第九章 整式乘法与因式分解-无答案学案

这是一份第九章 整式乘法与因式分解-无答案学案，共14页。学案主要包含了填空，选择题，分解因式，证明，代数式求值，利用分解因式计算，分解因式在证明题中的应用等内容，欢迎下载使用。

整式乘除与因式分解

整式的乘法（1）单项式与单项式相乘 将它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式。
例题：（1）计算① ② ③


练习：（1）

（2）先化简，在求值，其中a=-1,b=1,c=-1


如果单项式与是同类项，那么这两个单项式的积为 。
（2）单项式与多项式相乘 将单项式分别乘以多项式的每一项，再将所得的积相加。
例题：（1）计算① ②

（2）已知，则a= 。
（4）已知中不含有x的三次项，试确定a的值。


（5）当求代数式的值。

（7）解方程：


（8）解不等式：



（3）多项式与多项式相乘 先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 （a+b）(m+n)=am+bm+an+bn
例题：（1）计算 ①（2x-3y）(4x+5y)= ②2(2a-5)()=


（2）化简，并计算当时的值。

（3）如果，那么（a-5）(a-6)= 。


（4）如果x+q与x+0.2的积中不含有x项，则q的值为 。


（5）若使恒成立，则a= ,b= 。


（6）已知x=(a+3)(a-4)，y=(2a-5)(a+2)，比较x,y的大小。



3.乘法公式(1)平方差公式：
两数和乘以这两数的差，等于这两个数的平方差。
例题：（1）计算①(4x+5y)(4x-5y) ②(-4x-5y)(-4x+5y) ③(m+n+p)(m+n-p)


④ (m+n-p)(m-n+p) ⑤ ⑥


（2）用简便方法计算①103×97 ②③ ④ 112×108


（3）计算①


（4）已知，x+y=6,求的值。



(2)完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）这两数积的2倍。

例题1：（1）计算① ② ③ ④


（2）用简便方法计算① ②


（3）填空① ②


③


例题2：（1）

（2） 如果是一个完全平方式，那么k= 。

（3）已知，则。


（4）已知，则
（5）已知则
（6）已知a,b,c为△ABC的三边，试确定的符号。
4．整式的除法（1）单项式除以单项式 把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
例题：（1）计算① ②

③ ④



（2）化简


（3）已知有四个单项式：，请你用加减乘除四种运算中的一种或几种，使它们的结果为，请你写出算式。


（2）多项式除以单项式 先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
例题：（1）计算① ②


③


（2）化简求值，其中x=3,y=1.5。

（3）若多项式M与的乘积为，则M为 。

（4）长方形的面积为，若它的一条边为2x，则它的周长是 。

（5）已知多项式能被整除，且商式为3x+1，求的值。




5．因式分解 例题：下列各式从左到右属于因式分解的是( )
① am+bm-1=m(a+b)-1 ②
③ ④ ⑤


（2）公因式：多项式ma+mb+mc中的每一项都含有一个相同的因式m，我们称之为公因式。
例题：找出的公因式。


（3）提取公因式法：把公因式提出来，多项式ma+mb+mc就可以分解成两个因式m和（a+b+c）的乘积，这种因式分解的方法，叫做提取公因式法。
例题：（1）用提取公因式法分解因式
①②③

（2）用简便方法计算① ②13.7×9＋13.7×11－1.37×20 ③

（3）如果，那么m的值为 。分解因式：=

（4）当，求的值。


（4）公式法：将乘法公式反过来用，对多项式进行因式分解的，这种因式分解的方法成为公式法。
例题1：（1）用平方差公式分解因式① ②


（2）用简便方法计算① ② 9.9×10.1 ③


（1）分解因式① ②
例题2：（1）用完全平方公式分解因式① ②


（2）用简便方法计算：① ②


例题3：（1）分解因式① ②



（2）已知a,b,c是△ABC的三条边，①判断的值的正负。②若a,b,c满足，判断△ABC的形状。



（5）十字相乘法：=（a、b是常数）

例题：因式分解① ② ③







整式乘除复习题
练习一：同底数幂的乘法
1、=___ ； 2、=___ ；3、=___ ；
4、=_ ； 5、=___ ； 6、=___ _
练习二：幂的乘方
1、=__ ； 2、=__； 3、=___ ； 4、, 则____；
练习三：积的乘方
1、=___ ； 2、=___ ； 3、=___ ； 4、=___ ；
5、下列计算结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
6、计算：（-8）3·（0.125）4 =___ ；

7、已知：，求 的值。

8、若2m=a , 2n = b，求23m+10n的值。



练习四：单项式乘单项式
计算： 1、； 2、； 3、；

4、; 5、； 8、


练习五：单项式乘多项式
1、； 2、2a2 ( 3a2-5b )； 3、；


4、 5、； 6、


练习六：多项式乘多项式
1． 下列各式中，计算结果是的是（ ）
A B C D
2. 计算： 1、； 2、 3、； 4、；


练习七：平方差公式
1、 平方差公式为：

2、____ __

3、下列运算结果错误的是（ ）
A B
C D

4、下列各式计算中，结果正确的是（ ）
A B
C D


5、运用平方差公式计算：（1）；（2）； （3）；
（4）； （5）； （6）；
（7） （8）； （9）；
（10） （11）；
（12） （13）


练习八：完全平方公式
1、完全平方公式为：
2、下列等式，不成立的是（　　）A.(3a-b) B.(a+b－c)
C.(x+ D.(x+y) (x－y) (x
3、下列式子中是完全平方式的是( )
A． B． C． D．
4、用完全平方公式计算：
（1）； （2）； （3）； （4）；
（5）； （6）；（7）；（8）
（9）（10） （10）
5、用简便方法运算： （1） （2）


6. ___ ______ ．


7. 已知, ． 则____________


8. 设是一个完全平方式，则=____________

9．如果是一个完全平方式, 则的值为____ __

10.一个多项式的平方是,则m2=________________

11．已知|x+2|+y2-2y+1=0,则x+2y=_______________

12. 一个多项式的平方是,则=( ) A、 B、 C、 D、

13、已知

14、已知(x＋y)2＝1，(x－y)2＝49，求x2＋y2与xy的值

15、已知，求与的值。




练习九：同底数幂的除法
1. ； ；__ ；；



2. 下列计算中，正确的是（ ）

A 、 B、
C、 D、

3． 若，则有（ ）
A 、 B、 C、 D、
4.计算1、； 2、； 3、；


练习十：单项式除以单项式
1.
2.下列计算错误的是（ ）A、 B、
C、 D、
3.计算： 1、； 2、； 3、；
4、； 5、； 6、

练习十一：多项式除以单项式
计算： 1、； 2、； 3、；
4、； 7、
8、
练习十二：整式的混合运算
1、下列计算正确的是（）． A、 B、 C、 D、
2、下列运算正确的是（）．A． B． 　 C．·= 　　D．
3、计算：（1）2xy·x2y -（x3y2-y2) （2）
（3） （4）〔(2x+y)2 –(x+y)(y-x)-8x〕÷2x
（5）2 （6）
练习十三：
1. 化简，求值：，其中x= ­4

2.化简求值：，其中x=.

3.先化简，再求值：，其中．

4. 先化简，再求值：
其中a=-3,b=10.

5. 先化简，再求值：的值，其中

6. 先化简，再求值：其中x=-1,y=.
练习十四：整体代入
1. 已知，则代数式的值为
2. 已知，求代数式的值.
3. 已知，求代数式的值
4.已知，求的值.

5.已知，求的值

6.已知：．求代数式的值




分解因式复习题
一、填空：
1、若是完全平方式，则的值等于_____。
2、则=____=____
3、与的公因式是____________
4、若=，则m=_______，n=_________。
5、在多项式中，可以用平方差公式分解因式的有__________，其结果是 ________。
6、若是完全平方式，则m=_______。
7、
8、已知则
9、若是完全平方式M=_____。
10、，

11、若是完全平方式，则k=_______。

12、若的值为0，则的值是________。

13、若则=_____。

14、若则___。

15、方程，的解是________。
二、选择题：

1、多项式的公因式是（ ）
A、－a、 B、 C、 D、

2、若，则m，k的值分别是（ ）
A、m=—2，k=6，B、m=2，k=12，C、m=—4，k=—12、D m=4，k=12、

3、下列名式：中能用平方差公式分解因式的有（ ）
A、1个，B、2个，C、3个，D、4个

4、计算的值是（ ）A、 B、
三、分解因式：
1 、 2 、


3 、 4.


5、 6.
7、 8、 9、a2(b－c)＋b2(c－a)＋c2(a－b)
四、证明(求值)：

1．若x2＋mx＋n=(x－3)(x＋4)，求(m＋n)2的值．


2．当a为何值时，多项式x2＋7xy＋ay2－5x＋43y－24可以分解为两个一次因式的乘积．



五、代数式求值
1.已知，，求 的值。


2.已知，求的值


3.若x、y互为相反数，且，求x、y的值

4.计算：（1） 0.75 （2） 　（3）


六、利用分解因式计算
1、一种光盘的外D=11.9厘米，内径的d=3.7厘米，求光盘的面积。（结果保留两位有效数字）


2、正方形1的周长比正方形2的周长长96厘米，其面积相差960平方厘米求这两个正方形的边长。


七、分解因式在证明题中的应用
1.求证：1111－1110－119=119×109
2．求证：四个连续自然数的积再加上1，一定是一个完全平方数．
3．证明：(ac－bd)2＋(bc＋ad)2=(a2＋b2)(c2＋d2)．
4．若x，y为任意有理数，比较6xy与x2＋9y2的大小．
5．两个连续偶数的平方差是4的倍数．
6、对于任意自然数n，都能被动24整除。
7. 已知：a、b、c为三角形的三边，比较的大小。
8.在中，三边a,b,c满足 求证：
9. 已知：a、b、c是非零实数，且，求a+b+c的值。
10. 将
11. 求证：是6的倍数。（其中n为整数）
12. 若x为任意整数，求证：的值不大于100。


13. 求证：多项式的值一定是非负数


因式分解经典习题
一、填空： 1、若是完全平方式，则的值等于_____。
2、则=____=____3、与的公因式是＿
4、若=，则m=_______，n=_________。
6、若是完全平方式，则m=_______。7、
8、已知则
9、若是完全平方式M=________。
10、，
11、若是完全平方式，则k=_______。
12、若的值为0，则的值是________。
13、若则=_____。
14、若则___。15、方程，的解是________。
二、选择题： 1、多项式的公因式是（ ）
A、－a、 B、 C、 D、

2、若，则m，k的值分别是（ ）
A、m=—2，k=6，B、m=2，k=12，C、m=—4，k=—12、D m=4，k=12、
3、下列名式：中能用平方差公
式分解因式的有（ ）A、1个，B、2个，C、3个，D、4个
4、计算的值是（ ）A、 B、
三、代数式求值
1.已知，，求 的值。
2.若x、y互为相反数，且，求x、y的值

3.已知，求的值

4、已知：x＋y=,xy=1.求x3y＋2x2y2＋xy3的值。
5、若a－b=2,a－c=,求(b－c)2＋3(b－c)＋的值。

7．若x2＋mx＋n=(x－3)(x＋4)，求(m＋n)2的值．

8．当a为何值时，多项式x2＋7xy＋ay2－5x＋43y－24可以分解为两个一次因式的乘积．

9．已知a＋b=0，求a3－2b3＋a2b－2ab2的值．

计算：（1） 0.75 （2） 　

(3) （4）