考点01 事件与概率-2021年中考数学一轮复习基础夯实（安徽专用）

考点一 事件与概率

知识点整合

一、事件的分类

1．必然事件：在一定条件下一定会发生的事件，它的概率是1．

2．不可能事件：在一定条件下一定不会发生的事件，它的概率是0．

3．随机事件：在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件，它的概率是0~1之间．

二、概率的计算

1．公式法

P（A）=，其中n为所有事件的总数，m为事件A发生的总次数．

2．列举法

（1）列表法：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，应不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法求事件发生的概率．

（2）画树状图法：当一次试验要涉及2个或更多的因素时，通常采用画树状图来求事件发生的概率．

三、利用频率估计概率

1．定义

一般地，在大量重复试验中，如果事件发生的频率稳定在某个常数P附近，因此，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率．

2．适用条件

当试验的所有可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，我们一般要通过统计频率来估计概率．

3．方法

进行大量重复试验，当事件发生的频率越来越靠近一个常数时，该常数就可认为是这个事件发生的概率．

四、概率的应用

概率是和实际结合非常紧密的数学知识，可以对生活中的某些现象做出评判，如解释摸奖、评判游戏活动的公平性、数学竞赛获奖的可能性等等，还可以对某些事件做出决策．

考向一 事件的分类

1．一般地，不确定事件发生的可能性是有大小的，它的大小要由它在整个问题中所占比例的大小来确定，它占整体的比例大，它的可能性就大，它占整体的比例小，它的可能性就小，不确定事件发生的概率在0到1之间，不包括0和1．

2．必然事件发生的机率是100%，即概率为1，不可能事件发生的机率为0，即概率为0．

典例引领

1．（2019·山西九年级专题练习）下列判断正确的是（　　）

A．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上

B．天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨

C．“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件

D．“a是实数，|a|≥0”是不可能事件

【答案】C

【分析】

直接利用概率的意义以及随机事件的定义分别分析得出答案．

【详解】

A、任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上，错误；

B、天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨，错误；

C、“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件，正确；

D、“a是实数，|a|≥0”是必然事件，故此选项错误．

故选C．

【点睛】

此题主要考查了概率的意义以及随机事件的定义，正确把握相关定义是解题关键．

变式拓展

1．（2019·南昌市外国语学校九年级月考）下列事件中必然发生的事件是（　　）

A．一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等

B．不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式

C．200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品

D．随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数

【答案】C

【分析】

直接利用随机事件、必然事件、不可能事件分别分析得出答案．

【详解】

A、一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等，是不可能事件，故此选项错误；

B、不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式，是随机事件，故此选项错误；

C、200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品，是必然事件，故此选项正确；

D、随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数，是随机事件，故此选项错误；

故选C．

【点睛】

此题主要考查了随机事件、必然事件、不可能事件，正确把握相关定义是解题关键．

考向二 概率的计算

在用列举法解题时，一定要注意各种情况出现的可能性务必相同，不要出现重复、遗漏等现象．

典例引领

1．（2019·河南襄城县·九年级期末）如图所示，阴影是两个相同菱形的重合部分，假设可以随机在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

分析：先设阴影部分的面积是x，得出整个图形的面积是7x，再根据几何概率的求法即可得出答案．

详解：设阴影部分的面积是x，则整个图形的面积是7x，

则这个点取在阴影部分的概率是，

故选：C．

点睛：本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．

变式训练

1．（2020·江西寻乌县·九年级期末）如图，任意转动正六边形转盘一次，当转盘停止转动时，指针指向大于3的数的概率是（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

分析：根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．

详解：∵共6个数，大于3的有3个，

∴P（大于3）=.

故选D．

点睛：本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．

2．（2020·河南襄城县·九年级期末）下列计算

①   ②   ③    ④    ⑤，

其中任意抽取一个，运算结果正确的概率是（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

根据计算结果和概率公式求解即可.

【详解】

运算结果正确的有⑤，则运算结果正确的概率是，

故选：A．

【点睛】

考核知识点：求概率.熟记公式是关键.

考向三 利用频率估计概率

在大量重复试验中，随着统计数据的增大，频率稳定在某个常数左右，将该常数作为概率的估计值，两者的区别在于：频率是通过多次试验得到的数据，而概率是理论上事件发生的可能性，二者并不完全相同．

典例引领

1．（2020·温州市南浦实验中学九年级期末）一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为（  ）

A．20 B．24 C．28 D．30

【答案】D

【详解】

试题解析：根据题意得=30%，解得n=30，

所以这个不透明的盒子里大约有30个除颜色外其他完全相同的小球．

故选D．

考点：利用频率估计概率．

变式拓展

1．（2019·内蒙古满洲里市·九年级一模）某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（　　）

A．袋中装有大小和质地都相同的3个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球

B．掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是偶数

C．先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面

D．先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的面的点数之和是7或超过9

【答案】D

【解析】

【分析】

根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案．

【详解】

解: 根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，

A、袋中装有大小和质地都相同的3个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球的概率为，不符合题意；

B、掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是偶数的概率为，不符合题意；

C、先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面的概率为，不符合题意；

D、先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的面的点数之和是7或超过9的概率为，符合题意，

故选D．

【点睛】

本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

2．（2017·山西九年级专题练习）如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．

下面有三个推断：

①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是0.616；

②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；

③若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定是0.620．

其中合理的是（　　）

A．① B．② C．①② D．①③

【答案】B

【解析】

①当频数增大时，频率逐渐稳定的值即为概率，500次的实验次数偏低，而频率稳定在了0.618，错误；②由图可知频数稳定在了0.618，所以估计频率为0.618，正确；③.这个实验是一个随机试验，当投掷次数为1000时，钉尖向上”的概率不一定是0.620.错误,

故选B.

【点睛】本题考查了利用频率估计概率，能正确理解相关概念是解题的关键.

3．（2020·全国八年级课时练习）某科研小组，为了考查某河野生鱼的数量，从中捕捞200条，作上标记后，放回河里，经过一段时间，再从中捕捞300条，发现有标记的鱼有15条，则估计该河中野生鱼有(     )

A．8000条 B．4000条    C．2000条 D．1000条

【答案】B

【解析】

试题解析：∵300条鱼中发现有标记的鱼有15条，

∴有标记的占到，

∵有200条鱼有标记，

∴该河流中有野生鱼200÷=4000（条）；

故选B．

4．（2019·浙江杭州市·九年级期末）如图的四个转盘中，转盘3，4被分成8等分，若让转盘自由转动一次停止后，指针落在阴影区域内可能性从大到小排列为（　 　）

A．①②④③ B．③②④① C．③④②① D．④③②①

【答案】A

【详解】

解：图1阴影部分为270°，图2阴影部分为240°，图3每份为45°，阴影部分共4份为180°，图4每份为45°阴影部分共5份为225°，所以①②④③，

故选A．

5．（2018·全国九年级单元测试）在边长为1的小正方形组成的网格中，有如图所示的A，B两点，在格点上任意放置点C，恰好能使得△ABC的面积为1的概率为（　　）.

A．  B． C．  D．

【答案】C

【分析】

按照题意分别找出点C所在的位置的个数，再找出其中满足的面积为1的C点个数，再根据概率公式求出概率即可．

【详解】

解：如图所示，

点C所放在格点上的位置共有16种可能，而能使△ABC的面积为1的点共有如图4种可能，

故恰好使△ABC的面积为1的概率为：.

故本题正确答案为C.

【点睛】

熟练掌握三角形的基本概念和求随机事件的概率是解本题的关键.