2020-2021学年陕西省西安市碑林区铁一中学八年级（下）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年陕西省西安市碑林区铁一中学八年级（下）期中数学试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年陕西省西安市碑林区铁一中学八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列四个图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A．等边三角形 B．平行四边形 C．正方形 D．等腰三角形
2．（3分）在代数式，，﹣3x，，中，其中是分式的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（3分）下列从左边到右边的变形中，属于分解因式的是（　　）
A．a（m+n）＝am+an
B．a2﹣b2﹣c2＝（a﹣b）（a+b）﹣c2
C．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1）
D．x2﹣xy+y2＝（x﹣y）2
4．（3分）如果把中的a与b都扩大为原来的2倍，那么这个代数式的值（　　）
A．是原来的2倍 B．是原来的4倍
C．是原来的 D．不变
5．（3分）等腰三角形的一个内角为50°，它的顶角的度数是（　　）
A．65° B．80° C．65°或80° D．50°或80°
6．（3分）将某图形的各顶点的横坐标都减去3，纵坐标保持不变，则该图形（　　）
A．沿x轴向右平移3个单位 B．沿x轴向左平移3个单位
C．沿y轴向上平移3个单位 D．沿y轴向下平移3个单位
7．（3分）小明通常上学时从家到学校要走一段上坡路，途中平均速度为m千米/时，放学回家时，沿原路返回，通常的速度为n千米/时，则小明上学和放学路上的平均速度为（　　）千米/时．
A． B． C． D．
8．（3分）若x+2y＝2，则多项式x2+2xy+2y2的值为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
9．（3分）若关于x的不等式x＜a的解集中的任意x，都能使不等式＜1成立，则a的取值范围是（　　）
A．a≤3 B．a＜3 C．a≥3 D．a＞3
10．（3分）对于非负整数x，使得是一个正整数，则x的个数有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）当x≠　 　时，分式有意义．
12．（3分）已知9x2﹣mxy+16y2能运用完全平方公式分解因式，则m的值为　 　．
13．（3分）如图，已知OC平分∠AOB，P是OC上一点，PH⊥OB于点H，Q是射线OA上的一个动点，若PH＝5，则PQ长的最小值为　 　．

14．（3分）如图，点P为△ABC三边垂直平分线的交点，若∠PAC＝20°，∠PCB＝30°，则∠PAB的度数为　 　．

15．（3分）如图，直线y＝﹣x+m与y＝nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m＞nx+4n＞0的整数解是　 　．

16．（3分）如图，已知A（8，0），P是y轴上的一动点，线段PA绕着点P按逆时针方向旋转90°至线段PB位置，连接AB、OB，则BO+BA的最小值为　 　．

三、解答题（共72分）
17．（10分）分解因式：
（1）a3﹣4a；
（2）（x+1）（x+2）+．
18．（10分）解不等式（组）：
（1）；
（2）．
19．（10分）先化简，再求值：
（1），其中x＝；
（2）其中x＝4．
20．（7分）如图，方格纸中的每格都是边长为1的正方形，将△OAB（顶点都是正方形的顶点）绕点O按逆时针方向旋转90°得到△OA1B1．
（1）在所给的图形中画出△OA1B1；
（2）线段AA1的长为　 　；
（3）以O、B、A、A1为顶点的四边形的面积为　 　

21．（7分）若关于x的不等式组有且只有两个整数解，求m的取值范围．
22．（8分）某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A、B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：

销售时段
销售数量
销售收入
A种型号
B种型号
销售收入
第一周
3台
5台
1800元
第二周
4台
10台
3100元
（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本）
（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？
23．（8分）仔细阅读下面的材料并解答问题：
例题：当x取何值时，分式的值为正？
解：依题意得＞0，则有①或②
解不等式组①得＜x＜1，解不等式组②，得不等式组无解．
故＜x＜1．
所以当＜x＜1，分式的值为正．
依照上面方法解答问题：
（1）当x取何值时，x2﹣3x的值为负？
（2）当x取何值时，分式的值为负？
24．（12分）[问题发现]如图①，在△OAB中，OB＝3，若将△OAB绕点O逆时针旋转120°得△OA′B′，连接BB'．则BB'＝　 　．
[问题探究]如图②，已知△ABC是边长为4的等边三角形，以BC为边向外作等边△BCD，P为△ABC内一点，将线段CP绕点C逆时针旋转60°，P的对应点为Q．求PA+PB+PC的最小值．
[实际应用]如图③，在长方形ABCD中，其中AB＝600，AD＝800，点P是长方形内一动点，且S△PAD＝2S△PBC，点Q为△ADP内的任意一点，是否存在一点P和一点Q，使得AQ+DQ+PQ有最小值？若存在，请求出这个最小值，并求出此时PQ的长度，若不存在，请说明理由．


2020-2021学年陕西省西安市碑林区铁一中学八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列四个图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A．等边三角形 B．平行四边形 C．正方形 D．等腰三角形
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．（3分）在代数式，，﹣3x，，中，其中是分式的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【解答】解：，是分式，共2个，
故选：B．
【点评】本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以不是分式，是整式．
3．（3分）下列从左边到右边的变形中，属于分解因式的是（　　）
A．a（m+n）＝am+an
B．a2﹣b2﹣c2＝（a﹣b）（a+b）﹣c2
C．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1）
D．x2﹣xy+y2＝（x﹣y）2
【分析】根据因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，可得答案．
【解答】解：A、a（m+n）＝am+an，是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、a2﹣b2﹣c2＝（a﹣b）（a+b）﹣c2，没把一个多项式化为几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、10x2﹣5x＝5x（2x﹣1） ，把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项符合题意；
D、x2﹣xy+y2≠（x﹣y）2，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解的意义．掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式是解题关键．
4．（3分）如果把中的a与b都扩大为原来的2倍，那么这个代数式的值（　　）
A．是原来的2倍 B．是原来的4倍
C．是原来的 D．不变
【分析】把a，b全部换成2a，2b，代入分式计算即可．
【解答】解：当a，b都扩大为原来的2倍时，
，
∴代数式的值不变，
故选：D．
【点评】本题考查了分式的基本性质，考核学生的计算能力，牢记性质是解题的关键．
5．（3分）等腰三角形的一个内角为50°，它的顶角的度数是（　　）
A．65° B．80° C．65°或80° D．50°或80°
【分析】可知有两种情况（顶角是50°和底角是50°时），由等边对等角求出底角的度数，用三角形的内角和定理即可求出顶角的度数．
【解答】解：如图所示，△ABC中，AB＝AC．
有两种情况：
①顶角∠A＝50°；
②当底角是50°时，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝50°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴这个等腰三角形的顶角为50°或80°．
故选：D．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理的理解和掌握，能对有的问题正确地进行分类讨论是解答此题的关键．
6．（3分）将某图形的各顶点的横坐标都减去3，纵坐标保持不变，则该图形（　　）
A．沿x轴向右平移3个单位 B．沿x轴向左平移3个单位
C．沿y轴向上平移3个单位 D．沿y轴向下平移3个单位
【分析】平移中点的变化规律是：左右移动改变点的横坐标，左减右加；上下移动改变点的纵坐标，下减上加，据此求解即可．
【解答】解：将某图形的各顶点的横坐标都减去3，纵坐标保持不变，即为将该图形沿x轴向左平移3个单位，
故选：B．
【点评】本题考查了坐标与图形变化—平移，平移变换是中考的常考点，平移中点的变化规律是：左右移动改变点的横坐标，左减右加；上下移动改变点的纵坐标，下减上加．
7．（3分）小明通常上学时从家到学校要走一段上坡路，途中平均速度为m千米/时，放学回家时，沿原路返回，通常的速度为n千米/时，则小明上学和放学路上的平均速度为（　　）千米/时．
A． B． C． D．
【分析】平均速度＝总路程÷总时间，题中没有单程，可设从家到学校的单程为1，那么总路程为2．
【解答】解：依题意得：2÷（+）＝2÷＝．
故选：B．
【点评】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．当题中没有一些必须的量时，为了简便，可设其为1．
8．（3分）若x+2y＝2，则多项式x2+2xy+2y2的值为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】现根据（x+2y）2＝22，即x2+4xy+4y2＝4，根据等式的性质两边同时除以2，即可得出答案．
【解答】解：（x+2y）2＝22，
x2+4xy+4y2＝4，
等式两边同时除以2，
得x2+2xy+2y2＝2．
故选：A．
【点评】本题主要考查了完全平方公式的应用及等式的性质，熟练掌握完全平方进行计算是解决本题的关键．
9．（3分）若关于x的不等式x＜a的解集中的任意x，都能使不等式＜1成立，则a的取值范围是（　　）
A．a≤3 B．a＜3 C．a≥3 D．a＞3
【分析】解不等式＜1得出x的范围，再根据题意得出a的范围．
【解答】解：∵＜1，
∴x﹣1＜2，
∴x＜3，
∵关于x的不等式x＜a的解集中的任意x，都能使不等式＜1成立，
∴a≤3，
故选：A．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
10．（3分）对于非负整数x，使得是一个正整数，则x的个数有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【分析】先将分式变形，然后根据x为非负整数，分式的结果为正整数，得出x的值．
【解答】解：
＝
＝
＝x﹣3+，
∵x为非负整数，分式的结果为正整数，
∴x取值为0，1，3，9，
∴x的个数有4个，
故选：B．
【点评】本题考查了分式的特殊值，难度较大，考核学生的计算能力，这类题经常要用到枚举法，是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）当x≠　3　时，分式有意义．
【分析】分式有意义的条件为分母不为0．
【解答】解：根据题意得：x﹣3≠0．解得：x≠3．
【点评】此题主要考查了分式的意义，要求掌握．分式有意义的条件：对于任意一个分式，分母都不能为0，否则分式无意义．
解此类问题，只要令分式中分母不等于0，求得字母的取值即可．
12．（3分）已知9x2﹣mxy+16y2能运用完全平方公式分解因式，则m的值为　±24　．
【分析】这里首末两项是3和4y个数的平方，那么中间一项为加上或减去3x和4y乘积的2倍，进而得出答案．
【解答】解：∵（3x±4y）2＝9x2±24xy+16y2，
∴在9x2﹣mxy+16y2中，m＝±24．
故答案为：±24．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键．
13．（3分）如图，已知OC平分∠AOB，P是OC上一点，PH⊥OB于点H，Q是射线OA上的一个动点，若PH＝5，则PQ长的最小值为　5　．

【分析】连接PQ，当点Q移至PQ⊥AO时，PQ的长最小．依据角平分线的性质，即可得到PQ长的最小值．
【解答】解：如图所示，连接PQ，当点Q移至PQ⊥AO时，PQ的长最小．
∵OC平分∠AOB，P是OC上一点，PH⊥OB于点H，
∴PQ＝PH＝5，
∴PQ长的最小值为5，
故答案为：5．

【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．解题的关键是学会添加常用辅助线，利用角平分线的性质定理解决问题．
14．（3分）如图，点P为△ABC三边垂直平分线的交点，若∠PAC＝20°，∠PCB＝30°，则∠PAB的度数为　40°　．

【分析】根据线段垂直平分线的性质得到PA＝PB＝PC，再根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵点P为△ABC三边垂直平分线的交点，
∴PA＝PB＝PC，
∴∠PCA＝∠PAC＝20°，∠PBC＝∠PCB＝30°，∠PAB＝∠PBA，
∴∠PAB＝（180°﹣2×20°﹣2×30°）＝40°，
故答案为：40°．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，利用线段垂直平分线的性质得到PA＝PB＝PC是解题的关键．
15．（3分）如图，直线y＝﹣x+m与y＝nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m＞nx+4n＞0的整数解是　﹣3　．

【分析】满足关于x的不等式﹣x+m＞nx+4n＞0就是在y轴的右侧直线y＝nx+4n位于直线y＝﹣x+m的下方的图象，据此求得自变量的取值范围，进而求解即可．
【解答】解：∵直线y＝﹣x+m与y＝nx+4n的交点的横坐标为﹣2，
∴关于x的不等式﹣x+m＞nx+4n＞0的解集为﹣4＜x＜﹣2，
∴整数解可能是﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了一次函数的图象和性质以及与一元一次不等式的关系，要熟练掌握一次函数的图象和性质以及与一元一次不等式的关系是解题关键．
16．（3分）如图，已知A（8，0），P是y轴上的一动点，线段PA绕着点P按逆时针方向旋转90°至线段PB位置，连接AB、OB，则BO+BA的最小值为　8　．

【分析】作BC⊥y轴于点C，利用△BPC≌△PAO求得BC＝OP，PC＝AO，可求出B点坐标，即可求出B点在直线y＝x+8上，设直线y＝x+8与x轴交于点E，与y轴交于点F，作点O关于y＝x+8的对称点D，连接DE，DF，DA，DB，则EF垂直平分OD，转化为“轴对称—最短距离”模型即可求出BO+BA的最小值．
【解答】解：如图，作BC⊥y轴于点C，

∵线段PA绕着点P按逆时针方向旋转90°至线段PB位置，
∴PA＝PB，∠BPA＝90°，
∵BC⊥y轴，∠POA＝90°，
∴∠BCP＝∠POA＝90°，∠OAP+∠OPA＝90°，
∵∠CPB+∠OPA＝90°，
∴∠BCP＝∠OAP，
∴△BPC≌△PAO（ASA），
∴BC＝OP，PC＝AO，
∵P（0，m），A（8，0），
∴BC＝OP＝m，PC＝AO＝8，
∴B点坐标为（m，m+8），
∴B点在直线y＝x+8上，
如图，设直线y＝x+8与x轴交于点E，与y轴交于点F，作点O关于y＝x+8的对称点D，连接DE，DF，DA，DB，则EF垂直平分OD，

∴BD＝BO，
∴OB+AB＝BD+AB≥AD，
∴BD+AB的最小值为AD，即BO+AB的最小值为AD，
∵OE＝OF＝8，
∴∠FEO＝∠EFO＝45°，
∴四边形DEOF为正方形，
∴∠DEA＝90°，DE＝8，EA＝16，
∴AD＝＝＝8，
∴BO+AB的最小值为8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了轴对称—最短问题、勾股定理、一次函数的应用、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加适当的辅助线，构造全等三角形求出B点所在直线，把最短问题转化为轴对称问题．
三、解答题（共72分）
17．（10分）分解因式：
（1）a3﹣4a；
（2）（x+1）（x+2）+．
【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式；
（2）根据整式乘法求出（x+1）（x+2）的值，再利用完全平方公式即可．
【解答】解：（1）a3﹣4a＝a（a2﹣4）＝a（a+2）（a﹣2）；
（2）（x+1）（x+2）+＝x2+3x+＝（x+）2．
【点评】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握完全平方公式，平方差公式的结构特征是正确应用的前提．
18．（10分）解不等式（组）：
（1）；
（2）．
【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）去分母，得：2（2x﹣1）﹣3（5x+1）≤6，
去括号，得：4x﹣2﹣15x﹣3≤6，
移项，得：4x﹣15x≤6+2+3，
合并，得：﹣11x≤11，
系数化为1，得：x≥﹣1；
（2）解不等式3x+1＞5（x﹣1），得：x＜3，
解不等式x﹣6≥，得：x≥，
则不等式组解集为≤x＜3．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19．（10分）先化简，再求值：
（1），其中x＝；
（2）其中x＝4．
【分析】（1）先根据分式的减法法则进行计算，再求出答案即可；
（2）先算括号内的减法，把除法变成乘法，算乘法，最后求出答案即可．
【解答】解：（1）﹣
＝
＝
＝
＝x﹣1，
当x＝时，原式＝﹣1＝﹣；

（2）
＝•
＝•
＝，
当x＝4时，原式＝＝．
【点评】本题考查了分式的混合运算与求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
20．（7分）如图，方格纸中的每格都是边长为1的正方形，将△OAB（顶点都是正方形的顶点）绕点O按逆时针方向旋转90°得到△OA1B1．
（1）在所给的图形中画出△OA1B1；
（2）线段AA1的长为　5　；
（3）以O、B、A、A1为顶点的四边形的面积为　　

【分析】（1）分别作出A，B的对应点A1，B1即可．
（2）利用勾股定理计算即可．
（3）根据＝S△AOB+，求解即可．
【解答】解：（1）如图，△OA1B1即为所求作．

（2）AA1＝＝5．
故答案为：5．
（3）＝S△AOB+＝×3×4+×5×5＝，
故答案为：．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，全等三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21．（7分）若关于x的不等式组有且只有两个整数解，求m的取值范围．
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后根据已知得出关于m的不等式组，求出即可．
【解答】解：，
解不等式①得：x＞﹣2，
解不等式②得：x≤，
∵关于x的不等式组有且只有两个整数解，
∴不等式组的解集为﹣2＜x≤，
∵不等式组只有两个整数解，
∴0≤＜1，
解得：﹣2≤m＜1，
故m的取值范围为﹣2≤m＜1．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，解此题的关键是求出关于m的不等式组，难度适中．
22．（8分）某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A、B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：

销售时段
销售数量
销售收入
A种型号
B种型号
销售收入
第一周
3台
5台
1800元
第二周
4台
10台
3100元
（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本）
（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？
【分析】（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，根据3台A型号5台B型号的电扇收入1800元，4台A型号10台B型号的电扇收入3100元，列方程组求解；
（2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（30﹣a）台，根据金额不多余5400元，列不等式求解．
【解答】解：（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，
依题意得：，
解得：，
答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为250元、210元；

（2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（30﹣a）台．
依题意得：200a+170（30﹣a）≤5400，
解得：a≤10．
答：超市最多采购A种型号电风扇10台时，采购金额不多于5400元．
【点评】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．
23．（8分）仔细阅读下面的材料并解答问题：
例题：当x取何值时，分式的值为正？
解：依题意得＞0，则有①或②
解不等式组①得＜x＜1，解不等式组②，得不等式组无解．
故＜x＜1．
所以当＜x＜1，分式的值为正．
依照上面方法解答问题：
（1）当x取何值时，x2﹣3x的值为负？
（2）当x取何值时，分式的值为负？
【分析】（1）根据题意得出x（x﹣3）＜0，据此知①，②，再分别求解即可；
（2）根据题意得出＜0，据此知①，②，再分别求解即可．
【解答】解：（1）根据题意知x2﹣3x＜0，即x（x﹣3）＜0，
则①，②，
解不等式①，得：0＜x＜3；
解不等式②，得不等式组无解；
故0＜x＜3；
（2）根据题意得：＜0，
则有①，②，
解不等式①，得：0＜x＜3且x≠1；
解不等式②，得：不等式组无解；
故0＜x＜3且x≠1．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，根据题意列出对应的不等式组是解答此题的关键．
24．（12分）[问题发现]如图①，在△OAB中，OB＝3，若将△OAB绕点O逆时针旋转120°得△OA′B′，连接BB'．则BB'＝　3　．
[问题探究]如图②，已知△ABC是边长为4的等边三角形，以BC为边向外作等边△BCD，P为△ABC内一点，将线段CP绕点C逆时针旋转60°，P的对应点为Q．求PA+PB+PC的最小值．
[实际应用]如图③，在长方形ABCD中，其中AB＝600，AD＝800，点P是长方形内一动点，且S△PAD＝2S△PBC，点Q为△ADP内的任意一点，是否存在一点P和一点Q，使得AQ+DQ+PQ有最小值？若存在，请求出这个最小值，并求出此时PQ的长度，若不存在，请说明理由．

【分析】（1）如图1，过点O作OE⊥BB′于点E，根据旋转的性质和勾股定理即可求得答案．
（2）如图2，连接PQ，AD，根据等边三角形性质、旋转的性质得出∠CAD＝∠CDA＝30°，BC⊥AD，设垂足为F，利用勾股定理可求得AD＝12，利用SAS证明△BCP≌△DCQ，由PA+PB+PC＝PA+PQ+QD，可知当且仅当A、P、Q、D四点在同一条直线上时，PA+PB+PC的值最小，即可求得答案．
（3）如图3，过点P作EF∥AD交AB于点E，交CD于点F，将△ADQ绕点A逆时针旋转60°，得△AD′Q′，连接DD′，QQ′，D′P，设D′P交AD于点G，由S△PAD＝2S△PBC，可得AE＝2BE，进而求得AE＝400，当D′P⊥EF时，D′P取最小值，运用勾股定理即可求得答案．
【解答】解：（1）如图1，过点O作OE⊥BB′于点E，
∵将△OAB绕点O逆时针旋转120°得△OA′B′，
∴OB′＝OB＝3，∠BOB′＝120°，
∴∠OBB′＝∠OB′B＝30°，
∵OE⊥BB′，
∴∠OEB＝90°，BE＝B′E，
∴OE＝OB＝，
在Rt△BOE中，BE＝＝＝，
∴BB′＝2BE＝2×＝3；
故答案为：3.
（2）如图2，连接PQ，AD，
∵△ABC、△BCD都是等边三角形，
∴∠ACB＝∠BCD＝60°，AC＝BC＝DC＝4，
∵将线段CP绕点C逆时针旋转60°，P的对应点为Q，
∴∠PCQ＝60°，CP＝CQ，
∵∠ACP+∠BCP＝60°，∠BCP+∠BCQ＝60°，∠BCQ+∠DCQ＝60°，
∴∠ACP＝∠DCQ＝∠BCP＝∠BCQ＝30°，
∴∠ACD＝120°，BC⊥AD，设垂足为F，
∴∠CAD＝∠CDA＝30°，
∴CF＝AC＝2，
∴AF＝＝＝6，
∴AD＝2AF＝2×6＝12，
∵△PCQ是等边三角形，
∴PQ＝PC，
在△BCP和△DCQ中，
，
∴△BCP≌△DCQ（SAS），
∴PB＝QD，
∴PA+PB+PC＝PA+PQ+QD，当且仅当A、P、Q、D四点在同一条直线上时，PA+PB+PC的值最小，
此时，PA+PB+PC的最小值为12.
（3）存在一点P和一点Q，使得AQ+DQ+PQ有最小值．
如图3，过点P作EF∥AD交AB于点E，交CD于点F，将△ADQ绕点A逆时针旋转60°，得△AD′Q′，
连接DD′，QQ′，D′P，设D′P交AD于点G，
由（2）知，当P、Q、Q′、D′在同一条直线上时，AQ+DQ+PQ有最小值，最小值为D′P，
在长方形ABCD中，AB＝600，AD＝800，
∴BC＝AD＝800，AD∥BC，∠ABC＝∠BCD＝∠BAD＝90°，
∵EF∥AD，
∴∠AEF＝∠EFD＝90°，
∴四边形ADFE是矩形，
∴EF＝AD＝800，
∵S△PAD＝2S△PBC，
∴AD•AE＝2×BC•BE，
∴AE＝2BE，
∵AE+BE＝AB＝600，
∴AE＝400，
∵点P在EF上，
∴当D′P⊥EF时，D′P取最小值，
∵AD∥EF，
∴D′P⊥AD，
∵△ADD′是等边三角形，
∴AD′＝AD＝800，AG＝AD＝400，∠AGD′＝90°，
∴D′G＝＝＝400，
∵∠EAG＝∠AEP＝∠EPG＝90°，
∴四边形AEPG是矩形，
∴GP＝AE＝400，
∴D′P＝D′G+GP＝400+400，
∴AQ+DQ+PQ的最小值为400+400；
∵△AQQ′是等边三角形，AD⊥QQ′，
∴∠GAQ＝30°，AQ＝2GQ，
在Rt△AGQ中，AG2+GQ2＝AQ2，
∴4002+GQ2＝（2GQ）2，
解得：GQ＝，
∴PQ＝GP﹣GQ＝400﹣．



【点评】本题是四边形综合题，主要考查了等边三角形性质，全等三角形判定和性质，两点之间线段最短及点到直线的距离垂线段最短的应用，矩形性质，勾股定理等知识，解题关键是添加辅助线构造全等三角形，确定线段和取最小值的位置．
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