专题01 【精品】手拉手模型-2022年中考数学几何模型解题策略研究（课件+讲义）

专题01 手拉手模型

一、方法突破

问题一：构成手拉手的必要条件．

当对一个几何图形记忆并不深刻的时候，可以尝试用文字取总结要点，

比如手拉手：四线共点，两两相等，夹角相等．

条件：如图，OA=OB，OC=OD（四线共点，两两相等），∠AOB=∠COD（夹角相等）

结论：△OAC≌△OBD（SAS）

证明无需赘述，关于条件中的OA=OB，OC=OD，有时候会直接以特殊几何图形的形式给出，比如我们都很熟悉的等边三角形和正方形．

1．等边三角形手拉手

（1）如图，B、C、D三点共线，△ABC和△CDE是等边三角形，连接AD、BE，交于点P：

结论一：△ACD≌△BCE

证明： → △ACD≌△BCE（SAS）

（2）记AC、BE交点为M，AD、CE交点为N：

结论二：△ACN≌△BCM；△MCE≌△NCD

证明： → △ACN≌△BCM（SAS）；

→ △MCE≌△NCD（ASA）

（3）连接MN：

结论三：△MNC是等边三角形．

证明：→△MCN是等边三角形．

（4）记AD、BE交点为P，连接PC：

结论四：PC平分∠BPD

证明：△BCE≌△ACD → CG=CH → PC平分∠BPD．

（5）结论五：∠APB=∠BPC=∠CPD=∠DPE=60°．

（6）连接AE：

结论六：P点是△ACE的费马点（PA+PC+PE值最小）

2．正方形手拉手

如图，四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形，连接BE、DG：

结论一：△BCE≌△DCG

证明： → △BCE≌△DCG（SAS）

结论二：BE=DG，BE⊥DG

证明：△BCE≌△DCG → BE=DG；

∠CBE＝∠CDG → ∠DHB=∠BCD=90°（旋转角都相等）

【重点概述】手拉手模型是一种基本的旋转型全等，与其说看图找模型，不如是“找条件、定模型”．

问题二：条件与结论如何设计？

设计一：我们可以给出手拉手模型条件，得到一组全等来解决问题，就像问题一中所得出的结论那样；

设计二：如果题目已知△ABC≌△ADE外，则还可得△ABD和△ACE均为等腰三角形，且有△ABD∽△ACE，．

问题三：如何构造手拉手？

如何构造手拉手？换句话说，如何构造旋转？

当我们在思考这个问题的时候，不妨先问一句，旋转能带来什么？

图形位置的改变，这一点就够了，因为，若有数量关系，则先有位置关系．

二、典例精析

例一：如图，等边三角形的边长为4，点是的中心，，绕点旋转，分别交线段、于、两点，连接，给出下列四个结论：①；②；③四边形的面积始终等于；④周长的最小值为6．上述结论中正确的个数是　　

A．1 B．2 C．3 D．4

例二：如图，点在等边的内部，且，，，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，则的值为　 　．

例三：如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．若，，，则四边形的面积为　 　．

例四：如图，等边三角形内有一点，分別连结、、，若，，．则　　．

例五：如图，为等边三角形内的一点，且到三个顶点，，的距离分别为3，4，5，则的面积为　　

A． B． C． D．

例六：在Rt△ABC中，AB=AC，点P是三角形内一点且∠APB=135°，，AC的最大值为_________．

三、中考真题演练

1．（2021•日照）问题背景：

如图1，在矩形中，，，点是边的中点，过点作交于点．

实验探究：

（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的绕点按逆时针方向旋转，如图2所示，得到结论：①　　；②直线与所夹锐角的度数为 　　．

（2）小王同学继续将绕点按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置．请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．

拓展延伸：

在以上探究中，当旋转至、、三点共线时，则的面积为 　　．

2．（2021•贵港）已知在中，为边的中点，连接，将绕点顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到，连接，．

（1）如图1，当且时，则与满足的数量关系是 　　；

（2）如图2，当且时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．

（3）如图3，延长到点，使，连接，当，时，求的长．

3．（2021•黑龙江）在等腰中，，是直角三角形，，，连接、，点是的中点，连接．

（1）当，点在边上时，如图①所示，求证：；

（2）当，把绕点逆时针旋转，顶点落在边上时，如图②所示，当，点在边上时，如图③所示，猜想图②、图③中线段和又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．

4．（2021•通辽）已知和都是等腰直角三角形，．

（1）如图1，连接，，求证：；

（2）将绕点顺时针旋转．

①如图2，当点恰好在边上时，求证：；

②当点，，在同一条直线上时，若，，请直接写出线段的长．

5．（2021•十堰）已知等边三角形，过点作的垂线，点为上一动点（不与点重合），连接，把线段绕点逆时针方向旋转得到，连．

（1）如图1，直接写出线段与的数量关系；

（2）如图2，当点、在同侧且时，求证：直线垂直平分线段；

（3）如图3，若等边三角形的边长为4，点、分别位于直线异侧，且的面积等于，求线段的长度．

6．（2020•沈阳）在中，，，点为线段延长线上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转，旋转角为，得到线段，连接，．

（1）如图1，当时，

①求证：；

②求的度数；

（2）如图2，当时，请直接写出和的数量关系．

（3）当时，若，，请直接写出点到的距离为　或　．