北师大版初中数学七年级上册期末测试卷（困难）（含答案解析）

北师大版初中数学七年级上册期末测试卷

考试范围：全册； 考试时间：100分钟；总分120分，

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 某种商品的外包装如图所示，其展开图的面积为平方分米，其中分米，分米，则的长度为

A. 分米 B. 分米 C. 分米 D. 分米

2. 从地测得地在南偏东的方向上，则地在地的方向上．

A. 北偏西 B. 南偏东 C. 西偏北 D. 北偏西

3. 如果，那么代数式的值是

A.  B.  C.  D.

4. 有理数，，在数轴上的位置如图，则的值为   
    

A.  B.  C.  D.

5. 为响应习总书记“绿水青山，就是金山银山”的号召，某校今年月争取到一批植树任务，领到一批树苗，按下列方法依次由各班领取：第一班领取全部的和棵，第二班领取余下的和棵，第三班领取余下的和棵，，最后树苗全部被领完，且各班领取的树苗相等，则班级数为

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

6. 下列等式变形正确的是

A. 如果，那么
B. 如果，那么
C. 如果，那么
D. 如果，那么

7. 如图，将边长为的正方形剪去两个小长方形得到图案，再将这两个小长方形拼成一个新的长方形，求新的长方形的周长

A.  B.  C.  D.

8. 古希腊的毕达哥拉斯学派把，，，，称为三角形数；把，，，，称为正方形数“三角形数”和“正方形数”之间存在如下图所示的关系：即两个相邻的“三角形数”的和为一个“正方形数”，则下列等式符合以上规律的是

A.  B.  C.  D.

9. 任意大于的正整数的三次幂均可“分裂”成个连续奇数的和，如：，，，按此规律，若分裂后，其中有一个奇数是，则的值是

A.  B.  C.  D.

10. 商店对某种手机的售价作了调整，按原售价的折出售，此时的利润率为，若此种手机的进价为元，设该手机的原售价为元，则下列方程正确的是

A.  B.
C.  D.

11. 如图，某边防战士驾驶摩托艇外出巡逻，先从港口点沿北偏东的方向行驶海里到点，再从点沿北偏西方向行驶海里到点，要想从点直接回到港口，行驶的方向应是

A. 南偏西方向
B. 南偏西方向
C. 南偏西方向
D. 南偏西方向
 

12. 如，我们叫集合，其中，，叫做集合的元素．集合中的元素具有确定性如必然存在，互异性如，，无序性即改变元素的顺序，集合不变若集合，我们说已知集合，集合，若，则的值是

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图中的实心点个数，，，，，被称为五角形数，其中第个五角形数记作，第个五角形数记作，第个五角形数记作，第个五角形数记作，，若按此规律继续下去，则____________．

14. 如图，点，，在数轴上对应的数分别为，，它们分别以每秒个单位长度、个单位长度和个单位长度的速度在数轴上同时向左做匀速运动，设同时运动的时间为秒若，，三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点，则的值为           ．
     
15. 已知一组数据有个，把它分成六组，第一组到第四组的频数分别是，，，，第五组的频率是，故第六组的频数是_____．
16. 如图，一个正方体由个大小相同的小立方块搭成，现从中取走若干个小立方块，得到一个新的几何体．若新几何体与原正方体的表面积相等，则最多可以取走______个小立方块．
     

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分）

17. 某检修小组从地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶记录如表．单位：

填空：在第______次记录时距地最远？
求收工时距地多远？
若每耗油升，问共耗油多少升？

18. 如图，图为一个正方体，其棱长为，图为图的平面展开图数字和字母写在外表面上，字母也可以表示数，请根据要求回答问题：
     

如果正方体相对面上的两个数字之和相等，那么______，_______ 

如果面“”是右面，面“”在后面，则上面是______填“”“”“”或“”

如图所示，，为所在棱的中点，试在图中画出点，的位置．

19. 周末小明陪爸爸去陶瓷商城购买一些茶壶和一些茶杯，了解情况后发现甲、乙两家商店都在出售两种同样品牌的茶壶和茶杯，定价相同，茶壶每把定价元，茶杯每只定价元，且两家都有优惠，甲商店买一送一大酬宾买一把茶壶送一只茶杯，乙商店全场九折优惠，小明的爸爸需茶壶把，茶杯只不少于只
    分别用含有的代数式表示在甲、乙两家商店购买所需的费用；
    当时，在甲、乙哪个商店购买付款较少？请说明理由．
    若小明的爸爸准备了元钱，在甲、乙哪个商店购买的茶杯多？请说明理由．
20. 现将偶数个互不相等的有理数分成个数相同的两排，需满足第一排中的数越来越大，第二排中的数越来越小．例如，轩轩将“，，，”进行如下分组：

然后把每列两个数的差的绝对值进行相加，定义为该分组方式的“值”．
例如，以上分组方式的“值”为．
另写出“，，，”的一种分组方式，并计算相应的“值”；
将个自然数“，，，”按照题目要求分为两排，使其“值”为，则的值为______．
已知有理数，满足，且将个有理数“，，，，，”按照题目要求分为两排，使其“值”为，求的值．

21. A、两地之间的路程为千米，甲车从地出发开往地，每小时行驶千米，甲车出发分钟后，乙车从地出发开往地，每小时行驶千米，两车相遇后，各自仍按原速度和原方向继续行驶，那么相遇以后两车相距千米时，甲车从出发共行驶了多少小时？
22. 如图，数轴上，两点对应的有理数分别为和，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动，点同时从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动，设运动时间为秒．
    分别求当及时，对应的线段的长度；
    当时，求所有符合条件的的值，并求出此时点所对应的数；
    若点一直沿数轴的正方向运动，点运动到点时，立即改变运动方向，沿数轴的负方向运动，到达点时，随即停止运动，在点的整个运动过程中，是否存在合适的值，使得？若存在，求出所有符合条件的值，若不存在，请说明理由．
     
23. 某校为了解全校学生上学期参加社区活动的情况，随机抽取部分学生调查了参加社区活动的次数，并将调查所得的数据整理如下：
    参加社区活动次数的频数、频率分布表

根据以上图表信息，解答下列问题：
本次抽样调查共抽取了多少名学生？
请通过计算将频数分布直方图补充完整；
若该校共有名学生，请你估计该校在上学期参加社区活动超过次的学生有多少人？

一家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去天苹果的日销售量单位：，结果如下：

一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求．店长承诺每天只卖当天新进的苹果，根据上述数据，若进货量为千克，请估计天中能满足顾客需求的天数；
将上述天的销售量数据利用等距分组的频数分布表来整理．
若组距为，则组数是______．
在的情况下，记销售量数据为，第一组为店长想要用元的宣传费来增加销售量，希望第一、二组的日平均销售量获得足够的增加，第三、四组的日平均销售量增加千克，第五、六组的日平均销售量增加千克，其余组保持稳定，已知该款苹果每千克的平均利润为元，若该店能够盈利，请估计第一、二组的日平均销售量至少增加多少千克？
答案和解析

1.【答案】

【解析】解：由题意得
，
解得分米．
故选：．
根据展开图都是矩形，可得矩形的面积，根据表面积，可得答案．
本题考查了几何体的展开图，根据表面积等于列出方程是解题关键．
 

2.【答案】

【解析】解：由题意得：，
，
，
地在地的北偏西方向上．
故选：．
根据平行线的性质和方向角的定义即可得到结论．
本题主要考查了方位角，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键．
 

3.【答案】

【解析】解：，
，，
，，
．
故选：．
直接利用偶次方的性质以及绝对值的性质得出，的值，进而得出答案．
此题主要考查了非负数的性质，正确得出，的值是解题关键．
 

4.【答案】

【解析】解：根据数轴上点的位置得：，且，
则，，，
则．
故选：．
由数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果．
此题考查了数轴，以及绝对值，涉及的知识有：有理数大小比较，熟练掌握法则是解本题的关键．
 

5.【答案】

【解析】解：设树苗总数棵，根据题意得：
，
解得：，
把代入可得；
第一班也就是每个班取棵，
共有班级数是：个．
故选：．
设树苗总数为棵，根据各班的树苗数都相等，可得出第一班和第二班领取的树苗数相等，由此可得出方程．
本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是得出各班的树苗数都相等这个等量关系，因为第一班，第二班领取数量好表示，所以我们就选取这两班建立等量关系．
 

6.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查本题主要考查了等式的基本性质：、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立； 、等式的两边同时乘以或除以同一个不为的数或字母，等式仍成立．根据等式的性质逐个判定即可．

【解答】

解： 如果 ，那么 ，当 时不成立，故 A 错误；  
B. 如果 ，那么 ，故 B 错误；
C. 如果 ，那么 ， C 正确；
D. 如果 ，那么 ，如果 ，式子不成立，故 D 错误．
故选 C ．   

7.【答案】

【解析】

【分析】
此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键。
根据图形列出算式，计算即可得到结果。
【解答】

解：根据题意得： ，
故选 B 。

8.【答案】

【解析】解：、，，所以是错误的；
B、，，所以是正确的；
C、，，所以是错误的；
D、，，所以是错误的．
故选B．
符合条件的两个三角形数要满足两个条件：两个三角形数之和等于正方形数，两个三角形数之差等于正方形数的平方根．
本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
 

9.【答案】

【解析】解：，第一项为，最后一项为
，第一项为，最后一项为
，第一项为，最后一项为

的第一项为，最后一项为，
到之间有奇数，
的值为．
故选：．
根据有理数的乘方和数字的变化寻找规律即可求解．
本题考查了有理数的乘方，解决本题的关键是根据数字的变化情况寻找规律．
 

10.【答案】

【解析】【解析】
此题考查了一元一次方程的应用，与实际结合，是近几年的热点考题，首先读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解设该手机的原售价是元，从而得出售价为，等量关系：实际售价进价利润率，列方程即可得出答案．
【解答】
解：设该照相机的原售价是元，
根据题意得：，
整理得：，
故选A．
 

11.【答案】

【解析】解：如图，由题可得，，，，
，
又，
是等腰直角三角形，
，
又，
，
从点直接回到港口，行驶的方向应是南偏西方向，
故选：．
依据，，，可得，进而得出是等腰直角三角形，依据，，即可得到．
此题主要考查了学生对方向角的理解及等腰直角三角形的判定等知识点的掌握情况．用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．
 

12.【答案】

【解析】解：由题意知，由互异性可知，，．
因为，，
由，可得，，
所以，即，
那么就有或者，
当得，
当无解．
所以当时，，，
此时符合题意．
所以．
故选：．
利用新定义，根据元素的互异性、无序性推出只有，从而得出别两种情况．讨论后即可得解．
本题考查的是新定义下的探究型题目，关键是理解新定义的含义，再去探究题目．
 

13.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查的是图形规律问题的有关知识，
根据数字的变化得到前几个数字的规律，进而可得结果．
【解答】
因为第 个五角形数记作 ，
第 个五角形数记作 ，
第 个五角形数记作 ，
第 个五角形数记作 ，
第 个五角形数记作 ，
则 ．   

14.【答案】或或

【解析】

【分析】
本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
当运动时间为 秒时，点 在数轴上对应的数为 ，点 在数轴上对应的数为 ，点 在数轴上对应的数为 ，分点 为线段 的中点、点 为线段 的中点及点 为线段 的中点三种情况，找出关于 的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】
解：当运动时间为 秒时，点 在数轴上对应的数为 ，点 在数轴上对应的数为 ，点 在数轴上对应的数为 ．
当点 为线段 的中点时， ，
解得： ；
当点 为线段 的中点时， ，
解得： ；
当点 为线段 的中点时， ，
解得： ．
故答案为： 或 或 ．   

15.【答案】

【解析】

【分析】
本题是对频率、频数灵活运用的综合考查．注意：每个小组的频数等于数据总数减去其余小组的频数，即各小组频数之和等于数据总和．频率 首先根据频率的计算公式求得第五组的频数，然后利用总数减去其它组的频数即可求解
【解答】
解：第五组的频数是 ，
则第六组的频数是 ．
故答案是： ．
．   

16.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查了几何体的表面积、立体图形的认识，而解决本题的关键在于运用反向思维去验证最少需要留下多少个几何体才可以是的组成的几何体图形与原几何体的表面积相等．
【解答】
解：若新几何体与原正方体的表面积相等，只需留 个，最多可以取走 个小正方体，此时的图形是原几何体是正中心的 个和四角上各 个组成的几何体，如图所示：

故答案为．

17.【答案】五

【解析】解：第一次距地千米；
第二次：千米；
第三次：千米；
第四次：千米；
第五次：千米；
第六次：千米；
第七次：千米．
所以距地最远的是第五次；

，
收工时距地是；

升．
答：共耗油升．
故答案为：五．
分别计算出每次检修后所处位置即可求解；
计算出最后一次所处位置即可；
将各数的绝对值相加可得路程，再将路程乘以每千米耗油量．
本题主要考查正数和负数，掌握正数和负数的实际意义是解题的关键．
 

18.【答案】解：；；
；
有两种情况：如图甲和如图乙．
 

【解析】

【分析】

本题考查了正方体的相对两个面上的文字，正方体展开图中相隔一个面的两个面互为对面．

根据两个面相隔一个面是对面，对面的和是，可得答案；
根据相邻面，对面的关系，可得答案；
根据展开图面与面的关系，可得、的位置．

【解答】
解：如果长方体相对面上的两个数字之和相等，得，，
则，；
故答案为；；
如果面“”是右面，面“”在后面，则上面是，
故答案为；
见答案．

19.【答案】解：设购买茶杯只不少于只，
甲商店买一送一大酬宾买一把茶壶送一只茶杯，且茶壶每把定价元，茶杯每只定价元，
故在甲店购买需付：元；
乙商店全场九折优惠，
故在乙店购买需付：元；

在乙商店购买付钱较少．理由如下：
当时，
在甲店购买需付：元，
在乙店购买需付：元，
，
在乙商店购买付款较少；

在乙商店购买的茶杯多．理由如下：
由，得；
由，得．
所以在乙商店购买的茶杯多．

【解析】根据实际付款数得到甲店购买需付款为元，乙店购买需付款为元；
将分别代入中所求的两式子，得出的值在哪家少就在那家买；
令甲乙的付款数都为，然后解方程和，根据的大小进行判断．
本题考查了一元一次方程在经济问题中的运用以及买东西的优惠问题，注意细心求解即可．
 

20.【答案】或

【解析】解：将“，，，”进行如下分组：

以上分组方式的“值”为：；
当时，
将个自然数“，，，”按照题目要求进行如下分组：

以上分组方式的“值”为，
．
；
当时，
将个自然数“，，，”按照题目要求进行如下分组：

以上分组方式的“值”为，
．
；
综上，或．
故答案为：或；
，且，
，，．
当时，则，
将个有理数“，，，，，”按照题目要求进行如下分组：

以上分组方式的“值”为，
．
解得：不合题意，舍去．
当时，则，
将个有理数“，，，，，”按照题目要求进行如下分组：

以上分组方式的“值”为，
．
不合题意，舍去．
当时，则，
将个有理数“，，，，，”按照题目要求进行如下分组：

以上分组方式的“值”为，
．
符合题意．
当时，

以上分组方式的“值”为，
．
不合题意，舍去．
综上分析可得：．
按要求分组，利用分组方式的“值”的意义计算即可；
利用分类讨论的方法，分和两种情况解答，按要求分组，利用分组方式的“值”的意义计算即可；
利用分类讨论的方法，分，，，四种情况解答，按要求分组，利用分组方式的“值”的意义计算即可．
本题主要考查了有理数的加减法，绝对值的意义，一元一次方程的解法，本题是新定义型题目，理解新定义的规定，并熟练操作是解题的关键．
 

21.【答案】解：设相遇以后两车相距千米时，甲车从出发共行驶了小时．
依题意得：，
解得．
答：相遇以后两车相距千米时，甲车从出发共行驶了小时．

【解析】设相遇以后两车相距千米时，甲车从出发共行驶了小时．因为甲车出发分钟后，乙车从地出发开往地，故乙车共行驶了小时；因为甲车从地出发开往地，每小时行驶千米，故甲车行驶的路程是千米；因为乙车从地出发开往地，每小时行驶千米，故乙车行驶的路程是千米；由于两车行驶的总路程为千米，根据题意可得等量关系：甲车行驶的路程乙车行驶的路程两车行驶的总路程，根据等量关系可得方程，再解方程即可．
此题主要考查了一元一次方程的应用，解决问题的关键是表示出甲乙辆车的行驶时间，根据甲车行驶的路程乙车行驶的路程两车行驶的总路程可列出方程．
 

22.【答案】解：当运动时间为秒时，点对应的数为，点对应的数为，
．
当时，；
当时，．
答：当时，线段的长度为；当时，线段的长度为．
根据题意得：，
解得：或，
当时，点对应的数为；
当时，点对应的数为．
答：当时，的值为或，此时点所对应的数为或．
当运动时间为秒时，点对应的数为，点对应的数为．
当时，，，
解得：，舍去；
当时，，，
解得：，舍去．
综上所述：在点的整个运动过程中，存在合适的值，使得，此时的值为或．

【解析】找出运动时间为秒时，点、对应的数，由此可用含的代数式表示出的长度，分别代入、即可得出结论；
由的结论结合可得出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出值，再将值代入点表示的数中即可得出结论；
找出运动时间为秒时，点、对应的数，分和两种情况找出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了两点间的距离、数轴以及一元一次方程的应用，解题的关键是：用含的代数式表示出的长度；由的结论结合找出关于的含绝对值符号的一元一次方程；分和两种情况找出关于的含绝对值符号的一元一次方程．
 

23.【答案】解：，
所以本次抽样调查共抽取了名学生；
，
频数分布直方图补充为：

，
所以估计该校在上学期参加社区活动超过次的学生有人．

【解析】用第组的频数除以它的频率即可得到调查的总人数；
先计算出第二组的频数，然后补全频数分布直方图；
利用样本估计总体，用乘以第三、四、五、六组的频率和可估计该校在上学期参加社区活动超过次的学生数．
本题考查了频数率分布直方图：提高读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．也考查了用样本估计总体．
 

24.【答案】

【解析】解：因为有天的进货量大于千克，
所以天中有天能满足顾客需求，
所以估计天中能满足顾客需求的天数为：天；
因为组数，
所以组数是；
故答案为：；
由数据可知：第一、二组有天，第三、四组有天，第五、六组有天，
设第一、二组的日平均销售量增加千克，根据题意，得
，
解得．
答：估计第一、二组的日平均销售量至少增加千克．
根据数据可得有天的进货量大于千克，所以天中有天能满足顾客需求，进而可以估计天中能满足顾客需求的天数；
根据组数的公式即可求出结果；
根据数据可得第一、二组有天，第三、四组有天，第五、六组有天，设第一、二组的日平均销售量增加千克，根据题意列出不等式求解即可．
本题考查了频数分布表，用样本估计总体，解决本题的关键是掌握用样本估计总体的方法．