专题04【精品】 旋转之从全等到相似-2022年中考数学几何模型解题策略研究（课件+讲义）

专题04 旋转之从全等到相似

一、方法突破

在手拉手模型中，我们可以看成是两个相似的等腰三角形作共点旋转，由等腰条件可得一组全等三角形．

若△ABC与△ADE非等腰，则可得到旋转型相似，取直角三角形为例．

如图，Rt△ABC∽Rt△ADE，连接BD、CE，

可得：△ADB∽△AEC，（利用两边对应成比例且夹角相等）

且旋转的性质，旋转角都相等依然成立，如下右图，∠BAD=∠EAC=∠EFB．

二、典例精析

【旋转全等】

1.（2019·枣庄）在中，，，于点．

（1）如图1，点，分别在，上，且，当，时，求线段的长；

（2）如图2，点，分别在，上，且，求证：；

（3）如图3，点在的延长线上，点在上，且，求证：．

【分析】

（1）∵∠AMN=30°，∴∠BMD=60°，

∵AB=2，∴，∴，∴．

故AM的值为．

（2）易证△BDE≌△ADF，∴BE=AF．

（3）如图，作MQ⊥MA交AB延长线于点Q，

易证△MAN≌△MQB，∴AN=BQ，

∴，

∴．

【从全等到相似】

2.（2019·鞍山）在中，，是内一点，连接，．在左侧作，使，以和为邻边作，连接，．

（1）若，．

①如图1，当，，三点共线时，与之间的数量关系为　　．

②如图2，当，，三点不共线时，①中的结论是否仍然成立？请说明理由．

（2）若，，，且，，三点共线，求的值．

【分析】

（1）．

由“8字”模型易证：∠CBD=∠CAF，

连接CF，易证△CDB≌△CFA，∴CD=CF，且∠DCF=∠BCA=90°，

∴．

（2）成立，类似还是证明△CDB≌△CFA，而其中关键性条件∠CBD=∠CAF与B、D、F共线与否比并无关系．BD与DE是垂直关系，又AF∥DE，∴BD⊥AF．

如下图，延长BD与AF交于点P，则∠P=90°，由“8字”模型可证：∠CBD=∠CAF．

易证△CDB≌△CFA，∴．

（3）参考（2），延长BD与AF交于点P，则BD⊥AF，

由“8字”模型可得：∠CBD=∠CAF，

又BC=2AC，BD=2DE=2AF，

∴△CDB∽△CFA，∴CD=2CF．

∵，不妨设CD=4k，则AC=5k，

∴AD=EF=3k，，∴CE=k，

∴，

∴．

【旋转相似】

3.（2019·襄阳）如图，两个大小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于点，点在上，，与交于点，连接，若，，则　　．

【分析】

易证△CBD∽△CAE，且，∴，∠CAE=∠CBD，

∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=∠BAC+∠CBD=90°，

∴，

∴，，

又∠CAF=∠CBD=∠CDE=60°，

∴△CFD∽△EFA，

∴，故的值为．

【旋转相似】

4.（2019·东营）如图1，在中，，，，点、分别是边、的中点，连接．将绕点逆时针方向旋转，记旋转角为．

（1）问题发现

①当时，　　；②当时，　　．

（2）拓展探究

试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．

（3）问题解决

绕点逆时针旋转至、、三点在同一条直线上时，求线段的长．

【分析】

（1），．

（2）不变，易证△CDB∽△CEA，∴．

（3）当点E在线段AB上时，如下图所示：

易证△CDB∽△CEA，，

∵，BC=2，∴BE=1,，∴AE=3，

∴．

当点E在AB延长线上时，

易证四边形BCDE是矩形，∴BD=CE=．

综上所述，BD的长为或．

三、中考真题演练

【旋转相似】

1.（2019·宿迁）如图①，在钝角中，，，点为边中点，点为边中点，将绕点逆时针方向旋转度．

（1）如图②，当时，连接、．求证：；

（2）如图③，直线、交于点．在旋转过程中，的大小是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出这个角的度数；

（3）将从图①位置绕点逆时针方向旋转，求点的运动路程．

【分析】

（1）∵D、E分别是BA、BC中点，∴，，

将△BDE旋转可得∠DBA=∠EBC=，

∴△BDA∽△BEC．

（2）不变．

由（1）得△BDA∽△BEC，∴∠BAD=∠BCE，

由“8字”模型可得：∠G=∠ABC=30°．

（旋转任意均有△BED∽△BCA，且旋转角为30°，故CE与AD夹角始终为30°）

（3）∠G所对的边AC为定边，定边对定角，故G点轨迹是个圆弧．

以AC为边构造等边△AOC，点O即为圆心，又AC=4，故圆O半径为4．

通过起点和终点来确定轨迹，如下图：

G点从B点出发，当BD⊥BC时，弧BG最长，当旋转180°时，G点返回B点，

故点G的轨迹是弧BG长的2倍．

易证弧BG所对圆心角为60°，∴，

∴G点轨迹长为．

【旋转相似】

2.（2019·河南）在中，，．点是平面内不与点，重合的任意一点．连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，．

（1）观察猜想

如图1，当时，的值是　　，直线与直线相交所成的较小角的度数是　　．

（2）类比探究

如图2，当时，请写出的值及直线与直线相交所成的较小角的度数，并就图2的情形说明理由．

（3）解决问题

当时，若点，分别是，的中点，点在直线上，请直接写出点，，在同一直线上时的值．

【分析】

（1）易证△APC≌△ADB，∴BD=CP，∴．

根据“旋转角都相等”，可得直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是60°，可用“8字”模型证明：如下图，记BD与CP交于点Q，可得∠Q=∠CAB=60°．

（2）易证△ADB∽△APC，∴．

BD与CP所成的较小角是45°，如图所示，依然可用“8字”模型证明．

（3）如下图，P、D、C共线，△APC是直角三角形，求的值，但AD与CP并无位置关系，故可转化比例，考虑到，∴可转化为求的值．

情况一：过点P作MN⊥AB交BA延长线于点N，过点C作CM⊥MN交MN于点M．

不妨设AN=x，PN=y，易证△PNA∽△CMP，，代入得：，

化简得：，解得：，

考虑到点P是MN中点，易证△ANP∽△APC，∴，

∴．

情况二：如下图所示，同上可求，，．

综上所述，的值为或．

3.（2018·济南）在中，，，以为边在的另一侧作，点为射线上任意一点，在射线上截取，连接、、．

（1）如图1，当点落在线段的延长线上时，直接写出的度数；

（2）如图2，当点落在线段（不含边界）上时，与交于点，请问（1）中的结论是否仍成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；

（3）在（2）的条件下，若，求的最大值．

【分析】

（1）易证△ABD≌△ACE，∴∠BAD=∠CAE，AD=AE，

∴∠BAD-∠CAD=∠CAE-∠CAD，即∠BAC=∠DAE，

∴△ABC∽△ADE，∴∠ADE=∠ABC=30°．

（2）成立．

易证△ABD≌△ACE，易证△ABC∽△ADE，

∴∠ADE=∠ABC=30°．

（3）求CF最大值，等价于求AF最小值．

∵∠ADF=∠ACD，∴△AFD∽△ADC，

∴，即，

∵AC=AB=6，∴，

显然当AD⊥BC时，AD取到最小值3，此时，

∴．

故CF的最大值为．