教科版高中物理必修第一册第4章牛顿运动定律素养培优课4简单的连接体问题和临界问题学案

简单的连接体问题和临界问题

培优目标：1.掌握整体法和隔离法分析简单的连接体问题．　2.会解答牛顿第二定律相关问题．　3.会分析临界问题，能找到几种典型，问题的临界条件，并能够解答典型的临界问题．

1．连接体

两个或两个以上相互作用的物体组成的具有相同加速度的整体叫连接体．如几个物体叠放在一起，或并排挤放在一起，或用绳子、细杆等连在一起．

2．处理连接体问题的方法

(1)整体法：把整个系统作为一个研究对象来分析的方法．不必考虑系统内力的影响，只考虑系统受到的外力．

(2)隔离法：把系统中的各个部分(或某一部分)隔离，作为一个单独的研究对象来分析的方法．此时系统的内力就有可能成为该研究对象的外力，在分析时要特别注意．

整体法与隔离法在较为复杂的问题中常常需要有机地结合起来联合、交叉运用，这将会更快捷有效．

【例1】　如图所示，一辆汽车A拉着装有集装箱的拖车B，以速度v1＝30 m/s进入向下倾斜的直车道．车道每100 m下降2 m．为使汽车速度在x＝200 m的距离内减到v2＝10 m/s，驾驶员必须刹车．假定刹车时地面的摩擦阻力是恒力，且该力的70%作用于拖车B,30%作用于汽车A.已知A的质量m1＝2 000 kg，B的质量m2＝6 000 kg.求汽车与拖车的连接处沿运动方向的相互作用力大小．(重力加速度g取10 m/s2)

思路点拨：先采用整体法求加速度a，再用隔离法分析内力．

[解析]　汽车沿倾斜车道做匀减速运动，用a表示加速度的大小，有v－v＝－2ax ①

用F表示刹车时的阻力，根据牛顿第二定律有

F－(m1＋m2)gsin α＝(m1＋m2)a ②

式中sin α＝＝2×10－2 ③

设刹车过程中地面作用于汽车的阻力为F1，根据题意有

F1＝F ④

方向与汽车前进方向相反，用N表示拖车作用于汽车的力，设其方向与汽车前进方向相同．以汽车为研究对象，由牛顿第二定律有F1－N－m1gsin α＝m1a              ⑤

由②④⑤式得

N＝(m1＋m2)(a＋gsin α)－m1(a＋gsin α) ⑥

由以上各式，代入有关数据得N＝880 N.

[答案]　880 N

整体法、隔离法应注意的问题

(1)不涉及系统内力时，优先考虑应用整体法，即“能整体、不隔离”．

(2)同样应用“隔离法”，也要先隔离“简单”的物体，如待求量少、或受力少、或处于边缘处的物体．

(3)将“整体法”与“隔离法”有机结合、灵活应用．

(4)各“隔离体”间的关联力，表现为作用力与反作用力，对整体系统则是内力．

[跟进训练]

1.如图所示，两个用轻线相连的位于光滑水平面上的物块，质量分别为m1和m2.拉力F1和F2方向相反，与轻线沿同一水平直线，且F1>F2.试求在两个物块运动过程中轻线的拉力T的大小．

[解析]　以两物块整体为研究对象，根据牛顿第二定律得

F1－F2＝(m1＋m2)a ①

隔离物块m1，由牛顿第二定律得

F1－T＝m1a ②

由①②两式解得T＝.

[答案]　

1．概念

(1)临界问题：某种物理现象(或物理状态)刚好要发生或刚好不发生的转折状态．

(2)极值问题：在满足一定的条件下，某物理量出现极大值或极小值的情况．

2．关键词语

在动力学问题中出现的“最大”、“最小”、“刚好”、“恰能”等词语，一般都暗示了临界状态的出现，隐含了相应的临界条件．

3．常见类型

动力学中的常见临界问题主要有三类：一是弹力发生突变时接触物体间的脱离与不脱离的问题；二是绳子的绷紧与松弛的问题；三是摩擦力发生突变的滑动与不滑动问题．

4．解题关键

解决此类问题的关键是对物体运动情况的正确描述，对临界状态的判断与分析，找出处于临界状态时存在的独特的物理关系，即临界条件．

常见的三类临界问题的临界条件：

(1)相互接触的两个物体将要脱离的临界条件是：相互作用的弹力为零．

(2)绳子松弛的临界条件是：绳的拉力为零．

(3)存在静摩擦力的系统，当系统外力大于最大静摩擦力时，物体间不一定有相对滑动，相对滑动与相对静止的临界条件是：静摩擦力达到最大值．

【例2】　如图所示，细线的一端固定在倾角为45°的光滑楔形滑块A的顶端P处，细线的另一端拴一质量为m的小球．

(1)当滑块至少以多大的加速度向右运动时，线对小球的拉力刚好等于零？

(2)当滑块至少以多大的加速度a1向左运动时，小球对滑块的压力等于零？

(3)当滑块以a′＝2g的加速度向左运动时，线中拉力为多大？

思路点拨：①当绳的拉力为0时，加速度由重力和支持力的合力提供．

②当小球对斜面的压力为0时，加速度由绳拉力和重力提供．

③正确受力分析以及找准临界条件是解题关键．

[解析]　(1)对小球受力分析，小球受重力mg、线的拉力T和斜面支持力N作用，如图甲，当T＝0时有Ncos 45°＝mg

 Nsin 45°＝ma

甲

解得a＝g.故当向右加速度为g时线上的拉力为0.

(2)假设滑块具有向左的加速度a1时，小球受重力mg、线的拉力T1和斜面的支持力N1作用，如图乙所示．由牛顿第二定律得水平方向：T1cos 45°－N1sin 45°＝ma1，

乙

竖直方向：T1sin 45°＋N1cos 45°－mg＝0.

由上述两式解得

N1＝，

T1＝.

由此两式可以看出，当加速度a1增大时，球所受的支持力N1减小，线的拉力T1增大．

当a1＝g时，N1＝0，此时小球虽与斜面接触但无压力，处于临界状态，这时绳的拉力为FT1＝mg.所以滑块至少以a1＝g的加速度向左运动时小球对滑块的压力等于零．

(3)当滑块加速度大于g时，小球将“飘”离斜面而只受线的拉力和重力的作用，如图丙所示，此时细线与水平方向间的夹角α<45°.由牛顿第二定律得T′cos α＝ma′，T′sin α＝mg，解得T′＝m＝mg.

丙

[答案]　(1)g　(2)g　(3)mg

解决临界、极值问题的一般方法

(1)极限法：极限分析法作为一种预测和处理临界问题的有效方法，是指通过恰当地选取某个变化的物理量．将其推向极端(“极大”或“极小”，“极右”或“极左”等)，从而把比较隐蔽的临界现象(或“各种可能”)暴露出来，使问题明朗化，以便非常简捷地得出结论．

(2)假设法：有些物理过程中没有明显出现临界问题的线索，但在变化过程中可能出现临界问题，也可能不出现临界问题，解答这类问题，一般用假设法．

(3)数学方法：将物理过程转化为数学公式，根据数学公式求解临界条件．

[跟进训练]

2.如图所示，质量为4 kg的小球用轻质细绳拴着吊在行驶的汽车后壁上．细绳的延长线通过小球的球心O，且与竖直方向的夹角为θ＝37°，取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：

(1)汽车匀速运动时，细绳对小球的拉力和车后壁对小球的压力；

(2)若要始终保持θ＝37°，则汽车刹车时的加速度最大不能超过多少？

[解析]　(1)对小球受力分析如图，将细绳拉力FT分解有：FTy＝FTcos θ，FTx＝FTytan θ，由二力平衡可得：FTy＝mg，FTx＝FN，解得细绳拉力FT＝＝50 N

车壁对小球的压力FN＝mgtan θ＝30 N.

(2)设汽车刹车时的最大加速度为a，此时车壁对小球弹力FN′＝0

由牛顿第二定律有FTx＝ma，即mgtan θ＝ma

解得a＝7.5 m/s2，即汽车刹车时的加速度最大不能超过7.5 m/s2.

[答案]　(1)50 N　30 N　(2)7.5 m/s2

1．如图，小车以加速度a向右匀加速运动，车中小球质量为m，则线对球的拉力大小为 (　　)

A．m　　 B．m(a＋g)

C．mg D．ma

A　[小球与小车具有相同的加速度，对小球受力分析可得，F＝＝m，故选项A正确．]

2．如图所示，光滑水平面上放置质量分别为m、2m的A、B两个物体，A、B间的最大静摩擦力为μmg，现用水平拉力F拉B，使A、B以同一加速度运动，则拉力F的最大值为(　　)

A．μmg B．2μmg

C．3μmg D．4μmg

C　[要使A、B以同一加速度运动，拉力F最大时，整体具有最大加速度，整体由牛顿第二定律得F＝3ma；此时，A与B间达到最大静摩擦力，对A由牛顿第二定律得μmg＝ma，即a＝μg，则F＝3ma＝3μmg，故选项C正确．]

3．如图所示，质量为2m的物块A与水平地面间的动摩擦因数为μ，质量为m的物块B与地面的摩擦不计，在大小为F的水平推力作用下，A、B一起向右做加速运动，则A和B之间的作用力大小为(　　)

A．   B．

C.   D．

D　[选A、B整体为研究对象，由牛顿第二定律得，F－2μmg＝3ma ①

隔离B，对B由牛顿第二定律得N＝ma ②

联立①②得N＝，故选项D正确．]

4.如图所示，物体A、B用不可伸长的轻绳连接，在恒力F作用下一起向上做匀加速运动，已知mA＝10 kg，mB＝20 kg，F＝600 N，求此时轻绳对物体B的拉力大小(g取10 m/s2)．

[解析]　对A、B整体受力分析和单独对B受力分析，分别如图甲、乙所示：

甲　　　　　乙

根据牛顿第二定律

F－(mA＋mB)g＝(mA＋mB)a

物体B受细线的拉力和重力，根据牛顿第二定律，有：T－mBg＝mBa

联立解得T＝400 N.

[答案]　400 N