考点01 一元一次不等式（组）-2022年中考数学一轮复习基础夯实（安徽专用）

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一、不等式的概念、性质及解集表示
1．不等式
一般地，用符号“<”（或“≤”）、“>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式．能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．
2．不等式的基本性质
温馨提示：不等式的性质是解不等式的重要依据，在解不等式时，应注意：在不等式的两边同时乘以（或除以）一个负数时，不等号的方向一定要改变．
3．不等式的解集及表示方法
（1）不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解是一个范围，这个范围就是不等式的解集．
（2）不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式有无限个解．
二、一元一次不等式及其解法
1．一元一次不等式
不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫一元一次不等式．
2．解一元一次不等式的一般步骤
解一元一次不等式的一般步骤为：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1（注意不等号方向是否改变）．
三、一元一次不等式组及其解法
1．一元一次不等式组
一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一元一次不等式组．
2．一元一次不等式组的解集
一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集，求不等式组解集的过程，叫做解不等式组．
3．一元一次不等式组的解法
先分别求出每个不等式的解集，再利用数轴求出这些一元一次不等式的的解集的公共部分即可，如果没有公共部分，则该不等式组无解．
4．几种常见的不等式组的解集
设，，是常数，关于的不等式组的解集的四种情况如下表所示（等号取不到时在数轴上用空心圆点表示）：
考情总结：一元一次不等式（组）的解法及其解集表示的考查形式如下：
（1）一元一次不等式（组）的解法及其解集在数轴上的表示；
（2）利用一次函数图象解一元一次不等式；
（3）求一元一次不等式组的最小整数解；
（4）求一元一次不等式组的所有整数解的和．
考向一 不等式的定义及性质
（1）含有不等号的式子叫做不等式．
（2）不等式两边同乘以或除以一个相同的负数，不等号要改变方向，在运用中，往往会因为忘记改变不等号方向而导致错误．
典例引领
1．式子：①2＞0；②4x＋y≤1；③x＋3＝0；④y－7；⑤m－2.5＞3.其中不等式有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】
【分析】
找到用不等号连接的式子的个数即可．
【详解】
①是用“＞”连接的式子，是不等式；
②是用“≤”连接的式子，是不等式；
③是等式，不是不等式；
④没有不等号，不是不等式；
⑤是用“＞”连接的式子，是不等式；
∴不等式有①②⑤共3个，故选C．
【点睛】
此题考查不等式的定义，用到的知识点为：用“＜，＞，≤，≥，≠”连接的式子叫做不等式．
2．（2019·安徽）下列说法中，错误的是( )
A．不等式x＜5的整数解有无数多个 B．不等式x＞－5的负整数解集有有限个
C．不等式－2x＜8的解集是x＜－4 D．－40是不等式2x＜－8的一个解
【答案】C
【解析】
【分析】
对于A、B选项，可分别写出满足题意的不等式的解，从而判断A、B的正误；
对于C、D，首先分别求出不等式的解集，再与给出的解集或解进行比较，从而判断C、D的正误.
【详解】
A. 由x＜5，可知该不等式的整数解有4，3，2，1，-1，-2，-3，-4等，有无数个，所以A选项正确，不符合题意；
B. 不等式x>−5的负整数解集有−4，−3，−2，−1.故正确,不符合题意；
C. 不等式−2x<8的解集是x>−4,故错误.
D. 不等式2x<−8的解集是x<−4包括−40，故正确,不符合题意；
故选:C.
【点睛】
本题是一道关于不等式的题目，需结合不等式的解集的知识求解；
3．（2020·广西七年级期末）以下说法中正确的是（ ）
A．若a＞|b|，则a2＞b2B．若a＞b，则＜
C．若a＞b，则ac2＞bc2D．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d
变式拓展
1．（2019·全国七年级单元测试）给出下列表达式：①a(b＋c)＝ab＋ac；②－2＜0；③x≠5；④2a＞b＋1；⑤x2－2xy＋y2；⑥2x－3＞6，其中不等式的个数是______________．
2．（2020·全国七年级课时练习）已知关于x的不等式(m－1)x＞6，两边同除以m－1，得x＜，则化简：|m－1|－|2－m|＝______．
3．（2020·大庆市庆新中学八年级期中）数学表达式中：①a2≥0 ②5p-6q<0 ③x-6=1 ④7x+8y ⑤-1<0 ⑥x≠3.不等式是________（填序号）
考向二 一元一次不等式（组）的解集及数轴表示
（1）一元一次不等式的求解步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1．
（2）进行“去分母”和“系数化为1”时，要根据不等号两边同乘以（或除以）的数的正负，决定是否改变不等号的方向，若不能确定该数的正负，则要分正、负两种情况讨论．
典例引领
1．（2020·山东八年级期中）不等式组 的解集在数轴上表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
先解所给不等式组，求得其解集，再根据不等式组的解集在数轴上的表示方法进行判断即可.
【详解】
解不等式得：；
解不等式得：；
∴原不等式组的解集为：.
将解集表示在数轴上为：
故选A
【点睛】
熟练掌握“不等式组的解法和不等式组的解集在数轴上的表示方法”是解答本题的关键.
2．（2020·全国九年级课时练习）已知点P（a+1，）关于原点的对称点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
试题分析：∵P（，）关于原点对称的点在第四象限，∴P点在第二象限，∴，，解得：，则a的取值范围在数轴上表示正确的是．故选C．
考点：1．在数轴上表示不等式的解集；2．解一元一次不等式组；3．关于原点对称的点的坐标．
3．（2020·浙江九年级一模）不等式3x﹣6≥0的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2020·辽宁七年级期末）将不等式组的解集在轴上表示出来，应是( )
A．B．
C． D．
变式拓展
1．解不等式组并在数轴上表示出不等式组的解集．
2．（2017·全国七年级单元测试）解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来．
（1）5（x﹣1）≤3（x+1）
（2）﹣＞﹣2
（3）
3．（2019·乐清市英华学校八年级期中）解不等式组把解集在数轴上表示，并求不等式组的整数解．
4．（2019·全国八年级单元测试）解不等式组，并把不等式组的解在数轴上表示出来．
考向三 一元一次不等式（组）的整数解问题
此类问题的实质是解不等式（组），通过不等式（组）的解集，然后写出符合题意的整数解即可．
典例引领
1．（2020·北京八中七年级月考）求不等式≤+1的非负整数解．
【答案】不等式的非负整数解为0、1、2、3、4．
【解析】
【分析】
去分母，去括号，移项，合并同类项，即可得出不等式的解集．
【详解】
去分母得：5（2x+1）≤3（3x-2）+15，
去括号得：10x+5≤9x-6+15，
移项得：10x-9x≤-5-6+15，
合并同类项得x≤4，
∴不等式的非负整数解为0、1、2、3、4．
【点睛】
考查了不等式的性质和解一元一次不等式，主要考查学生运用不等式的性质解一元一次不等式的能力.
2．（2017·广东中山纪念中学）解不等式，并求出其最小整数解；
【答案】不等式的最小整数解为﹣2
【解析】
试题分析：根据不等式的解法，先去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可求解不等式，然后取其最小整数解即可.
试题解析：，
去分母，得6+3（x+1）≥12﹣2（x+7），
去括号，得6+3x+3≥12﹣2x﹣14，
移项、合并同类项，得5x≥﹣11，
系数化为1，得．
故不等式的最小整数解为﹣2．
点睛：此题主要考查了不等式的解法，解题关键是根据不等式的解法，先去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可求解不等式，然后取符合条件的数即可.
3．（2020·全国七年级课时练习）若不等式3(x＋1)－1＜4(x－1)＋3的最小整数解是方程x－mx＝6的解，求m2－2m－11的值．
4．求不等式的正整数解．
变式拓展
1．（2020·广东九年级其他模拟）解不等式≤，并求出它的正整数解．
2.（2019·安徽七年级期中）列式计算：求使的值不小于的值的非负整数x．
3．（2019·广东华南师大附中八年级期中）先化简，再求值：
，其中x为不等式的正整数解．
4．（2020·江苏七年级月考）（1）解方程组：；（2）求不等式的最大整数解．
考向四 求参数的值或取值范围
求解此类题目的难点是根据不等式（组）的解的情况得到关于参数的等式或不等式，然后求解即可．
典例引领
1．（2019·南昌市第十九中学七年级期末）关于x,y的方程组的解满足x>y,求m的最小整数值.
【答案】m=1
【解析】
【分析】
先求出方程组的解，用含m的代数式表示x，y，由x＞y得到关于m的不等式，解得关于m的不等式的解集，然后求m的最小整数值．
【详解】
解：解方程组得
∵x>y，
∴2m>1-m，
解得m>，
∴m的最小整数值为m=1.
【点睛】
本题考查二元一次方程组的解法和不等式的解法及不等式的整数解．能得出关于m的不等式是解题的关键．
2．（2018·全国八年级单元测试）当k满足什么条件时，关于x的方程x－＝2－的解是非负数？
【答案】k≤2
【解析】
分析：根据题意可以先求出方程的解，然后根据方程的解是非负数，即x≥0，组成关于k的不等式，解不等式即可．
详解：去分母得：6x﹣3（x﹣k）=12﹣2(x+3)
去括号，合并同类项得：5x=6﹣3k
∴x=．
∵关于x的方程x－＝2－的解是非负数，∴≥0，解得：k≤2．
点睛：本题考查了一元一次不等式的整数解，关键是把字母k看作一个常数来解．
3．（2018·海南）若关于x、y的二元一次方程组的解满足x - y >-8．
（1）用含m的代数式表示.
（2）求满足条件的m的所有正整数值.
4．（2018·全国八年级课时练习）当正整数m为何值时，关于x的方程＝的解是非正数？
变式拓展
1．（2019·浙江八年级期中）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足.
（1）求a的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若不等式的解为.则整数a的值是多少？
2．（2017·全国八年级课时练习）若关于x的分式方程＝2的解为正数，求m的取值范围．
3．（2020·齐齐哈尔市昂昂溪区教师进修学校七年级期末）若关于、的二元一次方程组的解满足，求整数的最大值．
4．（2020·四川七年级期末）已知方程组的解中，是非负数，是正数．
（1）求的取值范围；
（2）化简：；
（3）当为何整数时，不等式的解集为．
理论依据
式子表示
性质1
不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变
若，则
性质2
不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变
若，，则或
性质3
不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变
若，，则或
不等式组
（其中）
数轴表示
解集
口诀
同大取大
同小取小
大小、小大中间找
无解
大大、小小取不了