第十七讲 基本不等式-【暑假辅导班】2022年新高一年级数学暑假精品课程（人教A版2019） 试卷

第十七讲：基本不等式

【学习目标】

1.了解基本不等式的证明过程.

2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小．

【基础知识】

基本不等式

1．基本不等式：如果a>0，b>0，≤，当且仅当a＝b时，等号成立．

其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．

2．变形：ab≤2，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立．

a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立．

【考点剖析】

考点一：对基本不等式的理解

例1．若，则下列不等式成立的是（   ）

 A．  B．

 C．  D．

【答案】B

【详解】

因为，

所以，当且仅当时等号成立，

由，

所以，

故选：B

变式训练1：若，则下列不等式不成立的是（   ）

 A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

因为，利用不等式的性质知，，，故ABD正确；

因为，利用基本不等式知，故C错误.

故选：C

变式训练2：下列关于实数的不等式中，不恒成立的是（   ）

 A．  B．

 C．  D．

【答案】D

【详解】

由重要不等式和基本不等式可知A、B、C恒成立

当时不成立，

故选：D

变式训练3：若，且，则（   ）

 A．＜＜ B．＜＜

 C．＜＜ D．＜＜

【答案】B

【详解】

∵a，b∈R+，且a≠b，

∴a+b＞2，∴＜，

而＝＞0，

∴＜，

故选：B

考点二：基本不等式性质

例2．下列各式：①，②，③，④.其中正确的个数是（   ）

 A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【详解】

由可得，故①错误

，当且仅当，即时等号成立，故②正确

当时，，当且仅当时等号成立，故③错误

，当且仅当，即时等号成立，故④正确

故选：C

变式训练1：下列选项中恒成立的是（   ）

 A．

 B．

 C．，则

 D．且

【答案】D

【详解】

A：当时，显然，所以本选项不符合题意；

B：，所以本选项不符合题意；

C：由基本不等式可知：当，时，恒成立；

当，时，

，所以本选项不符合题意；

D：，因为且，

所以，因此，所以本选项符合题意，

故选：D

变式训练2：下列不等式一定成立的是（   ）

 A．  B．

 C．  D．若，，则

【答案】B

【详解】

对于A中，当时，，所以A不正确；

对于B中，由，

当且仅当时，即时，等号成立，即，所以B正确；

对于C中，由，

可得，所以C不正确；

对于D中，，，可得，可得，

当且仅当时，即时，等号成立，即，所以D不正确.

变式训练3：已知，下列不等式一定成立的是（   ）

 A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

因为，则由基本不等式，即，故A错误，D正确；

取，则，故B错误；

取，则，，故C错误.

故选：D.

考点三：基本不等式证明不等式（一）

例3．数学里有一种证明方法叫做Proofs without words，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点为斜边的中点，点为斜边上异于顶点的一个动点，设，，则该图形可以完成的无字证明为（   ）

 A． B．

 C． D．

【答案】B

【详解】

由图可知，，，

在中，，显然，

即.

故选：B

变式训练1：如图是在北京召开的第届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.我们教材中利用该图作为一个说法的一个几何解释，这个说法正确的是（   ）

 A．如果，那么

 B．如果，那么

 C．对任意正实数和，有， 当且仅当时等号成立

 D．对任意正实数和，有，当且仅当时等号成立

【答案】C

【详解】

通过观察，可以发现这个图中的四个直角三角形是全等的，

设直角三角形的长直角边为，短直角边为，则大正方形的边长为，

如图，整个正方形的面积大于或等于这四个直角三角形的面积和，即，

当时，中间空白的正方形消失，即整个正方形与四个直角三角形重合.

故选：C.

变式训练2：《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．下图是我国古代数学家赵爽创作的弦图，弦图由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形的直角边长分别为和，则该图形可以完成的无字证明为（   ）

 A． B．

 C． D．

【答案】B

【详解】

解：因为直角三角形的直角边长分别为和，所以大正方形的面积为

由图可知大正方形的面积大于等于4个直角三角形的面积和，

所以（）

故选：B

变式训练3：《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（   ）

 A． B．

 C． D．

【答案】D

【详解】

由AC＝a，BC＝b，可得圆O的半径r＝，

又OC＝OB－BC＝－b＝，

则FC2＝OC2＋OF2＝＋＝，

再根据题图知FO≤FC，即≤，当且仅当a＝b时取等号．

故选：D．

考点思：基本不等式证明不等式（二）

例4．已知、、，；证明：.

【答案】详见解析；

【详解】

（1）因为，所以，

因为，，，

所以，

即，，当且仅当时取等号.

变式训练1：描述并证明基本不等式；

【答案】（1）答案见解析；

【详解】

证明：（1）当且仅当a=b时，等号成立.

对于，有，当且仅当，即时等号成立．

所以，当且仅当时，等号成立.

变式训练2：设，，证明不等式：.

【答案】证明见解析.

【详解】

∵、均为正数，，，

∴，.

变式训练3：用基本不等式证明不等式

（1）已知为不全相等的正实数，求证：；

（2）已知为正实数，且，求证：．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．

【详解】

证明：（1）∵正数，∴，，，

又是不全相等的正数，上述三个等号不能同时取到，

∴，即，

（2）∵a，b，c为正实数，且，

∴

．

【当堂小结】

1．知识清单：

(1)基本不等式．

(2)利用基本不等式比较大小．

(3)利用基本不等式证明不等式．

2．方法归纳：配凑法．

3．常见误区：一正、二定、三相等，常因缺少条件导致错误．

【过关检测】

1、已知，，，则下列各式中正确的是（    ）

 A． B．1 C．2 D．1

【答案】C

【详解】

当时，，所以AB选项错误，

同时，所以D选项错误.

对于C选项，由基本不等式得，

当且仅当时等号成立.

所以C选项正确.

故选：C

2、若，则下列不正确的是（    ）

 A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

对于A，因为，所以，

，故A正确；

对于B，由均值不等式可知B正确；

对于C，，故C正确；

对于D，取，而，D不正确.

故选：D.

3、小明骑自行车从甲地前往乙地，前一半路程以速度骑行，后一半路程以速度骑行，且，其全程的平均速度为，则下列关系中不正确的是（    ）

 A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

根据题意，设甲地到乙地的距离为，

则小明从甲地到乙地的时间为，则其平均速度为，A选项正确；

，则，即，

由基本不等式可得，，所以，，B选项正确，D选项错误；

，，C选项正确.

故选：D.

4、下列结论表述正确的是（    ）

 A．若，则恒成立

 B．若，则恒成立

 C．若，，则成立

 D．函数的最小值为

【答案】C

【详解】

对于A，若，则恒成立，错；

对于B，若，则恒成立，若，则，错；

对于D，函数，，

令，则且，

因为在上为增函数，故，

对于C，因为，

而，，故成立.

故选：C．

5、若，则下列不等式①；②；③；④中，正确的不等式有（    ）

 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【答案】C

【详解】

因为，所以.

因此，且，且②、③不正确.

所以，所以①正确，

由得､均为正数，所以，（由条件，所以等号不成立），所以④正确.

故选：C.

6、（多选）下列命题中正确的是（    ）

 A．当时， B．当时，

 C．当时， D．当时，

【答案】AC

【详解】

解:选项A.，，等号成立的条件是，故A正确；

选项B.当时，，，所以时，的最小值是2，等号成立的条件是，没有最大值,故B不正确；

选项C.，，等号成立的条件是，等号取不到，即，根据“或”命题的性质可知C正确；

选项D.当时，，等号成立的条件是，即时，但条件，所以等号取不到，即最小值不存在，故D不正确.

故选：AC.

7、若正实数满足，则下列不等式恒成立的是（    ）

 A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

，C正确；

时，，A错；

时，，B错；

，D错．

故选：C.

8、若为非零实数，则以下不等式：①；②；③；④ .其中恒成立的个数是（    ）

 A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】C

【详解】

解：对于①，由重要不等式可知①正确；

对于②， ，故②正确；

对于③，当时，不等式的左边为，右边为，可知③不正确；

对于④，令可知④不正确．

故恒成立的个数为个.

故选：C.

9、（多选）对于，下列不等式中正确的是（    ）

 A． B．

 C．  D．

【答案】CD

【详解】

解：

选项，作差可得，当且仅当时取等号，故错误．

选项，由基本不等式可得，变形可得，当且仅当时取等号，故错误；

选项，由基本不等式可得，平方可得，当且仅当时取等号，

故正确；

选项，，当且仅当时取等号，故正确；

故选：．

10、（多选）已知，则下列式子一定成立的有（    ）

 A．  B．

 C．  D．

【答案】AD

【详解】

对于A：因为，所以，

所以，当且仅当时等号成立，故A正确；

对于B：，

因为，所以，当且仅当时等号成立，

所以，，

所以，故B错误；

对于C：，当且仅当时等号成立，

，当且仅当时等号成立，

所以，故C错误；

对于D：，

因为，所以，当且仅当时等号成立，

所以，所以，

所以，故D正确，

故选：AD

11、（多选）已知，，给出下列四个不等式，其中正确的不等式有（    ）

 A．  B．

 C．  D．

【答案】BCD

【详解】

因为，所以，所以，故A不成立

，当且仅当，即时等号成立，故B成立

，，即，

当且仅当时等号成立，故选项C成立；

，当且仅当时等号成立，故等号取不到，

，故选项D成立.

故选：BCD

12、（多选）下列结论不正确的是（    ）

 A．当时，

 B．当时，的最小值是2

 C．当时，的最小值是

 D．设，，且，则的最小值是

【答案】BC

【详解】

A. 当时，，当且仅当，即时等号成立，A正确；

B. 当时，，当且仅当时等号成立，但无实解，故最小值2取不到，B错；

C. 当时，，最小值显然不是正值，C错；

D. 设，，且，则，当且仅当，即时等号成立，D正确．

故选：BC

13、（多选）下列命题中正确的是（    ）

 A．的最大值是

 B．的最小值是2

 C．的最大值是

 D．最小值是5

【答案】ACD

【详解】

对于A，，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值是，故A正确；

对于B，，因为，即无解，即等号不成立，所以取不到最小值2，故B错误；

对于C，，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值是，故C正确；

对于D，，当且仅当，即时，等号成立，所以最小值是5，故D正确；

 故选：ACD.

14、已知都是正数，且.

求证：（1）；

（2）.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【详解】

（1），，，由于当且仅当，即时取等号，但，因此不能取等号，；

（2），，，当且仅当时取等号，但，因此不能取等号，.

15、已知，，均为正实数，求证：若，则．

【答案】证明见解析

【详解】

证明：因为，，均为正实数，

由基本不等式得，当且仅当时，即a=1取等号，

同理，当且仅当时，即b=1取等号，

，当且仅当时，即c=1取等号，

以上三式相加，得

所以，当且仅当时，取等号．

16、已知正数满足，证明；

【答案】（1）证明见解析；

【详解】

（1）由基本不等式可得，同理，，

所以即，

当且仅当时等号成立，故成立．

17、证明下列式子

（1）已知,证明：；

（2）已知,证明：．

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析

【详解】

(1)因为.

因为,故,即.

故成立.

(2)由基本不等式可得,故.

同理有,.

相加可得,当且仅当时取等号.

即得证.

18、已知，，，且.证明：

（1）若，，，证明：；

（2）设，，，且，证明：.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【详解】

（1）由题得

，

∴，当且仅当时，等号成立.

（2）∵，，，

∴，

∴，

∴.当且仅当时，等号成立.

19、已知，，，求证：

（1）；

（2）.

【答案】证明见解析.

【详解】

证明：（1）因为且，（当且仅当时取等号），即，所以，

又，

所以；

（2）因为， 

所以

，

当且仅当时，等号成立， 所以.

20、判断以下两个命题是否正确，并加以解释

（1）命题：若，是正实数，则

（2）命题：若，是正实数，则

【答案】（1）命题正确，解释见详解；（2）命题错误，解释见详解.

【详解】

（1）命题正确，

因为，是正实数，所以，

由基本不等式，当，是正实数时，显然成立，故命题正确；

（2）命题错误，

因为，是正实数，所以显然不成立，故命题错误.

21、已知，，求证：.

【答案】证明见解析

【详解】

证明：由均值不等式得，，，

三式相加得.

所以.

22、判断并证明

（1）已知，试比较与的大小.

（2）证明：.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【详解】

（1）

因为，，，

所以.

（2）证明：∵，，

∴以上三式相加得:

∴.

23、已知是不全相等的三个正数，求证：

【答案】证明见详解

【详解】

∵ 是不全相等的三个正数，

∴ 不全相等，

∴ ，，，

故三个不等式的等号不能同时成立，

则三式相加得，，

∴ ，

即.

24、已知，，为正实数，且，证明：

（1）；

（2）.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；

【详解】

（1）因为，，为正实数，所以，，，

（当且仅当时，等号同时成立），

所以.

（2）因为，所以

又，

即.（当且仅当时，等号同时成立）.

所以，即.