整式乘法和因式分解(中上）学案-无答案

整式的乘法与因式分解

一、知识梳理

1、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

注意：

①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。

②相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。

③只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式

④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。

⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。

2、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，

即(都是单项式)

注意：

①积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。

②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。

③在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。]

如：

3、多项式与多项式相乘的法则：

多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。

如：

4、因式分解的概念：把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做因式分解。

因式分解和整式乘法互为逆运算

5、公因式：多项式各项都含有的因式，称为这个多项式各项的公因式（一个多项式各项的公因式常常不止一个。当多项式的各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母应取各项相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的。）

6、常用的因式分解方法：

（1）提取公因式法：

（2）运用公式法：     平方差公式：；

完全平方公式：

立方和公式： 

立方差公式： 

完全立方公式：

（3）十字相乘法：

因式分解的一般步骤：

（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；

（2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法；

（3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法。

（4）最后考虑用分组分解法

二、典题精讲

例题一：乘法公式

1、利用平方差公式计算：2009×2007－20082

2、利用平方差公式计算：．

3.（a－2b＋3c－d）（a＋2b－3c－d）

例题二：因式分解的概念

1、下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（　　）

A、     B、   C、   D、

2、若n为正整数，则一定能被8整除

3、如果是一个完全平方式，那么m应为______

4、下列从左到右是因式分解的是（     ）

A. x(a-b)=ax-bx          B. x2-1+y2=(x-1)(x+1)+y2 

C. x2-1=(x+1)(x-1)       D. ax+bx+c=x(a+b)+c

5、若可以因式分解为，则k的值为______

6、6、已知a为正整数，试判断是奇数还是偶数？

7、已知关于x的二次三项式有一个因式，且m+n=17，试求m，n的值

8、证明代数式的值总是正数

9.已知x＋y＝2，xy＝a＋4，，求a的值．

10.

例题三：提取公因式法

1、将多项式分解因式，应提取的公因式是（   ）

A、ab    B、   C、   D、

2、已知可因式分解为，其中a，b，c均为整数，则a+b+c等于（  ）

A、-12        B、-32        C、38      D、72

3、证明：

4、已知则

5、已知多项式有一个因式为，另一个因式为，求a+b的值

例题四：十字相乘法

 (1)对于二次项系数为1的二次三项式

方法的特征是“拆常数项，凑一次项”

当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；

当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．

(2)对于二次项系数不是1的二次三项式

它的特征是“拆两头，凑中间”

当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；

常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；

常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同

注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．

(1)         (2)        (3)

(4)          (5)          (6)

（7）        （8）     （9） 

（8）（10）   (11)           (12)    

(13)            （14）       （15）

例题五：换元法

1、分解因式

2、分解因式（1）    （2）

3、分解因式（1）      （2）

（3）

例题六：因式分解的应用

1、计算下列各题

（1）               （2）

2、解方程

（1）               （2）

4、如果实数，且，那么a+b的值等于________

5、

6、先变形再求值

（1）已知，，求 的值

（2）已知，求的值

三、课堂训练

1、若是完全平方式，则的值等于_____。

2、则=____=____

3、

4、若的值为0，则的值是________。

5、多项式的公因式是（   ）

A、－a、  B、  C、   D、

6、计算的值是（   ）

A、   B、

7、已知，求的值

8、计算：

（1）  0.75   （2） 　（3）

9、若a2-3ab-4b2=0,则的值为（  ）

A、1      B、-1     C、4或-1       D、- 4或1

10、把x2－y2－2y－1分解因式结果正确的是（    ）。

A．（x＋y＋1）(x－y－1)                B．（x＋y－1）(x－y－1) 

C．（x＋y－1）(x＋y＋1)               D．（x－y＋1）(x＋y＋1)

11、从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）．那么通过计算阴影部分的面积可以验证公式_________ ___        ．

12、张如图1的长为a，宽为b（）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示。设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（   ）

1.             B.            C.             D. 

13、已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．

14、已知：，试比较的大小

15、你能求的值吗?遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手.先分别计算下列各式的值.

①

②

③

……

由此我们可以得到:                 

请你利用上面的结论，再完成下面两题的计算:

    (1)

(2)若，求的值.

16、若可分解成两个一次因式的积，求m的值并将多项式分解因式．

 17.如下数表是由从开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答.

(1)第8行的最后一个数是             ，它是自然数            的平方，第8行共

有             个数;

(2)用含的代数式表示:第行的第一个数是         ，最后一个数是          ，第行共有             个数;

(3)求第行各数之和.