =

        =

        =

=

所以，最小正周期，

由，得

所以，对称中心为．

(2)

因为，所以，

由正弦曲线可得．

24．(1)0.01；

(2)中位数是，平均数是；

(3).

【解析】

【分析】

（1）利用频率分布直方图直接列式计算作答.

（2）利用频率分布直方图求中位数、平均数的方法列式计算作答.

（3）求出分数在的人数，再用列举法结合古典概率公式计算作答.

(1)

由频率分布直方图得：.

(2)

由频率分布直方图知，分数在区间、的频率分别为0.34，0.62，

因此，该校语文成绩的中位数，则，解得，

语文成绩的平均数为，

所以该校语文成绩的中位数是，语文成绩的平均数是.

(3)

由频率分布直方图知，分数在内分别有8人和2人，

因此抽取的5人中，分数在内有人，在内有1人，

记内的4人为a，b，c，d，在内的1人为F，

从5人中任取2人的结果有：，共10个不同结果，它们等可能，

选出的2人中恰有一人成绩在中的结果是：，

所以选出的两名学生中恰有一人成绩在中的概率是.

25．(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据是定义域为上的奇函数，由，得到，再由，求得a，得到转化为二次函数求解；

（2）由，得到,利用其性质，将，转化为对任意恒成立求解.

(1)

解：∵是定义域为上的奇函数，

故，得，

此时，，，

即是上的奇函数．

又，即，

解得或（舍去），

∴，

令，

易知在上为增函数，∴，

∴，

当时，有最大值；

当时，有最小值-2，

故的值域是．

(2)

由，

则为偶函数，且在单调递增，在单调递减，

又，，

∴，

则对任意恒成立，即对任意恒成立，

平方得：对恒成立，

∴，

解得：，

综上：的取值范围是．