专题17 三角形-备战2022年中考数学母题题源解密（广东专用）（原卷版）

专题17 三角形

1、如图，在中，，，线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E，连结BD．若，则AD的长为________．

2、如图，在中，，，线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E，连结BD．若，则AD的长为________．

3、如图，在中，，，点D是边AB上一点，点B关于直线CD的对称点为，当时，则的度数为________．

4、如图，点E、F在线段BC上，，，，证明：．

5、如图，在四边形ABCD中，，点E是AC的中点，且

（1）尺规作图：作的平分线AF，交CD于点F，连结EF、BF（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）在（1）所作的图中，若，且，证明：为等边三角形．

6、如图，已知，是角平分线且，作的垂直平分线交于点F，作，则周长为________．

知识要点归纳：

1、三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。

三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点， 三角形ABC用符号表示为△ABC，三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c 表示，AC可用b表示，BC可用a表示。三角形具有稳定性。

2、三角形的分类：

   (1)按边分类

(2)按角分类

3、三角形的主要线段的定义：

（1）三角形的中线

三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段．

表示法：1.AD是△ABC的BC上的中线.

2.BD=DC=BC.

注意：①三角形的中线是线段；

（2）三角形的角平分线

三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段

表示法：1.AD是△ABC的∠BAC的平分线.

2.∠1=∠2=∠BAC.

（3）三角形的高

从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．

注意：三角形的中线、角平分线、高是均是线段。

4、三角形的三边关系：

三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边.

5、三角形的角与角之间的关系：

(1)三角形三个内角的和等于180;

(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；

(3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.

(4)直角三角形的两个锐角互余.

三角形的内角和定理

定理：三角形的内角和等于180°．

推论：直角三角形的两个锐角互余。

三角形的外角的定义

三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.

注意：每个顶点处都有两个外角，但这两个外角是对顶角.

三角形外角的性质

（1）三角形的外角和等于360°（三个外角的和）。

（2）三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和．

（3）三角形的一个角大于与它不相邻的任何一个内角．

6、特殊三角形的性质和判定：

1. 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。

  2. 等腰三角形的性质：

    （1）等腰三角形的两个底角相等；

    （2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。

    3. 等腰三角形的判定：

       如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。

    4. 等边三角形的性质：

       等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。

    5. 等边三角形的判定：

    （1）三个角都相等的三角形是等边三角形；

    （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

7、全等三角形的性质与判定

1.全等三角形的性质

全等三角形对应边相等，对应角相等.

2.全等三角形的判定定理

全等三角形判定1-“边边边”：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.

全等三角形判定2-“角边角”：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.

全等三角形判定3-“角角边”：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）  

全等三角形判定4—“边角边”：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.

全等三角形判定5—在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）

一、单选题

1．（2020·浙江绍兴·模拟预测）如图所示，亮亮课本上的一三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与这个三角形全等的图形，那么这两个三角形全等的依据是（     ）

A． B． C． D．

2．（2017·广东惠阳·中考模拟）等腰三角形的两条边长分别为3和7，则这个等腰三角形的周长是（       ）

A．10 B．13 C．17 D．13或17

3．（2016·河南·模拟预测）如图，某同学把一块三角形的玻璃块打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（       ）

A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①②去

4．（2021·黑龙江道外·一模）如图，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转40°到△DBE（其中点D与点A对应，点E与点C对应），连接AD，若，则∠ABE的度数为（       ）

A．25° B．30° C．35° D．40°

5．（2018·河北·模拟预测）小明把一副含有45°，30°角的直角三角板如图摆放其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠a+∠β等于（       ）

A．180° B．210° C．360° D．270°

6．（2021·广西柳北·三模）如图，，再添加一个条件，不能判定的是（ ）

A． B． C． D．

7．（2019·辽宁·昌图县第三初级中学一模）若三角形的两边长分别为6和8，第三边长为x²－16x＋60＝0的一个实数根，则该三角形的面积是（       ）

A．24 B．48 C．24或 D．

8．（2022·重庆·一模）如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使B与C重合，CD，AE相交于F，已知BD＝4AD，设△ABC的面积为S，△CEF的面积为S1，△ADF的面积为S2，则的值为（　　）

A． B． C． D．

9．（2021·浙江·杭州市丰潭中学二模）如图，已知平面直角坐标系中，点A，B坐标分别为A（4，0），B（﹣6，0）．点C是y轴正半轴上的一点，且满足∠ACB＝45°，圆圆得到了以下4个结论：①△ABC的外接圆的圆心在OC上；②∠ABC＝60°；③△ABC的外接圆的半径等于5；④OC＝12．其中正确的是（　　）

A．①② B．②③ C．③④ D．①④

10．（2021·广东黄埔·一模）如图，在直角三角形纸片中，，，点E在边上，将沿直线折叠，点B恰好落在斜边上的点F处，若，则的长是（       ）

A．6 B． C． D．

11．（2021·四川广元·中考真题）如图，在中，，，点D是边的中点，点P是边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接．则的最小值是（       ）

A． B．1 C． D．

12．（2021·湖北鄂州·中考真题）如图，中，，，．点为内一点，且满足．当的长度最小时，的面积是（     ）

A．3 B． C． D．

二、填空题

13．（2021·江西·新余市第一中学模拟预测）三边长均为整数的三角形周长为50，其最长边是最短边的2倍长，则最短边长是 __．

14．（2017·河北·模拟预测）如图，将△ABC平移到△A’B’C’的位置（点B’在AC边上），若∠B=55°，∠C=100°，则∠AB’A’的度数为_____°．

15．（2018·江苏省洪泽县黄集中学一模）等腰三角形的两边长分别是2和5，则这个等腰三角形的周长为_______．

16．（2021·贵州铜仁·三模）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC中点，MN⊥AC于点N，则MN的长为_____．

17．（2019·河北·模拟预测）如图，AB=12cm，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC=4cm，P点从B向A运动，速度为1cm/s，Q点从B向D运动，速度为2cm/s，P、Q两点同时出发，运动______秒后△CAP与△PQB全等．

18．（2021·浙江·杭州市采荷中学二模）如图，，分别与，交于点，．若，，则______．

19．（2021·江苏东台·一模）如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,过点C作CE⊥BC,交AD于点E,连接BE,∠BEC＝∠DEC,若AB＝6,则CD＝___．

20．（2017·河北·模拟预测）如图，OP平分，，，，，垂足为D，则________．

21．（2018·河南·模拟预测）已知：如图，中，分别是和的平分线，过O点的直线分别交、于点D、E，且．若，则的周长为______．

22．（2021·江苏·常州实验初中二模）如图，长方形中，点为射线上的一个动点，与关于直线对称，当为直角三角形时，的长为___．

23．（2013·江苏如东·一模）已知在中，，，以为一边在外部作等腰直角三角形，线段的长为______．

24．（2021·重庆市育才中学三模）在△ABC中，点D为AB边上一点，连接CD，把△BCD沿着CD翻折，得到△B'CD，AC与B'D交于点E，若∠A＝∠ACD，AE＝CE，S△ACD＝S△B'CE，BC＝，则点A到BC的距离为_____．

三、解答题

25．（2021·广东花都·二模）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在线段BC、CD上，连接AE、AF，且BE＝DF．求证：AE＝AF．

26．（2021·广东·广州市番禺执信中学二模）如图，点E、F在菱形ABCD的对角线AC上，且AF＝CE，求证：DE＝BF．

27．（2021·广东·佛山市华英学校一模）（1）如图：在中，，，根据图中的作图痕迹可知为的______；

（2）在第（1）问的条件下，请完善以下求的过程：

作于点，设为，则

列方程得：__________

解得：______，∴______．

28．（2021·广东·珠海市九洲中学一模）如图，在中，．

（1）用尺规作的平分线交边于点（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）在（1）的基础上，已知，，求的周长．

29．（2021·广东南海·二模）如图，是等腰直角三角形，，为上一点，延长至点使，连接、并延长交于点．求证：是直角三角形．

30．（2021·广东佛山·一模）如图，已知等腰三角形ABC的顶角∠A＝108°．

（1）在BC上作一点D，使AD＝CD（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）．

（2）求证：△ABD是等腰三角形．

31．（2020·广东·模拟预测）如图，在锐角△ABC中，AB＝2cm，AC＝3cm．

（1）尺规作图：作BC边的垂直平分线分别交AC，BC于点D、E（保留作图痕迹，不要求写作法）；

（2）在（1）的条件下，连结BD，求△ABD的周长．

32．（2021·广东澄海·一模）将两块全等的三角板如图①摆放，其中，．

（1）将图①中的顺时针旋转后得到图②，点是与的交点，点是与的交点．若，请判断的形状，并说明理由；

（2）将图①中的顺时针旋转45°得图③，点是与的交点，点是与的交点，求证：；

（3）在（2）的条件下，如图④，在上取一点，连接、，设，当时，求的面积．