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【解析版】2022学年日照市莒县七年级下期末数学试卷
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这是一份【解析版】2022学年日照市莒县七年级下期末数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022学年山东省日照市莒县七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请将正确选项代号填入相应括号内，第1-8小题选对每小题得3分，第9-12小题选对每小题得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分）
1．在平面直角坐标系中，点（﹣1，3）所在的象限是（ ）
A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限
2．在下列实数，3.14159，，0.2，，，中无理数有（ ）
A． 3个 B． 4个 C． 5个 D． 6个
3．下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（ ）
A． 对全国中学生心理健康现状的调查
B． 对某班学生体重情况的调查
C． 对山东省公民实施低碳生活情况的调查
D． 对市场上的冰淇淋质量的调查
4．一个等腰三角形的两边长分别是4和9，则它的周长为（ ）
A． 17 B． 20 C． 22 D． 17或22
5．若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是（ ）
A． 三角形 B． 五边形 C． 四边形 D． 六边形
6．在直角坐标系内，点P（﹣3，5）关于x轴的对称点P1的坐标为（ ）
A． （3，﹣5） B． （3，5） C． （﹣3，5） D． （﹣3，﹣5）
7．不等式组的解集为x＜4，则a满足的条件是（ ）
A． a＜4 B． a=4 C． a≤4 D． a≥4
8．等腰三角形的一个内角是70°，它的一腰上的高与底边的夹角是（ ）
A． 35°或110° B． 35°或20° C． 20°或55° D． 35°或55°
9．数学课上同桌互相出题，小红用⊗和△遮住“方程组的解为”中两个数让同桌猜，则⊗和△这两个数分别为（ ）
A． 4和﹣6 B． ﹣6和4 C． ﹣2和8 D． 8和﹣2
10．为保护生态环境，某县响应国家“退耕还林”号召，将某一部分耕地改为林地，改变后，林地面积和耕地面积共有180平方千米，耕地面积是林地面积的25%，为求改变后林地面积和耕地面积各多少平方千米．设改变后耕地面积x平方千米，林地地面积y平方千米，根据题意，列出如下四个方程组，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，在三角形ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线MN交AB于点M，交AC于点N，下面结论：①BN平分∠ABC；②△BCN是等腰三角形；③△BMN≌△BCN；④△BCN的周长等于AB+BC，其中正确的结论是（ ）
A． ①②③ B． ①②④ C． ②③④ D． ①③④
12．如图，动点P从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹．反弹时反射角等于入射角，当点P第2015次碰到矩形的边时，点P的坐标为（ ）
A． （1，4） B． （5，0） C． （6，4） D． （8，3）
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案写在题中横线上）
13．若+（y+3）2=0，则x﹣y的值为 ．
14．如图，△ABC是等边三角形，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若BC=4，则BE+CF= ．
15．在直角坐标系中，点P（x﹣5，3x﹣9）在第二象限，则x的取值范围是 ．
16．如图，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD=BC，AE=AC，则∠DCE的大小为 （度）．
三、解答题（本大题共6小题，共64分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
1）计算：+﹣
（2）解方程组．
18．解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
19．如图，直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中，A点坐标为（2，﹣1）．
（1）写出B、C点的坐标：B（ ， ）、C（ ， ）；
（2）将△ABC先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到△A′B′C′，画出图形并写出A′、B′、C′的三点坐标；
（3）求△ABC的面积．
20．为进一步推广“阳光体育”大课间活动，莒县某中学对已开设的A实心球，B立定跳远，C跑步，D跳绳四种活动项目的学生喜欢情况，进行调查，随机抽取了部分学生，并将调查结果绘制成图1、图2的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：
（1）在这项调查中，共调查了多少名学生？
（2）请计算本项调查中喜欢“跑步”的学生人数和所占百分比，并将两个统计图补充完整；
（3）在扇形统计图，请计算本项调查中喜欢“跑步”部分所对应的圆心角的度数；
（4）如果全校共1200名同学，请你估算喜欢“跑步”的学生人数．
21．如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．
（1）求∠AEB的度数；
（2）线段CM、AE、BE之间存在怎样的数量关系？请说明理由．
22．已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．
（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE=CG；
（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明．
2022学年山东省日照市莒县七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请将正确选项代号填入相应括号内，第1-8小题选对每小题得3分，第9-12小题选对每小题得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分）
1．在平面直角坐标系中，点（﹣1，3）所在的象限是（ ）
A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限
考点： 点的坐标．
分析： 根据点的横纵坐标的符号可确定所在象限．
解答： 解：∵该点的横坐标为负数，纵坐标为正数，
∴所在象限为第二象限，
故选B．
点评： 考查点的坐标的相关知识；用到的知识点为：第二象限点的符号特点为（﹣，+）．
2．在下列实数，3.14159，，0.2，，，中无理数有（ ）
A． 3个 B． 4个 C． 5个 D． 6个
考点： 无理数．
分析： 根据无理数的三种形式求解．
解答： 解：=2，=8，
无理数有：，，，共3个．
故选A．
点评： 本题考查了无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．
3．下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（ ）
A． 对全国中学生心理健康现状的调查
B． 对某班学生体重情况的调查
C． 对山东省公民实施低碳生活情况的调查
D． 对市场上的冰淇淋质量的调查
考点： 全面调查与抽样调查．
分析： 由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
解答： 解：A、对全国中学生心理健康现状的调查，适合抽查；
B、对某班学生体重情况的调查，适合全面调查；
C、对山东省公民实施低碳生活情况的调查，适合抽查；
D、对市场上的冰淇淋质量的调查，适合抽查．
故选：B．
点评： 本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
4．一个等腰三角形的两边长分别是4和9，则它的周长为（ ）
A． 17 B． 20 C． 22 D． 17或22
考点： 等腰三角形的性质；三角形三边关系．
分析： 求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
解答： 解：（1）若4为腰长，9为底边长，
由于4+4＜9，则三角形不存在；
（2）若9为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．
所以这个三角形的周长为9+9+4=22．
故选C．
点评： 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
5．若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是（ ）
A． 三角形 B． 五边形 C． 四边形 D． 六边形
考点： 多边形内角与外角．
分析： 任意多边形的外角和为360°，然后利用多边形的内角和公式计算即可．
解答： 解：设多边形的边数为n．
根据题意得：（n﹣2）×180°=360°，
解得：n=4．
故选：C．
点评： 本题主要考查的是多边形的内角和和外角和，掌握任意多边形的外角和为360°和多边形的内角和公式是解题的关键．
6．在直角坐标系内，点P（﹣3，5）关于x轴的对称点P1的坐标为（ ）
A． （3，﹣5） B． （3，5） C． （﹣3，5） D． （﹣3，﹣5）
考点： 关于x轴、y轴对称的点的坐标．
分析： 直接利用关于x轴对称点的性质得出P1点坐标即可．
解答： 解：∵点P（﹣3，5）关于x轴的对称点为P1，
∴P1的坐标为：（﹣3，﹣5）．
故选：D．
点评： 此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键．
7．不等式组的解集为x＜4，则a满足的条件是（ ）
A． a＜4 B． a=4 C． a≤4 D． a≥4
考点： 解一元一次不等式组．
分析： 先解不等式组，解集为x＜a且x＜4，再由不等式组的解集为x＜4，由“同小取较小”的原则，求得a取值范围即可．
解答： 解：解不等式组得，
∵不等式组的解集为x＜4，
∴a≥4．
故选：D．
点评： 本题考查了不等式组解集的四种情况：①同大取较大，②同小取较小，③小大大小中间找，④大大小小解不了．
8．等腰三角形的一个内角是70°，它的一腰上的高与底边的夹角是（ ）
A． 35°或110° B． 35°或20° C． 20°或55° D． 35°或55°
考点： 等腰三角形的性质．
分析： 题中没有指明已知角是底角还是顶角，故应该分情况进行分析从而求解．
解答： 解：如图，在△ABC中，AB=AC，BD是AC边上的高．
①当∠A=70°时，
则∠ABC=∠C=55°，
∵BD⊥AC，
∴∠DBC=90°﹣55°=35°；
②当∠C=70°时，
∵BD⊥AC，
∴∠DBC=90°﹣70°=20°；
故选B．
点评： 考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，属于基础题，若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
9．数学课上同桌互相出题，小红用⊗和△遮住“方程组的解为”中两个数让同桌猜，则⊗和△这两个数分别为（ ）
A． 4和﹣6 B． ﹣6和4 C． ﹣2和8 D． 8和﹣2
考点： 二元一次方程组的解．
分析： 先把x=5代入2x﹣y=12，即可得出y的值，再把x，y的值代入第一个方程得出⊗的值即可．
解答： 解：把x=5代入2x﹣y=12，得y=﹣2，
∴△=﹣2，
把x=5，y=﹣2代入2x+y=⊗得，⊗=8，
故选D．
点评： 本题考查了二元一次方程组的解，明确方程解的定义是解题的关键．
10．为保护生态环境，某县响应国家“退耕还林”号召，将某一部分耕地改为林地，改变后，林地面积和耕地面积共有180平方千米，耕地面积是林地面积的25%，为求改变后林地面积和耕地面积各多少平方千米．设改变后耕地面积x平方千米，林地地面积y平方千米，根据题意，列出如下四个方程组，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
考点： 由实际问题抽象出二元一次方程组．
分析： 根据等量关系为：林地面积+耕地面积=180；耕地面积=林地面积×25%．根据这两个等量关系，可列方程组得出答案即可．
解答： 解：设耕地面积x平方千米，林地面积为y平方千米，
根据题意列方程组．
故选：B．
点评： 此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，抓住关键语句，列出方程．
11．如图，在三角形ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线MN交AB于点M，交AC于点N，下面结论：①BN平分∠ABC；②△BCN是等腰三角形；③△BMN≌△BCN；④△BCN的周长等于AB+BC，其中正确的结论是（ ）
A． ①②③ B． ①②④ C． ②③④ D． ①③④
考点： 线段垂直平分线的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．
分析： 根据等腰三角形的性质求出∠ABC和∠ACB的度数，根据线段垂直平分线的性质证明NB=NA，进行判断即可．
解答： 解：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴NB=NA，∴∠NBA=∠A=36°，
∴∠NBC=∠ABC﹣∠NBC=36°，
∴BN平分∠ABC，①正确；
∠BNC=∠A+∠NBC=72°，
∴∠BNC=∠ACB，
∴△BCN是等腰三角形，②正确；
△BMN是直角三角形，△BCN是锐角三角形，∴△BMN≌△BCN不正确，③错误；
△BCN的周长等于BN+CN+BC=AN+CN+BC=AC+BC=AB+BC，④正确，
故选：B．
点评： 本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
12．如图，动点P从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹．反弹时反射角等于入射角，当点P第2015次碰到矩形的边时，点P的坐标为（ ）
A． （1，4） B． （5，0） C． （6，4） D． （8，3）
考点： 规律型：点的坐标．
分析： 根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2015除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．
解答： 解：如图，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），
∵2015÷6=335…5，
∴当点P第2015次碰到矩形的边时为第336个循环组的第5次反弹，
点P的坐标为（1，4）．
故选：A．
点评： 本题考查了对点的坐标的规律变化的认识，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案写在题中横线上）
13．若+（y+3）2=0，则x﹣y的值为 7 ．
考点： 非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：偶次方．
专题： 常规题型．
分析： 根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可求解．
解答： 解：根据题意得，x+y﹣1=0，y+3=0，
解得x=4，y=﹣3，
∴x﹣y=4﹣（﹣3）=4+3=7．
故答案为：7．
点评： 本题考查了平方数非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．
14．如图，△ABC是等边三角形，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若BC=4，则BE+CF= 2 ．
考点： 等边三角形的性质．
分析： 先设BD=x，则CD=4﹣x，根据△ABC是等边三角形，得出∠B=∠C=60°，再利用三角函数求出BE和CF的长，即可得出BE+CF的值．
解答： 解：设BD=x，则CD=4﹣x，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°．
∴BE=cos60°•BD=，
同理可得，CF=，
∴BE+CF=+=2．
故答案为：2．
点评： 本题考查的是等边三角形的性质，用到的知识点是三角函数，难度不大，有利于培养同学们钻研和探索问题的精神．
15．在直角坐标系中，点P（x﹣5，3x﹣9）在第二象限，则x的取值范围是 3＜x＜5 ．
考点： 点的坐标；解一元一次不等式组．
分析： 根据第二象限内点的坐标符号得到不等式组，再解不等式组即可．
解答： 解：∵点P（x﹣5，3x﹣9）在第二象限，
∴
解得：3＜x＜5，
故答案为：3＜x＜5．
点评： 此题主要考查了点的坐标，以及一元一次不等式组的解法，关键是掌握每个象限内点的坐标符号．
16．如图，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD=BC，AE=AC，则∠DCE的大小为 45 （度）．
考点： 等腰三角形的性质．
专题： 几何图形问题．
分析： 设∠DCE=x，∠ACD=y，则∠ACE=x+y，∠BCE=90°﹣∠ACE=90°﹣x﹣y，根据等边对等角得出∠ACE=∠AEC=x+y，∠BDC=∠BCD=∠BCE+∠DCE=90°﹣y．然后在△DCE中，利用三角形内角和定理列出方程x+（90°﹣y）+（x+y）=180°，解方程即可求出∠DCE的大小．
解答： 解：设∠DCE=x，∠ACD=y，则∠ACE=x+y，∠BCE=90°﹣∠ACE=90°﹣x﹣y．
∵AE=AC，
∴∠ACE=∠AEC=x+y，
∵BD=BC，
∴∠BDC=∠BCD=∠BCE+∠DCE=90°﹣x﹣y+x=90°﹣y．
在△DCE中，∵∠DCE+∠CDE+∠DEC=180°，
∴x+（90°﹣y）+（x+y）=180°，
解得x=45°，
∴∠DCE=45°．
故答案为：45．
点评： 本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，设出适当的未知数列出方程是解题的关键．
三、解答题（本大题共6小题，共64分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
1）计算：+﹣
（2）解方程组．
考点： 实数的运算；解二元一次方程组．
分析： （1）本题涉及二次根式化简、三次根式化简两个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果；
（2）方程组先化简，再利用加减消元法求出解即可．
解答： 解：（1）+﹣
=0.5+3﹣
=3.5﹣1.5
=2；
（2）化简得，
①+②×2得：5x=10，解得x=2，
把x=2代入①得：y=3，
故原方程组的解为．
点评： 本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握二次根式、三次根式等考点的运算．同时考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
18．解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
考点： 解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
专题： 计算题．
分析： 先解不等式组中的每一个不等式，再把不等式的解集表示在数轴上，即可．要注意不等式解集中的＞和≥的表示方法．
解答： 解：由①得x≥﹣2，
由②得x＜，
∴不等式组的解集为＞x≥﹣2．
不等式组的解集在数轴上表示如下：
．
点评： 不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
19．如图，直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中，A点坐标为（2，﹣1）．
（1）写出B、C点的坐标：B（ 4 ， 3 ）、C（ 1 ， 2 ）；
（2）将△ABC先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到△A′B′C′，画出图形并写出A′、B′、C′的三点坐标；
（3）求△ABC的面积．
考点： 作图-平移变换．
分析： （1）根据B、C两点在坐标系中的位置即可得出结论；
（2）根据图形平移的性质画出△A′B′C′，并写出A′、B′、C′的三点坐标即可；
（3）利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可．
解答： 解：（1）由图可知，B（4，3），C（1，2）．
故答案为：（4，3），（1，2）；
（2）如图，由图可知，A′（0，0），B′（2，4），C′（﹣1，3）；
（3）S△ABC=3×4﹣×1×3﹣×3×1﹣×2×4=5．
点评： 本题考查的是作图﹣平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．
20．为进一步推广“阳光体育”大课间活动，莒县某中学对已开设的A实心球，B立定跳远，C跑步，D跳绳四种活动项目的学生喜欢情况，进行调查，随机抽取了部分学生，并将调查结果绘制成图1、图2的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：
（1）在这项调查中，共调查了多少名学生？
（2）请计算本项调查中喜欢“跑步”的学生人数和所占百分比，并将两个统计图补充完整；
（3）在扇形统计图，请计算本项调查中喜欢“跑步”部分所对应的圆心角的度数；
（4）如果全校共1200名同学，请你估算喜欢“跑步”的学生人数．
考点： 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
分析： （1）根据喜欢A项目的人数是15，所占的百分比是10%即可求得调查的总人数；
（2）利用总人数减去其它项的人数即可求得喜欢“跑步”的学生人数，然后根据百分比的意义求得百分比；
（3）利用360°乘以对应的百分比即可求解；
（4）利用总人数乘以对应的百分比即可．
解答： 解：（1）共调查了15÷10%=150名学生；
（2）本项调查中喜欢“跑步”的学生人数是；150﹣15﹣45﹣30=60（人），
所占百分比是：×100%=40%，
；
（3）“跑步”部分所对应的圆心角的度数是：360°×40%=144°；
（4）全校喜欢“跑步”的学生人数约是：1200×40%=480．
点评： 本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
21．如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．
（1）求∠AEB的度数；
（2）线段CM、AE、BE之间存在怎样的数量关系？请说明理由．
考点： 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
分析： （1）首先证明△ACD≌△BCE，得出∠ADC=∠BEC，由△DCE为等腰直角三角形，得到∠CDE=∠CED=45°，因为点A，D，E在同一直线上，得到∠ADC=135°，∠BEC=135°，于是得到∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°；
（2）由∠DCE=90°，CD=CE，CM⊥DE，可得CM=DM=EM，所以DE=DM+EM=2CM，据此判断出AE=BE+2CM即可
解答： 解：（1）∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°．
∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴∠ADC=∠BEC，AD=BE．
∵△DCE为等腰直角三角形，
∴∠CED=∠CDE=45°．
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC=135°．
∴∠BEC=135°．
∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=135°﹣45°=90°．
（2）AE=BE+2CM．
理由：
∵CD=CE，CM⊥DE，
∴DM=ME．
∵∠DCE=90°，
∴DM=ME=CM．
∴AE=AD+DE=BE+2CM．
点评： 此题主要考查了全等三角形的判定方法和性质以及等腰三角形的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
22．已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．
（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE=CG；
（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明．
考点： 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
专题： 几何综合题；压轴题．
分析： （1）首先根据点D是AB中点，∠ACB=90°，可得出∠ACD=∠BCD=45°，判断出△AEC≌△CGB，即可得出AE=CG，
（2）根据垂直的定义得出∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，再根据AC=BC，∠ACM=∠CBE=45°，得出△BCE≌△CAM，进而证明出BE=CM．
解答： （1）证明：∵点D是AB中点，AC=BC，
∠ACB=90°，
∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠CAD=∠CBD=45°，
∴∠CAE=∠BCG，
又∵BF⊥CE，
∴∠CBG+∠BCF=90°，
又∵∠ACE+∠BCF=90°，
∴∠ACE=∠CBG，
在△AEC和△CGB中，
∴△AEC≌△CGB（ASA），
∴AE=CG，
（2）解：BE=CM．
证明：∵CH⊥HM，CD⊥ED，
∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，
∴∠CMA=∠BEC，
又∵∠ACM=∠CBE=45°，
在△BCE和△CAM中，，
∴△BCE≌△CAM（AAS），
∴BE=CM．
点评： 本题主要考查了全等三角形的判定方法以及全等三角形对应边相等的性质，难度适中．
2022学年山东省日照市莒县七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请将正确选项代号填入相应括号内，第1-8小题选对每小题得3分，第9-12小题选对每小题得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分）
1．在平面直角坐标系中，点（﹣1，3）所在的象限是（ ）
A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限
2．在下列实数，3.14159，，0.2，，，中无理数有（ ）
A． 3个 B． 4个 C． 5个 D． 6个
3．下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（ ）
A． 对全国中学生心理健康现状的调查
B． 对某班学生体重情况的调查
C． 对山东省公民实施低碳生活情况的调查
D． 对市场上的冰淇淋质量的调查
4．一个等腰三角形的两边长分别是4和9，则它的周长为（ ）
A． 17 B． 20 C． 22 D． 17或22
5．若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是（ ）
A． 三角形 B． 五边形 C． 四边形 D． 六边形
6．在直角坐标系内，点P（﹣3，5）关于x轴的对称点P1的坐标为（ ）
A． （3，﹣5） B． （3，5） C． （﹣3，5） D． （﹣3，﹣5）
7．不等式组的解集为x＜4，则a满足的条件是（ ）
A． a＜4 B． a=4 C． a≤4 D． a≥4
8．等腰三角形的一个内角是70°，它的一腰上的高与底边的夹角是（ ）
A． 35°或110° B． 35°或20° C． 20°或55° D． 35°或55°
9．数学课上同桌互相出题，小红用⊗和△遮住“方程组的解为”中两个数让同桌猜，则⊗和△这两个数分别为（ ）
A． 4和﹣6 B． ﹣6和4 C． ﹣2和8 D． 8和﹣2
10．为保护生态环境，某县响应国家“退耕还林”号召，将某一部分耕地改为林地，改变后，林地面积和耕地面积共有180平方千米，耕地面积是林地面积的25%，为求改变后林地面积和耕地面积各多少平方千米．设改变后耕地面积x平方千米，林地地面积y平方千米，根据题意，列出如下四个方程组，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，在三角形ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线MN交AB于点M，交AC于点N，下面结论：①BN平分∠ABC；②△BCN是等腰三角形；③△BMN≌△BCN；④△BCN的周长等于AB+BC，其中正确的结论是（ ）
A． ①②③ B． ①②④ C． ②③④ D． ①③④
12．如图，动点P从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹．反弹时反射角等于入射角，当点P第2015次碰到矩形的边时，点P的坐标为（ ）
A． （1，4） B． （5，0） C． （6，4） D． （8，3）
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案写在题中横线上）
13．若+（y+3）2=0，则x﹣y的值为 ．
14．如图，△ABC是等边三角形，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若BC=4，则BE+CF= ．
15．在直角坐标系中，点P（x﹣5，3x﹣9）在第二象限，则x的取值范围是 ．
16．如图，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD=BC，AE=AC，则∠DCE的大小为 （度）．
三、解答题（本大题共6小题，共64分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
1）计算：+﹣
（2）解方程组．
18．解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
19．如图，直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中，A点坐标为（2，﹣1）．
（1）写出B、C点的坐标：B（ ， ）、C（ ， ）；
（2）将△ABC先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到△A′B′C′，画出图形并写出A′、B′、C′的三点坐标；
（3）求△ABC的面积．
20．为进一步推广“阳光体育”大课间活动，莒县某中学对已开设的A实心球，B立定跳远，C跑步，D跳绳四种活动项目的学生喜欢情况，进行调查，随机抽取了部分学生，并将调查结果绘制成图1、图2的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：
（1）在这项调查中，共调查了多少名学生？
（2）请计算本项调查中喜欢“跑步”的学生人数和所占百分比，并将两个统计图补充完整；
（3）在扇形统计图，请计算本项调查中喜欢“跑步”部分所对应的圆心角的度数；
（4）如果全校共1200名同学，请你估算喜欢“跑步”的学生人数．
21．如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．
（1）求∠AEB的度数；
（2）线段CM、AE、BE之间存在怎样的数量关系？请说明理由．
22．已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．
（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE=CG；
（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明．
2022学年山东省日照市莒县七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请将正确选项代号填入相应括号内，第1-8小题选对每小题得3分，第9-12小题选对每小题得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分）
1．在平面直角坐标系中，点（﹣1，3）所在的象限是（ ）
A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限
考点： 点的坐标．
分析： 根据点的横纵坐标的符号可确定所在象限．
解答： 解：∵该点的横坐标为负数，纵坐标为正数，
∴所在象限为第二象限，
故选B．
点评： 考查点的坐标的相关知识；用到的知识点为：第二象限点的符号特点为（﹣，+）．
2．在下列实数，3.14159，，0.2，，，中无理数有（ ）
A． 3个 B． 4个 C． 5个 D． 6个
考点： 无理数．
分析： 根据无理数的三种形式求解．
解答： 解：=2，=8，
无理数有：，，，共3个．
故选A．
点评： 本题考查了无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．
3．下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（ ）
A． 对全国中学生心理健康现状的调查
B． 对某班学生体重情况的调查
C． 对山东省公民实施低碳生活情况的调查
D． 对市场上的冰淇淋质量的调查
考点： 全面调查与抽样调查．
分析： 由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
解答： 解：A、对全国中学生心理健康现状的调查，适合抽查；
B、对某班学生体重情况的调查，适合全面调查；
C、对山东省公民实施低碳生活情况的调查，适合抽查；
D、对市场上的冰淇淋质量的调查，适合抽查．
故选：B．
点评： 本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
4．一个等腰三角形的两边长分别是4和9，则它的周长为（ ）
A． 17 B． 20 C． 22 D． 17或22
考点： 等腰三角形的性质；三角形三边关系．
分析： 求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
解答： 解：（1）若4为腰长，9为底边长，
由于4+4＜9，则三角形不存在；
（2）若9为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．
所以这个三角形的周长为9+9+4=22．
故选C．
点评： 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
5．若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是（ ）
A． 三角形 B． 五边形 C． 四边形 D． 六边形
考点： 多边形内角与外角．
分析： 任意多边形的外角和为360°，然后利用多边形的内角和公式计算即可．
解答： 解：设多边形的边数为n．
根据题意得：（n﹣2）×180°=360°，
解得：n=4．
故选：C．
点评： 本题主要考查的是多边形的内角和和外角和，掌握任意多边形的外角和为360°和多边形的内角和公式是解题的关键．
6．在直角坐标系内，点P（﹣3，5）关于x轴的对称点P1的坐标为（ ）
A． （3，﹣5） B． （3，5） C． （﹣3，5） D． （﹣3，﹣5）
考点： 关于x轴、y轴对称的点的坐标．
分析： 直接利用关于x轴对称点的性质得出P1点坐标即可．
解答： 解：∵点P（﹣3，5）关于x轴的对称点为P1，
∴P1的坐标为：（﹣3，﹣5）．
故选：D．
点评： 此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键．
7．不等式组的解集为x＜4，则a满足的条件是（ ）
A． a＜4 B． a=4 C． a≤4 D． a≥4
考点： 解一元一次不等式组．
分析： 先解不等式组，解集为x＜a且x＜4，再由不等式组的解集为x＜4，由“同小取较小”的原则，求得a取值范围即可．
解答： 解：解不等式组得，
∵不等式组的解集为x＜4，
∴a≥4．
故选：D．
点评： 本题考查了不等式组解集的四种情况：①同大取较大，②同小取较小，③小大大小中间找，④大大小小解不了．
8．等腰三角形的一个内角是70°，它的一腰上的高与底边的夹角是（ ）
A． 35°或110° B． 35°或20° C． 20°或55° D． 35°或55°
考点： 等腰三角形的性质．
分析： 题中没有指明已知角是底角还是顶角，故应该分情况进行分析从而求解．
解答： 解：如图，在△ABC中，AB=AC，BD是AC边上的高．
①当∠A=70°时，
则∠ABC=∠C=55°，
∵BD⊥AC，
∴∠DBC=90°﹣55°=35°；
②当∠C=70°时，
∵BD⊥AC，
∴∠DBC=90°﹣70°=20°；
故选B．
点评： 考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，属于基础题，若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
9．数学课上同桌互相出题，小红用⊗和△遮住“方程组的解为”中两个数让同桌猜，则⊗和△这两个数分别为（ ）
A． 4和﹣6 B． ﹣6和4 C． ﹣2和8 D． 8和﹣2
考点： 二元一次方程组的解．
分析： 先把x=5代入2x﹣y=12，即可得出y的值，再把x，y的值代入第一个方程得出⊗的值即可．
解答： 解：把x=5代入2x﹣y=12，得y=﹣2，
∴△=﹣2，
把x=5，y=﹣2代入2x+y=⊗得，⊗=8，
故选D．
点评： 本题考查了二元一次方程组的解，明确方程解的定义是解题的关键．
10．为保护生态环境，某县响应国家“退耕还林”号召，将某一部分耕地改为林地，改变后，林地面积和耕地面积共有180平方千米，耕地面积是林地面积的25%，为求改变后林地面积和耕地面积各多少平方千米．设改变后耕地面积x平方千米，林地地面积y平方千米，根据题意，列出如下四个方程组，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
考点： 由实际问题抽象出二元一次方程组．
分析： 根据等量关系为：林地面积+耕地面积=180；耕地面积=林地面积×25%．根据这两个等量关系，可列方程组得出答案即可．
解答： 解：设耕地面积x平方千米，林地面积为y平方千米，
根据题意列方程组．
故选：B．
点评： 此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，抓住关键语句，列出方程．
11．如图，在三角形ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线MN交AB于点M，交AC于点N，下面结论：①BN平分∠ABC；②△BCN是等腰三角形；③△BMN≌△BCN；④△BCN的周长等于AB+BC，其中正确的结论是（ ）
A． ①②③ B． ①②④ C． ②③④ D． ①③④
考点： 线段垂直平分线的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．
分析： 根据等腰三角形的性质求出∠ABC和∠ACB的度数，根据线段垂直平分线的性质证明NB=NA，进行判断即可．
解答： 解：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴NB=NA，∴∠NBA=∠A=36°，
∴∠NBC=∠ABC﹣∠NBC=36°，
∴BN平分∠ABC，①正确；
∠BNC=∠A+∠NBC=72°，
∴∠BNC=∠ACB，
∴△BCN是等腰三角形，②正确；
△BMN是直角三角形，△BCN是锐角三角形，∴△BMN≌△BCN不正确，③错误；
△BCN的周长等于BN+CN+BC=AN+CN+BC=AC+BC=AB+BC，④正确，
故选：B．
点评： 本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
12．如图，动点P从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹．反弹时反射角等于入射角，当点P第2015次碰到矩形的边时，点P的坐标为（ ）
A． （1，4） B． （5，0） C． （6，4） D． （8，3）
考点： 规律型：点的坐标．
分析： 根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2015除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．
解答： 解：如图，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），
∵2015÷6=335…5，
∴当点P第2015次碰到矩形的边时为第336个循环组的第5次反弹，
点P的坐标为（1，4）．
故选：A．
点评： 本题考查了对点的坐标的规律变化的认识，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案写在题中横线上）
13．若+（y+3）2=0，则x﹣y的值为 7 ．
考点： 非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：偶次方．
专题： 常规题型．
分析： 根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可求解．
解答： 解：根据题意得，x+y﹣1=0，y+3=0，
解得x=4，y=﹣3，
∴x﹣y=4﹣（﹣3）=4+3=7．
故答案为：7．
点评： 本题考查了平方数非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．
14．如图，△ABC是等边三角形，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若BC=4，则BE+CF= 2 ．
考点： 等边三角形的性质．
分析： 先设BD=x，则CD=4﹣x，根据△ABC是等边三角形，得出∠B=∠C=60°，再利用三角函数求出BE和CF的长，即可得出BE+CF的值．
解答： 解：设BD=x，则CD=4﹣x，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°．
∴BE=cos60°•BD=，
同理可得，CF=，
∴BE+CF=+=2．
故答案为：2．
点评： 本题考查的是等边三角形的性质，用到的知识点是三角函数，难度不大，有利于培养同学们钻研和探索问题的精神．
15．在直角坐标系中，点P（x﹣5，3x﹣9）在第二象限，则x的取值范围是 3＜x＜5 ．
考点： 点的坐标；解一元一次不等式组．
分析： 根据第二象限内点的坐标符号得到不等式组，再解不等式组即可．
解答： 解：∵点P（x﹣5，3x﹣9）在第二象限，
∴
解得：3＜x＜5，
故答案为：3＜x＜5．
点评： 此题主要考查了点的坐标，以及一元一次不等式组的解法，关键是掌握每个象限内点的坐标符号．
16．如图，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD=BC，AE=AC，则∠DCE的大小为 45 （度）．
考点： 等腰三角形的性质．
专题： 几何图形问题．
分析： 设∠DCE=x，∠ACD=y，则∠ACE=x+y，∠BCE=90°﹣∠ACE=90°﹣x﹣y，根据等边对等角得出∠ACE=∠AEC=x+y，∠BDC=∠BCD=∠BCE+∠DCE=90°﹣y．然后在△DCE中，利用三角形内角和定理列出方程x+（90°﹣y）+（x+y）=180°，解方程即可求出∠DCE的大小．
解答： 解：设∠DCE=x，∠ACD=y，则∠ACE=x+y，∠BCE=90°﹣∠ACE=90°﹣x﹣y．
∵AE=AC，
∴∠ACE=∠AEC=x+y，
∵BD=BC，
∴∠BDC=∠BCD=∠BCE+∠DCE=90°﹣x﹣y+x=90°﹣y．
在△DCE中，∵∠DCE+∠CDE+∠DEC=180°，
∴x+（90°﹣y）+（x+y）=180°，
解得x=45°，
∴∠DCE=45°．
故答案为：45．
点评： 本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，设出适当的未知数列出方程是解题的关键．
三、解答题（本大题共6小题，共64分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
1）计算：+﹣
（2）解方程组．
考点： 实数的运算；解二元一次方程组．
分析： （1）本题涉及二次根式化简、三次根式化简两个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果；
（2）方程组先化简，再利用加减消元法求出解即可．
解答： 解：（1）+﹣
=0.5+3﹣
=3.5﹣1.5
=2；
（2）化简得，
①+②×2得：5x=10，解得x=2，
把x=2代入①得：y=3，
故原方程组的解为．
点评： 本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握二次根式、三次根式等考点的运算．同时考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
18．解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
考点： 解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
专题： 计算题．
分析： 先解不等式组中的每一个不等式，再把不等式的解集表示在数轴上，即可．要注意不等式解集中的＞和≥的表示方法．
解答： 解：由①得x≥﹣2，
由②得x＜，
∴不等式组的解集为＞x≥﹣2．
不等式组的解集在数轴上表示如下：
．
点评： 不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
19．如图，直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中，A点坐标为（2，﹣1）．
（1）写出B、C点的坐标：B（ 4 ， 3 ）、C（ 1 ， 2 ）；
（2）将△ABC先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到△A′B′C′，画出图形并写出A′、B′、C′的三点坐标；
（3）求△ABC的面积．
考点： 作图-平移变换．
分析： （1）根据B、C两点在坐标系中的位置即可得出结论；
（2）根据图形平移的性质画出△A′B′C′，并写出A′、B′、C′的三点坐标即可；
（3）利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可．
解答： 解：（1）由图可知，B（4，3），C（1，2）．
故答案为：（4，3），（1，2）；
（2）如图，由图可知，A′（0，0），B′（2，4），C′（﹣1，3）；
（3）S△ABC=3×4﹣×1×3﹣×3×1﹣×2×4=5．
点评： 本题考查的是作图﹣平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．
20．为进一步推广“阳光体育”大课间活动，莒县某中学对已开设的A实心球，B立定跳远，C跑步，D跳绳四种活动项目的学生喜欢情况，进行调查，随机抽取了部分学生，并将调查结果绘制成图1、图2的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：
（1）在这项调查中，共调查了多少名学生？
（2）请计算本项调查中喜欢“跑步”的学生人数和所占百分比，并将两个统计图补充完整；
（3）在扇形统计图，请计算本项调查中喜欢“跑步”部分所对应的圆心角的度数；
（4）如果全校共1200名同学，请你估算喜欢“跑步”的学生人数．
考点： 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
分析： （1）根据喜欢A项目的人数是15，所占的百分比是10%即可求得调查的总人数；
（2）利用总人数减去其它项的人数即可求得喜欢“跑步”的学生人数，然后根据百分比的意义求得百分比；
（3）利用360°乘以对应的百分比即可求解；
（4）利用总人数乘以对应的百分比即可．
解答： 解：（1）共调查了15÷10%=150名学生；
（2）本项调查中喜欢“跑步”的学生人数是；150﹣15﹣45﹣30=60（人），
所占百分比是：×100%=40%，
；
（3）“跑步”部分所对应的圆心角的度数是：360°×40%=144°；
（4）全校喜欢“跑步”的学生人数约是：1200×40%=480．
点评： 本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
21．如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．
（1）求∠AEB的度数；
（2）线段CM、AE、BE之间存在怎样的数量关系？请说明理由．
考点： 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
分析： （1）首先证明△ACD≌△BCE，得出∠ADC=∠BEC，由△DCE为等腰直角三角形，得到∠CDE=∠CED=45°，因为点A，D，E在同一直线上，得到∠ADC=135°，∠BEC=135°，于是得到∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°；
（2）由∠DCE=90°，CD=CE，CM⊥DE，可得CM=DM=EM，所以DE=DM+EM=2CM，据此判断出AE=BE+2CM即可
解答： 解：（1）∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°．
∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴∠ADC=∠BEC，AD=BE．
∵△DCE为等腰直角三角形，
∴∠CED=∠CDE=45°．
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC=135°．
∴∠BEC=135°．
∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=135°﹣45°=90°．
（2）AE=BE+2CM．
理由：
∵CD=CE，CM⊥DE，
∴DM=ME．
∵∠DCE=90°，
∴DM=ME=CM．
∴AE=AD+DE=BE+2CM．
点评： 此题主要考查了全等三角形的判定方法和性质以及等腰三角形的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
22．已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．
（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE=CG；
（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明．
考点： 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
专题： 几何综合题；压轴题．
分析： （1）首先根据点D是AB中点，∠ACB=90°，可得出∠ACD=∠BCD=45°，判断出△AEC≌△CGB，即可得出AE=CG，
（2）根据垂直的定义得出∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，再根据AC=BC，∠ACM=∠CBE=45°，得出△BCE≌△CAM，进而证明出BE=CM．
解答： （1）证明：∵点D是AB中点，AC=BC，
∠ACB=90°，
∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠CAD=∠CBD=45°，
∴∠CAE=∠BCG，
又∵BF⊥CE，
∴∠CBG+∠BCF=90°，
又∵∠ACE+∠BCF=90°，
∴∠ACE=∠CBG，
在△AEC和△CGB中，
∴△AEC≌△CGB（ASA），
∴AE=CG，
（2）解：BE=CM．
证明：∵CH⊥HM，CD⊥ED，
∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，
∴∠CMA=∠BEC，
又∵∠ACM=∠CBE=45°，
在△BCE和△CAM中，，
∴△BCE≌△CAM（AAS），
∴BE=CM．
点评： 本题主要考查了全等三角形的判定方法以及全等三角形对应边相等的性质，难度适中．
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