教科版高中物理必修第一册第4章牛顿运动定律素养培优课5滑块__木板模型和传送带模型学案

滑块——木板模型和传送带模型

培优目标：1.掌握运用牛顿运动定律处理滑块——木板模型的方法．　2.会对传送带上的物体进行受力分析，正确判断物体运动情况．

1．模型特点

上、下叠放两个或多个物体，物体间存在相对滑动．

2．常见的两种位移关系

滑块从木板的一端运动到另一端的过程中，若滑块和木板向同一方向运动，则滑块的位移和木板的位移之差等于木板的长度；若滑块和木板向相反方向运动，则滑块的位移和木板的位移之和等于木板的长度．

3．解题方法

此类问题涉及两个物体、多个运动过程，并且物体间还存在相对运动，所以应准确求出各物体在各个运动过程中的加速度(注意两过程的连接处加速度可能突变)，找出物体之间的位移(路程)关系或速度关系是解题的突破口．求解中应注意联系两个过程的纽带，每一个过程的末速度是下一个过程的初速度．

【例1】　质量为m、长为L的长木板静止在光滑水平面上，质量也为m的小滑块(可看作质点)放在长木板的左端，如图所示．已知小滑块与长木板间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，给小滑块一水平向右的拉力F，当F取不同值时求解下列问题．(重力加速度为g)

(1)要使滑块与木板发生相对滑动，F至少为多大；

(2)当F＝3μmg时，经过多长时间，力F可使滑块滑至木板的最右端．

思路点拨：①分析滑块和木板的受力情况，根据牛顿第二定律分别求出滑块和木板的加速度．

②对滑块和木板进行运动情况分析，找出各自的位移．

③滑块滑至木板最右端，滑块相对木板位移为木板长度．

[解析]　(1)当滑块和木板没有发生相对滑动时，对滑块、木板整体有F＝2ma

当滑块与木板间摩擦力达最大静摩擦力时，对木板有μmg＝ma

联立解得F＝2μmg.

(2)设滑块、木板的加速度分别为a1、a2

由牛顿运动定律得F－μmg＝ma1

μmg＝ma2

解得a1＝2μg，a2＝μg

设经t时间，滑块滑到木板的最右端，则

L＝a1t2－a2t2，解得t＝.

[答案]　(1)2μmg　(2)

求解“滑块—木板”类问题的方法技巧

(1)搞清各物体初态对地的运动和相对运动(或相对运动趋势)，根据相对运动(或相对运动趋势)情况，确定物体间的摩擦力方向．

(2)正确地对各物体进行受力分析，并根据牛顿第二定律确定各物体的加速度，结合加速度和速度的方向关系确定物体的运动情况．

[跟进训练]

1．如图所示，厚度不计的薄板A长l＝5 m，质量M＝5 kg，放在水平地面上．在A上距右端x＝3 m处放一物体B(大小不计)，其质量m＝2 kg，已知A、B间的动摩擦因数μ1＝0.1，A与地面间的动摩擦因数μ2＝0.2，原来系统静止．现在板的右端施加一大小恒定的水平力F＝26 N，持续作用在A上，将A从B下抽出．取g＝10 m/s2，求：

(1)A从B下抽出前A、B的加速度各是多大；

(2)B运动多长时间离开A.

[解析]　(1)对于B：μ1mg＝maB

解得aB＝1 m/s2

对于A：F－μ1mg－μ2(m＋M)g＝MaA

解得aA＝2 m/s2.

(2)设经时间t抽出，则xA＝aAt2

xB＝aBt2

Δx＝xA－xB＝l－x

解得t＝2 s.

[答案]　(1)aA＝2 m/s2　aB＝1 m/s2　(2)2 s

1．特点：传送带运输是利用货物和传送带之间的摩擦力将货物运送到别的地方去．它涉及摩擦力的判断、运动状态的分析和运动学知识的运用．

2．解题思路：(1)判断摩擦力突变点(含大小和方向)，给运动分段．(2)物体运动速度与传送带运行速度相同，是解题的突破口．(3)考虑物体与传送带共速之前是否滑出．

【例2】　如图所示，水平传送带正在以v＝4 m/s的速度匀速顺时针转动，质量为m＝1 kg的某物块(可视为质点)与传送带之间的动摩擦因数μ＝0.1，将该物块从传送带左端无初速度地轻放在传送带上(g取10 m/s2)．

(1)如果传送带长度L＝4.5 m，求经过多长时间物块将到达传送带的右端；

(2)如果传送带长度L1＝20 m，求经过多长时间物块将到达传送带的右端．

思路点拨：①根据v物、v带的大小判断摩擦力方向，根据牛顿第二定律求出a.

②求出v物＝v带时所用时间及各自位移，进而判断之后的运动形式．

[解析]　物块放到传送带上后，在滑动摩擦力的作用下先向右做匀加速运动．

由μmg＝ma得a＝μg

若传送带足够长，匀加速运动到与传送带同速后再与传送带一同向右做匀速运动．物块匀加速运动的时间t1＝＝＝4 s

物块匀加速运动的位移

x1＝at＝μgt＝8 m

(1)因为4.5 m<8 m，所以物块一直加速，由L＝at2得t＝3 s.

(2)因为20 m>8 m，所以物块速度达到传送带的速度后，摩擦力变为0，此后物块与传送带一起做匀速运动，物块匀速运动的时间t2＝＝ s＝3 s

故物块到达传送带右端的时间t′＝t1＋t2＝7 s.

[答案]　(1)3 s　(2)7 s

分析传送带问题的三个步骤

(1)初始时刻，根据v物、v带的关系，确定物体的受力情况，进而确定物体的运动情况．

(2)根据临界条件v物＝v带确定临界状态的情况，判断之后的运动形式．

(3)运用相应规律，进行相关计算．

[跟进训练]

2．如图所示，水平传送带长L＝16 m，始终以v＝4 m/s的速度运动，现将一个小物体从传送带的左端由静止释放，已知物体与传送带间的动摩擦因数为0.2，g取10 m/s2，求物体从左端运动到右端所需的时间．

[解析]　在物体相对于传送带向左运动时，物体受到的合外力等于摩擦力，该力产生了物体的加速度，所以μmg＝ma，a＝μg＝0.2×10 m/s2＝2 m/s2

设物体做匀加速运动的时间为t1，由匀加速直线运动规律得t1＝＝2 s

设物体做匀加速运动的位移为x1，则有x1＝at＝×2×22 m＝4 m．物体做匀速运动的位移x2＝L－x1＝12 m，做匀速运动的时间t2＝＝3 s

所以物体由左端运动到右端的时间

t＝t1＋t2＝5 s.

[答案]　5 s

【例3】　如图所示，传送带与水平地面的倾角为θ＝37°，AB的长度为64 m，传送带以20 m/s的速度沿逆时针方向转动，在传送带上端A点无初速度地放上一个质量为8 kg的物体，它与传送带之间的动摩擦因数为0.5，求物体从A点运动到B点所用的时间．(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，取g＝10 m/s2)

思路点拨：判断摩擦力时要注意比较物体的运动速度与传送带的速度，也就是分析物体在运动位移x(对地)的过程中速度是否和传送带速度相等，物体的速度与传送带速度相等的时刻就是物体所受摩擦力发生突变的时刻．

[解析]　开始时物体下滑的加速度a1＝g(sin 37°＋μcos 37°)＝10 m/s2，运动到与传送带共速的时间为t1＝＝ s＝2 s，下滑的距离x1＝a1t＝20 m；由于tan 37°＝0.75>0.5，故物体加速下滑，且此时a2＝g(sin 37°－μcos 37°)＝2 m/s2，根据x2＝vt2＋a2t，即64－20＝20t2＋×2×t，解得t2＝2 s，故共用时间为t＝4 s.

[答案]　4 s

物体沿着倾斜的传送带向下加速运动到与传送带速度相等时，若μ≥tan θ，物体随传送带一起匀速运动；若μ<tan θ，物体将以较小的加速度a＝gsin θ－μgcos θ继续加速运动.

[跟进训练]

3．某飞机场利用如图所示的传送带将地面上的货物运送到飞机上，传送带与地面的夹角θ＝30°，传送带两端A、B的距离L＝10 m，传送带以v＝5 m/s的恒定速度匀速向上运动．在传送带底端A轻放上一质量m＝5 kg的货物，货物与传送带间的动摩擦因数μ＝.求货物从A端运送到B端所需的时间．(g取10 m/s2)

[解析]　以货物为研究对象，由牛顿第二定律得

μmgcos 30°－mgsin 30°＝ma

解得a＝2.5 m/s2

货物匀加速运动时间t1＝＝2 s

货物匀加速运动位移

x1＝at＝5 m

然后货物做匀速运动，运动位移

x2＝L－x1＝5 m

匀速运动时间

t2＝＝1 s

所以货物从A到B所需的时间

t＝t1＋t2＝3 s.

[答案]　3 s

1．一条足够长的浅色水平传送带自左向右匀速运行．现将一个木炭包无初速度地放在传送带的最左端，木炭包在传送带上将会留下一段黑色的径迹．下列说法中正确的是 (　　)

A．黑色的径迹将出现在木炭包的左侧

B．此时木炭包相对于传送带向右运动

C．木炭包的质量越大，径迹的长度越短

D．木炭包与传送带间的动摩擦因数越大，径迹的长度越短

D　[刚释放木炭包时，木炭包在摩擦力作用下向右加速，由牛顿第二定律得μmg＝ma，即a＝μg；设经过t时间达到共同速度，则有t＝＝；径迹的长度Δx＝x带－x木炭包＝v带·t－·t＝；则μ越大，Δx越短，故选项D正确．]

2.如图所示，质量为m的木块在质量为M的长木板上受到水平向右的拉力F的作用向右滑行，但长木板保持静止不动．已知木块与长木板之间的动摩擦因数为μ1，长木板与地面之间的动摩擦因数为μ2，下列说法正确的是 (　　)

A．长木板受到地面的摩擦力的大小一定为μ1Mg

B．长木板受到地面的摩擦力的大小一定为μ2(m＋M)g

C．只要拉力F增大到足够大，长木板一定会与地面发生相对滑动

D．无论拉力F增加到多大，长木板都不会与地面发生相对滑动

D　[对M分析，在水平方向受到m对M的摩擦力和地面对M的摩擦力，两个力平衡，则地面对木板的摩擦力f＝μ1mg，选项A、B错误；无论F大小如何，m在M上滑动时，m对M的摩擦力大小不变，M在水平方向上仍然受到两个摩擦力处于平衡，不可能运动，选项C错误，D正确．]

3.如图所示，质量为M＝1 kg的长木板静止在光滑水平面上，现有一质量为m＝0.5 kg的小滑块(可视为质点)以v0＝3 m/s 的初速度从左端沿木板上表面冲上木板，带动木板向前滑动．已知滑块与木板上表面间的动摩擦因数μ＝0.1，重力加速度g取10 m/s2，木板足够长．求：

(1)滑块在木板上滑动过程中，长木板受到的摩擦力大小和方向；

(2)滑块在木板上滑动过程中，滑块相对于地面的加速度a的大小； 

(3)滑块与木板A达到的共同速度v的大小．

[解析]　(1)滑块所受摩擦力为滑动摩擦力f＝μmg＝0.5 N，方向向左

根据牛顿第三定律，滑块对木板的摩擦力方向向右，大小为0.5 N.

(2)由牛顿第二定律得：

μmg＝ma

得a＝μg＝1 m/s2.

(3)木板的加速度

a′＝μg＝0.5 m/s2

设经过时间t，滑块和长木板达到共同速度v，则满足：

对滑块：v＝v0－at

对长木板：v＝a′t

由以上两式得滑块和长木板达到的共同速度v＝1 m/s.

[答案]　(1)0.5 N，方向向右　(2)1 m/s2　(3)1 m/s

4.如图所示，传送带与水平面的夹角θ＝37°，并以v＝10 m/s的速率逆时针转动，在传送带的A端轻轻地放一小物体．若已知物体与传送带之间的动摩擦因数μ＝0.5，传送带A端到B端的距离L＝16 m，则小物体从A端运动到B端所需的时间为多少？(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)

[解析]　设小物体的质量为m，小物体被轻轻地放在传送带A端，小物体沿传送带方向速度为零，但传送带的运动速率为v＝10 m/s，二者速率不相同，它们之间必然存在相对运动．传送带对小物体有沿传送带斜向下的滑动摩擦力作用，小物体的受力情况如图甲所示．设小物体的加速度为a1，则由牛顿第二定律有

甲

mgsin θ＋f1＝ma1 ①

N＝mgcos θ ②

f1＝μN ③

联立①②③式并代入数据解得a1＝10 m/s2

小物体速度大小达到传送带速率v＝10 m/s时，所用的时间t1＝＝1 s

在1 s内小物体沿传送带的位移x1＝a1t＝5 m

小物体的速度大小与传送带速率相同的时刻，若要跟随传送带一起运动，即相对传送带静止，它必须受到沿传送带向上的摩擦力f＝mgsin θ＝6m的作用，但是此时刻它受到的摩擦力是f2＝μmgcos θ＝4m，小于f.因此，小物体与传送带仍有相对滑动，设小物体的加速度为a2，这时小物体的受力情况如图乙所示．由牛顿第二定律有mgsin θ－μmgcos θ＝ma2，解得a2＝2 m/s2.

乙

设小物体速度大小达到10 m/s后又运动时间t2才到达B端，则有x2＝L－x1＝vt2＋a2t

代入数据解得t2＝1 s，t2′＝－11 s(舍去)

小物体从A端运动到B端所需的时间t＝t1＋t2＝2 s.

[答案]　2 s