第3讲 计数的基本方法—加法原理和乘法原理练习题

一、分类计数和加法原理

例1. 从1-10中,每次取两个不同的自然数相加,和大于10的取法有多少种?

例2. 在四位数中,各位数字之和是4的四位数有多少?

例3. 若取1、2、3、4四个数字,从小到大排成一行,在这四个数中间,任意插入乘号(最少                            插一个乘号),可以得到多少个不同的乘积?

例4. 用20元钱购买1元、2元或4元的练习本若干册,没有剩余的钱。一共有多少种不               同的买法?

例5. 设有长度为12,…、9的线段各一条,现在要从这9条线段中选取若干条组成一个正               方形共有多少种不同的取法?这里规定当用2条或多条线段接成一条边时,除端点外                            不许重叠,线段不能弯折。

例6. 图中的正方形被分成9个相同的小正方形,它们一共有16个顶点(共同的顶点算一               个),以其中不在同一条直线上的三个点为顶点,可以构成三角形,在这些三角形中,与                            阴影三角形面积相等的有多少个?

思考题

1. 如图所示,在正方形方格纸上有20个点,以其中的四个点为顶点,一共可以画出多少个不              同的正方形?

2. 12个钉子钉成如图所示的矩形钉阵,相邻两钉间的距离都是1厘米,以这些钉为顶点用橡 皮筋去套,可以得到不少三角形。这些三角形中,面积为3平方厘米的有几个?

二、分步计数与乘法原理

例7. “数学”这个词的英文单词是”MATH",用红,黄、蓝、绿、紫五种颜色去分别给字母  染色个字母染的颜色都不一样,这些颜色一共可以染出多少种不同搭配方式？

例8. 从1、2、3、4、5、6六个数中,选三个数使它们的和是3的倍数,那么不同的选法有  多少种？

例9. 一副扑克牌除掉大小王共3张,从中取三张,使得三张点数之和为26,且第一张的点  数不小于后两张点数之和。问:共有多少种不同的取法?(J=11点,Q=12点,K=13点,点                            数相同花色不同为同的取法)

例10. 在下图的方格内放入五枚棋子,要求每行、每列都只能有一枚棋子,共有多少种放法?

例11. 在下面一排数字中间的任意两个位置写上两个“+”号,可以得到3个自然数相加的                            加法算式,一共可以得到多少不同的加法算式?

1 2 3 4 5 6 7 8 9

例12. 求出图中从A点出发,经过C点和D点到B点的最短路线,共有多少条?

例13. 下图中,一共有多少个长方形?

例14. 如图,地图上有A、B、C、D四个国家,现用五种颜色给地图染色,要使相邻国家的颜                            色不相同,有多少种不同染色方法?

例15. 如图所示,9条小线段组成了4个小三角形现在将每条小线段分别染上红黄蓝三种                            颜色之一,使得每个小三角形的三条边的颜色互不相同,那么共有多少种不同的染色                            方法?

三、乘法原理与加法原理综合应用

例16. 某信号兵用红、黄、蓝绿四面旗中的三面从上到下挂在旗杆上的三个位置表示信                            号可挂一面、二面或三面,并且不同的顺序,不同的位置表示不同的信号。一共可以                            表示出多少种不同的信号？

例17. 书架上有2本不同英语书,4本不同的语文书5本不同的数学书和3本不同的历史书。                            现在要从中取出3本,而且不能有两本是同一科的。那么一共有多少种取法?

例18. 如图,将1、2、3、4、5分别填入图中1×5的格子中,要求填在黑格里的数比它旁边                            的两个数都大。共有多少种不同的填法?

综合练习

1.甲、乙、丙三个组,甲组6人,乙组5人,丙组4人,现每组各选1人一起参加会议,一共有多少种选法?如果三组共同推选一个代表,有多少种选法?

2.学校羽毛球队有12名男队员,10名女队员。

(1)要一挑选一名男队员和一名女队员组成一对男、女混合双打选手,有多少种不同的搭配方法？

(2)该羽毛球队在比赛中获团体总分第一名,学校选一名运动员去领奖,有多少种选法?

3.(1)从2、3、5、7、11、13这六个数中,每次取出两个数,分别作为一个分数的分子和分母,一共可以组成多少个真分数？

(2)从2、3、5、7、11这五个数中，每次取出2个数,分别作为一个分数的分子和分母,一共可以组成多少个分数?

4.“IMO”是国际数学奥林匹克的缩写,把这三个字母写成三种不同颜色,现有五种不同颜色的笔,按上述要求能写出多少种不同颜色搭配的“IMO”?

5.某人射击8枪,命中4枪,命中4枪恰有3枪连在一起的情况有多少种?

6.1995的数字和是1+9+9+5=24小于2000的四位数中数字和等于24的数共有多少个?

7.甲、乙两班各有3名乒乓球选手,两班之间要进行一局双打比赛,有多少种不同对阵方法?

8.在自然数中,用两位数做被减数,一位数做减数,共能组成多少个不同的减法算式？

9.用0、1、2、3能组成多少个三位自然数?能组成多少个各个数位的数字互不相同的三位自然数?

10.(1)由1、2、3、4四个数字组成的各个数位互不相同的四位数共有多少个?将它们从小到大排列起来，第18个数是几?

(2)由1、2、3、4、5五个数字组成的各个数位互不相同的五位数共有多少个?将它们从大到小排列起来,第95个数是几?

11.如图所示的中国象棋盘中,如果双方准备各放一个棋子,要求它们不在同一行,也不在同一列,那么总共有多少种不同的放置方法?

12.如图所示,用3种颜色给四个圆圈染色,相邻两圆圈不同色,共有多少种染色方法?

13.某短跑队有12名运动员,其中3个起跑技术好,另外有4人跑弯道技术好,还有2人冲刺技术好,现在要从中选A人组队参加4×100米接力赛,为使每人充分发挥特长,共有多少种组队方式?(第一棒起跑,第二棒跑直道,第三棒跑弯道,第四棒冲刺。)

14.从1到399的所有自然数中,不含有数字3的自然数有多少个?

15,如图所示,三条平行线上分别有2,4,3个点,已知在不同直线上的任意三个点都不共线。问:以这些点为顶点可以画出多少个不同的三角形?

16.如图所示,从A、B、C、D、E、F、G七个点中任取三个点作顶点,能够组成多少个三角形?

17.数1212154有某些相同的特点每一个数都是以1为首的四位数,而且每个数恰好都有两个数字相同，这样的数有多少个？

18.(1)在下面的8个球之间插入两块木板,把这堆球分成三堆,共有多少种方法?

(2)一部电视剧共有8集,要在三天里播完,每天至少播一集,则安排播出的方法共有多少种?