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人教版六年级数学下册第六单元6.1《数与代数》教案
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这是一份人教版六年级数学下册第六单元6.1《数与代数》教案，共67页。
整理和复习对小学阶段所学的数学知识进行了系统的回顾与整理，不仅是本册教科书的一个重点,也是小学阶段数学学习的一个重要组成部分。通过本单元的学习，使原来分散学习的知识点得以梳理，由点串成线，由线成面，帮助学生完善头脑中的数学认知结构。
本单元将教科书编成五部分，分别为“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“数学思考”“综合与实践”。第一部分是数与代数的内容，主要包括数的认识、数的运算、式与方程、比和比例。“常见的量”和“探索规律”没有单列标题，融合在相关的习题中复习。第二部分是图形与几何的内容，主要包括图形的认识与测量(平面图形和立体图形)、图形的运动(平移、旋转、轴对称、图形的放大与缩小)、图形与位置(数对、用方向和距离确定物体所在的位置)。第三部分是统计与概率的内容，主要包括统计图表、平均数和可能性。第四部分是数学思考的内容，主要包括通过实际问题发现规律、应用规律，感受简单的数学证明，体会和掌握基本的数学思想和方法。第五部分是综合与实践的内容，主要包括四个主题鲜明的综合实践活动。
本单元尽可能通过问题情境(包括现实情境与数学情境)，引导学生联系实际或联系数学实例，加深对已学知识的理解，加强对相关知识内在联系的认识。同时注意所学知识的运用，特别是在实际问题情境中的应用，使学生学以致用。教科书注重将整理与应用相结合，每部分的内容都以提示性问题的形式呈现，把以前分散学习的知识进行系统整理，沟通知识之间的联系。同时，利用呈现的主要知识内容引导学生回顾交流，帮助教师指导学生进行梳理。练习的设计既注重基础知识和基本技能，又注意知识的综合应用。
本单元所涉及的知识，学生在之前都已经学习过，而且在每个学段的学习中,都有总结复习。本单元只是将知识点再现，进行系统的整理和复习，帮助学生建立知识间的联系。六年级的学生已经有了一定的小组合作探究的能力和总结概括的能力，所以在教学时设计一些让学生自主总结交流的环节，帮助学生总结个人经验，分享他人经验，有利于学生的全面发展，也有利于提高本单元的教学成效。
1.加强整理和复习的系统性。本单元是在平时的基础上，在更大范围内引导学生对小学阶段学过的知识进行更全面的回顾、整理和比较、对照。这样，原来分散学习时互不联系或联系较少的知识，就有机会得以沟通，进而形成纵横联系的知识体系。
2. 启发、引导学生在理解的基础上自主整理知识。复习时，应充分利用教科书的留白，发挥学生参与知识整理的主动性和积极性。有时，学生的整理可能不够确切、不够全面，这都是真实的、自然的现象。教师在学生开动脑筋、深入理解的基础上加以点拨，往往效果更好。
3.在系统整理、复习的过程中注意查漏补缺。在本单元的教学过程中，教师应根据前一阶段课堂教学、批改作业和课后辅导中了解到的情况，搞清学生还有哪些概念比较模糊，哪些方法不够熟练，哪些疑难尚未解决，在系统复习的过程中予以弥补。通过知识的再认、再现、质疑问难以及必要的练习，使模糊的概念清晰起来，使生疏的技能熟练起来。
4.加强练习的针对性、有效性。教师要善于从本班学生的实际情况出发,有针对性地对练习加以适当的调整和增补。同时注意因材施教，对不同情况的学生提出不同的练习要求，使各种程度的学生都能通过练习确有所获，并在原有的基础上有所提高，真正实现“不同的人在数学上得到不同的发展”。
1.数与代数
第1课时 数的认识（1）
教学内容
教科书P72~73第1、2、3、5、6题，完成教科书P74~75“练习十四”中第1~4题。
教学目标
1.通过自主探索和合作学习，系统地掌握自然数、整数、分数、小数、百分数、负数的意义以及它们之间的联系和区别。
2.在整理复习中形成知识网络，掌握复习方法，提高综合运用的能力。
3.感受数学思考的条理性，激发学生的学习兴趣，培养学生的应用意识和创新意识。
教学重点
进一步理解整数、分数、小数等概念的意义，沟通联系，形成知识网络。
教学难点
沟通数之间的联系，形成知识网络。
教学准备
课件。
教学过程
一、回顾学过的数，揭示课题
1.课件出示教科书P72的文字。
师：同学们，从今天开始，我们一起来对小学阶段所学过的数
教学笔记
的知识进行一个系统的整理和复习。请同学们观察屏幕上的信息，在这些信息中你能找到哪些熟悉的数？［板书课题：数的认识(1)］
【学情预设】学生说出有自然数、整数、小数、分数，还有百分数。(教师根据学生的回答板书。)
2.理解数的含义。
师：那你们知道这些数在信息中的含义吗？
【学情预设】学生结合具体情境说出资料中这些数的含义，师生一起评议。在交流中，请学生读一读资料中的数，并注意读得是否正确，发现问题及时纠正。
3.回忆小学阶段学过的数。
师：数在我们的生活中应用非常广泛，我们的生产、生活都离不开数。你还能说出哪些你学过的数？
在整理汇报环节，注意学生汇报时会有不同的整理方法和呈现方式，只要合理就应肯定。
【学情预设】预设1：还学过正数、负数、真分数、假分数。
预设2：还学过有限小数、无限小数。(教师根据学生的回答板书。)
【设计意图】由于数在生活中应用广泛，因此让学生在一组生活信息中寻找熟悉的数，在具体情境中理解数的含义以及复习数的读、写法。让学生对所学旧知进行一个整体回顾，能更好地对所学知识进行系统的归纳和整理。
二、回顾整理，构建知识网络
1.引导学生整理汇报。
师：刚才同学们说出了这么多的数，你能把学过的数整理成图表来表示吗？这些数之间有什么联系？
学生分小组合作交流，教师巡视，并参与小组的活动。
教学笔记
2.师生一起交流，得出结论。(出示课件)
3.结合分析，师生一起整理数的分类，教师板书。
师：0也是自然数，但它既不是正整数，也不是负整数。正整数和负整数表示一对具有相反意义的量。
【设计意图】充分利用教材的留白，发挥学生参与知识整理的主动性和积极性，引导学生自己整理知识，在此过程中注意查漏补缺即可。
4.在直线上表示数。
教学笔记
【教学提示】
在整理汇报环节，注意学生汇报是会有不同的整理方法和呈现方式，只要合理就应肯定。
师：请你在直线上表示-3、0、、1、3.5、5。
学生在直线上表示出这些数，师生共同评议。(课件出示正确解答)
师：请你自己想几个数，并在直线上表示出来，同桌互相检查一下。
学生独立完成教科书P73第2题后点名交流。
【学情预设】在学生交流的过程中，可以落实正负数的知识，明确直线上0的左边为负数，右边为正数。
【设计意图】让学生自由地在直线上表示数，体现数形结合思想。
5.完成教科书P73“做一做”。
【学情预设】引导学生结合生活实际说出“0.5、、50%”的含义。例如：1根木棒的长度是0.5m；既可以表示具体的数量，如10袋大米共重t，也可以表示两个数量之间的倍比关系，如红花朵数是黄花的；50%表示两个数量之间的倍比关系，如全班有40名学生,男生有20名,男生人数占全班人数的50%。
【设计意图】让学生结合实际说出小数、分数、百分数的含义，进一步理解数的意义，掌握它们之间的联系与区别。
三、复习十进制计数法
1.数的写法及数位顺序。
师：第30届夏季奥林匹克运动会中，花费4.96亿英镑修建的主体育场“伦敦碗”可容纳8万观众，你能将4.96亿这个数改写成计数单位是“一”的数吗？还有8万这个数，怎么写呢？
2.数位顺序表。
【学情预设】学生写出496000000和80000，教师让学生说出
教学笔记
它们的数位顺序。
师：请你完成教科书P73第3题的数位顺序表，并想一想：什么是十进制计数法？数位和计数单位有什么区别？
【学情预设】在整理数位顺序表时，有的学生可能容易出现遗漏或混淆,尤其是小数部分的数位顺序，只需引导学生互相补充完善即可。可以结合具体的数来进行复习。
师小结：每相邻的两个计数单位之间的进率都是十的计数法叫做十进制计数法。整数和小数都是按十进制计数法写出的数，其中个、十、百、千……以及十分之一、百分之一……都是计数单位；
各个计数单位所占的位置，叫做数位，数位是按一定顺序排列的。3.完成教科书P74“练习十四”第3题。
【学情预设】学生会说出4个数中数字“2”表示的不同含义，2个十，2个0.01，2个13，2个百。注意引导学生理解整数、小数、分数都是由若干个计数单位构成的，感受数的构成方式的本质相同。
【设计意图】复习十进制计数法，再次体验数位顺序表的逐步扩充过程，感受数级、数位和计数单位之间的对应关系，通过对整数和小数相邻单位之间进率的回忆和整理，进一步体会十进制计数法。教学笔记
四、复习分数的基本性质和小数的基本性质
1.回忆分数的基本性质和小数的基本性质。
【学情预设】引导学生说出分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数(0除外)，分数的大小不变。小数的基本性质：在小数的末尾添上0或者去掉0,小数的大小不变。
2.分数和小数的联系。
师：分数的基本性质和小数的基本性质有什么联系？举例说明。
师生一起交流，并板书：
教学笔记
【教学提示】
先放手让学生自己填写数位顺序表，同事应到学生把分数单位和小数的计数单位联系起来，是学生体会“单位”的作用。
引导学生明确分数的基本性质和小数的基本性质是一致的。
【设计意图】联系实例进行比较，在小数末尾添上0或去掉0，只改变小数的计数单位，不改变小数的大小，可以用分数的基本性质来说明小数的基本性质，体会小数的基本性质和分数的基本性质是一致的。
五、复习小数点的位置移动引起小数变化的规律
1.课件出示口算题。
师：算一算，再仔细观察这组算式，你发现了什么?小数点移动位置,小数的大小有什么变化规律?
根据学生的回答,引导学生互相交流补充。
师小结：小数点向右移动一位、两位、三位……小数就扩大到原来的10倍、100倍、1000倍……小数点向左移动一位、两位、三位……小数就缩小到原来的、、……
【设计意图】在具体的例子中回顾小数点的移动引起小数大小变化的规律，既给学生自主探究的空间，又进一步培养了学生发现规律并总结规律的能力。
2.完成教科书P75“练习十四”第4题。
学生独立完成后交流。
师生一起回忆小数、分数和百分数相互转化的方法，出示课件。
【设计意图】帮助学生巩固小数、分数和百分数之间的紧密联系。
教学笔记
六、理解大数的含义
先让学生在小组里讨论交流，举例说明1万有多大，1亿有多大，然后指名反馈，全班集体交流。
【学情预设】引导学生举例，例如一亿张纸约有一万米高，比珠穆朗玛峰还高；一节硬座车厢一般有118个座位，1万人乘坐的话，大约需要85节火车车厢。
七、巩固练习，释疑解难
1.完成教科书P74“练习十四”第1题的第(1)、(3)题和第2题。
学生独立解答后集体交流。
【学情预设】第1题：交流时要求学生说出填数时的想法。
第2题：指导学生说说如何改变大数的单位或求大数的近似数的方法。第(3)小题答案不唯一，例如2010年美国的人口数约为310000000人，你能把310000000分别改写成用“万”和“亿”作单位的数吗?
鼓励学生根据表中的信息提出不同的问题。
【设计意图】通过练习，复习数的意义和表示方法、数的改写及求近似数、数的大小比较的知识，巩固对数的意义的认识。
2.释疑解难。
师：通过刚才的复习，你们对于数的认识还有什么疑问吗？
鼓励学生提问，并引导学生相互交流、答疑。
【设计意图】让学生学会质疑，学会反思，在质疑中提高，在反思中提升。
八、课堂小结
师：通过今天的复习，你们有哪些收获呢？
教学笔记
【教学提示】
引导学生利用身边熟悉的事物举例，让学生对1万和1亿这两个数的大小有一个明确的认识，训练学生的估算技能，发展了学生的数感。
板书设计
教学反思
通过整理和复习，学生对数的意义有了进一步的认识，对数从零散的认识提升到一个全新的整体认识的高度，并进行有针对性的练习。要注意数的认识中知识点较多，部分学生可能会感到困难，
要充分利用小组合作学习的方式带动待进生。
作业设计
对应课时作业。
教学笔记
第2课时 数的认识（2）
教学内容
教科书P73第4题，完成教科书P75“练习十四”中第5~9题。
教学目标
1.通过复习，进一步巩固倍数、因数、奇数、偶数、质数、合数等概念，掌握2、3、5倍数的特征，建立一定的数感。
2.通过对有关概念整理的过程，帮助学生建立初步的知识结构，进一步完善知识网络图，培养学生整理知识的能力。
3.体会知识之间的联系，培养归纳概括能力。
教学重点
复习因数及倍数的概念，使其在学生头脑中形成知识网络。
教学难点
能用知识网络图整理所学的知识，并理解有关概念之间的联系和区别。
教学准备
课件。
教学过程
一、 创设游戏情境，揭示课题
师：下面我们就玩一个“猜年龄”的游戏。谁来猜一猜老师今
多少岁?(指3名学生进行猜测)
师：这样猜下去，很难猜中，老师给你们点提示吧！（出示课件）
【学情预设】学生会猜出老师的年龄是32岁，因为一个数的最大因数和它最小的倍数就是它本身，最小的质数是2。
师：刚才猜年龄的游戏与我们学过的哪些知识有关系?(因数和倍数)这节课我们就对“因数和倍数”的知识进行整理和复习。［板书
教学笔记
课题：数的认识(2)］
【设计意图】猜年龄的游戏的引入能充分调动学生的积极性，促使学生主动地参与。
二、回顾整理，建构因数、倍数知识网络
1.因数、倍数的含义。
提示学生可以举例来说明。
【学情预设】预设1：15÷3=5，3和5是15的因数，15是3和5的倍数。(学生也可能举出其他类似的例子。)
预设2：b和c都是a的因数，a是b和c的倍数。
师小结：因数和倍数是相互依存的，不能单独说一个数是因数或倍数。
2.引导回顾，完成知识网络图。
师：回忆一下，关于因数和倍数我们学习了哪些知识？
根据学生的发言，教师适时板书：自然数、因数、倍数、奇数、偶数、质数、合数。
(1)教师引导整理有关倍数的概念。
师：一个数的倍数有什么特征？你想到哪些数的倍数的特征？
【学情预设】预设1：一个数的最小倍数是本身，没有最大的倍数。
预设2：2的倍数的特征：个位上是0、2、4、6或8。
预设3：3的倍数的特征：各个数位上的数字之和是3的倍数。
预设4：5的倍数的特征：个位上是0或5。
课件配合出示2、3、5倍数的特征。
师：由2的倍数想到了什么?(偶数和奇数)什么是偶数？偶数
的个位有什么特征?什么是奇数？奇数的个位有什么特征？
【学情预设】学生会说出能被2整除的数是偶数，偶数的个位上是0、2、4、6、8；不能被2整除的数是奇数，奇数的个位上是
教学笔记
【教学提示】
学生在表述因数与倍数的含义时，要注意学生表述的严谨性，如果学生出现“15是倍数”“3是因数”时，要给予纠正。
1、3、5、7、9。
师小结：按2的倍数把自然数分为：偶数和奇数。
根据学生的回答，教师作相应的板书：
(2)教师引导整理有关因数的概念。
师：想不想尝试一下，自己梳理有关因数的知识呢?
【学情预设】预设1：一个数因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
预设2：质数只有1和它本身两个因数。
预设3：合数有两个以上的因数。(除了1和它本身之外，还有其他的因数。)
预设4：1既不是质数也不是合数。
(3)整理知识网络图。
师：你能用一个知识网络图来表示因数、倍数、偶数、奇数、质数、合数之间的关系吗？
学生独立整理、反馈，教师根据学生的回答板书：
【设计意图】用网络图梳理概念，有序地回顾和复习相关知识，使学生在回顾知识的同时体会到知识间内在的联系，很好地帮助学生区分和记住这些概念。让学生知道了用网络图来整理知识的方
教学笔记
【教学提示】
复习课的重要环节是引导学生理顺知识的内在联系，不应单纯地对学生已学过的知识进行回顾，而是应通过复习使他们有新的提高。例如将原先学习的一些概念和知识联系起来，使之形成整体性的知识结构，使学生的认识不断深化。
法，同时也有效地培养了学生的抽象概括能力和语言表述能力。
3.完成练习。
课件出示习题，学生独立完成后在小组内交流、订正。
课件出示正确解答。
【设计意图】通过练习，使学生熟练掌握20以内的质数、合数、奇数、偶数。
三、复习最大公因数、最小公倍数的知识
1.公因数、公倍数、最大公因数、最小公倍数。
课件出示习题。
【学情预设】预设1：36和54的公因数有1、2、3、6、9、18，最大公因数是18。
预设2：36和54的公倍数有108、216……最小公倍数是108。
师小结：最大公因数和最小公倍数都只有一个，公因数的个数是有限的，公倍数的个数是无限的。两个数的公因数都是它们最大公因数的因数，两个数的公倍数都是它们最小公倍数的倍数。
师：如果a÷b=c(a、b、c均为正整数)，那么a和b的最大公因数是什么？最小公倍数是什么？
【学情预设】引导学生说出当a是b的倍数时，它们的最大公因数是b，最小公倍数是a。
2.用公因数和公倍数的知识解决实际问题。
(1)课件出示习题。
教学笔记
【教学提示】
注意让学生说说自己的方法，学生可能用列举法、画集合图法、短除法，可以让学生展示、交流不同的方法。
学生思考并解答后交流。
【学情预设】引导学生说出要解决这个问题，其实就是要求64和96的最大公因数。可以用短除法来求。
(2)完成教科书P75“练习十四”第9题。
学生在小组内合作完成。
【学情预设】对于能力稍弱的学生，可以尝试、猜想得出答案并验证。教师可以指导学生明确要求“这箱苹果有多少个”，就是求40~50之间比8和10的公倍数多6的数是多少。先找出8和10的最小公倍数40，再加上6，得到这箱苹果有46个。教师还可以把题目中的信息“一箱苹果有40多个”改成“一箱苹果有80多个”，得到这箱苹果有40×2+6=86(个)。
【设计意图】在解决实际问题中复习有关公倍数、公因数的知识，唤起学生对知识的回忆，并能将知识应用到实际问题当中，培养学生的应用意识。
四、巩固练习，加深概念理解
1.完成教科书P75“练习十四”第6题。
学生独立完成后交流汇报。
【学情预设】这一组判断题涉及学生易错易混的概念，在判断正误时要注意让学生说出理由，用相关概念或举反例的方法说明。例如“所有的偶数都是合数”，可以举出反例“2是偶数但2是质数”来说明理由。
2.完成教科书P75“练习十四”第5题。
学生完成后集体订正。
【学情预设】首先引导学生有序写出由2、3、4、5组成的无重复数字的所有两位数，再根据奇数、偶数、质数、合数的特点以及2、3、5倍数的特征来解决问题。
3.完成教科书P75“练习十四”第7、8题。
教学笔记
学生先独立完成，并在小组内讨论、交流。
【学情预设】第7题：这是一道找规律填数的问题，填数时可以让学生按照规律多写一些数，不难发现第（1）题的数越来越接近1，第（2）题的数越来越接近0，让学生感受极限思想。
第8题：学生可能会用多种方法比较这些分数的大小，例如通分、将分数化成小数，注意引导学生找出这类数的特点，利用转化的方法从不同角度解决问题。
【设计意图】通过练习，让学生体会数学思想方法。通过观察、思考，紧密结合已有的数学知识和经验，丰富学生对规律的感性认识。
五、课堂小结
师：通过本节课的复习，你们有哪些收获呢？
板书设计
教学反思
能把所学的知识有条理地整理成知识网络图，对六年级学生来说是重要且必要的技能。采用小组合作整理的学习形式，降低了整理的难度，学生在相互启发、相互补充的过程中，思维得到开拓，
教学笔记
智慧得到碰撞。这节课中的概念极易混淆，要注意引导学生通过讨论交流的方式予以强化、辨别。
作业设计
二、判一判。（对的画“√”，错的画“×”)
1. 20÷4=5，那么4是因数，20是倍数。 ( )
2.两个质数一定是互质数，两个合数一定不是互质数。
( )
3.三个连续自然数的和一定是6的倍数。 ( )
4.所有偶数(0除外)的最大公因数是2。 ( )
5.两个不同数的最小公倍数一定大于最大公因数。 ( )
参考答案
二、1.× 2.× 3.× 4.√ 5.√
教学笔记
第3课时 数的运算（1）
教学内容
教科书P76，完成教科书P79“练习十五”中第1、2、7题。
教学目标
1.引导学生进一步理解和掌握四则运算的意义和计算方法，归纳整理整数、小数、分数计算法则的异同点，进一步明确计算时应遵循的一般规律及四则运算中的一些特殊情况。
2.在复习过程中，通过经历四则运算法则的归纳过程，体验迁移归纳的学习方法，培养学生的数感,提高运算能力。
3.感悟数学运算之间的内在联系，养成仔细认真的学习习惯。
教学重点
掌握四则运算法则，会正确地进行计算。
教学难点
能比较整数、小数、分数计算方法的异同点。
教学准备
课件。
教学过程
一、 口算比赛，揭示课题
课件出示教科书P79“练习十五”第1题。
师：我们来比一比，看谁算得又对又快！
学生独立完成口算，集体订正。
【学情预设】学生能比较熟练地口算，被除数和除数末尾有0的整数除法、分数和小数乘、除法是学生的易错题，可以利用错例有针对性地交流。
师：在这些口算题中，有加、减、乘、除四则运算，今天我们就来复习有关四则运算的知识。［板书课题：数的运算(1)］
【设计意图】复习达到了两个目的：一是通过口算，对学生基础计算能力进行巩固和提高；二是借助口算揭示本节课要复习的内容。
教学笔记
【教学提示】
教学笔记口算练习可以采取小组接龙的形式，完成后可挑选有代表性的题目，让学生说说算法。
二、归纳整理，复习巩固
1.复习整理四则运算的意义。
师：你知道加、减、乘、除这些运算的意义是什么吗？在小组内互相说一说。
【学情预设】可以引导学生举例来说明，学生对一个数乘小数和一个数乘分数的意义很容易遗漏或混淆，教师可引导学生集体评议，互相补充完善。
根据学生的汇报，课件出示下表。
师：知道了四则运算的意义，想一想，整数、小数、分数的四则运算有什么相同点？有什么不同点？
学生在小组内交流后汇报，根据学生的回答将上表修改、补充。(出示课件)
【设计意图】引导学生回顾学过的运算及其含义，放手让学生
教学笔记
在小组讨论与交流中构建运算的现实意义，并为下一步复习四则运算之间的关系奠定基础。
2.复习四则运算之间的关系。
(1)课件出示教科书P76第4题。4.观察下列算式，说一说四则运算之间的关系。
【学情预设】通过观察，学生很容易体会到四则运算之间的关系，学生在归纳总结时可能语言不够准确精练，只要他们能结合具体例子加以总结即可，不要求学生机械记忆。
根据学生回答,教师板书：
(2)师：你还能说出加、减、乘、除法算式中各部分的名称吗？你能用字母表示这些关系吗？
学生独立完成教科书P76第5题，并汇报交流。
【学情预设】预设1：加数+加数=和，一个加数=和-另一个加数，用字母表示为a+b=c，b=c-a。
预设2：被减数-减数=差,被减数-差=减数,差+减数=被减数,用字母表示为a-b=c，a-c=b，b+c=a。
预设3：因数×因数=积，积÷一个因数=另一个因数，用字母表示为a×b=c，c÷a=b。
预设4：被除数÷除数=商，被除数÷商=除数，商×除数=被除数，用字母表示为c÷a=b，c÷b=a，a×b=c。
教师根据学生发言出示课件。
【设计意图】通过观察算式，引导学生体会每种运算各部分之间的关系，掌握用字母表示加减法、乘除法之间互逆关系的方法，
教学笔记
【教学提示】
学生在归纳加、减、乘、除法运算的关系时，有些学生只会列出具体的算式加以总结，可指导学生逐步学会用字母来表示。
加深对四则运算的认识。
3.复习四则运算的计算法则。
(1)复习整数、小数和分数加减法的计算法则。（出示课件）笔算。
学生独立完成计算。
师：通过刚才的计算，你发现了整数、小数和分数加减法计算法则有什么共同点吗？
【学情预设】学生通过这一组练习，很容易看出三者之间的共同点，都是把相同计数单位的数相加、减，而异分母分数需要通过通分转化为同分母的分数，再相加减。
根据学生的回答板书：
(2)复习整数、小数的乘法和除法的计算法则。
师：想一想，小数乘法和除法的计算法则与整数乘法和除法的计算法则有什么相似和不同的地方？
【学情预设】引导学生说出：小数乘除法与整数乘除法的相同点是小数乘除法先按整数乘除法的法则计算，小数除法把小数转化成整数后，也按整数乘除法法则计算；不同点是小数乘除法还要在结果上确定小数点的位置。
(3)复习分数乘、除法的计算法则。
师：请你回忆一下，分数乘法和除法的计算法则是什么？计算时要注意什么？说一说，分数乘法与除法之间有什么联系？
【学情预设】预设1：分数乘法法则：分数乘分数，用分数的
教学笔记
分子相乘的积作为分子，分母相乘的积作为分母，为了计算简便，能约分的先约分再计算。
预设2：分数除法法则：甲数除以乙数(0除外)，等于甲数乘乙数的倒数。
预设3：分数除法计算是把除数改写成它的倒数以后，转化为分数乘法计算的。
根据学生的回答出示相应课件。
【设计意图】通过复习整数、小数和分数四则运算的计算法则，沟通它们之间的联系，并强调计算方法中的不同，进一步巩固学生对计算法则的掌握。
4.复习四则运算中的一些特殊情况。
师：在四则运算中，如果有0或1参与运算，有哪些特殊情况？试着整理一下。
【学情预设】学生能表述相关的特殊情况，如0和任何数相乘都得0等，但不习惯用字母表示。教师有意识地引导学生分类表示并分别用字母表示运算规律。如找出什么情况下运算结果是原数的，运算结果为原数的有a+0，a-0，a×1，a÷1；什么情况下运算结果是0，运算结果为0的有a-a，a×0，0÷a(a≠0)。
根据学生的发言出示课件。
5.复习四则混合运算的顺序。
(1)学生独立完成教科书P76“做一做”,小组内订正。
(2)总结四则混合运算的顺序。
师：四则混合运算的顺序是怎样的？计算时要注意什么？
【学情预设】指导学生说出：一级运算：按照顺序，从左向右，依次计算；二级运算：先算乘除法，再算加减法；有括号时，先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算中括号外面的。计算时要细心，注意验算。
根据学生的回答出示课件。
【设计意图】鼓励学生交流四则混合运算的顺序，这是小学阶
教学笔记
【教学提示】
提醒学生注意四则运算中的一些特殊情况，引导学生系统整理0与1这些特殊数在四则运算中的特性,培养学生认真细致的良好习惯。
段正确运算的基础，也是上初中后进一步学习代数式运算的知识基础。
三、巩固练习，提高运算能力。
学生独立解答教科书P79“练习十五”第2、7题。
解答完毕后，集中展示交流，订正。
【学情预设】第2题：此题是考查小数乘法中因数的小数位数与积的小数位数之间的关系以及乘、除法之间互逆关系的直接应用。注意引导学生检验反思。
第7题：让学生根据等式判断三个未知数的大小关系，判断的方法很多，例如设等式的和为1，求出x、y、z后比较大小；或者利用规律，两个数相加，和一定，一个加数越大，另一个加数就越小的方法来进行比较。只要学生的方法合理都要予以肯定，重点在于培养推理能力。
【设计意图】通过练习，进一步巩固四则运算中加、减、乘、除之间的关系，并能灵活运用它们之间的关系解决问题。
四、课堂小结
师：通过本节课的学习，你们有哪些收获呢？关于整数、小
数、分数四则运算的知识，你还有哪些疑问？
【设计意图】鼓励学生学会质疑，可以在复习的过程中查漏补缺，同时也让学生在交流中反思，在反思中提升。
板书设计
教学反思
教学中，积极开展小组交流，鼓励学生集体评议，互相补充。
教学笔记
【教学提示】
在练习四则混合运算时，要经历“观察算式——回忆运算顺序——规划计算步骤——按次序进行计算——反思并积累体会”的过程，既发展数学思维，提升混合运算能力，又能够准确、灵活地按已有的运算顺序进行计算。
这个过程重在培养学生用数学交流的能力，使学生学会倾听，并且提醒学生养成认真细致的良好习惯；同时进一步认清四则运算计算
法则的本质,运用归类、比较等方法，不断加以总结和概括，在复习中把知识条理化，在整理中形成比较完整的知识结构。学生最容
易出错的是分数、小数的乘除法计算，要注意收集错例，找出错因，有针对性地进行练习，提高学生的运算能力。
作业设计
对应课时作业。
教学笔记
第4课时 数的运算（2）
教学内容
教科书P77第7题，完成教科书P79“练习十五”中第5、6题。
教学目标
1.通过复习，熟练地掌握四则运算定律和性质，能灵活应用运算定律进行简便运算。
2.通过探索运算定律和性质的应用等数学活动，让学生体验数学的作用，培养学生的应用意识。
3.体验数学知识之间的内在联系，感受数学的优化思想，培养学生观察发现和应用知识的能力。
教学重点
经历四则混合运算的简便过程，体验迁移的学习方法。
教学难点
能够根据运算对象的特征选择合适的运算策略。
教学准备
课件。
教学过程
一、对比练习，揭示课题
课件出示以下两组计算题。
师：如果请你选择一组题参加比赛，你想选哪组呢？为什么？
【学情预设】大部分学生通过观察能发现左边的算式中数的特点，可以用学过的运算定律进行简便计算，少数学生未能发现，可引导他们先试算，感受到合理地运用运算定律可使计算变得简便的特点。
学生独立完成左边的一组题后交流。
教学笔记
【教学提示】
结合左边3道算式的计算过程，说一说怎样进行的简便运算，运用了什么运算定律。
师：你能说说计算左边这一组的3道题时分别可以用哪些运算定律吗？
【学情预设】预设1：4×+4×这道题可以运用乘法的分配律。
预设2： --这道题可以运用减法的性质，把连减转化成减去两个减数的和。
预设3：（-）×45这道题可以运用乘法的分配律，把括号里的每个数都与45相乘比较简便。
课件出示解答过程。
师：运算定律在数与运算中起着很重要的作用，今天这节课我们就来整理复习运算定律的知识。［板书课题：数的运算(2)］
【设计意图】从学生已有的知识经验出发，设计的两组计算题使得比赛一开始具有不公平性,引发认知冲突，旨在引导学生在计算前养成“观察——分析——判断”的审题习惯，透简算意识,为后面复习运算定律作铺垫。
二、回顾整理运算定律
1.回顾学过的运算定律。
师：想一想，在小学阶段我们学过哪些运算定律？
【学情预设】学生会说出加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。有的学生还会说出减法的运算性质、除法的运算性质。
教师根据学生的回答有序板书：加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律、减法的运算性质、除法的运算性质。
师：举例说明,什么是加法交换律？你能用字母表示出来吗?
【学情预设】预设1：两个数相加，交换两个加数的位置，和不变。
预设2：用字母可以表示为：a+b=b+a。
教学笔记
2.填表整理运算定律。
师：你能像刚才这样,一边回忆我们学过的运算定律，一边将教科书P77第7题的表格填写完整吗？
学生完成后汇报交流。
师：刚才我们还说到了减法的运算性质和除法的运算性质，谁能举例说明，并用字母表示呢？
教师根据学生的发言板书：
减法的运算性质 20-3-7=20-(3+7) a-b-c=a-(b+c)
除法的运算性质 30÷2÷5=30÷(2×5) a÷b÷c=a÷(b×c)
师：这些运算定律是不是只适用于整数运算呢?
【学情预设】引导学生说出：这些运算定律同样适用于小数、分数运算。
【设计意图】在复习时让学生经历回忆、举例、模仿、填表的过程，教给学生用表格整理、归纳知识的方法,形成完整的知识网络，让学生的知识有序化、系统化。
3.归纳特点。
师：这几种运算定律各有什么特点呢？
小组讨论交流、汇报。
【学情预设】引导学生归纳：加法交换律、加法结合律能综合运用于连加运算，加数经过交换、结合，运算符号不变，还是连加。乘法交换律、乘法结合律能综合运用于连乘运算，乘数经过交换、结合，运算符号不变，还是连乘。只有乘法分配律涉及乘加或乘减两种运算。
教学笔记
【教学提示】
交流时引导学生用自己的语言描述这五条运算定律，语言不一定要准确精练，只要学生表述清晰或能结合实例用字母概括即可，不必死记硬背。
【设计意图】归纳运算定律的特点，沟通知识之间的联系和区别，感知运算定律的应用特点。
三、纠错练习，巩固运算定律的应用
1.课件出示习题。
学生独立完成后，集体评议。
【学情预设】预设1：第(1)题运算顺序错了，不能因为3.29与5.71能凑整就先算，要观察题目中的运算顺序。正确的是15.3-3.29+5.71=12.01+5.71=17.72。
预设2：第(2)题是连乘计算，只能运用乘法交换律、乘法结合律，把32拆成4×8，而不是4+8，拆完后还是连乘。正确的是25×32×125=(25×4)×(8×125)=100×1000=100000。
预设3：第(3)题要运用乘法分配律，括号外有两个数，可以看作是一个整体，都要与括号里面的数相乘，而不是分别相乘。正确的是5×4×15+14=5×4×15+5×4×14=4+5=9。
预设4：第(4)题不能简便运算。正确的是18÷(2+3)=18÷5=3.6。
（教师可以适时增加一道题：(18+6)÷3，引导学生发现可以用18÷3+6÷3来进行计算，从而进行对比。）
【设计意图】在纠错练习中，充分展示学生错误解题的错因，让每一个错误例子都变成有用的教学资源。
2.师：解决了这几个问题，你能说说在进行简便运算时要注意什么吗？
【学情预设】学生可能会说出看清楚运算符号、判断运算顺序，观察能不能用简便方法计算等。
师：在进行计算时，可以先认真观察，看清楚运算符号及数的特点，能用简便方法计算的，要正确使用运算定律进行计算。
教学笔记
【教学提示】
纠错环节是本课教学中很重要的一个环节。教师可以根据自己的经验或将平时收集的学生错例在这一环节进行展示评析，以便于学生更好地掌握用简便方法计算。
四、综合练习，提高运算能力
1.学生独立解答教科书P79“练习十五”第5题。
解答完毕后，集中展示交流，订正。
【学情预设】指导学生说一说：你是怎样简便计算的？用到了哪些运算定律？
【设计意图】在练习中，放手让学生自主观察、思考、计算。说一说自己是怎么想的，选择了什么样的简便运算的方法，有利于提高学生灵活运用运算定律进行简便运算的能力。
2.复习有规律的计算。
课件出示教科书P79“练习十五”第6题。
师：请你先用计算器计算左边的一列题，你能发现什么规律？直接写出其他题目的得数。
学生独立完成后汇报交流。
【学情预设】大部分学生会根据前面发现的规律直接口算。少数学生可能继续依赖计算器，教师无需评判，鼓励学生主动交流发现思考所得，感悟用规律计算的简捷性。同时正好用计算器算出的结果进行规律的验证。
师小结：虽然计算器能给我们的计算带来方便，但是我们不能总是依赖它，而是要勤于观察、寻找规律，使我们的计算更快速简便。教学笔记
【设计意图】由于部分学习困难的学生习惯性地认为计算器比较方便、快捷，但教师引导学生仔细观察这组算式的特点，使学生探究出算式中隐含的规律，使学生体会到运用规律计算的简捷性，明确不是所有计算题都用计算器计算才简便，引导学生养成认真观察、善于思考的良好习惯，合理、灵活地运用简算策略，进一步发展学生的简算意识。
五、课堂小结
师：通过本节课的复习，你们有哪些收获呢？板书设计
教学笔记
教学反思
本课教学引导学生自主归纳、整理所学的运算定律，并能用字母表示运算定律，把课堂交给学生，让他们通过动脑、动手、动口等多种感官活动的结合，使学生回顾旧知识，感知运算定律的应用。课后可以补充一些有针对性的练习，还可以补充一些探索计算中的规律的练习。
作业设计
参考答案
教学笔记
教学笔记
第5课时 数的运算（3）
教学内容
教科书P77第8题，完成教科书P79~80“练习十五”中第3、4、12、13、14题。
教学目标
1.在回顾交流中，总结估算的方法，能用估算把握运算结果的范围或用估算解决实际问题，进一步体会估算的作用。
2.在解决具体问题的过程中，能选择合适的估算方法和策略，并解释估算的过程，养成估算的习惯。
3.培养估算意识，发展估算能力，进一步发展数感。
教学重点
在解决具体问题的过程中，能选择合适的估算方法，养成估算的习惯。
教学难点
养成估算习惯，发展估算直觉,发展数感。
教学准备
课件。
教学过程
一、估算练习，复习估算方法
1.课件出示教科书P79“练习十五”第3题。
指名汇报，集体交流。
【学情预设】学生能根据过去的经验进行估算，注意估算的答案不唯一。例如：803-207，可以将两个数都估成整百数进行估算，也可以只将其中的一个数估成整百数进行估算，教师都要予以肯定。
师小结：估算可能有多种结果，这些结果有些和精确值接近一些，但计算速度要慢一些；有些结果没有那么精确，但计算速度要快一些。这些结果在现实生活中都有参考价值。
师：你能说说加、减、乘、除法估算的方法吗？
教学笔记
【学情预设】引导学生说出加法、减法、乘法估算时，通常用“四舍五入”法把参加运算的数看作与它最接近的整十、整百、整千数……再来进行计算；除法的估算中通常先估除数，然后根据乘法口诀来估被除数，例如632÷69的估算，先将除数估作70，再将被除数估作630，根据口诀“七九六十三”，可得结果大约是9。
【设计意图】复习具体的估算策略，提高学生的估算能力。
2.揭示课题。
师：请同学们回顾一下，学习和生活中哪些时候要用到估算？
【学情预设】预设1：买东西的时候要估算带的钱够买几件物品，或者根据商品的价格估计需要带多少钱。
预设2：做计算题前可以用到估算，估算出结果的范围。
预设3：计算后要用到估算，可以检验计算的结果是否正确。
……
师：估算在生活中有着这么广泛的应用，这节课我们就来梳理有关估算的知识。［板书课题：数的运算(3)］
二、复习估算
1.根据估算确定计算结果。
(1)课件出示教科书P77第8题(1)、(2)。
师：你是怎样想的？在小组内说一说。
学生思考并交流、汇报。
【学情预设】预设1：7.99×9.99=79.8201，比80小。
预设2：不用计算，直接把7.99估成8，9.99估成10，那么积是80。但是因为把两个数都估大了，所以原来的积一定比80小。
预设3：把9.99估成10，一个因数估大了，积也只有79.9，比80小，所以7.99×9.99一定比80小。
师：你更喜欢哪种方法？看来估算是生活中经常用到的方法，
教学笔记
【教学提示】
让学生用自己的话总结估算方法，如果有困难，可结合具体的例子来说明，教师可帮助学生归纳提升。
它的特点是不要求非常精确，也能解决问题。谁来说说用估算的方法怎样判断第(2)小题的结果是不是比1大？
【学情预设】学生有了前面的经验，会说出＞，所以+的和一定大于1。
(2)完成教科书P79“练习十五”第4题。
学生独立完成后在小组内说一说估算的方法，再集体汇报交流。
【学情预设】引导学生根据数的特点进行估算比较，然后总结出几种估算的方法。例如：59×9.9的积肯定比60大，1个59就很接近60，这种策略是往小估的方法；估算57×0.8的积时，把0.8估作1，估大了积才等于57，实际结果一定比57小，这种策略是往大估的方法；还有的可以利用计算的一些性质来进行判断，例如32÷1.2的商一定小于32。
【设计意图】结合具体的问题让学生明确利用估算就能大致判断一个算式的结果范围，并积累一些估算的方法，进一步发展学生的估算意识。
(3)联系计算，发现错误，培养估算意识。
课件出示习题。
学生独立思考计算后，师生共同交流。
【学情预设】预设1：3500-700=3200是错误的，因为500＜700，所以差应小于3000。
预设2：791+118=809是错误的，因为118接近100，791+100=891，实际结果应大于891。
预设3：110×41=410是错误的，因为110≈100，41≈40，100×40=4000，故实际结果大约为4000。
预设4：204÷2=12是错误的，因为204≈200，200÷2=100，故
教学笔记
【教学提示】
判断左边的算式与右边的数的相对大小，可以告诉学生不需要计算出结果，指导学生根据数的特点和运算的性质加以判断。
实际结果大约为100。
【设计意图】通过估算来发现错误，提高计算检查的速度，培养估算意识，再通过计算精确值来订正，让学生进一步区别近似值与精确值。
2.根据估算解决实际问题。
课件出示教科书P77第8题(3)。
师：怎样用估算的方法解决这个问题呢？试一试吧！
学生独立完成后汇报交流。
【学情预设】预设1：20.6≈21，39.6≈40，13.7≈14，21×2+40+14=96(元)，96＜100，把书的单价都估大了，买薄本的显然足够，所以这时妈妈的钱够买薄本的菜谱。
预设2：20.6≈20，39.6≈39，23.8≈23，20×2+39+23=102(元)，100＜102，把书的单价都估小了，买厚本的显然不够，所以这时妈妈的钱不够买厚本的菜谱。
师小结：估算是生活中常用的一种计算方法，有时我们不需要非常精确的答案时,可以用估算快速、简便地得到一个接近精确值的近似值，以便解决生活中的实际问题。在解决这个问题时，我们用到了往大估、往小估的策略，有时也会用“四舍五入”法来进行估算。
(板书：往大估、往小估、“四舍五入”法)
【设计意图】这道题具有针对性、综合性、开放性的特点，帮助学生巩固估算的方法,加深对估算策略的理解，而且在思考估算策略的过程中,体会到利用估算是由解决实际问题的需求决定的，进一步培养他们合理灵活运用估算策略的意识。
三、巩固练习，深入体会估算的应用
1.完成教科书P77“做一做”。
教学笔记
【教学提示】
解决这个问题时，学生可能会出现多种估算策略，如“中间数”法、“四舍五入”法等。教师应鼓励学生运用多种策略进行估算，并在交流过程中解释估算的思路和理由，只要合理就应给予肯定，帮助学生积累经验，发展估算直觉。
学生独立思考后集体交流。
【学情预设】43+40+41+44+42≈40×5=200(人)，因为把43、41、44、42看成40计算时，都把原数看小了，所以这5个数的和的准确值要比近似值200大，说明开会的人数比座位数多，因此需要加椅子。
2.完成教科书P80“练习十五”第13、14题。
学生独立思考后交流。
【学情预设】第13题：引导学生看懂统计表中的信息，利用速度=路程÷时间的数量关系来解决问题，明确可以把路程看作1500 km，时间看作6小时进行估算。
第14题：先精确计算，再估算。爸爸的手臂长多少虽然未知，但根据生活经验，将手举起来应该超过头顶0.2m。
【设计意图】这些练习需要学生利用数据信息，从实际情况出发，选择合适的问题解决策略，提高知识的实际应用能力。
四、课堂小结
师：通过本节课的复习，你们有什么感受和收获呢？课后完成教科书P80“练习十五”第12题，再与小组内的同学交流。
【设计意图】解决第12题，如果学生不了解一分钟的呼吸次数、心跳次数的信息，还需要亲自测量或调查收集数据，感受估算在生活中的实际应用。
板书设计
数的运算（3）
往大估、往小估、“四舍五入”法
教学反思
对于估算的复习，是通过引导学生回忆估算在生活中的应用，让学生自主归纳出常用的几种估算方法，并灵活运用，达到整理所学估算知识的目的。在利用估算解决实际问题时，仍有部分学生不能根据实际问题选择合适的估算方法，这需要在以后的学习中进一
步发展学生的估算意识，帮助学生学会使用合理的估算策略。
教学笔记
作业设计
对应课时作业。
教学笔记
第6课时 数的运算（4）
教学内容
教科书P78第9、10题，完成教科书P80“练习十五”中第8~11题。
教学目标
1.【学情预设】引导学生进一步掌握四则混合运算的方法，能够灵活运用四则混合运算的方法解决日常生活中的实际问题。
2.经历解决问题的过程，体验迁移类推的学习方法，培养运算能力和推理能力。
3.在学习过程中鼓励算法多样化，培养数感,养成认真细致的学习习惯。
教学重点
熟练掌握用算术方法解决问题的一般思路和步骤。
教学难点
能运用四则混合运算解决稍复杂的实际问题。
教学准备
课件。
教学过程
一、回忆解决实际问题的步骤，导入复习
师：同学们，在实际生活中，我们经常要用数学知识解决许多实际问题。解决实际问题时有哪些主要步骤？需要注意什么？
【学情预设】引导学生独立思考，然后在小组内交流、讨论。
【学情预设】学生可能会想到的主要步骤有阅读与理解、分析与解答、回顾与反思；注意事项有：认真读题，理解题意，弄清已知条件和问题，分析数量关系，借助画图辅助思考，仔细解答，仔细检查等,教师不用评判，可以通过学生之间的交流总结出在解决问题时有哪些共同的步骤。
师生一起小结解决实际问题的主要步骤。(出示课件)
教学笔记
师：今天我们就来复习运用算术方法解决问题。［板书课题：数的运算(4)］
【设计意图】提出问题，激发学生认真学习的兴趣，以极大的热情投入到本课的复习当中，积极回忆解决实际问题常用的步骤。
二、经历解决问题的过程，复习解决问题的步骤及方法
1.课件出示教科书P78第10题。
师：题目中已知的是什么信息？要求的是什么问题？我们已经知道解决问题的相关步骤，这道题应该先算什么？再算什么？
【学情预设】引导学生说出要求两个班共交了多少件作品，先要根据“六(2)班比六(1)班多交”这条信息求出六(2)班交了多少件作品，再求两个班交的作品件数之和。
师：请大家用自己喜欢的方法分析、解答这个问题。
引导学生独立思考，然后4人一小组交流讨论，教师巡视指导，指名汇报解题思路。
【学情预设】预设1：画图来分析数量关系：
根据分析，可以列式为：32÷4×(4+5)=72(件)；还可以列式为32×（1+1+）=72(件)。
预设2：根据题意可以写出关系式：六(1)班交的作品件数+六
教学笔记
【教学提示】
解决第10题中的问题，要有意识地引导学生经历并掌握解决问题的一般步骤。
【教学提示】
此环节在学生独立思考后，要鼓励他们主动、大胆地表述自己的分析思路和解题步骤，要注意引导学生根据题意画线段图进行分析。
(1)班交的作品件数×=六(2)班交的作品件数，列式为32+32×=40(件)，即可求出六(2)班交的作品件数，再用32+40求出两个班交的作品件数之和。
预设3：根据题意可以写出关系式：六(1)班交的作品件数×（1+）=六(2)班交的作品件数，六（1）班交的作品件数+六（2）班交的作品件数=两个班交的作品件数之和，列式为32+32×（1+）=72(件)。
教师引导学生理解每一种方法的思路，明确解决分数应用题要找准单位“1”，根据题意画出线段图或写出数量关系式进行分析，再列式解答，最后检验反思。(师生一起画出这道题的线段图并写出数量关系式。)
【设计意图】通过一个稍复杂的“求比一个数多几分之几的数是多少”的两步分数乘法问题，引导学生经历解决问题的各个步骤。写出数量关系式、画出线段图等方法可以有效帮助分析数量关系，使学生掌握各种具体的问题解决策略。学生在解决此问题时，由于思考角度的不同，可以采用不同的解题策略，体现了策略的多样性。
2.完成教科书P78“做一做”第1、2题。
学生独立完成后在小组内交流，再集体交流。
【学情预设】第1题：可以画线段图分析，或者写出数量关系式：第二季度的营业额比第一季度增加的营业额÷第一季度的营业额=第二季度的营业额比第一季度增长了百分之几；列式为(16.5-15)÷15=10%，也有学生会用16.5÷15-1=10%来解决问题，让学生说明解题思路。
第2题：引导学生发现实际与计划的总路程是相同的，运用“路程÷时间=速度”的数量关系分别求出实际速度和计划速度，再求出两者之差。
【设计意图】解决问题的练习中，重点分析已知信息和问题之间的数量关系；然后根据四则运算的意义选择适当的运算方法列出
教学笔记
正确的算式，计算；再求得答案，检验。使学生掌握解决问题的一般步骤，并养成反思的良好习惯。
三、知识应用，巩固提升
完成教科书P80“练习十五”第8~11题。
学生独立完成，教师巡视指导，集体汇报交流。
【学情预设】第8题：抓住不变量“白纸的总张数”来解决问题，学生可能有不同的解决问题的方法：20×28÷16-28=7(天)；(20-16)×28÷16=7(天)；或者用正比例的知识解决问题，都要予以肯定。教师注意让学生说明解题思路。
第9题：指导学生根据题意写出两道数量关系式：全年接待游客人数×=上半年接待游客人数，上半年接待游客人数×=第三季度接待游客人数，从而发现这是一道连续求一个数的几分之几是多少的问题，列式为196××=63(万人)=630000人；或者有学生列出算式196×（×）=63(万人)=630000人，也要予以肯定，引导学生理解×先求的是第三季度接待游客人数占全年接待游客人数的几分之几。
第10题：可以用不同的方法来解决问题，抓住不变量——原来买10L的钱不变，既可以用算术法解答，也可以用反比例的知识解决。无论哪种方法，都让学生说出自己的解题思路。
第11题：解决这个问题方法也有多种，既可以求出60 L汽油可以行多少千米，再与560 km比较；也可以求出行560 km需要多少升汽油，再与60 L进行比较。还可以抓住每升汽油可以行的路程不变，用正比例的知识解决。
【设计意图】这一组练习，都能从不同的角度分析解答，对学生理解问题、感悟数量关系、用合适的方法和策略解决问题提出了较高的要求。由于学生理解题意的角度不同，思考的方式也会不同，只要能说出列式背后的数量关系，都应给予肯定。
四、课堂小结
教学笔记
师：通过本节课的学习，你们有哪些收获呢？
板书设计
教学反思
教师要注意引导学生经历理解题意、确定问题、寻找信息、分析数量关系、列式解答、回顾反思的完整过程，特别要重视对题意的理解、回顾反思的落实，帮助学生形成解决一般性问题的能力。如果学生想到比较特殊的解法，只要分析有理，均要予以肯定，但不用作为全体要求。
作业设计
五、某工艺品厂生产一批工艺品，甲车间单独做要8小时完成，乙车间单独做要12小时完成。若甲车间先做1小时后，乙车间也加入，总共要用几小时才能完成任务？
参考答案
教学笔记
第7课时 式与方程（1）
教学内容
教科书P81第1题，完成教科书P82“练习十六”中第1、2、4、5、6、7题。
教学目标
1.进一步理解用字母表示数的意义及作用，会用字母表示数量及常见的数量关系、运算定律及计算公式等。
2.加深对方程意义的理解,会熟练运用等式的性质解方程。
3.体会用字母表示数的作用及方法，进一步建立符号意识，体会代数思想。
教学重点
比较系统地掌握式与方程的知识。
教学难点
用字母的表达式表示数量的方法以及简写方法。
教学准备
课件。
教学过程
一、问题导入，揭示课题
课件出示教科书P81第1题的表格。
师：看到这些信息，你想到了什么？
【学情预设】学生可能会说(a+b)表示男、女生一共有多少人；路程=速度×时间；圆柱的体积=底面积×高；用字母表示加法交换律；同分母分数加法的计算法则。
师：这些信息中有数量、数量关系、计算公式、运算定律和计算法则，它们都是用什么来表示的呢？(字母)用字母表示数在生活中有广泛的应用，它是代数的开始，从算术到代数是数学发展的重
教学笔记
【教学提示】
通过学生自由发言，及时了解学生掌握式与方程的程度，以此作为调整课堂教学思路的主要依据。
要转变。今天我们就来复习有关式与方程的知识。［板书课题：式与方程(1)］
二、复习回顾，构建知识体系
1.复习用字母表示数。
(1)师：我们知道，用字母表示数在生活中应用广泛，为研究和解决问题带来很多方便。你会用字母表示什么？请在教科书P81的表格中写出来。
【学情预设】学生可能会回答可以表示数量、数量关系、计算公式和运算定律等。
根据学生的回答板书：
学生独立填表，教师巡视指导。
集体交流，根据学生的汇报出示课件。
用字母表示数量关系时，可以借助整理帮助学生复习基本的数
教学笔记
【教学提示】
学生汇报时，教师有意识地引导学生完整汇报用字母表示的四种数量（加、减、乘、除）和五个定律。其他部分只需要体会用字母表示比用文字表述更简明易记就可以了。
量关系：
路程=速度×时间，用字母表示为s=vt；
工作总量=工作效率×工作时间，用字母表示为c=at；
总价=单价×数量，用字母表示为c=ax。
【设计意图】引导学生借助表格梳理，可以帮助学生从数量、数量关系、计算公式、运算定律等方面全面回顾所学知识，使已学知识系统化、结构化，提升学生自主归纳、总结的能力。
师：你能结合自己填的表说一说，用字母表示数有什么意义和作用吗?
【学情预设】引导学生说出用字母表示数非常简洁、方便。
(2)用字母表示数的简写方法。
师：在一个含有字母的式子里，数与字母、字母与字母相乘，书写时应注意什么？
【学情预设】引导学生举例来说明，学生可能会回答乘号可以记作“·”,或省略不写,也可能会忽略数与数之间的乘号不能省略，可以引导学生在互相评议中补充完善。
师生一起小结，出示课件。
(3)完成教科书P81上方的“做一做”。
学生独立完成后小组内交流，课件出示正确解答。
【学情预设】注意引导学生说出a3、3a、这几个式子用文字表达的含义及书写方法。
【设计意图】此环节旨在引导学生回顾用字母表示数时，明确省略乘号时的易错点，能正确辨别易混点。通过独立思考、小组交流，完善自己的认识，及时地进行易混点的辨析，加深认识，以达到深刻理解的目的。
2.复习方程。
教学笔记
(1)方程与等式的联系与区别。
课件出示习题。
师：这些式子中，哪些是方程呢？
大多数学生会直接根据方程的概念来进行判断，让学生结合具体的实例说明不是方程的原因，明确在判断一个式子是否是方程时，需要特别关注式子中是否含有未知数，并且是否是等式。
师小结：方程要具备两个条件,第一，必须含有未知数；第二，必须是一个等式，两者缺一不可。
师：想一想：等式与方程之间有什么关系？
引导学生分组讨论交流，指名汇报。
师小结：等式是表示相等关系的式子，含有未知数的等式叫方程。方程一定是等式，但等式不一定就是方程。
师：如果我们用集合图来表示方程与等式的关系，会是怎样的呢？
引导学生尝试用画图的方法表示方程与等式之间的关系。
根据学生回答，教师板书：
(2)复习等式的性质。
课件出示教科书P82“练习十六”第5题，学生独立解答，课件出示正确答案。
【学情预设】引导学生说说自己是怎样解方程的，注意提示学生检验。
师：解方程的依据是什么？(等式的性质)说一说等式具有哪些
教学笔记
【教学提示】
可以通过追问的形式,迫使学生进一步认真观察、思考得出方程一定是等式，但等式不一定是方程的结论。让学生尝试通过画集合图的形式来表示方程与等式之间的关系，使学生一目了然地记住方程与等式之间的区别和联系。
性质呢？
学生在小组内交流、指名反馈。
师小结：等式具有两个重要的性质。
等式的性质1：等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。
等式的性质2：等式的两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。
【设计意图】等式的性质是解方程的基础，让学生结合解方程的过程复习等式的性质，有利于进一步理解和掌握知识。
三、实践应用，巩固提升
1.完成教科书P82“练习十六”第1、2、6题。
学生独立完成后在小组内交流订正，教师收集错例展示辨析。
【学情预设】第1题：根据题意写出字母表达式所表示的实际含义及代入求值。学生可能出现的问题是语言表达实际含义时不准确，教师注意指导。
第2题：这道题要求用字母表达式表示数量，并会代入求值。可以先指导学生写出数量关系式：水泥的总质量-用去的质量=剩下的质量，而用去的质量=每天用去的质量×天数。在用字母表达式表示数量时，注意简写方式。
第6题：如果学生有困难，可以举出例子来对应理解。还可以改变题目中的信息，例如“三个连续的自然数，最大的数是a”或者“三个连续的偶数，中间的数是a”，让学生学会用字母表达式表示数或数列。
课件配合出示正确的解答。
【设计意图】练习时，给学生提供足够的思考时间和空间，并引导学生积极交流，巩固用字母列出表达式的方法，会反过来理解符号表示的含义。
2.独立完成教科书P82“练习十六”第4、7题。
学生独立解答后交流。
教学笔记
【学情预设】第4题：在研究小棒的根数与正方形的个数时，学生比较容易想到的是4+3(n-1)的表达式，但也有的学生是以1根小棒为基础，每增加一个正方形，就多3根小棒，因此，字母表达式为1+3n。要引导学生发现这两种表达式之间的一致性。如果有学生列成4+3n，可让学生代入一个具体值验证一下，发现这种表达式是错误的。
第7题：可以引导学生分别算出当n是0、1、2、3、4、5……时2n的值，2n+1的值，不难发现2n表示偶数，2n+1表示奇数。
【设计意图】用字母表达式表示出某个量，当字母的值变化时，这个量的值也跟着变化，字母的值和这个量的值之间存在着一一对应的关系，通过这两道练习，加强培养学生的代数思维，渗透函数思想。
四、课堂小结
师：今天的数学课，你们有哪些收获呢？
板书设计
教学反思
本节课的主要内容是引导学生复习用字母表示数、方程的概念及解方程等内容。从学生学习情况来看，学生学习的积极性较高，绝大部分学生能较熟练地完成练习。教学时，注意结合相应的练习巩固用字母表示数和解方程等知识，为初中阶段代数式的学习奠定良好的基础。
作业设计
对应课时作业。
教学笔记
第8课时 式与方程（2）
教学内容
教科书P81，完成教科书P82~83“练习十六”中第8~14题。
教学目标
1.进一步体会方程的意义和思想，能根据问题特征列方程解决一些实际问题，提高找等量关系列方程的能力。
2.在梳理如何找等量关系的过程中，进一步掌握列方程解决问题的基本思考方法，通过算术法和方程法的比较体会列方程解决问题的价值。
3.体验与同学合作交流以及获取知识的乐趣，增进对数学学习的积极情感,增强学好数学的信心。
教学重点
在梳理如何找等量关系的过程中进一步掌握列方程解决问题的基本思考方法。
教学难点
体会方程法与算术法的区别与联系。
教学准备
课件。
教学过程
一、回忆列方程解决问题的基本步骤
1.回顾旧知识。
师：想一想，列方程解决问题的一般步骤是怎样的？
学生在小组内讨论，全班交流。
【学情预设】学生可能会说找出未知数,用字母x表示，再分析实际问题中的数量关系，找出等量关系，列方程，解方程并检验作答。
师生一起小结，课件出示。
教学笔记
教师板书：设、找、列、解、验。
2.揭示课题。
师：这节课我们来复习列方程解决问题。［板书课题：式与方程(2)］
【设计意图】引导学生回顾列方程解决实际问题的步骤，为后面的复习作铺垫。
二、突破难点，找等量关系
1.发现等量关系。
师：在列方程解决问题的这些步骤中，你觉得哪一步是最难的？
【学情预设】学生可能说出找等量关系最难。
师：既然等量关系难找，那咱们就来练一练。（课件出示习题）
师：你能找到数量关系吗？
【学情预设】预设1：不能，因为没有告诉具体数据。
预设2：能，“速度×时间=路程”是我们学过的数量关系,不管有没有数据，它都是存在的。
师：对呀！我们可以从以前学过的数量关系中去发现等量关系，像这样的等量关系还有哪些？
【学情预设】学生可能会说出“工作总量=工作效率×工作时间”“总价=单价×数量”。
2.练习找等量关系。
教学笔记
【教学提示】
找等量关系这个环节中，关注学生对题目中数量含义的理解，以及数量之间关系的理解。
课件出示习题。
师：这是老师给你们准备的三道题，仔细读题，找出每一题的等量关系并写一写。
学生独立完成后，然后在小组内交流订正。
小组活动后进行汇报。
【学情预设】第(1)题要先找单位“1”，等量关系式是：小云踢毽的数量×=小平踢毽的数量。第(2)题中的等量关系式是：原价×折扣=售价。第(3)题中的等量关系式是：这本书的页数×(1-)=第一周读的页数。
师：同学们真了不起！很准确地找到了这几道题中的等量关系式。请同学们静静地思考一下，然后和同桌交流一下，你是怎么找到的？(学生互相交流)
【设计意图】用方框遮住数据和问题，学生从原来的“找不到”到“能找到”，发现找等量关系与数据、问题等因素无关，而应关注题目中各数量之间的关系。
三、对比算术法和方程法，体会方程法的价值
师：你们喜欢列方程解决问题吗？我听到了两种不同的声音，这样，我们一起来看这道题。（出示课件）
教学笔记
【教学提示】
给予学生一些分析数量关系的方法，如常见的数量关系、公式、关键词句的理解等，帮助学生掌握找等量关系的方法。
【学情预设】学生可以通过找等量关系或者将乙数的值代回到原题中进行检验的方法，发现算术法解答是错误的，正确的算术解法是(30+2)÷5=6.4。
师：解决这个问题，为什么算术法容易出错？
【学情预设】学生可能会说出因为算术法是逆向思维，容易错；而方程法是顺向的，容易做对。
师：是不是所有的题目都适合用方程法呢？我们再来看一组题。（出示课件）
【学情预设】学生可能会说出这道题用算术法解答更简单。
师：对，这一道题在读题时就能很快地想到计算方法，因为它就是我们常说的“顺向题”。看来，有些题目适合用方程法，而有的题目适合用算术法。请大家看教科书P83第14题，不用解答，你想用方程法还是算术法解答？
教师统计一下选择用方程法解答的人数多还是用算术法解答的人数多。
师：为什么这么多同学选择用方程法？
【学情预设】引导学生说出方程法适合解决未知量和已知量比
教学笔记
较难厘清关系的情况，我们只要找到等量关系，就可以很快地列方程解决问题。例如这道“鸡兔同笼”问题，由于涉及两个相关联的未知量，所以用方程法解答，思维过程更加清晰、简洁。
师：算术法一直伴随着我们的学习，形式简单，但在解决复杂问题的时候相对难理解，而方程法可以解决比较复杂的问题，尤其是到了初中，碰到更复杂的问题，就更适合用方程来解答。在解决问题时，我们要学会选择合适的方法。
【设计意图】目前小学阶段的问题，很多学生还能用算术法解答出来，大部分题目在难度上还没有达到非方程法不可的地步。通过比较梳理两种方法之间的优缺点，让学生能根据不同的情况加以选择。
四、巩固练习，提高能力
1.完成教科书P81下方的“做一做”和P82~83“练习十六”第8、10题。
学生独立列方程解答，集体交流，课件出示正确解答。
【学情预设】前面已经写出了另外3道题的等量关系式，所以很轻松地列方程来解决问题。还可以让学生用算术法解答进行验证。
2.完成教科书P83“练习十六”第9、11、12、13、14题。
学生独立完成后，在小组内交流订正，教师巡视指导。
【学情预设】第9题：找到题目中的等量关系式：丁香花的棵数×2=240+16，然后设出未知数列方程解答，如果学生用算术法(240+16)÷2解答也要予以肯定。
第11题：找到题目中的等量关系式：北京密云水库蓄水量×26+4=290，根据关系式列方程解答比较轻松，注意提醒学生检验。
第12题：需要根据“(折后)售价-进价=赚的钱”的等量关系进行分析、解答。指导学生认真分析题目中的信息，用算术法(150-30)÷150=80%、1-30÷150=80%，或者(150×60%+30)÷150=80%，都要予以肯定，还可以用方程解答：设折扣为x,150x-150×60%=30，
教学笔记
【教学提示】
在指导学生列方程解决问题时，要关注解决问题的步骤，尤其是检验这一环节，学生容易忽略。引导学生理解方程的实质是用一个等式把量与量之间的关系表示出来，设出未知数后，可以使用顺向的思维理解数量关系，把复杂的问题简单化。
最后得到应该打八折或八折以上。
第13题：可以把题目中所提的3个问题分别转化成容易理解的数学问题。例如第1个问题问的就是10分钟后两人是否都能到达电影院。由于小冬家距离电影院更远，且速度更慢，则他所需要时间更长；如果他能按时到达，那么小明也可以。第2、3个问题是相遇问题中的两个相关问题，可以借助线段图帮助理解。
第14题：先让学生列方程来解答，感受方程的简洁性。有的学生可能会用列表法、假设法来解决问题，教师要予以肯定，注意让学生说清解题思路。
【设计意图】这一组练习都来源于生活，练习中引导学生重温用方程解决实际问题的步骤，交流用方程解决实际问题的经验，培养学生综合运用知识解决实际问题的能力。
五、课堂小结
师：今天的数学课，你们有哪些收获呢？
板书设计
式与方程（2）
设、找、列、解、验
教学反思
“式与方程”的总复习承担着一个重要的功能，就是顺利完成中小学衔接，并对第三学段的数学学习产生积极的影响，产生源源不断的学习动力。本课教学着重让学生学会在不同的情境中选择合理的方法解决问题，培养方程意识。面对复杂的问题，有些学生很难找到等量关系式，还需要教师的重点指导。
作业设计
对应课时作业。
教学笔记
第9课时 比和比例（1）
教学内容
教科书P84第1~3题，完成教科书P85“练习十七”中第1、3、4题。
教学目标
1.进一步理解比和比例的意义与基本性质，巩固比与分数、除法的关系。探究比的基本性质、分数的基本性质和商不变的规律之间的关系。
2.经历整理知识的过程，提高归纳、总结、概括的能力，使知识融会贯通，体会“变中有不变”的思想。
3.激发学生的学习兴趣,培养合作意识。
教学重点
理解比和比例的意义、性质,掌握关于比和比例的一些实际运用和计算。
教学难点
厘清所学知识间的联系,建构知识网络。
教学准备
课件。
教学过程
一、创设情境，唤起对比和比例知识的回忆
师：今天我们的课堂上有多少名同学呢？男、女同学分别有多少名?
(教师可以根据学生的统计将数据写在黑板上)
师：谁能用比的知识说说男、女同学的人数和本班人数的关系？
【学情预设】学生可能说出男生和女生人数的比，女生和男生人数的比，男生和全班人数的比，女生和全班人数的比。
师：你能分别再说一个比和刚才的比组成比例吗?说一说你的方法是什么？
教学笔记
【学情预设】学生可能说出利用比的基本性质,找到比值相等的两个比，可以组成比例。
师：今天我们就来复习有关比和比例的知识。［板书课题：比和比例(1)］
【设计意图】利用身边的信息创设情境，激发学生的学习热情，感受知识与数学的紧密联系，主动重温比和比例的区别与联系。
二、复习比和比例的基础知识
1.比和比例的意义和性质。
（1）学生独立完成教科书P84第1题的表格，教师巡视指导，然后在小组内交流。
师：关于比和比例的知识，你知道什么？它们有什么区别和联系？
【学情预设】学生通过讨论交流，基本上能系统进行整理，教师适时指导即可。（课件出示完整表格）
【设计意图】表格的呈现使知识形象、直观、有条理。学生通过表格自主归纳，清晰地看清比和比例的关系，并掌握比和比例的异同之处，进一步系统掌握比和比例的知识结构。
(2)完成教科书P85“练习十七”第1题。
学生独立思考，自主解决后再汇报交流。
【学情预设】学生可能会出现的问题是：1.没有看清谁与谁的比，将比的前项与后项的位置写反了；2.求比值与化简比弄混淆了，例如第(2)题两者之比是1∶1，而不是1。
师：求比值和化简比有什么联系和区别？你能用表格整理一下
教学笔记
【教学提示】
自主归纳知识点是本课的重点和难点，学生在汇报交流时，可能回答不一定完整，语言也不一定准确精练，但只要意思相符就应予以肯定。
吗？
学生讨论后汇报，教师根据学生的汇报出示课件。
【设计意图】通过练习巩固比和比例的基本知识，并复习求比值和化简比两者之间的联系和区别，有利于学生辨析。
2.比与分数、除法的关系。
师：比与分数、除法有什么联系？请大家先填写教科书P84第2题的表格，再说一说它们的区别。
学生独立填表，教师巡视指导，然后在小组内交流。（课件出示完整表格）
师：你能用字母来表示比与分数、除法之间的关系吗？
引导学生总结并板书：=a÷b=a∶b(b≠0)
师：想一想，比与分数、除法有什么区别?
引导学生独立思考后小组讨论，再指名汇报。
师小结：比指的是两个数相除的关系，分数是一个数，除法是一种运算。
【设计意图】此环节仍然借助表格，让学生梳理比和分数、除法的关系，把分散的知识点进行整合，学会整体地、一般性地把握知识，使知识融会贯通，体会“变中有不变”的思想，构建了比较
教学笔记
【教学提示】
引导学生发现概念之间的联系与区别，把概念、性质放在一起进行整理，将表面上看似不同的三个知识点整合为本质相同的一个知识点。
完整的知识网络。
3.比的基本性质、分数的基本性质和商不变的规律之间的联系。
师：谁能说说比的基本性质、分数的基本性质和商不变的规律？
同桌互相说一说，指名汇报，课件出示表格。
师：结合比与分数、除法之间的联系，你能说说比的基本性质、分数的基本性质和商不变的规律之间有什么样的联系吗?
学生独立思考后指名汇报。
【学情预设】学生可能会说出比的前项相当于分数中的分子、除法中的被除数；比号相当于分数中的分数线、除法中的除号；比的后项相当于分数中的分母、除法中的除数；比值相当于分数中的分数值、除法中的商。所以它们的变化规律是一样的。
师小结：我们在应用这些性质和规律时，都是将各部分同时乘或除以一个相同的数(0除外)，结果不变。
【设计意图】通过回顾比的基本性质、分数的基本性质、商不变的规律，揭示三者之间的密切联系和内在的一致性。
三、巩固练习，知识应用
1.课件出示一组解比例的题目。
教学笔记
学生独立完成后在小组内交流订正。
【学情预设】引导学生说出解比例的依据是比例的基本性质，求出x的值后要注意检验。
2.学生独立解答教科书P85“练习十七”第3、4题。
解答完毕后，集中展示交流，订正。
【学情预设】第3题：这道题是利用“按比分配”解决生活中的实际问题。指导学生明确可以用两种方法来解决这个问题：把比的各项之和看作平均分的份数，先求出每份是多少，再解答；还可以转化成分数乘法来解答。两种方法都要予以肯定。
第4题：这道题也是“按比分配”的问题，与第3题相比较，稍复杂一些，先按比分配求出一块金牌需要黄金的克数，再求出302块金牌需要黄金的克数。
【设计意图】这几道题都是基础性练习，有坡度、有层次、有针对性，查漏补缺，提高学生的解题能力。
四、课堂小结
师：回顾今天的复习过程，你们有什么收获呢？
板书设计
比和比例（1）
=a÷b=a∶b(b≠0)
教学反思
本课在借助表格的基础上，指导学生自主归纳。通过观察、对比分析、归纳等活动，引导学生在数学活动中通过不断对比，加深学生对已学知识的理解并厘清知识脉络。虽然在整理过程中学生的思路比较清晰，但在实际应用中有时会混淆，或者不能灵活运用，课后可以增加一些练习，进一步巩固学生对知识的掌握。
作业设计
一、填一填。
教学笔记
【教学提示】
在解决这两个问题时，先让学生独立思考，再汇报思路。交流的过程中，可让学生说一说在用比和比例的知识解决实际问题时要注意什么。
1.1∶0.75的比值是（ ），把它化成最简单的整数比是（ ）。
2.在比例尺为1∶2000000的地图上，量得甲、乙两地的距离是7.5cm。如果一辆汽车以每小时60km的速度在上午6点从甲地出发，那么上午（ ）时（ ）分到达乙地。
3.若3a=5b(a、b不为0)，a∶b=（ ）；若，且ab=2，那么x=（ ）。
二、选一选。 (将正确答案的序号填在括号里)
1. 在钟面上，时针与分针转动的速度比是( )。
A.60∶1 B.1∶12 C.1∶60 D.12∶1
2. 男生人数比女生人数多25%，则男、女生人数的比是( )。
A.4∶5 B.5∶4 C.1∶4 D.2∶5
3. 下面说法正确的有( )句。
①《小学生学习报》的单价一定，总价与订阅数量成正比例关系。
②圆锥体积一定，它的底面积与高成反比例关系。
③书的总页数一定，已看的页数和没看的页数成反比例关系。
④出勤率一定，出勤人数与全班人数成正比例关系。
A.4 B.3 C.2 D.1
四、便民防疫站配制了一种消毒药水，质量为300kg，药与水的质量比是3∶97。为了增强药效，按药与水的质量比1∶49配制成新的消毒药水。
1.你认为原消毒药水中应加入( )可配制成新的消毒药水。
（填上“药”或“水”)
请说明理由：
2.“药”或“水”要加入多少千克？
参考答案
一、1.2 2∶1 2.8 30 3.5∶3 0.5
二、1.B 2.B 3.B
四、1.水 新的消毒药水中药与水的质量比是1∶49=3∶147，
教学笔记
与之前消毒药水中药与水的质量比3∶97相比较，发现加入相同份数的药时，水的份数变多了。故应加入水。
教学笔记
第10课时 比和比例（2）
教学内容
教科书P84第4题，完成教科书P85“练习十七”中第2、5、6、7题。
教学目标
1.进一步理解正、反比例的意义，能正确判断两种量是否成正比例或反比例关系。
2.加深对正、反比例之间关系的理解，能熟练地运用正、反比例的知识解决实际问题。
3.提高学生综合运用知识解决实际问题的能力，培养学生自主探究、合作交流的学习能力。
教学重点
理解正、反比例的联系和区别；熟练判断两种相关联的量成什么比例关系。
教学难点
灵活应用比例知识解答正、反比例问题。
教学准备
课件。
教学过程
一、引导回忆，揭示课题
师：我们已经学习了正比例和反比例，什么样的两种量才可能组成比例关系？
指名汇报：两种相关联的量。
师：两种相关联的量是不是都能组成比例关系呢？今天我们就来复习正比例和反比例的知识。［板书课题：比和比例(2)］
【设计意图】提出问题，激发学生思考，直接揭示课题。
二、复习正、反比例的意义
1.判断相关联的两种量是否成比例，成什么比例。
课件出示习题。
教学笔记
学生独立判断，然后在小组内交流，说明原因。
【学情预设】指导学生结合具体的题目说清判断的理由，如果表达不够清晰的，可以让学生互相提醒、纠正。
课件出示解答。
2.正、反比例的意义。
师：想一想，你是怎么判断相关联的两个量成正比例关系或成反比例关系？
学生思考后在小组内交流，教师指名汇报。
【学情预设】引导学生说出：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量。如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量。
师：你能用字母来表示正、反比例的意义吗？
根据学生的回答板书：正比例关系：=k(一定) 反比例关系：xy=k(一定)
师：说一说正比例和反比例有什么相同点和不同点。
课件出示表格，根据学生的回答填写表格。
教学笔记
【教学提示】
先让学生独立思考，写出各题的关系式，再判断，最后交流判断的依据和理由。
【设计意图】通过对比，使学生进一步理解正比例和反比例的异同点，进一步渗透函数思想。
3.完成教科书P85页“练习十七”第2题。
学生独立完成后交流,课件出示正确解答。
三、复习正、反比例的应用
1.课件出示一组习题。
师：比一比，想一想，这两道题有什么不同？能用比例方法解答吗？
学生独立完成后，在小组内交流后汇报。
【学情预设】学生会说出第(1)题中不变的量是速度，所以路程与时间成正比例关系，根据正比例知识解决这个问题；第(2)题中不变的量是工作总量，所以每天挖的米数与天数成反比例关系，要根据反比例知识解决这个问题。
师：用比例方法解决问题的步骤和关键是什么？
师生一起总结：
①根据不变量，判断题中哪两种相关联的量成正比例或反比例。
②找出两组相对应的数，并设出未知数，列出比例。
③解比例。
④检验并写出答语。
师：用比例解决问题时，先要读题，找出对应关系,判断是正比例还是反比例，再正确解答。
2.课件出示教科书P85“练习十七”第6题。
师：请同学们独立完成这道题，然后在小组内进行交流订正。
小组活动后进行汇报。
教学笔记
【教学提示】
这道练习要求学生正确运用正比例或反比例关系的意义进行判断。注意指导学生发现有些题中虽然没有明确指出哪个是常量，但根据相关数量关系可以找到隐藏着的常量。
【学情预设】同一幅地图上的比例尺不变，根据图上距离∶实际距离=比例尺列出比例解答。
课件出示正确解答。
【设计意图】沟通正、反比例解决问题的联系，学生在辨析中巩固解决此类问题的步骤和策略，提高学生用比例解决问题的能力。
四、综合应用，提升能力
课件出示教科书P85“练习十七”第7题。
师：你敢挑战这个问题吗？
学生在小组内讨论完成后，再集体交流。
【学情预设】引导学生找出两幅图的不同点：虽然两幅图象的横轴都表示时间，但第一幅图象的纵轴表示行驶路程，而第二幅图象的纵轴表示离校距离。前者侧重描述汽车行驶的路程随时间的变化而变化的情况，后者侧重描述汽车与学校的距离随时间的变化而变化的情况。在第一幅图象中，第1小时汽车以40千米/时的速度行驶了40km到达果园，在果园活动了2小时，然后按原速行驶1小时,又行驶了40km；在第二幅图象中，第1小时汽车以40千米/时的速度到达距离学校40km的果园，在果园活动了2小时，然后按原速行驶1小时返回学校。
【设计意图】在练习中引导学生体会和掌握数形结合的思想，一方面使学生看到可用图象直观地表述出抽象的文字信息；另一方面使学生学会根据图象读取出相关的信息，建立几何直观能力。
五、课堂小结
师：今天的数学课，你们有哪些收获呢？
板书设计
比和比例（2）
正比例关系：=k(一定)
反比例关系：xy=k(一定)
教学反思
教学笔记
【教学提示】
解决这个问题，学生在读图时可能会感到困难，应引导学生先看两幅图有哪些方面是相同的，哪些方面是不同的；再看它们分别描述的是哪个量随着哪个量的变化而产生的变化；最后分析图象中每一段分别呈现什么特点，分别代表什么意思。使学生提高读图能力，建立几何直观能力。
本课在整理与回顾时尽量放手，为学生提供自主梳理知识的时间和空间，体会数学知识、方法之间的密切联系。在回顾、整理、巩固、应用的过程中使学生不断积累活动经验，体会一些重要的数学思想。如果课堂教学时间充足，还可以让学生自己举例说明哪些相关联的量成比例关系，哪些不成比例关系，如果成比例关系，是怎样判断成正比例或反比例关系，在集体交流评议中加深对正、反比例关系的认识。
作业设计
教学笔记
整理和复习对小学阶段所学的数学知识进行了系统的回顾与整理，不仅是本册教科书的一个重点,也是小学阶段数学学习的一个重要组成部分。通过本单元的学习，使原来分散学习的知识点得以梳理，由点串成线，由线成面，帮助学生完善头脑中的数学认知结构。
本单元将教科书编成五部分，分别为“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“数学思考”“综合与实践”。第一部分是数与代数的内容，主要包括数的认识、数的运算、式与方程、比和比例。“常见的量”和“探索规律”没有单列标题，融合在相关的习题中复习。第二部分是图形与几何的内容，主要包括图形的认识与测量(平面图形和立体图形)、图形的运动(平移、旋转、轴对称、图形的放大与缩小)、图形与位置(数对、用方向和距离确定物体所在的位置)。第三部分是统计与概率的内容，主要包括统计图表、平均数和可能性。第四部分是数学思考的内容，主要包括通过实际问题发现规律、应用规律，感受简单的数学证明，体会和掌握基本的数学思想和方法。第五部分是综合与实践的内容，主要包括四个主题鲜明的综合实践活动。
本单元尽可能通过问题情境(包括现实情境与数学情境)，引导学生联系实际或联系数学实例，加深对已学知识的理解，加强对相关知识内在联系的认识。同时注意所学知识的运用，特别是在实际问题情境中的应用，使学生学以致用。教科书注重将整理与应用相结合，每部分的内容都以提示性问题的形式呈现，把以前分散学习的知识进行系统整理，沟通知识之间的联系。同时，利用呈现的主要知识内容引导学生回顾交流，帮助教师指导学生进行梳理。练习的设计既注重基础知识和基本技能，又注意知识的综合应用。
本单元所涉及的知识，学生在之前都已经学习过，而且在每个学段的学习中,都有总结复习。本单元只是将知识点再现，进行系统的整理和复习，帮助学生建立知识间的联系。六年级的学生已经有了一定的小组合作探究的能力和总结概括的能力，所以在教学时设计一些让学生自主总结交流的环节，帮助学生总结个人经验，分享他人经验，有利于学生的全面发展，也有利于提高本单元的教学成效。
1.加强整理和复习的系统性。本单元是在平时的基础上，在更大范围内引导学生对小学阶段学过的知识进行更全面的回顾、整理和比较、对照。这样，原来分散学习时互不联系或联系较少的知识，就有机会得以沟通，进而形成纵横联系的知识体系。
2. 启发、引导学生在理解的基础上自主整理知识。复习时，应充分利用教科书的留白，发挥学生参与知识整理的主动性和积极性。有时，学生的整理可能不够确切、不够全面，这都是真实的、自然的现象。教师在学生开动脑筋、深入理解的基础上加以点拨，往往效果更好。
3.在系统整理、复习的过程中注意查漏补缺。在本单元的教学过程中，教师应根据前一阶段课堂教学、批改作业和课后辅导中了解到的情况，搞清学生还有哪些概念比较模糊，哪些方法不够熟练，哪些疑难尚未解决，在系统复习的过程中予以弥补。通过知识的再认、再现、质疑问难以及必要的练习，使模糊的概念清晰起来，使生疏的技能熟练起来。
4.加强练习的针对性、有效性。教师要善于从本班学生的实际情况出发,有针对性地对练习加以适当的调整和增补。同时注意因材施教，对不同情况的学生提出不同的练习要求，使各种程度的学生都能通过练习确有所获，并在原有的基础上有所提高，真正实现“不同的人在数学上得到不同的发展”。
1.数与代数
第1课时 数的认识（1）
教学内容
教科书P72~73第1、2、3、5、6题，完成教科书P74~75“练习十四”中第1~4题。
教学目标
1.通过自主探索和合作学习，系统地掌握自然数、整数、分数、小数、百分数、负数的意义以及它们之间的联系和区别。
2.在整理复习中形成知识网络，掌握复习方法，提高综合运用的能力。
3.感受数学思考的条理性，激发学生的学习兴趣，培养学生的应用意识和创新意识。
教学重点
进一步理解整数、分数、小数等概念的意义，沟通联系，形成知识网络。
教学难点
沟通数之间的联系，形成知识网络。
教学准备
课件。
教学过程
一、回顾学过的数，揭示课题
1.课件出示教科书P72的文字。
师：同学们，从今天开始，我们一起来对小学阶段所学过的数
教学笔记
的知识进行一个系统的整理和复习。请同学们观察屏幕上的信息，在这些信息中你能找到哪些熟悉的数？［板书课题：数的认识(1)］
【学情预设】学生说出有自然数、整数、小数、分数，还有百分数。(教师根据学生的回答板书。)
2.理解数的含义。
师：那你们知道这些数在信息中的含义吗？
【学情预设】学生结合具体情境说出资料中这些数的含义，师生一起评议。在交流中，请学生读一读资料中的数，并注意读得是否正确，发现问题及时纠正。
3.回忆小学阶段学过的数。
师：数在我们的生活中应用非常广泛，我们的生产、生活都离不开数。你还能说出哪些你学过的数？
在整理汇报环节，注意学生汇报时会有不同的整理方法和呈现方式，只要合理就应肯定。
【学情预设】预设1：还学过正数、负数、真分数、假分数。
预设2：还学过有限小数、无限小数。(教师根据学生的回答板书。)
【设计意图】由于数在生活中应用广泛，因此让学生在一组生活信息中寻找熟悉的数，在具体情境中理解数的含义以及复习数的读、写法。让学生对所学旧知进行一个整体回顾，能更好地对所学知识进行系统的归纳和整理。
二、回顾整理，构建知识网络
1.引导学生整理汇报。
师：刚才同学们说出了这么多的数，你能把学过的数整理成图表来表示吗？这些数之间有什么联系？
学生分小组合作交流，教师巡视，并参与小组的活动。
教学笔记
2.师生一起交流，得出结论。(出示课件)
3.结合分析，师生一起整理数的分类，教师板书。
师：0也是自然数，但它既不是正整数，也不是负整数。正整数和负整数表示一对具有相反意义的量。
【设计意图】充分利用教材的留白，发挥学生参与知识整理的主动性和积极性，引导学生自己整理知识，在此过程中注意查漏补缺即可。
4.在直线上表示数。
教学笔记
【教学提示】
在整理汇报环节，注意学生汇报是会有不同的整理方法和呈现方式，只要合理就应肯定。
师：请你在直线上表示-3、0、、1、3.5、5。
学生在直线上表示出这些数，师生共同评议。(课件出示正确解答)
师：请你自己想几个数，并在直线上表示出来，同桌互相检查一下。
学生独立完成教科书P73第2题后点名交流。
【学情预设】在学生交流的过程中，可以落实正负数的知识，明确直线上0的左边为负数，右边为正数。
【设计意图】让学生自由地在直线上表示数，体现数形结合思想。
5.完成教科书P73“做一做”。
【学情预设】引导学生结合生活实际说出“0.5、、50%”的含义。例如：1根木棒的长度是0.5m；既可以表示具体的数量，如10袋大米共重t，也可以表示两个数量之间的倍比关系，如红花朵数是黄花的；50%表示两个数量之间的倍比关系，如全班有40名学生,男生有20名,男生人数占全班人数的50%。
【设计意图】让学生结合实际说出小数、分数、百分数的含义，进一步理解数的意义，掌握它们之间的联系与区别。
三、复习十进制计数法
1.数的写法及数位顺序。
师：第30届夏季奥林匹克运动会中，花费4.96亿英镑修建的主体育场“伦敦碗”可容纳8万观众，你能将4.96亿这个数改写成计数单位是“一”的数吗？还有8万这个数，怎么写呢？
2.数位顺序表。
【学情预设】学生写出496000000和80000，教师让学生说出
教学笔记
它们的数位顺序。
师：请你完成教科书P73第3题的数位顺序表，并想一想：什么是十进制计数法？数位和计数单位有什么区别？
【学情预设】在整理数位顺序表时，有的学生可能容易出现遗漏或混淆,尤其是小数部分的数位顺序，只需引导学生互相补充完善即可。可以结合具体的数来进行复习。
师小结：每相邻的两个计数单位之间的进率都是十的计数法叫做十进制计数法。整数和小数都是按十进制计数法写出的数，其中个、十、百、千……以及十分之一、百分之一……都是计数单位；
各个计数单位所占的位置，叫做数位，数位是按一定顺序排列的。3.完成教科书P74“练习十四”第3题。
【学情预设】学生会说出4个数中数字“2”表示的不同含义，2个十，2个0.01，2个13，2个百。注意引导学生理解整数、小数、分数都是由若干个计数单位构成的，感受数的构成方式的本质相同。
【设计意图】复习十进制计数法，再次体验数位顺序表的逐步扩充过程，感受数级、数位和计数单位之间的对应关系，通过对整数和小数相邻单位之间进率的回忆和整理，进一步体会十进制计数法。教学笔记
四、复习分数的基本性质和小数的基本性质
1.回忆分数的基本性质和小数的基本性质。
【学情预设】引导学生说出分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数(0除外)，分数的大小不变。小数的基本性质：在小数的末尾添上0或者去掉0,小数的大小不变。
2.分数和小数的联系。
师：分数的基本性质和小数的基本性质有什么联系？举例说明。
师生一起交流，并板书：
教学笔记
【教学提示】
先放手让学生自己填写数位顺序表，同事应到学生把分数单位和小数的计数单位联系起来，是学生体会“单位”的作用。
引导学生明确分数的基本性质和小数的基本性质是一致的。
【设计意图】联系实例进行比较，在小数末尾添上0或去掉0，只改变小数的计数单位，不改变小数的大小，可以用分数的基本性质来说明小数的基本性质，体会小数的基本性质和分数的基本性质是一致的。
五、复习小数点的位置移动引起小数变化的规律
1.课件出示口算题。
师：算一算，再仔细观察这组算式，你发现了什么?小数点移动位置,小数的大小有什么变化规律?
根据学生的回答,引导学生互相交流补充。
师小结：小数点向右移动一位、两位、三位……小数就扩大到原来的10倍、100倍、1000倍……小数点向左移动一位、两位、三位……小数就缩小到原来的、、……
【设计意图】在具体的例子中回顾小数点的移动引起小数大小变化的规律，既给学生自主探究的空间，又进一步培养了学生发现规律并总结规律的能力。
2.完成教科书P75“练习十四”第4题。
学生独立完成后交流。
师生一起回忆小数、分数和百分数相互转化的方法，出示课件。
【设计意图】帮助学生巩固小数、分数和百分数之间的紧密联系。
教学笔记
六、理解大数的含义
先让学生在小组里讨论交流，举例说明1万有多大，1亿有多大，然后指名反馈，全班集体交流。
【学情预设】引导学生举例，例如一亿张纸约有一万米高，比珠穆朗玛峰还高；一节硬座车厢一般有118个座位，1万人乘坐的话，大约需要85节火车车厢。
七、巩固练习，释疑解难
1.完成教科书P74“练习十四”第1题的第(1)、(3)题和第2题。
学生独立解答后集体交流。
【学情预设】第1题：交流时要求学生说出填数时的想法。
第2题：指导学生说说如何改变大数的单位或求大数的近似数的方法。第(3)小题答案不唯一，例如2010年美国的人口数约为310000000人，你能把310000000分别改写成用“万”和“亿”作单位的数吗?
鼓励学生根据表中的信息提出不同的问题。
【设计意图】通过练习，复习数的意义和表示方法、数的改写及求近似数、数的大小比较的知识，巩固对数的意义的认识。
2.释疑解难。
师：通过刚才的复习，你们对于数的认识还有什么疑问吗？
鼓励学生提问，并引导学生相互交流、答疑。
【设计意图】让学生学会质疑，学会反思，在质疑中提高，在反思中提升。
八、课堂小结
师：通过今天的复习，你们有哪些收获呢？
教学笔记
【教学提示】
引导学生利用身边熟悉的事物举例，让学生对1万和1亿这两个数的大小有一个明确的认识，训练学生的估算技能，发展了学生的数感。
板书设计
教学反思
通过整理和复习，学生对数的意义有了进一步的认识，对数从零散的认识提升到一个全新的整体认识的高度，并进行有针对性的练习。要注意数的认识中知识点较多，部分学生可能会感到困难，
要充分利用小组合作学习的方式带动待进生。
作业设计
对应课时作业。
教学笔记
第2课时 数的认识（2）
教学内容
教科书P73第4题，完成教科书P75“练习十四”中第5~9题。
教学目标
1.通过复习，进一步巩固倍数、因数、奇数、偶数、质数、合数等概念，掌握2、3、5倍数的特征，建立一定的数感。
2.通过对有关概念整理的过程，帮助学生建立初步的知识结构，进一步完善知识网络图，培养学生整理知识的能力。
3.体会知识之间的联系，培养归纳概括能力。
教学重点
复习因数及倍数的概念，使其在学生头脑中形成知识网络。
教学难点
能用知识网络图整理所学的知识，并理解有关概念之间的联系和区别。
教学准备
课件。
教学过程
一、 创设游戏情境，揭示课题
师：下面我们就玩一个“猜年龄”的游戏。谁来猜一猜老师今
多少岁?(指3名学生进行猜测)
师：这样猜下去，很难猜中，老师给你们点提示吧！（出示课件）
【学情预设】学生会猜出老师的年龄是32岁，因为一个数的最大因数和它最小的倍数就是它本身，最小的质数是2。
师：刚才猜年龄的游戏与我们学过的哪些知识有关系?(因数和倍数)这节课我们就对“因数和倍数”的知识进行整理和复习。［板书
教学笔记
课题：数的认识(2)］
【设计意图】猜年龄的游戏的引入能充分调动学生的积极性，促使学生主动地参与。
二、回顾整理，建构因数、倍数知识网络
1.因数、倍数的含义。
提示学生可以举例来说明。
【学情预设】预设1：15÷3=5，3和5是15的因数，15是3和5的倍数。(学生也可能举出其他类似的例子。)
预设2：b和c都是a的因数，a是b和c的倍数。
师小结：因数和倍数是相互依存的，不能单独说一个数是因数或倍数。
2.引导回顾，完成知识网络图。
师：回忆一下，关于因数和倍数我们学习了哪些知识？
根据学生的发言，教师适时板书：自然数、因数、倍数、奇数、偶数、质数、合数。
(1)教师引导整理有关倍数的概念。
师：一个数的倍数有什么特征？你想到哪些数的倍数的特征？
【学情预设】预设1：一个数的最小倍数是本身，没有最大的倍数。
预设2：2的倍数的特征：个位上是0、2、4、6或8。
预设3：3的倍数的特征：各个数位上的数字之和是3的倍数。
预设4：5的倍数的特征：个位上是0或5。
课件配合出示2、3、5倍数的特征。
师：由2的倍数想到了什么?(偶数和奇数)什么是偶数？偶数
的个位有什么特征?什么是奇数？奇数的个位有什么特征？
【学情预设】学生会说出能被2整除的数是偶数，偶数的个位上是0、2、4、6、8；不能被2整除的数是奇数，奇数的个位上是
教学笔记
【教学提示】
学生在表述因数与倍数的含义时，要注意学生表述的严谨性，如果学生出现“15是倍数”“3是因数”时，要给予纠正。
1、3、5、7、9。
师小结：按2的倍数把自然数分为：偶数和奇数。
根据学生的回答，教师作相应的板书：
(2)教师引导整理有关因数的概念。
师：想不想尝试一下，自己梳理有关因数的知识呢?
【学情预设】预设1：一个数因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
预设2：质数只有1和它本身两个因数。
预设3：合数有两个以上的因数。(除了1和它本身之外，还有其他的因数。)
预设4：1既不是质数也不是合数。
(3)整理知识网络图。
师：你能用一个知识网络图来表示因数、倍数、偶数、奇数、质数、合数之间的关系吗？
学生独立整理、反馈，教师根据学生的回答板书：
【设计意图】用网络图梳理概念，有序地回顾和复习相关知识，使学生在回顾知识的同时体会到知识间内在的联系，很好地帮助学生区分和记住这些概念。让学生知道了用网络图来整理知识的方
教学笔记
【教学提示】
复习课的重要环节是引导学生理顺知识的内在联系，不应单纯地对学生已学过的知识进行回顾，而是应通过复习使他们有新的提高。例如将原先学习的一些概念和知识联系起来，使之形成整体性的知识结构，使学生的认识不断深化。
法，同时也有效地培养了学生的抽象概括能力和语言表述能力。
3.完成练习。
课件出示习题，学生独立完成后在小组内交流、订正。
课件出示正确解答。
【设计意图】通过练习，使学生熟练掌握20以内的质数、合数、奇数、偶数。
三、复习最大公因数、最小公倍数的知识
1.公因数、公倍数、最大公因数、最小公倍数。
课件出示习题。
【学情预设】预设1：36和54的公因数有1、2、3、6、9、18，最大公因数是18。
预设2：36和54的公倍数有108、216……最小公倍数是108。
师小结：最大公因数和最小公倍数都只有一个，公因数的个数是有限的，公倍数的个数是无限的。两个数的公因数都是它们最大公因数的因数，两个数的公倍数都是它们最小公倍数的倍数。
师：如果a÷b=c(a、b、c均为正整数)，那么a和b的最大公因数是什么？最小公倍数是什么？
【学情预设】引导学生说出当a是b的倍数时，它们的最大公因数是b，最小公倍数是a。
2.用公因数和公倍数的知识解决实际问题。
(1)课件出示习题。
教学笔记
【教学提示】
注意让学生说说自己的方法，学生可能用列举法、画集合图法、短除法，可以让学生展示、交流不同的方法。
学生思考并解答后交流。
【学情预设】引导学生说出要解决这个问题，其实就是要求64和96的最大公因数。可以用短除法来求。
(2)完成教科书P75“练习十四”第9题。
学生在小组内合作完成。
【学情预设】对于能力稍弱的学生，可以尝试、猜想得出答案并验证。教师可以指导学生明确要求“这箱苹果有多少个”，就是求40~50之间比8和10的公倍数多6的数是多少。先找出8和10的最小公倍数40，再加上6，得到这箱苹果有46个。教师还可以把题目中的信息“一箱苹果有40多个”改成“一箱苹果有80多个”，得到这箱苹果有40×2+6=86(个)。
【设计意图】在解决实际问题中复习有关公倍数、公因数的知识，唤起学生对知识的回忆，并能将知识应用到实际问题当中，培养学生的应用意识。
四、巩固练习，加深概念理解
1.完成教科书P75“练习十四”第6题。
学生独立完成后交流汇报。
【学情预设】这一组判断题涉及学生易错易混的概念，在判断正误时要注意让学生说出理由，用相关概念或举反例的方法说明。例如“所有的偶数都是合数”，可以举出反例“2是偶数但2是质数”来说明理由。
2.完成教科书P75“练习十四”第5题。
学生完成后集体订正。
【学情预设】首先引导学生有序写出由2、3、4、5组成的无重复数字的所有两位数，再根据奇数、偶数、质数、合数的特点以及2、3、5倍数的特征来解决问题。
3.完成教科书P75“练习十四”第7、8题。
教学笔记
学生先独立完成，并在小组内讨论、交流。
【学情预设】第7题：这是一道找规律填数的问题，填数时可以让学生按照规律多写一些数，不难发现第（1）题的数越来越接近1，第（2）题的数越来越接近0，让学生感受极限思想。
第8题：学生可能会用多种方法比较这些分数的大小，例如通分、将分数化成小数，注意引导学生找出这类数的特点，利用转化的方法从不同角度解决问题。
【设计意图】通过练习，让学生体会数学思想方法。通过观察、思考，紧密结合已有的数学知识和经验，丰富学生对规律的感性认识。
五、课堂小结
师：通过本节课的复习，你们有哪些收获呢？
板书设计
教学反思
能把所学的知识有条理地整理成知识网络图，对六年级学生来说是重要且必要的技能。采用小组合作整理的学习形式，降低了整理的难度，学生在相互启发、相互补充的过程中，思维得到开拓，
教学笔记
智慧得到碰撞。这节课中的概念极易混淆，要注意引导学生通过讨论交流的方式予以强化、辨别。
作业设计
二、判一判。（对的画“√”，错的画“×”)
1. 20÷4=5，那么4是因数，20是倍数。 ( )
2.两个质数一定是互质数，两个合数一定不是互质数。
( )
3.三个连续自然数的和一定是6的倍数。 ( )
4.所有偶数(0除外)的最大公因数是2。 ( )
5.两个不同数的最小公倍数一定大于最大公因数。 ( )
参考答案
二、1.× 2.× 3.× 4.√ 5.√
教学笔记
第3课时 数的运算（1）
教学内容
教科书P76，完成教科书P79“练习十五”中第1、2、7题。
教学目标
1.引导学生进一步理解和掌握四则运算的意义和计算方法，归纳整理整数、小数、分数计算法则的异同点，进一步明确计算时应遵循的一般规律及四则运算中的一些特殊情况。
2.在复习过程中，通过经历四则运算法则的归纳过程，体验迁移归纳的学习方法，培养学生的数感,提高运算能力。
3.感悟数学运算之间的内在联系，养成仔细认真的学习习惯。
教学重点
掌握四则运算法则，会正确地进行计算。
教学难点
能比较整数、小数、分数计算方法的异同点。
教学准备
课件。
教学过程
一、 口算比赛，揭示课题
课件出示教科书P79“练习十五”第1题。
师：我们来比一比，看谁算得又对又快！
学生独立完成口算，集体订正。
【学情预设】学生能比较熟练地口算，被除数和除数末尾有0的整数除法、分数和小数乘、除法是学生的易错题，可以利用错例有针对性地交流。
师：在这些口算题中，有加、减、乘、除四则运算，今天我们就来复习有关四则运算的知识。［板书课题：数的运算(1)］
【设计意图】复习达到了两个目的：一是通过口算，对学生基础计算能力进行巩固和提高；二是借助口算揭示本节课要复习的内容。
教学笔记
【教学提示】
教学笔记口算练习可以采取小组接龙的形式，完成后可挑选有代表性的题目，让学生说说算法。
二、归纳整理，复习巩固
1.复习整理四则运算的意义。
师：你知道加、减、乘、除这些运算的意义是什么吗？在小组内互相说一说。
【学情预设】可以引导学生举例来说明，学生对一个数乘小数和一个数乘分数的意义很容易遗漏或混淆，教师可引导学生集体评议，互相补充完善。
根据学生的汇报，课件出示下表。
师：知道了四则运算的意义，想一想，整数、小数、分数的四则运算有什么相同点？有什么不同点？
学生在小组内交流后汇报，根据学生的回答将上表修改、补充。(出示课件)
【设计意图】引导学生回顾学过的运算及其含义，放手让学生
教学笔记
在小组讨论与交流中构建运算的现实意义，并为下一步复习四则运算之间的关系奠定基础。
2.复习四则运算之间的关系。
(1)课件出示教科书P76第4题。4.观察下列算式，说一说四则运算之间的关系。
【学情预设】通过观察，学生很容易体会到四则运算之间的关系，学生在归纳总结时可能语言不够准确精练，只要他们能结合具体例子加以总结即可，不要求学生机械记忆。
根据学生回答,教师板书：
(2)师：你还能说出加、减、乘、除法算式中各部分的名称吗？你能用字母表示这些关系吗？
学生独立完成教科书P76第5题，并汇报交流。
【学情预设】预设1：加数+加数=和，一个加数=和-另一个加数，用字母表示为a+b=c，b=c-a。
预设2：被减数-减数=差,被减数-差=减数,差+减数=被减数,用字母表示为a-b=c，a-c=b，b+c=a。
预设3：因数×因数=积，积÷一个因数=另一个因数，用字母表示为a×b=c，c÷a=b。
预设4：被除数÷除数=商，被除数÷商=除数，商×除数=被除数，用字母表示为c÷a=b，c÷b=a，a×b=c。
教师根据学生发言出示课件。
【设计意图】通过观察算式，引导学生体会每种运算各部分之间的关系，掌握用字母表示加减法、乘除法之间互逆关系的方法，
教学笔记
【教学提示】
学生在归纳加、减、乘、除法运算的关系时，有些学生只会列出具体的算式加以总结，可指导学生逐步学会用字母来表示。
加深对四则运算的认识。
3.复习四则运算的计算法则。
(1)复习整数、小数和分数加减法的计算法则。（出示课件）笔算。
学生独立完成计算。
师：通过刚才的计算，你发现了整数、小数和分数加减法计算法则有什么共同点吗？
【学情预设】学生通过这一组练习，很容易看出三者之间的共同点，都是把相同计数单位的数相加、减，而异分母分数需要通过通分转化为同分母的分数，再相加减。
根据学生的回答板书：
(2)复习整数、小数的乘法和除法的计算法则。
师：想一想，小数乘法和除法的计算法则与整数乘法和除法的计算法则有什么相似和不同的地方？
【学情预设】引导学生说出：小数乘除法与整数乘除法的相同点是小数乘除法先按整数乘除法的法则计算，小数除法把小数转化成整数后，也按整数乘除法法则计算；不同点是小数乘除法还要在结果上确定小数点的位置。
(3)复习分数乘、除法的计算法则。
师：请你回忆一下，分数乘法和除法的计算法则是什么？计算时要注意什么？说一说，分数乘法与除法之间有什么联系？
【学情预设】预设1：分数乘法法则：分数乘分数，用分数的
教学笔记
分子相乘的积作为分子，分母相乘的积作为分母，为了计算简便，能约分的先约分再计算。
预设2：分数除法法则：甲数除以乙数(0除外)，等于甲数乘乙数的倒数。
预设3：分数除法计算是把除数改写成它的倒数以后，转化为分数乘法计算的。
根据学生的回答出示相应课件。
【设计意图】通过复习整数、小数和分数四则运算的计算法则，沟通它们之间的联系，并强调计算方法中的不同，进一步巩固学生对计算法则的掌握。
4.复习四则运算中的一些特殊情况。
师：在四则运算中，如果有0或1参与运算，有哪些特殊情况？试着整理一下。
【学情预设】学生能表述相关的特殊情况，如0和任何数相乘都得0等，但不习惯用字母表示。教师有意识地引导学生分类表示并分别用字母表示运算规律。如找出什么情况下运算结果是原数的，运算结果为原数的有a+0，a-0，a×1，a÷1；什么情况下运算结果是0，运算结果为0的有a-a，a×0，0÷a(a≠0)。
根据学生的发言出示课件。
5.复习四则混合运算的顺序。
(1)学生独立完成教科书P76“做一做”,小组内订正。
(2)总结四则混合运算的顺序。
师：四则混合运算的顺序是怎样的？计算时要注意什么？
【学情预设】指导学生说出：一级运算：按照顺序，从左向右，依次计算；二级运算：先算乘除法，再算加减法；有括号时，先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算中括号外面的。计算时要细心，注意验算。
根据学生的回答出示课件。
【设计意图】鼓励学生交流四则混合运算的顺序，这是小学阶
教学笔记
【教学提示】
提醒学生注意四则运算中的一些特殊情况，引导学生系统整理0与1这些特殊数在四则运算中的特性,培养学生认真细致的良好习惯。
段正确运算的基础，也是上初中后进一步学习代数式运算的知识基础。
三、巩固练习，提高运算能力。
学生独立解答教科书P79“练习十五”第2、7题。
解答完毕后，集中展示交流，订正。
【学情预设】第2题：此题是考查小数乘法中因数的小数位数与积的小数位数之间的关系以及乘、除法之间互逆关系的直接应用。注意引导学生检验反思。
第7题：让学生根据等式判断三个未知数的大小关系，判断的方法很多，例如设等式的和为1，求出x、y、z后比较大小；或者利用规律，两个数相加，和一定，一个加数越大，另一个加数就越小的方法来进行比较。只要学生的方法合理都要予以肯定，重点在于培养推理能力。
【设计意图】通过练习，进一步巩固四则运算中加、减、乘、除之间的关系，并能灵活运用它们之间的关系解决问题。
四、课堂小结
师：通过本节课的学习，你们有哪些收获呢？关于整数、小
数、分数四则运算的知识，你还有哪些疑问？
【设计意图】鼓励学生学会质疑，可以在复习的过程中查漏补缺，同时也让学生在交流中反思，在反思中提升。
板书设计
教学反思
教学中，积极开展小组交流，鼓励学生集体评议，互相补充。
教学笔记
【教学提示】
在练习四则混合运算时，要经历“观察算式——回忆运算顺序——规划计算步骤——按次序进行计算——反思并积累体会”的过程，既发展数学思维，提升混合运算能力，又能够准确、灵活地按已有的运算顺序进行计算。
这个过程重在培养学生用数学交流的能力，使学生学会倾听，并且提醒学生养成认真细致的良好习惯；同时进一步认清四则运算计算
法则的本质,运用归类、比较等方法，不断加以总结和概括，在复习中把知识条理化，在整理中形成比较完整的知识结构。学生最容
易出错的是分数、小数的乘除法计算，要注意收集错例，找出错因，有针对性地进行练习，提高学生的运算能力。
作业设计
对应课时作业。
教学笔记
第4课时 数的运算（2）
教学内容
教科书P77第7题，完成教科书P79“练习十五”中第5、6题。
教学目标
1.通过复习，熟练地掌握四则运算定律和性质，能灵活应用运算定律进行简便运算。
2.通过探索运算定律和性质的应用等数学活动，让学生体验数学的作用，培养学生的应用意识。
3.体验数学知识之间的内在联系，感受数学的优化思想，培养学生观察发现和应用知识的能力。
教学重点
经历四则混合运算的简便过程，体验迁移的学习方法。
教学难点
能够根据运算对象的特征选择合适的运算策略。
教学准备
课件。
教学过程
一、对比练习，揭示课题
课件出示以下两组计算题。
师：如果请你选择一组题参加比赛，你想选哪组呢？为什么？
【学情预设】大部分学生通过观察能发现左边的算式中数的特点，可以用学过的运算定律进行简便计算，少数学生未能发现，可引导他们先试算，感受到合理地运用运算定律可使计算变得简便的特点。
学生独立完成左边的一组题后交流。
教学笔记
【教学提示】
结合左边3道算式的计算过程，说一说怎样进行的简便运算，运用了什么运算定律。
师：你能说说计算左边这一组的3道题时分别可以用哪些运算定律吗？
【学情预设】预设1：4×+4×这道题可以运用乘法的分配律。
预设2： --这道题可以运用减法的性质，把连减转化成减去两个减数的和。
预设3：（-）×45这道题可以运用乘法的分配律，把括号里的每个数都与45相乘比较简便。
课件出示解答过程。
师：运算定律在数与运算中起着很重要的作用，今天这节课我们就来整理复习运算定律的知识。［板书课题：数的运算(2)］
【设计意图】从学生已有的知识经验出发，设计的两组计算题使得比赛一开始具有不公平性,引发认知冲突，旨在引导学生在计算前养成“观察——分析——判断”的审题习惯，透简算意识,为后面复习运算定律作铺垫。
二、回顾整理运算定律
1.回顾学过的运算定律。
师：想一想，在小学阶段我们学过哪些运算定律？
【学情预设】学生会说出加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。有的学生还会说出减法的运算性质、除法的运算性质。
教师根据学生的回答有序板书：加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律、减法的运算性质、除法的运算性质。
师：举例说明,什么是加法交换律？你能用字母表示出来吗?
【学情预设】预设1：两个数相加，交换两个加数的位置，和不变。
预设2：用字母可以表示为：a+b=b+a。
教学笔记
2.填表整理运算定律。
师：你能像刚才这样,一边回忆我们学过的运算定律，一边将教科书P77第7题的表格填写完整吗？
学生完成后汇报交流。
师：刚才我们还说到了减法的运算性质和除法的运算性质，谁能举例说明，并用字母表示呢？
教师根据学生的发言板书：
减法的运算性质 20-3-7=20-(3+7) a-b-c=a-(b+c)
除法的运算性质 30÷2÷5=30÷(2×5) a÷b÷c=a÷(b×c)
师：这些运算定律是不是只适用于整数运算呢?
【学情预设】引导学生说出：这些运算定律同样适用于小数、分数运算。
【设计意图】在复习时让学生经历回忆、举例、模仿、填表的过程，教给学生用表格整理、归纳知识的方法,形成完整的知识网络，让学生的知识有序化、系统化。
3.归纳特点。
师：这几种运算定律各有什么特点呢？
小组讨论交流、汇报。
【学情预设】引导学生归纳：加法交换律、加法结合律能综合运用于连加运算，加数经过交换、结合，运算符号不变，还是连加。乘法交换律、乘法结合律能综合运用于连乘运算，乘数经过交换、结合，运算符号不变，还是连乘。只有乘法分配律涉及乘加或乘减两种运算。
教学笔记
【教学提示】
交流时引导学生用自己的语言描述这五条运算定律，语言不一定要准确精练，只要学生表述清晰或能结合实例用字母概括即可，不必死记硬背。
【设计意图】归纳运算定律的特点，沟通知识之间的联系和区别，感知运算定律的应用特点。
三、纠错练习，巩固运算定律的应用
1.课件出示习题。
学生独立完成后，集体评议。
【学情预设】预设1：第(1)题运算顺序错了，不能因为3.29与5.71能凑整就先算，要观察题目中的运算顺序。正确的是15.3-3.29+5.71=12.01+5.71=17.72。
预设2：第(2)题是连乘计算，只能运用乘法交换律、乘法结合律，把32拆成4×8，而不是4+8，拆完后还是连乘。正确的是25×32×125=(25×4)×(8×125)=100×1000=100000。
预设3：第(3)题要运用乘法分配律，括号外有两个数，可以看作是一个整体，都要与括号里面的数相乘，而不是分别相乘。正确的是5×4×15+14=5×4×15+5×4×14=4+5=9。
预设4：第(4)题不能简便运算。正确的是18÷(2+3)=18÷5=3.6。
（教师可以适时增加一道题：(18+6)÷3，引导学生发现可以用18÷3+6÷3来进行计算，从而进行对比。）
【设计意图】在纠错练习中，充分展示学生错误解题的错因，让每一个错误例子都变成有用的教学资源。
2.师：解决了这几个问题，你能说说在进行简便运算时要注意什么吗？
【学情预设】学生可能会说出看清楚运算符号、判断运算顺序，观察能不能用简便方法计算等。
师：在进行计算时，可以先认真观察，看清楚运算符号及数的特点，能用简便方法计算的，要正确使用运算定律进行计算。
教学笔记
【教学提示】
纠错环节是本课教学中很重要的一个环节。教师可以根据自己的经验或将平时收集的学生错例在这一环节进行展示评析，以便于学生更好地掌握用简便方法计算。
四、综合练习，提高运算能力
1.学生独立解答教科书P79“练习十五”第5题。
解答完毕后，集中展示交流，订正。
【学情预设】指导学生说一说：你是怎样简便计算的？用到了哪些运算定律？
【设计意图】在练习中，放手让学生自主观察、思考、计算。说一说自己是怎么想的，选择了什么样的简便运算的方法，有利于提高学生灵活运用运算定律进行简便运算的能力。
2.复习有规律的计算。
课件出示教科书P79“练习十五”第6题。
师：请你先用计算器计算左边的一列题，你能发现什么规律？直接写出其他题目的得数。
学生独立完成后汇报交流。
【学情预设】大部分学生会根据前面发现的规律直接口算。少数学生可能继续依赖计算器，教师无需评判，鼓励学生主动交流发现思考所得，感悟用规律计算的简捷性。同时正好用计算器算出的结果进行规律的验证。
师小结：虽然计算器能给我们的计算带来方便，但是我们不能总是依赖它，而是要勤于观察、寻找规律，使我们的计算更快速简便。教学笔记
【设计意图】由于部分学习困难的学生习惯性地认为计算器比较方便、快捷，但教师引导学生仔细观察这组算式的特点，使学生探究出算式中隐含的规律，使学生体会到运用规律计算的简捷性，明确不是所有计算题都用计算器计算才简便，引导学生养成认真观察、善于思考的良好习惯，合理、灵活地运用简算策略，进一步发展学生的简算意识。
五、课堂小结
师：通过本节课的复习，你们有哪些收获呢？板书设计
教学笔记
教学反思
本课教学引导学生自主归纳、整理所学的运算定律，并能用字母表示运算定律，把课堂交给学生，让他们通过动脑、动手、动口等多种感官活动的结合，使学生回顾旧知识，感知运算定律的应用。课后可以补充一些有针对性的练习，还可以补充一些探索计算中的规律的练习。
作业设计
参考答案
教学笔记
教学笔记
第5课时 数的运算（3）
教学内容
教科书P77第8题，完成教科书P79~80“练习十五”中第3、4、12、13、14题。
教学目标
1.在回顾交流中，总结估算的方法，能用估算把握运算结果的范围或用估算解决实际问题，进一步体会估算的作用。
2.在解决具体问题的过程中，能选择合适的估算方法和策略，并解释估算的过程，养成估算的习惯。
3.培养估算意识，发展估算能力，进一步发展数感。
教学重点
在解决具体问题的过程中，能选择合适的估算方法，养成估算的习惯。
教学难点
养成估算习惯，发展估算直觉,发展数感。
教学准备
课件。
教学过程
一、估算练习，复习估算方法
1.课件出示教科书P79“练习十五”第3题。
指名汇报，集体交流。
【学情预设】学生能根据过去的经验进行估算，注意估算的答案不唯一。例如：803-207，可以将两个数都估成整百数进行估算，也可以只将其中的一个数估成整百数进行估算，教师都要予以肯定。
师小结：估算可能有多种结果，这些结果有些和精确值接近一些，但计算速度要慢一些；有些结果没有那么精确，但计算速度要快一些。这些结果在现实生活中都有参考价值。
师：你能说说加、减、乘、除法估算的方法吗？
教学笔记
【学情预设】引导学生说出加法、减法、乘法估算时，通常用“四舍五入”法把参加运算的数看作与它最接近的整十、整百、整千数……再来进行计算；除法的估算中通常先估除数，然后根据乘法口诀来估被除数，例如632÷69的估算，先将除数估作70，再将被除数估作630，根据口诀“七九六十三”，可得结果大约是9。
【设计意图】复习具体的估算策略，提高学生的估算能力。
2.揭示课题。
师：请同学们回顾一下，学习和生活中哪些时候要用到估算？
【学情预设】预设1：买东西的时候要估算带的钱够买几件物品，或者根据商品的价格估计需要带多少钱。
预设2：做计算题前可以用到估算，估算出结果的范围。
预设3：计算后要用到估算，可以检验计算的结果是否正确。
……
师：估算在生活中有着这么广泛的应用，这节课我们就来梳理有关估算的知识。［板书课题：数的运算(3)］
二、复习估算
1.根据估算确定计算结果。
(1)课件出示教科书P77第8题(1)、(2)。
师：你是怎样想的？在小组内说一说。
学生思考并交流、汇报。
【学情预设】预设1：7.99×9.99=79.8201，比80小。
预设2：不用计算，直接把7.99估成8，9.99估成10，那么积是80。但是因为把两个数都估大了，所以原来的积一定比80小。
预设3：把9.99估成10，一个因数估大了，积也只有79.9，比80小，所以7.99×9.99一定比80小。
师：你更喜欢哪种方法？看来估算是生活中经常用到的方法，
教学笔记
【教学提示】
让学生用自己的话总结估算方法，如果有困难，可结合具体的例子来说明，教师可帮助学生归纳提升。
它的特点是不要求非常精确，也能解决问题。谁来说说用估算的方法怎样判断第(2)小题的结果是不是比1大？
【学情预设】学生有了前面的经验，会说出＞，所以+的和一定大于1。
(2)完成教科书P79“练习十五”第4题。
学生独立完成后在小组内说一说估算的方法，再集体汇报交流。
【学情预设】引导学生根据数的特点进行估算比较，然后总结出几种估算的方法。例如：59×9.9的积肯定比60大，1个59就很接近60，这种策略是往小估的方法；估算57×0.8的积时，把0.8估作1，估大了积才等于57，实际结果一定比57小，这种策略是往大估的方法；还有的可以利用计算的一些性质来进行判断，例如32÷1.2的商一定小于32。
【设计意图】结合具体的问题让学生明确利用估算就能大致判断一个算式的结果范围，并积累一些估算的方法，进一步发展学生的估算意识。
(3)联系计算，发现错误，培养估算意识。
课件出示习题。
学生独立思考计算后，师生共同交流。
【学情预设】预设1：3500-700=3200是错误的，因为500＜700，所以差应小于3000。
预设2：791+118=809是错误的，因为118接近100，791+100=891，实际结果应大于891。
预设3：110×41=410是错误的，因为110≈100，41≈40，100×40=4000，故实际结果大约为4000。
预设4：204÷2=12是错误的，因为204≈200，200÷2=100，故
教学笔记
【教学提示】
判断左边的算式与右边的数的相对大小，可以告诉学生不需要计算出结果，指导学生根据数的特点和运算的性质加以判断。
实际结果大约为100。
【设计意图】通过估算来发现错误，提高计算检查的速度，培养估算意识，再通过计算精确值来订正，让学生进一步区别近似值与精确值。
2.根据估算解决实际问题。
课件出示教科书P77第8题(3)。
师：怎样用估算的方法解决这个问题呢？试一试吧！
学生独立完成后汇报交流。
【学情预设】预设1：20.6≈21，39.6≈40，13.7≈14，21×2+40+14=96(元)，96＜100，把书的单价都估大了，买薄本的显然足够，所以这时妈妈的钱够买薄本的菜谱。
预设2：20.6≈20，39.6≈39，23.8≈23，20×2+39+23=102(元)，100＜102，把书的单价都估小了，买厚本的显然不够，所以这时妈妈的钱不够买厚本的菜谱。
师小结：估算是生活中常用的一种计算方法，有时我们不需要非常精确的答案时,可以用估算快速、简便地得到一个接近精确值的近似值，以便解决生活中的实际问题。在解决这个问题时，我们用到了往大估、往小估的策略，有时也会用“四舍五入”法来进行估算。
(板书：往大估、往小估、“四舍五入”法)
【设计意图】这道题具有针对性、综合性、开放性的特点，帮助学生巩固估算的方法,加深对估算策略的理解，而且在思考估算策略的过程中,体会到利用估算是由解决实际问题的需求决定的，进一步培养他们合理灵活运用估算策略的意识。
三、巩固练习，深入体会估算的应用
1.完成教科书P77“做一做”。
教学笔记
【教学提示】
解决这个问题时，学生可能会出现多种估算策略，如“中间数”法、“四舍五入”法等。教师应鼓励学生运用多种策略进行估算，并在交流过程中解释估算的思路和理由，只要合理就应给予肯定，帮助学生积累经验，发展估算直觉。
学生独立思考后集体交流。
【学情预设】43+40+41+44+42≈40×5=200(人)，因为把43、41、44、42看成40计算时，都把原数看小了，所以这5个数的和的准确值要比近似值200大，说明开会的人数比座位数多，因此需要加椅子。
2.完成教科书P80“练习十五”第13、14题。
学生独立思考后交流。
【学情预设】第13题：引导学生看懂统计表中的信息，利用速度=路程÷时间的数量关系来解决问题，明确可以把路程看作1500 km，时间看作6小时进行估算。
第14题：先精确计算，再估算。爸爸的手臂长多少虽然未知，但根据生活经验，将手举起来应该超过头顶0.2m。
【设计意图】这些练习需要学生利用数据信息，从实际情况出发，选择合适的问题解决策略，提高知识的实际应用能力。
四、课堂小结
师：通过本节课的复习，你们有什么感受和收获呢？课后完成教科书P80“练习十五”第12题，再与小组内的同学交流。
【设计意图】解决第12题，如果学生不了解一分钟的呼吸次数、心跳次数的信息，还需要亲自测量或调查收集数据，感受估算在生活中的实际应用。
板书设计
数的运算（3）
往大估、往小估、“四舍五入”法
教学反思
对于估算的复习，是通过引导学生回忆估算在生活中的应用，让学生自主归纳出常用的几种估算方法，并灵活运用，达到整理所学估算知识的目的。在利用估算解决实际问题时，仍有部分学生不能根据实际问题选择合适的估算方法，这需要在以后的学习中进一
步发展学生的估算意识，帮助学生学会使用合理的估算策略。
教学笔记
作业设计
对应课时作业。
教学笔记
第6课时 数的运算（4）
教学内容
教科书P78第9、10题，完成教科书P80“练习十五”中第8~11题。
教学目标
1.【学情预设】引导学生进一步掌握四则混合运算的方法，能够灵活运用四则混合运算的方法解决日常生活中的实际问题。
2.经历解决问题的过程，体验迁移类推的学习方法，培养运算能力和推理能力。
3.在学习过程中鼓励算法多样化，培养数感,养成认真细致的学习习惯。
教学重点
熟练掌握用算术方法解决问题的一般思路和步骤。
教学难点
能运用四则混合运算解决稍复杂的实际问题。
教学准备
课件。
教学过程
一、回忆解决实际问题的步骤，导入复习
师：同学们，在实际生活中，我们经常要用数学知识解决许多实际问题。解决实际问题时有哪些主要步骤？需要注意什么？
【学情预设】引导学生独立思考，然后在小组内交流、讨论。
【学情预设】学生可能会想到的主要步骤有阅读与理解、分析与解答、回顾与反思；注意事项有：认真读题，理解题意，弄清已知条件和问题，分析数量关系，借助画图辅助思考，仔细解答，仔细检查等,教师不用评判，可以通过学生之间的交流总结出在解决问题时有哪些共同的步骤。
师生一起小结解决实际问题的主要步骤。(出示课件)
教学笔记
师：今天我们就来复习运用算术方法解决问题。［板书课题：数的运算(4)］
【设计意图】提出问题，激发学生认真学习的兴趣，以极大的热情投入到本课的复习当中，积极回忆解决实际问题常用的步骤。
二、经历解决问题的过程，复习解决问题的步骤及方法
1.课件出示教科书P78第10题。
师：题目中已知的是什么信息？要求的是什么问题？我们已经知道解决问题的相关步骤，这道题应该先算什么？再算什么？
【学情预设】引导学生说出要求两个班共交了多少件作品，先要根据“六(2)班比六(1)班多交”这条信息求出六(2)班交了多少件作品，再求两个班交的作品件数之和。
师：请大家用自己喜欢的方法分析、解答这个问题。
引导学生独立思考，然后4人一小组交流讨论，教师巡视指导，指名汇报解题思路。
【学情预设】预设1：画图来分析数量关系：
根据分析，可以列式为：32÷4×(4+5)=72(件)；还可以列式为32×（1+1+）=72(件)。
预设2：根据题意可以写出关系式：六(1)班交的作品件数+六
教学笔记
【教学提示】
解决第10题中的问题，要有意识地引导学生经历并掌握解决问题的一般步骤。
【教学提示】
此环节在学生独立思考后，要鼓励他们主动、大胆地表述自己的分析思路和解题步骤，要注意引导学生根据题意画线段图进行分析。
(1)班交的作品件数×=六(2)班交的作品件数，列式为32+32×=40(件)，即可求出六(2)班交的作品件数，再用32+40求出两个班交的作品件数之和。
预设3：根据题意可以写出关系式：六(1)班交的作品件数×（1+）=六(2)班交的作品件数，六（1）班交的作品件数+六（2）班交的作品件数=两个班交的作品件数之和，列式为32+32×（1+）=72(件)。
教师引导学生理解每一种方法的思路，明确解决分数应用题要找准单位“1”，根据题意画出线段图或写出数量关系式进行分析，再列式解答，最后检验反思。(师生一起画出这道题的线段图并写出数量关系式。)
【设计意图】通过一个稍复杂的“求比一个数多几分之几的数是多少”的两步分数乘法问题，引导学生经历解决问题的各个步骤。写出数量关系式、画出线段图等方法可以有效帮助分析数量关系，使学生掌握各种具体的问题解决策略。学生在解决此问题时，由于思考角度的不同，可以采用不同的解题策略，体现了策略的多样性。
2.完成教科书P78“做一做”第1、2题。
学生独立完成后在小组内交流，再集体交流。
【学情预设】第1题：可以画线段图分析，或者写出数量关系式：第二季度的营业额比第一季度增加的营业额÷第一季度的营业额=第二季度的营业额比第一季度增长了百分之几；列式为(16.5-15)÷15=10%，也有学生会用16.5÷15-1=10%来解决问题，让学生说明解题思路。
第2题：引导学生发现实际与计划的总路程是相同的，运用“路程÷时间=速度”的数量关系分别求出实际速度和计划速度，再求出两者之差。
【设计意图】解决问题的练习中，重点分析已知信息和问题之间的数量关系；然后根据四则运算的意义选择适当的运算方法列出
教学笔记
正确的算式，计算；再求得答案，检验。使学生掌握解决问题的一般步骤，并养成反思的良好习惯。
三、知识应用，巩固提升
完成教科书P80“练习十五”第8~11题。
学生独立完成，教师巡视指导，集体汇报交流。
【学情预设】第8题：抓住不变量“白纸的总张数”来解决问题，学生可能有不同的解决问题的方法：20×28÷16-28=7(天)；(20-16)×28÷16=7(天)；或者用正比例的知识解决问题，都要予以肯定。教师注意让学生说明解题思路。
第9题：指导学生根据题意写出两道数量关系式：全年接待游客人数×=上半年接待游客人数，上半年接待游客人数×=第三季度接待游客人数，从而发现这是一道连续求一个数的几分之几是多少的问题，列式为196××=63(万人)=630000人；或者有学生列出算式196×（×）=63(万人)=630000人，也要予以肯定，引导学生理解×先求的是第三季度接待游客人数占全年接待游客人数的几分之几。
第10题：可以用不同的方法来解决问题，抓住不变量——原来买10L的钱不变，既可以用算术法解答，也可以用反比例的知识解决。无论哪种方法，都让学生说出自己的解题思路。
第11题：解决这个问题方法也有多种，既可以求出60 L汽油可以行多少千米，再与560 km比较；也可以求出行560 km需要多少升汽油，再与60 L进行比较。还可以抓住每升汽油可以行的路程不变，用正比例的知识解决。
【设计意图】这一组练习，都能从不同的角度分析解答，对学生理解问题、感悟数量关系、用合适的方法和策略解决问题提出了较高的要求。由于学生理解题意的角度不同，思考的方式也会不同，只要能说出列式背后的数量关系，都应给予肯定。
四、课堂小结
教学笔记
师：通过本节课的学习，你们有哪些收获呢？
板书设计
教学反思
教师要注意引导学生经历理解题意、确定问题、寻找信息、分析数量关系、列式解答、回顾反思的完整过程，特别要重视对题意的理解、回顾反思的落实，帮助学生形成解决一般性问题的能力。如果学生想到比较特殊的解法，只要分析有理，均要予以肯定，但不用作为全体要求。
作业设计
五、某工艺品厂生产一批工艺品，甲车间单独做要8小时完成，乙车间单独做要12小时完成。若甲车间先做1小时后，乙车间也加入，总共要用几小时才能完成任务？
参考答案
教学笔记
第7课时 式与方程（1）
教学内容
教科书P81第1题，完成教科书P82“练习十六”中第1、2、4、5、6、7题。
教学目标
1.进一步理解用字母表示数的意义及作用，会用字母表示数量及常见的数量关系、运算定律及计算公式等。
2.加深对方程意义的理解,会熟练运用等式的性质解方程。
3.体会用字母表示数的作用及方法，进一步建立符号意识，体会代数思想。
教学重点
比较系统地掌握式与方程的知识。
教学难点
用字母的表达式表示数量的方法以及简写方法。
教学准备
课件。
教学过程
一、问题导入，揭示课题
课件出示教科书P81第1题的表格。
师：看到这些信息，你想到了什么？
【学情预设】学生可能会说(a+b)表示男、女生一共有多少人；路程=速度×时间；圆柱的体积=底面积×高；用字母表示加法交换律；同分母分数加法的计算法则。
师：这些信息中有数量、数量关系、计算公式、运算定律和计算法则，它们都是用什么来表示的呢？(字母)用字母表示数在生活中有广泛的应用，它是代数的开始，从算术到代数是数学发展的重
教学笔记
【教学提示】
通过学生自由发言，及时了解学生掌握式与方程的程度，以此作为调整课堂教学思路的主要依据。
要转变。今天我们就来复习有关式与方程的知识。［板书课题：式与方程(1)］
二、复习回顾，构建知识体系
1.复习用字母表示数。
(1)师：我们知道，用字母表示数在生活中应用广泛，为研究和解决问题带来很多方便。你会用字母表示什么？请在教科书P81的表格中写出来。
【学情预设】学生可能会回答可以表示数量、数量关系、计算公式和运算定律等。
根据学生的回答板书：
学生独立填表，教师巡视指导。
集体交流，根据学生的汇报出示课件。
用字母表示数量关系时，可以借助整理帮助学生复习基本的数
教学笔记
【教学提示】
学生汇报时，教师有意识地引导学生完整汇报用字母表示的四种数量（加、减、乘、除）和五个定律。其他部分只需要体会用字母表示比用文字表述更简明易记就可以了。
量关系：
路程=速度×时间，用字母表示为s=vt；
工作总量=工作效率×工作时间，用字母表示为c=at；
总价=单价×数量，用字母表示为c=ax。
【设计意图】引导学生借助表格梳理，可以帮助学生从数量、数量关系、计算公式、运算定律等方面全面回顾所学知识，使已学知识系统化、结构化，提升学生自主归纳、总结的能力。
师：你能结合自己填的表说一说，用字母表示数有什么意义和作用吗?
【学情预设】引导学生说出用字母表示数非常简洁、方便。
(2)用字母表示数的简写方法。
师：在一个含有字母的式子里，数与字母、字母与字母相乘，书写时应注意什么？
【学情预设】引导学生举例来说明，学生可能会回答乘号可以记作“·”,或省略不写,也可能会忽略数与数之间的乘号不能省略，可以引导学生在互相评议中补充完善。
师生一起小结，出示课件。
(3)完成教科书P81上方的“做一做”。
学生独立完成后小组内交流，课件出示正确解答。
【学情预设】注意引导学生说出a3、3a、这几个式子用文字表达的含义及书写方法。
【设计意图】此环节旨在引导学生回顾用字母表示数时，明确省略乘号时的易错点，能正确辨别易混点。通过独立思考、小组交流，完善自己的认识，及时地进行易混点的辨析，加深认识，以达到深刻理解的目的。
2.复习方程。
教学笔记
(1)方程与等式的联系与区别。
课件出示习题。
师：这些式子中，哪些是方程呢？
大多数学生会直接根据方程的概念来进行判断，让学生结合具体的实例说明不是方程的原因，明确在判断一个式子是否是方程时，需要特别关注式子中是否含有未知数，并且是否是等式。
师小结：方程要具备两个条件,第一，必须含有未知数；第二，必须是一个等式，两者缺一不可。
师：想一想：等式与方程之间有什么关系？
引导学生分组讨论交流，指名汇报。
师小结：等式是表示相等关系的式子，含有未知数的等式叫方程。方程一定是等式，但等式不一定就是方程。
师：如果我们用集合图来表示方程与等式的关系，会是怎样的呢？
引导学生尝试用画图的方法表示方程与等式之间的关系。
根据学生回答，教师板书：
(2)复习等式的性质。
课件出示教科书P82“练习十六”第5题，学生独立解答，课件出示正确答案。
【学情预设】引导学生说说自己是怎样解方程的，注意提示学生检验。
师：解方程的依据是什么？(等式的性质)说一说等式具有哪些
教学笔记
【教学提示】
可以通过追问的形式,迫使学生进一步认真观察、思考得出方程一定是等式，但等式不一定是方程的结论。让学生尝试通过画集合图的形式来表示方程与等式之间的关系，使学生一目了然地记住方程与等式之间的区别和联系。
性质呢？
学生在小组内交流、指名反馈。
师小结：等式具有两个重要的性质。
等式的性质1：等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。
等式的性质2：等式的两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。
【设计意图】等式的性质是解方程的基础，让学生结合解方程的过程复习等式的性质，有利于进一步理解和掌握知识。
三、实践应用，巩固提升
1.完成教科书P82“练习十六”第1、2、6题。
学生独立完成后在小组内交流订正，教师收集错例展示辨析。
【学情预设】第1题：根据题意写出字母表达式所表示的实际含义及代入求值。学生可能出现的问题是语言表达实际含义时不准确，教师注意指导。
第2题：这道题要求用字母表达式表示数量，并会代入求值。可以先指导学生写出数量关系式：水泥的总质量-用去的质量=剩下的质量，而用去的质量=每天用去的质量×天数。在用字母表达式表示数量时，注意简写方式。
第6题：如果学生有困难，可以举出例子来对应理解。还可以改变题目中的信息，例如“三个连续的自然数，最大的数是a”或者“三个连续的偶数，中间的数是a”，让学生学会用字母表达式表示数或数列。
课件配合出示正确的解答。
【设计意图】练习时，给学生提供足够的思考时间和空间，并引导学生积极交流，巩固用字母列出表达式的方法，会反过来理解符号表示的含义。
2.独立完成教科书P82“练习十六”第4、7题。
学生独立解答后交流。
教学笔记
【学情预设】第4题：在研究小棒的根数与正方形的个数时，学生比较容易想到的是4+3(n-1)的表达式，但也有的学生是以1根小棒为基础，每增加一个正方形，就多3根小棒，因此，字母表达式为1+3n。要引导学生发现这两种表达式之间的一致性。如果有学生列成4+3n，可让学生代入一个具体值验证一下，发现这种表达式是错误的。
第7题：可以引导学生分别算出当n是0、1、2、3、4、5……时2n的值，2n+1的值，不难发现2n表示偶数，2n+1表示奇数。
【设计意图】用字母表达式表示出某个量，当字母的值变化时，这个量的值也跟着变化，字母的值和这个量的值之间存在着一一对应的关系，通过这两道练习，加强培养学生的代数思维，渗透函数思想。
四、课堂小结
师：今天的数学课，你们有哪些收获呢？
板书设计
教学反思
本节课的主要内容是引导学生复习用字母表示数、方程的概念及解方程等内容。从学生学习情况来看，学生学习的积极性较高，绝大部分学生能较熟练地完成练习。教学时，注意结合相应的练习巩固用字母表示数和解方程等知识，为初中阶段代数式的学习奠定良好的基础。
作业设计
对应课时作业。
教学笔记
第8课时 式与方程（2）
教学内容
教科书P81，完成教科书P82~83“练习十六”中第8~14题。
教学目标
1.进一步体会方程的意义和思想，能根据问题特征列方程解决一些实际问题，提高找等量关系列方程的能力。
2.在梳理如何找等量关系的过程中，进一步掌握列方程解决问题的基本思考方法，通过算术法和方程法的比较体会列方程解决问题的价值。
3.体验与同学合作交流以及获取知识的乐趣，增进对数学学习的积极情感,增强学好数学的信心。
教学重点
在梳理如何找等量关系的过程中进一步掌握列方程解决问题的基本思考方法。
教学难点
体会方程法与算术法的区别与联系。
教学准备
课件。
教学过程
一、回忆列方程解决问题的基本步骤
1.回顾旧知识。
师：想一想，列方程解决问题的一般步骤是怎样的？
学生在小组内讨论，全班交流。
【学情预设】学生可能会说找出未知数,用字母x表示，再分析实际问题中的数量关系，找出等量关系，列方程，解方程并检验作答。
师生一起小结，课件出示。
教学笔记
教师板书：设、找、列、解、验。
2.揭示课题。
师：这节课我们来复习列方程解决问题。［板书课题：式与方程(2)］
【设计意图】引导学生回顾列方程解决实际问题的步骤，为后面的复习作铺垫。
二、突破难点，找等量关系
1.发现等量关系。
师：在列方程解决问题的这些步骤中，你觉得哪一步是最难的？
【学情预设】学生可能说出找等量关系最难。
师：既然等量关系难找，那咱们就来练一练。（课件出示习题）
师：你能找到数量关系吗？
【学情预设】预设1：不能，因为没有告诉具体数据。
预设2：能，“速度×时间=路程”是我们学过的数量关系,不管有没有数据，它都是存在的。
师：对呀！我们可以从以前学过的数量关系中去发现等量关系，像这样的等量关系还有哪些？
【学情预设】学生可能会说出“工作总量=工作效率×工作时间”“总价=单价×数量”。
2.练习找等量关系。
教学笔记
【教学提示】
找等量关系这个环节中，关注学生对题目中数量含义的理解，以及数量之间关系的理解。
课件出示习题。
师：这是老师给你们准备的三道题，仔细读题，找出每一题的等量关系并写一写。
学生独立完成后，然后在小组内交流订正。
小组活动后进行汇报。
【学情预设】第(1)题要先找单位“1”，等量关系式是：小云踢毽的数量×=小平踢毽的数量。第(2)题中的等量关系式是：原价×折扣=售价。第(3)题中的等量关系式是：这本书的页数×(1-)=第一周读的页数。
师：同学们真了不起！很准确地找到了这几道题中的等量关系式。请同学们静静地思考一下，然后和同桌交流一下，你是怎么找到的？(学生互相交流)
【设计意图】用方框遮住数据和问题，学生从原来的“找不到”到“能找到”，发现找等量关系与数据、问题等因素无关，而应关注题目中各数量之间的关系。
三、对比算术法和方程法，体会方程法的价值
师：你们喜欢列方程解决问题吗？我听到了两种不同的声音，这样，我们一起来看这道题。（出示课件）
教学笔记
【教学提示】
给予学生一些分析数量关系的方法，如常见的数量关系、公式、关键词句的理解等，帮助学生掌握找等量关系的方法。
【学情预设】学生可以通过找等量关系或者将乙数的值代回到原题中进行检验的方法，发现算术法解答是错误的，正确的算术解法是(30+2)÷5=6.4。
师：解决这个问题，为什么算术法容易出错？
【学情预设】学生可能会说出因为算术法是逆向思维，容易错；而方程法是顺向的，容易做对。
师：是不是所有的题目都适合用方程法呢？我们再来看一组题。（出示课件）
【学情预设】学生可能会说出这道题用算术法解答更简单。
师：对，这一道题在读题时就能很快地想到计算方法，因为它就是我们常说的“顺向题”。看来，有些题目适合用方程法，而有的题目适合用算术法。请大家看教科书P83第14题，不用解答，你想用方程法还是算术法解答？
教师统计一下选择用方程法解答的人数多还是用算术法解答的人数多。
师：为什么这么多同学选择用方程法？
【学情预设】引导学生说出方程法适合解决未知量和已知量比
教学笔记
较难厘清关系的情况，我们只要找到等量关系，就可以很快地列方程解决问题。例如这道“鸡兔同笼”问题，由于涉及两个相关联的未知量，所以用方程法解答，思维过程更加清晰、简洁。
师：算术法一直伴随着我们的学习，形式简单，但在解决复杂问题的时候相对难理解，而方程法可以解决比较复杂的问题，尤其是到了初中，碰到更复杂的问题，就更适合用方程来解答。在解决问题时，我们要学会选择合适的方法。
【设计意图】目前小学阶段的问题，很多学生还能用算术法解答出来，大部分题目在难度上还没有达到非方程法不可的地步。通过比较梳理两种方法之间的优缺点，让学生能根据不同的情况加以选择。
四、巩固练习，提高能力
1.完成教科书P81下方的“做一做”和P82~83“练习十六”第8、10题。
学生独立列方程解答，集体交流，课件出示正确解答。
【学情预设】前面已经写出了另外3道题的等量关系式，所以很轻松地列方程来解决问题。还可以让学生用算术法解答进行验证。
2.完成教科书P83“练习十六”第9、11、12、13、14题。
学生独立完成后，在小组内交流订正，教师巡视指导。
【学情预设】第9题：找到题目中的等量关系式：丁香花的棵数×2=240+16，然后设出未知数列方程解答，如果学生用算术法(240+16)÷2解答也要予以肯定。
第11题：找到题目中的等量关系式：北京密云水库蓄水量×26+4=290，根据关系式列方程解答比较轻松，注意提醒学生检验。
第12题：需要根据“(折后)售价-进价=赚的钱”的等量关系进行分析、解答。指导学生认真分析题目中的信息，用算术法(150-30)÷150=80%、1-30÷150=80%，或者(150×60%+30)÷150=80%，都要予以肯定，还可以用方程解答：设折扣为x,150x-150×60%=30，
教学笔记
【教学提示】
在指导学生列方程解决问题时，要关注解决问题的步骤，尤其是检验这一环节，学生容易忽略。引导学生理解方程的实质是用一个等式把量与量之间的关系表示出来，设出未知数后，可以使用顺向的思维理解数量关系，把复杂的问题简单化。
最后得到应该打八折或八折以上。
第13题：可以把题目中所提的3个问题分别转化成容易理解的数学问题。例如第1个问题问的就是10分钟后两人是否都能到达电影院。由于小冬家距离电影院更远，且速度更慢，则他所需要时间更长；如果他能按时到达，那么小明也可以。第2、3个问题是相遇问题中的两个相关问题，可以借助线段图帮助理解。
第14题：先让学生列方程来解答，感受方程的简洁性。有的学生可能会用列表法、假设法来解决问题，教师要予以肯定，注意让学生说清解题思路。
【设计意图】这一组练习都来源于生活，练习中引导学生重温用方程解决实际问题的步骤，交流用方程解决实际问题的经验，培养学生综合运用知识解决实际问题的能力。
五、课堂小结
师：今天的数学课，你们有哪些收获呢？
板书设计
式与方程（2）
设、找、列、解、验
教学反思
“式与方程”的总复习承担着一个重要的功能，就是顺利完成中小学衔接，并对第三学段的数学学习产生积极的影响，产生源源不断的学习动力。本课教学着重让学生学会在不同的情境中选择合理的方法解决问题，培养方程意识。面对复杂的问题，有些学生很难找到等量关系式，还需要教师的重点指导。
作业设计
对应课时作业。
教学笔记
第9课时 比和比例（1）
教学内容
教科书P84第1~3题，完成教科书P85“练习十七”中第1、3、4题。
教学目标
1.进一步理解比和比例的意义与基本性质，巩固比与分数、除法的关系。探究比的基本性质、分数的基本性质和商不变的规律之间的关系。
2.经历整理知识的过程，提高归纳、总结、概括的能力，使知识融会贯通，体会“变中有不变”的思想。
3.激发学生的学习兴趣,培养合作意识。
教学重点
理解比和比例的意义、性质,掌握关于比和比例的一些实际运用和计算。
教学难点
厘清所学知识间的联系,建构知识网络。
教学准备
课件。
教学过程
一、创设情境，唤起对比和比例知识的回忆
师：今天我们的课堂上有多少名同学呢？男、女同学分别有多少名?
(教师可以根据学生的统计将数据写在黑板上)
师：谁能用比的知识说说男、女同学的人数和本班人数的关系？
【学情预设】学生可能说出男生和女生人数的比，女生和男生人数的比，男生和全班人数的比，女生和全班人数的比。
师：你能分别再说一个比和刚才的比组成比例吗?说一说你的方法是什么？
教学笔记
【学情预设】学生可能说出利用比的基本性质,找到比值相等的两个比，可以组成比例。
师：今天我们就来复习有关比和比例的知识。［板书课题：比和比例(1)］
【设计意图】利用身边的信息创设情境，激发学生的学习热情，感受知识与数学的紧密联系，主动重温比和比例的区别与联系。
二、复习比和比例的基础知识
1.比和比例的意义和性质。
（1）学生独立完成教科书P84第1题的表格，教师巡视指导，然后在小组内交流。
师：关于比和比例的知识，你知道什么？它们有什么区别和联系？
【学情预设】学生通过讨论交流，基本上能系统进行整理，教师适时指导即可。（课件出示完整表格）
【设计意图】表格的呈现使知识形象、直观、有条理。学生通过表格自主归纳，清晰地看清比和比例的关系，并掌握比和比例的异同之处，进一步系统掌握比和比例的知识结构。
(2)完成教科书P85“练习十七”第1题。
学生独立思考，自主解决后再汇报交流。
【学情预设】学生可能会出现的问题是：1.没有看清谁与谁的比，将比的前项与后项的位置写反了；2.求比值与化简比弄混淆了，例如第(2)题两者之比是1∶1，而不是1。
师：求比值和化简比有什么联系和区别？你能用表格整理一下
教学笔记
【教学提示】
自主归纳知识点是本课的重点和难点，学生在汇报交流时，可能回答不一定完整，语言也不一定准确精练，但只要意思相符就应予以肯定。
吗？
学生讨论后汇报，教师根据学生的汇报出示课件。
【设计意图】通过练习巩固比和比例的基本知识，并复习求比值和化简比两者之间的联系和区别，有利于学生辨析。
2.比与分数、除法的关系。
师：比与分数、除法有什么联系？请大家先填写教科书P84第2题的表格，再说一说它们的区别。
学生独立填表，教师巡视指导，然后在小组内交流。（课件出示完整表格）
师：你能用字母来表示比与分数、除法之间的关系吗？
引导学生总结并板书：=a÷b=a∶b(b≠0)
师：想一想，比与分数、除法有什么区别?
引导学生独立思考后小组讨论，再指名汇报。
师小结：比指的是两个数相除的关系，分数是一个数，除法是一种运算。
【设计意图】此环节仍然借助表格，让学生梳理比和分数、除法的关系，把分散的知识点进行整合，学会整体地、一般性地把握知识，使知识融会贯通，体会“变中有不变”的思想，构建了比较
教学笔记
【教学提示】
引导学生发现概念之间的联系与区别，把概念、性质放在一起进行整理，将表面上看似不同的三个知识点整合为本质相同的一个知识点。
完整的知识网络。
3.比的基本性质、分数的基本性质和商不变的规律之间的联系。
师：谁能说说比的基本性质、分数的基本性质和商不变的规律？
同桌互相说一说，指名汇报，课件出示表格。
师：结合比与分数、除法之间的联系，你能说说比的基本性质、分数的基本性质和商不变的规律之间有什么样的联系吗?
学生独立思考后指名汇报。
【学情预设】学生可能会说出比的前项相当于分数中的分子、除法中的被除数；比号相当于分数中的分数线、除法中的除号；比的后项相当于分数中的分母、除法中的除数；比值相当于分数中的分数值、除法中的商。所以它们的变化规律是一样的。
师小结：我们在应用这些性质和规律时，都是将各部分同时乘或除以一个相同的数(0除外)，结果不变。
【设计意图】通过回顾比的基本性质、分数的基本性质、商不变的规律，揭示三者之间的密切联系和内在的一致性。
三、巩固练习，知识应用
1.课件出示一组解比例的题目。
教学笔记
学生独立完成后在小组内交流订正。
【学情预设】引导学生说出解比例的依据是比例的基本性质，求出x的值后要注意检验。
2.学生独立解答教科书P85“练习十七”第3、4题。
解答完毕后，集中展示交流，订正。
【学情预设】第3题：这道题是利用“按比分配”解决生活中的实际问题。指导学生明确可以用两种方法来解决这个问题：把比的各项之和看作平均分的份数，先求出每份是多少，再解答；还可以转化成分数乘法来解答。两种方法都要予以肯定。
第4题：这道题也是“按比分配”的问题，与第3题相比较，稍复杂一些，先按比分配求出一块金牌需要黄金的克数，再求出302块金牌需要黄金的克数。
【设计意图】这几道题都是基础性练习，有坡度、有层次、有针对性，查漏补缺，提高学生的解题能力。
四、课堂小结
师：回顾今天的复习过程，你们有什么收获呢？
板书设计
比和比例（1）
=a÷b=a∶b(b≠0)
教学反思
本课在借助表格的基础上，指导学生自主归纳。通过观察、对比分析、归纳等活动，引导学生在数学活动中通过不断对比，加深学生对已学知识的理解并厘清知识脉络。虽然在整理过程中学生的思路比较清晰，但在实际应用中有时会混淆，或者不能灵活运用，课后可以增加一些练习，进一步巩固学生对知识的掌握。
作业设计
一、填一填。
教学笔记
【教学提示】
在解决这两个问题时，先让学生独立思考，再汇报思路。交流的过程中，可让学生说一说在用比和比例的知识解决实际问题时要注意什么。
1.1∶0.75的比值是（ ），把它化成最简单的整数比是（ ）。
2.在比例尺为1∶2000000的地图上，量得甲、乙两地的距离是7.5cm。如果一辆汽车以每小时60km的速度在上午6点从甲地出发，那么上午（ ）时（ ）分到达乙地。
3.若3a=5b(a、b不为0)，a∶b=（ ）；若，且ab=2，那么x=（ ）。
二、选一选。 (将正确答案的序号填在括号里)
1. 在钟面上，时针与分针转动的速度比是( )。
A.60∶1 B.1∶12 C.1∶60 D.12∶1
2. 男生人数比女生人数多25%，则男、女生人数的比是( )。
A.4∶5 B.5∶4 C.1∶4 D.2∶5
3. 下面说法正确的有( )句。
①《小学生学习报》的单价一定，总价与订阅数量成正比例关系。
②圆锥体积一定，它的底面积与高成反比例关系。
③书的总页数一定，已看的页数和没看的页数成反比例关系。
④出勤率一定，出勤人数与全班人数成正比例关系。
A.4 B.3 C.2 D.1
四、便民防疫站配制了一种消毒药水，质量为300kg，药与水的质量比是3∶97。为了增强药效，按药与水的质量比1∶49配制成新的消毒药水。
1.你认为原消毒药水中应加入( )可配制成新的消毒药水。
（填上“药”或“水”)
请说明理由：
2.“药”或“水”要加入多少千克？
参考答案
一、1.2 2∶1 2.8 30 3.5∶3 0.5
二、1.B 2.B 3.B
四、1.水 新的消毒药水中药与水的质量比是1∶49=3∶147，
教学笔记
与之前消毒药水中药与水的质量比3∶97相比较，发现加入相同份数的药时，水的份数变多了。故应加入水。
教学笔记
第10课时 比和比例（2）
教学内容
教科书P84第4题，完成教科书P85“练习十七”中第2、5、6、7题。
教学目标
1.进一步理解正、反比例的意义，能正确判断两种量是否成正比例或反比例关系。
2.加深对正、反比例之间关系的理解，能熟练地运用正、反比例的知识解决实际问题。
3.提高学生综合运用知识解决实际问题的能力，培养学生自主探究、合作交流的学习能力。
教学重点
理解正、反比例的联系和区别；熟练判断两种相关联的量成什么比例关系。
教学难点
灵活应用比例知识解答正、反比例问题。
教学准备
课件。
教学过程
一、引导回忆，揭示课题
师：我们已经学习了正比例和反比例，什么样的两种量才可能组成比例关系？
指名汇报：两种相关联的量。
师：两种相关联的量是不是都能组成比例关系呢？今天我们就来复习正比例和反比例的知识。［板书课题：比和比例(2)］
【设计意图】提出问题，激发学生思考，直接揭示课题。
二、复习正、反比例的意义
1.判断相关联的两种量是否成比例，成什么比例。
课件出示习题。
教学笔记
学生独立判断，然后在小组内交流，说明原因。
【学情预设】指导学生结合具体的题目说清判断的理由，如果表达不够清晰的，可以让学生互相提醒、纠正。
课件出示解答。
2.正、反比例的意义。
师：想一想，你是怎么判断相关联的两个量成正比例关系或成反比例关系？
学生思考后在小组内交流，教师指名汇报。
【学情预设】引导学生说出：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量。如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量。
师：你能用字母来表示正、反比例的意义吗？
根据学生的回答板书：正比例关系：=k(一定) 反比例关系：xy=k(一定)
师：说一说正比例和反比例有什么相同点和不同点。
课件出示表格，根据学生的回答填写表格。
教学笔记
【教学提示】
先让学生独立思考，写出各题的关系式，再判断，最后交流判断的依据和理由。
【设计意图】通过对比，使学生进一步理解正比例和反比例的异同点，进一步渗透函数思想。
3.完成教科书P85页“练习十七”第2题。
学生独立完成后交流,课件出示正确解答。
三、复习正、反比例的应用
1.课件出示一组习题。
师：比一比，想一想，这两道题有什么不同？能用比例方法解答吗？
学生独立完成后，在小组内交流后汇报。
【学情预设】学生会说出第(1)题中不变的量是速度，所以路程与时间成正比例关系，根据正比例知识解决这个问题；第(2)题中不变的量是工作总量，所以每天挖的米数与天数成反比例关系，要根据反比例知识解决这个问题。
师：用比例方法解决问题的步骤和关键是什么？
师生一起总结：
①根据不变量，判断题中哪两种相关联的量成正比例或反比例。
②找出两组相对应的数，并设出未知数，列出比例。
③解比例。
④检验并写出答语。
师：用比例解决问题时，先要读题，找出对应关系,判断是正比例还是反比例，再正确解答。
2.课件出示教科书P85“练习十七”第6题。
师：请同学们独立完成这道题，然后在小组内进行交流订正。
小组活动后进行汇报。
教学笔记
【教学提示】
这道练习要求学生正确运用正比例或反比例关系的意义进行判断。注意指导学生发现有些题中虽然没有明确指出哪个是常量，但根据相关数量关系可以找到隐藏着的常量。
【学情预设】同一幅地图上的比例尺不变，根据图上距离∶实际距离=比例尺列出比例解答。
课件出示正确解答。
【设计意图】沟通正、反比例解决问题的联系，学生在辨析中巩固解决此类问题的步骤和策略，提高学生用比例解决问题的能力。
四、综合应用，提升能力
课件出示教科书P85“练习十七”第7题。
师：你敢挑战这个问题吗？
学生在小组内讨论完成后，再集体交流。
【学情预设】引导学生找出两幅图的不同点：虽然两幅图象的横轴都表示时间，但第一幅图象的纵轴表示行驶路程，而第二幅图象的纵轴表示离校距离。前者侧重描述汽车行驶的路程随时间的变化而变化的情况，后者侧重描述汽车与学校的距离随时间的变化而变化的情况。在第一幅图象中，第1小时汽车以40千米/时的速度行驶了40km到达果园，在果园活动了2小时，然后按原速行驶1小时,又行驶了40km；在第二幅图象中，第1小时汽车以40千米/时的速度到达距离学校40km的果园，在果园活动了2小时，然后按原速行驶1小时返回学校。
【设计意图】在练习中引导学生体会和掌握数形结合的思想，一方面使学生看到可用图象直观地表述出抽象的文字信息；另一方面使学生学会根据图象读取出相关的信息，建立几何直观能力。
五、课堂小结
师：今天的数学课，你们有哪些收获呢？
板书设计
比和比例（2）
正比例关系：=k(一定)
反比例关系：xy=k(一定)
教学反思
教学笔记
【教学提示】
解决这个问题，学生在读图时可能会感到困难，应引导学生先看两幅图有哪些方面是相同的，哪些方面是不同的；再看它们分别描述的是哪个量随着哪个量的变化而产生的变化；最后分析图象中每一段分别呈现什么特点，分别代表什么意思。使学生提高读图能力，建立几何直观能力。
本课在整理与回顾时尽量放手，为学生提供自主梳理知识的时间和空间，体会数学知识、方法之间的密切联系。在回顾、整理、巩固、应用的过程中使学生不断积累活动经验，体会一些重要的数学思想。如果课堂教学时间充足，还可以让学生自己举例说明哪些相关联的量成比例关系，哪些不成比例关系，如果成比例关系，是怎样判断成正比例或反比例关系，在集体交流评议中加深对正、反比例关系的认识。
作业设计
教学笔记
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