数学七年级下册6.2 立方根导学案

七年级专项复习系列之立方根专项训练及解析

（一）知识整理

定义：
一般地，如果一个数x的立方等于a，那么这个x叫做a的立方根。
如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a(x3=a)，即3个x连续相乘等于a,那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根。
数a的立方根记作，读作“三次根号a”。
读作：“三次根号a”其中，a叫做被开方数，3叫做根指数。（a等于所有数，包括0）如果被开方数还有指数，那么这个指数（必须是三能约去的）还可以和三次根号约去。

开立方：求一个数a的立方根的运算叫做开立方，其中a叫做被开方数。
立方根性质：
①正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0。
②一般地，如果一个数X的立方等于 a，那么这个数X就叫做a的立方根（也叫做三次方根）。
也就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根。
如2是8的立方根，-3分之2是-27分之8的立方根，0是0的立方根。
③立方和开立方运算，互为逆运算。
④互为相反数的两个数的立方根也是互为相反数。
⑤负数不能开平方，但能开立方。
⑥任何数（正数、负数、或零）的立方根如果存在的话，必定只有一个。
⑦当两个数相等时，这两个数的平方根相等，反之亦然。

平方根和立方根的关系：
区别：
⑴根指数不同：平方根的根指数为2，且可以省略不写；立方根的根指数为3，且不能省略不写。
⑵ 被开方的取值范围不同：平方根中被开方数必需为非负数；立方根中被开方数可以为任何数。
⑶ 结果不同：平方根的结果除0之外，有两个互为相反的结果；立方根的结果只有一个。
联系：
二者都是与乘方运算互为逆运算
在部分科学计算器上面需要按SHIFT键+x3才可以打出来根号。

笔算开立方的方法：
方法一
1．将被开立方数的整数部分从个位起向左每三位分为一组；
2．根据最左边一组，求得立方根的最高位数；
3．用第一组数减去立方根最高位数的立方，在其右边写上第二组数；
4．用求得的最高位数的平方的300倍试除上述余数，得出试商；并把求得的最高位数的平方的300倍与试商的积、求得的最高位数的30倍与试商的平方的积和试商的立方写在竖式左边，观察其和是否大于余数，若大于，就减小试商再试，若不大于，试商就是立方根的第二位数；
5．用同样方法继续进行下去。
方法二
第1、2步同上。
第三步，商完后，落下余数和后面紧跟着的三位，如果后面没有就把余数后面添上三个0；
第四步，将要试商的数代入式子“已商数×要试商数×（10×已商数+要试商数）×30+要商数的立方”，最接近但不超过第三步得到的数者，即为这一位要商的数。
然后重复第3、4步，直到除尽。

（二）专项训练及解析

1、一个正方体的体积扩大为原来的n倍，则它的棱长扩大为原来的______倍．

【答案】一个正方体的体积扩大为原来的n倍，则它棱长扩大为原来的               。

2、8的相反数是______，8的倒数是______，8的立方根是______．

【解析】8的相反数是-8，

∵8× =1，

∴8的倒数是  ，

∵23=8，

∴8的立方根是2．

故答案为：-8； ；2．

3、下列判断中，错误的有（　　）

（1）有立方根的数必有平方根

（2）有平方根的数必有立方根

（3）零的平方根、立方根、算术平方根都是零

（4）不论a是什么实数， 

【解析】（1）有立方根的数必有平方根，错误；

（2）有平方根的数必有立方根，正确；

（3）零的平方根、立方根、算术平方根都是零，正确，

（4）不论a是什么实数， 

4、若一个数的平方根为3a+1和2a-1，求这个数的立方根．

【解析】∵一个数的平方根为3a+1和2a-1，

∴3a+1+2a-1=0，

解得a=0，

∴这个数是（2a-1）2=1，

∵1的立方根是1，

∴这个数的立方根是1．

5、下列说法：①-64的立方根是4；②49的算术平方根是±7；③ 的立方根是  ；④ 的平方根是  ．其中正确的说法有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【解析】∵-64的立方根是-4，∴①错误；

∵49的算术平方根是7，∴②错误；

∵ 的立方根是，∴③正确；

∵ 的平方根是±，∴④错误，

即正确的有1个，

故选A．

6、下列说法中，正确的是（　　）

A．（-6）2的平方根是-6

B．带根号的数都是无理数

C．27的立方根是±3

D．立方根等于-1的实数是-1

【解析】A、（-6）2=36，36的平方根是±6，原说法错误，故本选项错误；

B、带根号的数不一定都是无理数，例如 是有理数，故本选项错误；

C、27的立方根是3，故本选项错误；

D、立方根等于-1的实数是-1，说法正确，故本选项正确；

故选D．

7、已知2a-1的平方根是±3，3a+b+1的立方根为-2，则a=______，b=______．

【解析】∵2a-1的平方根是±3，3a+b+1的立方根为-2，

∴2a-1=（±3）2=9，3a+b+1=（-2）3=-8，

∴a=5，

∴15+b+1=-8，

∴b=-24．

故答案为5；-24．

8、下列说法正确的是（　　）

A．-1的立方根是-1 B．-1的平方根是1

C．-1的平方根是-1 D．-1的算术平方根是1

【解析】A、-1的立方根是-1，故选项正确；

B、负数没有平方根，故选项错误；

C、负数没有平方根，故选项错误

D、负数没有平方根，故选项错误．

故选A．

9、下列说法正确的是（　）

A．±1是1的立方根 B．100的平方根是10

C．5是125的立方根 D．-2是-6的立方根

【答案】C

10、如图，已知矩形A′BOC的边长A′B=2，OB=1，数轴上点A表示的数为x，则x2-13的立方根是（　）

A． -13 B．- -13 C．2 D．-2

【答案】D

11、-64的立方根等于（　　）

A．4 B．-4 C．±4 D．±8

【解析】∵-4的立方等于-64，

∴-64的立方根等于-4．

故选B．

12、求8x3+125=0中的x值．

【解析】∵8x3=-125，

∴x3=- ，

∴x=- ．

13、下列说法中，正确的是（　　）

A．64的平方根是8    B．4的立方根是2

C．（-3）2没有平方根   D．16的平方根是4和-4

【解析】A、因为（±8）2=64，所以64的平方根为±8，故本选项错误，

B、2是4的算术平方根，而不是4的立方根，故本选项错误，

C、因为（-3）2=9＞0，所以（-3）2有平方根，故本选项错误，

D、因为（±4）2=16，所以16的平方根是4和-4，故本选型正确，

故选D．

14、立方根等于它本身的数有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4

【解析】立方根等于它本身的数有0、1、-1共3个．

故选C．

15、下列说法中正确的是（　　）

A．64的立方根是±4 B．-64没有立方根

C．64的平方根是±8 D．64的算术平方根是4

【解析】A、64的立方根是4，故本选项错误；

B、-64的立方根为-4，故本选项错误；

C、64的平方根是±8，故本选项正确；

D、64的算术平方根是8，故本选项错误；

故选C．

16、下列叙述中，不正确的是（　　）

A．绝对值最小的实数是零

B．算术平方根最小的实数是零

C．平方最小的实数是零

D．立方根最小的实数是零

【解析】A、一个数的绝对值是非负数，其中，0最小，所以绝对值最小的实数是零是正确的，不符号题意；

B、非负数的算术平方根是非负数，在非负数里，0最小，所以算术平方根最小的实数是零是正确的，不符号题意；

C、任何数的平方都是非负数，非负数里，0最小，所以平方最小的实数是零是正确的，不符号题意；

D、没有立方根最小的数，故错误，符合题意，

故选D．

17、下列说法错误的是（　　）

A．5是125的立方根 B．±4是64的立方根

C．-2是-8的立方根 D．0是0的立方根

【解析】A、5是125的立方根，故本选项不符合题意；

B、4是64的立方根，故本选项符合题意；

C、-2是-8的立方根，故本选项不符合题意；

D、0是0的立方根，故本选项不符合题意．

故选B．

18、若（a-4）3=125，则a=______．

【解析】∵（a-4）3=125，

∴a-4=5，

∴a=9．

故【答案】为9．

19、已知m3=-125，则实数m=______．

【解析】∵（-5）3=125，

∴m为-5．

故【答案】为：-5．

20、我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的问题试一试：

（1）103=1000，1003=1000000，你能确定59319的立方根是几位数吗？答：______位数．

（2）由59319的个位数是9，你能确定59319的立方根的个位数是几吗？答：______．

（3）如果划去59319后面的三位319得到数59，而33=27，43=64，由此你能确定59319的立方根的十位数是几吗？答：______．因此59319的立方根是______．

（4）现在换一个数185193，你能按这种方法说出它的立方根吗？

答：①它的立方根是______位数，②它的立方根的个位数是______，③它的立方根的十位数是______，④185193的立方根是______．

【解析】（1）103=1000，1003=1000000，你能确定59319的立方根是2位数．

故答案是：2；

（2）由59319的个位数是9，

你能确定59319的立方根的个位数是 9．

故答案是9．

（3）如果划去59319后面的三位319得到数59，而33=27，43=64，

由此你能确定59319的立方根的十位数是几3．

因此59319的立方根是 39．

故答案是：3，39；

（4）现在换一个数185193，你能按这种方法说出它的立方根吗？

∵103=1000，1003=1000000，1000＜185193＜1000000，

∴185193的立方根是一个两位数，

∵185193的最后一位是3，

∴它的立方根的个位数是7，

185193去掉后3位，得到185，

∵53＜185＜63，

∴立方根的十位数是5，

则立方根一定是：57．

方根的十位数是5，④185193的立方根是57．