【培优压轴】备战中考数学中的旋转问题 专题04 旋转中的规律探究问题

【例1】已知等边△ABC，顶点B（0，0），C（2，0），规定把△ABC先沿x轴绕着点C顺时针旋转，使点A落在x轴上，称为一次变换，再沿x轴绕着点A顺时针旋转，使点B落在x轴上，称为二次变换，…经过连续2017次变换后，顶点A的坐标是

A．（4033，）  B．（4033，0）  C．（4036，） D．（4036，0）

【答案】D

依次类推，则20173=672……1，即为向右平移6726=4032个单位长度后，点A672（4033，）、

B672（4032，0）、C672（4034，0），再变换一次即为2017次变换，则点A的坐标为（4036，0）．故选D．

【例2】如图，已知∠AOB=120°，点A绕点O顺时针旋转后的对应点A1落在射线OB上，点A绕点A1顺时针旋转后的对应点A2落在射线OB上，点A绕点A2顺时针旋转后的对应点A3落在射线OB上，…，连接AA1，AA2，AA3，…，依此作法，则∠AAnAn+1等于__________度．（用含n的代数式表示，n为正整数）

【答案】

∵点A绕点A2顺时针旋转后的对应点A3落在射线OB上，∴A2A=A2A3，

∴∠AA3A2=∠AA2A1=，

∴∠AAnAn-1=，∴∠AAnAn+1=180°-．

故答案为：180-．

【名师点睛】旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等腰三角形的性质．[来源:]

1．如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，-1），C（-2，-1），D（-1，1）．以A为对称中心作点P（0，2）的对称点P1，以B为对称中心作点P1的对称点P2，以C为对称中心作点P2的对称点P3，以D为对称中心作点P3的对称点P4，…，重复操作依次得到点P1，P2，…，则点P2010的坐标是

A．（2010，2）  B．（2010，-2）  C．（2012，-2）  D．（0，2）

2．如图，边长为4的正六边形ABCDEF的中心与坐标原点O重合，AF∥x轴，将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转n次，每次旋转60°，当n=2018时，顶点A的坐标为__________．

3．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（-1，1），B（0，-2），C（1，0），点P（0，2）绕点A旋转180°得到点P1，点P1绕点B旋转180°得到点P2，点P2绕点C旋转180°得到点P3，点P3绕点A旋转180°得到点P4，…，按此作法进行下去，则点P2018的坐标为__________．

4．如图，在平面直角坐标系xOy中，△OA1B1绕点O逆时针旋转90°，得△OA2B2；△OA2B2绕点O逆时针旋转90°，得△OA3B3；△OA3B3绕点O逆时针旋转90°，得△OA4B4；…；若点A1（1，0），B1（1，1），则点B4的坐标是__________，点B2018的坐标__________．

5．如图，正△ABO的边长为2，O为坐标原点，A在x轴上，B在第二象限.△ABO沿x轴正方向作无滑动的翻滚，经第一次翻滚后得△A1B1O，则翻滚3次后点B的对应点的坐标是__________；翻滚2017次后AB中点M经过的路径长为__________．

6．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去……．若点A（，0），B（0，2），则点B2018的坐标为__________．

7．如图，把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为（3，0），点P（1，2）在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置……，则正方形铁片连续旋转2017次后，点P的坐标为__________．

8．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推…、则正方形OB2017B2018C2018的顶点B2018的坐标是__________．

1．【答案】B

根据对称关系，依次可以求得：

P3（-4-a2，-2-b2），P4（2+a2，4+b2），P5（-a2，-2-b2），P6（4+a2，b2），

令P6（a6，b2），同样可以求得，点P10的坐标为（4+a6，b2），即P10（4×2+a2，b2），

∵2010=4×502+2，∴点P2010的坐标是（2010，-2），故选B．

2．【答案】（4，0）

【解析】如图，连接OA、OC、OD、OF，

∵六边形ABCDEF是正六边形，[来源:Zxxk.Com]

∴∠AOF=∠FOE=∠EOD=∠DOC=∠COB=∠BOA=60°，

∵将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转，每次旋转60°，

∴点A旋转6次回到点A，2018÷6=336……2，

∴正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转2018次，与点E重合，

∴顶点A的坐标为（4，0），故答案为：（4，0）．

3．【答案】（2，-4）

【解析】如图所示，

P1（-2，0），P2（2，-4），P3（0，4），P4（-2，-2），P5（2，-2），P6（0，2），

发现6次一个循环．∵2018÷6=336……2，

∴点P2018的坐标与P2的坐标相同，即P2018（2，-4）．故答案为：（2，-4）．[来源:ZXXK]

4．【答案】（1，-1）；（-1，1）

∵，

∴点B2018与点B2重合，

∴点B2018的坐标为（-1，1）．故答案为：（1，-1）；（-1，1）．

5．【答案】（5，）；（）π

【解析】如图，作B3E⊥x轴于E，

易知OE=5，B3E=，观察图象可知三次一个循环，

一个循环点M的运动路径为，

由2017÷3=672……1，可知翻滚2017次后AB中点M经过的路径长为

672·+．故答案为：（5，），．

6．【答案】（6054，2）

7．【答案】（6053，2）

【解析】第一次P1（5，2），第二次P2（8，1），第三次P3（10，1），第四次P4（13，1），第五次P5（17，2），……发现点P的位置4次一个循环，

∵2017÷4=504余1，P2017的纵坐标与P1相同为2，横坐标为5+3×2016=6053，

∴P2017（6053，2），故答案为：（6053，2）．

8．【答案】（0，21009）

【解析】观察，发现B1（1，1），B2（0，2），B3（-2，2），B4（-4，0），B5（-4，-4），B6（0，8），B7（8，-8），B8（16，0），B9（16，16），B10（0，32），…，

∴（n为自然数）．

∵2018=8×252+2，

∴点的坐标为，即．故答案为：．