2021学年10.2 二元一次方程组学案

第16课  二元一次方程（组）的相关概念

知识点01  二元一次方程

含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1．像这样的方程叫做二元一次方程．

注意：

二元一次方程满足的三个条件：

（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.

（2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1.

（3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.

知识点02  二元一次方程的解

一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的一组解．

注意：

(1)二元一次方程的解都是一对数值，而不是一个数值，一般用大括号联立起来如：

(2)一般情况下，二元一次方程有无数个解，即有无数多对数适合这个二元一次方程．

（3）在一直二元一次方程的解，可将这组解代入方程；

知识点03  二元一次方程组

把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.   

注意：

组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数.例如 也是二元一次方程组.

知识点04  二元一次方程组的解

一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.

注意：

（1）二元一次方程组的解是一组数对，它必须同时满足方程组中的每一个方程，一般写成的形式．

(2)一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组的解有无数个．

考法01   二元一次方程

【典例1】已知方程（m﹣2）xn﹣1+2y|m﹣1|=m是关于x、y的二元一次方程，求m、n的值．

【分析】根据二元一次方程的定义作答．

【答案与解析】

解：∵（m﹣2）xn﹣1+2y|m﹣1|=m是关于x、y的二元一次方程，

∴n﹣1=1，|m﹣1|=1，

解得：n=2，m=0或2，

若m=2，方程为2y=2，不合题意，舍去，

则m=0，n=2．

【点睛】二元一次方程和二元一次方程组中系数的求解，要同时考虑两个未知数的系数与次数，不管方程的形式如何变化，必须满足含有两个未知数，含未知数的项的次数是一次且方程左右两边都是整式这三个条件．

【即学即练】已知方程是二元一次方程，则m=      ，n=      .

【答案】-2，

【即学即练】方程，当时，它是一元一次方程．

【答案】；

考法02  二元一次方程的解

【典例2】已知是方程2x﹣6my+8=0的一组解，求m的值．

【分析】把方程的解代入方程可得到关于m的方程，可求得m的值．

【答案与解析】

解：∵是方程2x﹣6my+8=0的一组解，

∴2×2﹣6m×（﹣1）+8=0，

解得m=﹣2．

【点睛】本题主要考查二元一次方程解的定义，掌握方程的解满足方程是解题的关键．

【即学即练】已知方程2x-y+m-3=0的一个解是，求m的值.

【答案】

解：将代入方程2x-y+m-3=0得，解得.

答：m的值为3.

【典例3】写出二元一次方程的所有正整数解.

【分析】可以把二元一次方程中的一个未知数看成已知数，先解关于另一个未知数的一元一次方程，当两个未知数的取值均为正整数才是方程的解，写时注意按一定规律写，做到不重、不漏.

【答案与解析】

解：由原方程得，因为都是正整数，

所以当时，.

所以方程的所有正整数解为：， ， ， .

【点睛】对题意理解，要注意两点：①要正确；②不重、不漏. 两个未知数的取值均为正整数才是符合题意的解.

【即学即练】已知 是关于x、y的二元一次方程ax﹣（2a﹣3）y=7的解，求a的值．

【答案】

解：把代入方程ax﹣（2a﹣3）y=7，可得：

2a+3（2a﹣3）=7，

解得：a=2．

【即学即练】在方程中，若分别取2、、0、－1、－4，求相应的的值.

【答案】将变形得.

把已知值依次代入方程的右边，计算相应值，如下表：

考法03  二元一次方程组及解

【典例4】甲、乙两人共同解方程组  由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为．乙看错了方程②中的b．得到方程组的解为．试计算：的值．

【分析】把x、y的值代入正确的方程，就可以求出字母的值．

【答案与解析】

解：把代入②，得-12+b＝-2，所以b＝10．

把代入①，得5a+20＝15，所以a＝-1，

所以．

【点睛】一组数是方程的解，那么它一定满足这个方程，利用方程解的定义可以求出方程中其他字母的值，所以在今后的学习中要会灵活运用它．

【即学即练】已知关于的二元一次方程组 ，求．

【答案】

 解：将代入原方程组得：  ，解得 ， 所以．

题组A  基础过关练

1．有下列方程组：①；②；③；④ ；⑤，其中二元一次方程组有（       ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【解析】

略

2．已知是二元一次方程，则的值为（       ）

A． B．1 C． D．2

【答案】C

【解析】

【分析】

根据二元一次方程的定义，即含有两个未知数，且未知数的次数均为1，即可求解．

【详解】

解：∵是二元一次方程，

∴ ，且 ，

解得： ．

故选：C

【点睛】

本题主要考查了二元一次方程的定义，解题的关键是熟练掌握含有两个未知数，且未知数的次数均为1．

3．若关于x，y的方程是二元一次方程，则m的值为（       ）

A．﹣1 B．0 C．1 D．2

【答案】C

【解析】

【分析】

根据二元一次方程的定义得出且，再求出答案即可．

【详解】

解：∵关于x，y的方程是二元一次方程，

∴且，

解得：m=1，

故选C．

【点睛】

本题考查了二元一次方程的定义，能熟记二元一次方程的定义是解此题的关键．

4．已知x=2，y=﹣1是方程ax+y=3的一组解，则a的值为（     ）

A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2

【答案】A

【解析】

【分析】

把x=2，y=﹣1代入方程ax+y=3中，得到2a-1=3，解方程即可．

【详解】

∵x=2，y=﹣1是方程ax+y=3的一组解，

∴2a-1=3，

解得a=2，

故选A．

【点睛】

本题考查了二元一次方程的解即使方程两边相等的一组未知数的值，一元一次方程的解法，正确理解定义，规范解一元一次方程是解题的关键．

5．下列各组数值是二元一次方程2x﹣y＝5的解是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

将选项中的解分别代入方程2x﹣y＝5，使方程成立的即为所求．

【详解】

解：A. 把代入方程2x﹣y＝5，-4-1=-5≠5，不满足题意；

B. 把代入方程2x﹣y＝5，0-5=-5≠5，不满足题意；

C. 把代入方程2x﹣y＝5，2-5=-3≠5，不满足题意；

D. 把代入方程2x﹣y＝5，6-1=5，满足题意；

故选：D．

【点睛】

本题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．能正确掌握方程的解得概念是解答此题的关键．

6．方程x+y＝6的正整数解有（　　）

A．5个 B．6个 C．7个 D．无数个

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题意求二元一次方程的特殊解，根据解为正整数，分别令进而求得对应的值即可

【详解】

解：方程的正整数解有，，，，共5个，

故选：A．

【点睛】

本题考查了求二元一次方程的特殊解，理解解为正整数是解题的关键．

7．已知是二元一次方程的解，则的值为（       ）

A．3 B．-3 C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

知道了方程的解，可以把这对数值代入方程，得到一个含有未知数m的一元一次方程，从而可以求出m的值．

【详解】

解：把代入二元一次方程5x+my-1=0，得

10-3m-1=0，

解得m=3．

故选：A．

【点睛】

本题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．

8．已知方程组是 关于x，y的二元一次方程组，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

二元一次方程组：由两个整式方程组成，两个方程一共含有两个未知数，且含未知数的项的最高次数是，这样的方程组是二元一次方程组，根据定义列方程或不等式，从而可得答案.

【详解】

解： 方程组是 关于x，y的二元一次方程组，

解得：

故选：

【点睛】

本题考查的是二元一次方程组的定义，掌握二元一次方程组的定义是解题的关键.

9．已知关于x，y的二元一次方程组的解是，则a+b的值是（　　）

A．1 B．2 C．﹣1 D．0

【答案】B

【解析】

【分析】

将代入即可求出a与b的值；

【详解】

解：将代入得：

，

∴a+b=2；

故选：B．

【点睛】

本题考查二元一次方程组的解；熟练掌握方程组与方程组的解之间的关系是解题的关键．

题组B  能力提升练

10．在（1），（2），（3）这三组数值中，_______是方程x-3y=9的解，______是方程2x+y=4的解，_________是方程组的解．

【答案】     （1），（2）     （1），（3）     （1）

【解析】

【分析】

根据二元一次方程解的定义：使二元一次方程左右两边相等的一组未知数的值，分别将三组数值代入两个方程中求出各自的解，即可得到方程组的解．

【详解】

解：当时，方程的左边为：，方程左右两边相等，

∴是方程的解；

当时，方程的左边为：，方程左右两边相等，

∴是方程的解；

当时，方程的左边为：，方程左右两边不相等，

∴不是方程的解；

当时，方程的左边为：，方程左右两边相等，

∴是方程的解；

当时，方程的左边为：，方程左右两边不相等，

∴不是方程的解；

当时，方程的左边为：，方程左右两边相等，

∴不是方程的解；

∴方程组的解为；

故答案为：①（1），（2）；②（1），（3）；③（1）．

【点睛】

本题主要考查了二元一次方程和二元一次方程组的解，数值二元一次方程解得定义是解题的关键．

11．若是二元一次方程的解，则______．

【答案】-1

【解析】

【分析】

把代入即可求出a的值．

【详解】

把代入方程得：，

解得：，

故答案为：

【点睛】

本题考查了求二元一次方程的解，能使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解．

12．若x2a﹣3+yb+2＝3是二元一次方程，则a﹣b＝__．

【答案】3

【解析】

【分析】

先根据二元一次方程的定义求出a、b的值，然后代入a﹣b计算即可．

【详解】

解：∵x2a﹣3+yb+2＝3是二元一次方程，

∴2a﹣3＝1，b+2＝1，

∴a＝2，b＝﹣1，

则a﹣b＝2﹣(﹣1)＝2+1＝3．

故答案为：3．

【点睛】

本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解答本题的关键．方程的两边都是整式，含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1次的方程叫做二元一次方程．

13．已知5xm﹣2﹣y2n+5＝0是关于x、y的二元一次方程，则m﹣n＝___．

【答案】5

【解析】

【分析】

根据二元一次方程的定义（如果一个方程含有两个未知数，并且所含未知项的次数都为1次，那么这个整式方程就叫做二元一次方程）列出方程求解可得，n﹣2，然后代入代数式求值即可得．

【详解】

解：由题意得：，，

解得：，，

，

故答案为：5．

【点睛】

题目主要考查二元一次方程的定义及求代数式的值，深刻理解二元一次方程的定义是解题关键．

14．已知是方程的一组解，则=______．

【答案】1

【解析】

【分析】

把代入方程得出，再变形，最后代入求出即可．

【详解】

解：是关于、的方程的一组解，

代入得：，

，

故答案是：1．

【点睛】

本题考查了二元一次方程的解和求代数式的值，解题的关键是能够整体代入求值．

15．若方程是关于，的二元一次方程，则_______．

【答案】-1

【解析】

【分析】

根据 二元一次方程定义：一个含有两个未知数，并且未知数的都指数是1的整式方程，叫二元一次方程，求出，的值即可得出答案．

【详解】

解：方程是关于，的二元一次方程，

，

，

，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了二元一次方程的概念以及有理数的乘方运算，根据二元一次方程的概念得出，的值是解本题的关键．

16．已知方程组的解是， 则方程组的解是_________．

【答案】

【解析】

【分析】

【详解】

试题分析：根据题意，把方程组的解代入，

可得，把①和②分别乘以5可得，和所求方程组比较，可知，因此方程组的解为.

17．已知是关于x，y的二元一次方程组的一组解，则a+b=_____．

【答案】5

【解析】

【分析】

根据方程组解的定义，把问题转化为关于a、b的方程组，求出a、b即可解决问题；

【详解】

∵是关于x，y的二元一次方程组的一组解，

∴，解得，

∴a+b=5，

故答案为5．

【点睛】

本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，理解题意，用转化的思想解答是解题的关键.

18．小亮解方程组的解为，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，则两个数●和★的值为__________．

【答案】和

【解析】

【分析】

把x=5代入方程组中第二个方程求出y的值，即为“★”表示的数，再将x与y的值代入第一个方程求出“●”表示的数即可．

【详解】

解：把x=5代入2x-y=12中，得：y=-2，

把x=5，y=-2代入得：2x+y=10-2=8，

则“●”“★”表示的数分别为8，-2．

故答案为：8，-2．

【点睛】

此题考查了二元一次方程组的解，能使方程组中每个方程的左右两边相等的未知数的值即是方程组的解．解题的关键是要知道两个方程组之间解的关系．

题组C  培优拔尖练

19．已知关于x，y的方程(m2－4)x2＋(m＋2)x＋(m＋1)y＝m＋5.

(1)当m为何值时，它是一元一次方程？

(2)当m为何值时．它是二元一次方程？

【答案】(1)当m＝－2时，它是一元一次方程；(2)当m＝2时，它是二元一次方程．

【解析】

【分析】

(1)根据一元一次方程的定义，得到m2－4＝0且m＋2＝0或m2－4＝0且m＋1＝0；(2)根据二元一次方程的定义，得到m2－4＝0且m＋2≠0，m＋1≠0.

【详解】

(1)依题意，得①m2－4＝0且m＋2＝0，解得m＝－2，

②m2－4＝0且m＋1＝0，无解，即当m＝－2时，它是一元一次方程；

(2)依题意，得m2－4＝0且m＋2≠0，m＋1≠0，解得m＝2，

即当m＝2时，它是二元一次方程．

【点睛】

此题主要考查二元一次方程的定义，熟知一元一次方程与二元一次方程的定义是解题的关键.

20．已知关于x，y的二元一次方程组的解是求m＋n的值．

【答案】m＋n＝1.

【解析】

【分析】

先把代入二元一次方程组中可得:,从而解得:,最后代入计算即可.

【详解】

解：∵是二元一次方程组的解,

∴,

解得

∴m＋n＝1.

【点睛】

本题主要考查二元一次方程组的定义和解方程组,解决本题的关键是要理解二元一次方程组的解.

21．已知方程2x-y+m-3=0的一个解是，求m的值．

【答案】3

【解析】

【分析】

将代入方程2x-y+m-3=0中进行求解即可得．

【详解】

解：将代入方程2x-y+m-3=0得

解得，

则m的值为3．

【点睛】

本题考查了二元一次方程，解题的关键是将方程的解代入到方程中去．

22．（1）若等式的x，y满足方程组．求的值．

（2）求二元一次方程的正整数解．

【答案】（1）； （2）；

【解析】

【分析】

（1）先利用非负性的性质求出x、y的值，从而求出m、n的值，然后代值计算即可；

（2）先根据题意得到，再由x、y都是正整数，即可得到，或，从而得到答案．

【详解】

解：（1）∵，，，

∴，

∴，

∵等式的x，y满足方程组，

∴，

∴，

∴；

（2）∵，

∴，

∵x、y都是正整数，

∴y必须是3的整倍数，

∴当时，，

当时，，

∴二元一次方程的正整数解为或．

【点睛】

本题主要考查了非负数的性质，二元一次方程组的解，解二元一次方程，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．

23．甲、乙两位同学一起解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到的解为，乙看错了方程②中的b，得到的解为，试根据上述条件，求解下列问题：

（1）求a、b的值；

（2）计算．

【答案】（1）a=-1，b=10；（2）0.6

【解析】

【分析】

（1）根据甲、乙同学都只看错了一个字母，因此解出的方程的解满足另一个没有看错的字母所在的方程，因此只需要把方程的解代入求出没有看错的字母即可；

（2）根据（1）中的结果，进行代入求解即可.

【详解】

解：由于甲看错了方程①中的a，得到的解为

∴

解得

∵乙看错了方程②中的b，得到的解为

∴

解得

（2）

【点睛】

本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，和利用算术平方根，立方根的性质计算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.