【暑假初升高】(人教A版2019)数学初三（升高一）暑假-2.2《基本不等式》讲学案

§2.2 基本不等式

一．不等式

二．常用结论

（1）若，则（当且仅当时取“=”）；

（2）若，则（当且仅当时取“=”）；

（3）若，则（当且仅当时取“=”）；

（4）若，则（当且仅当时取“=”）；

（5）若，则（当且仅当时取“=”）.

三．柯西不等式（补充）

1.二维柯西不等式  

若，则（当且仅当，即时取等号）.

2.二维形式的柯西不等式的变式

（1）（，当且仅当，即时取等号）；

（2），（，当且仅当，即时取等号）；

  （3）（，当且仅当，即时取等号）.

下列推导过程，正确的为（    ）

【答案】D

下列不等式恒成立的是（    ）

【答案】B

（多选）已知是实数，则下列一定正确的有（    ）

【答案】AD

下列不等式一定成立的是（    ）

【答案】C

若，且，则下列不等式中，恒成立的是（    ）

【答案】D

若正实数x，y满足2x+y=1.则xy的最大值为（    ）

【答案】B

已知，且，则的最大值为（    ）

【答案】D

已知，且满足，则下列说法正确的是（    ）

【答案】C

已知，，求的最小值.

【答案】64

若正实数满足，则的最大值为______．

【答案】

已知正数满足，则的最大值为______．

【答案】

已知为正实数，且，则的最小值是______．

【答案】8

若，，则的最小值为______．

【答案】2

若都是正数，且，则的最大值是______．

【答案】

若，则取最大值时的值是______，最大值为______．

【答案】

已知0<x<1，则x(4－3x)取得最大值时x的值为______，最大值为______．

【答案】

若，求的最大值.

【答案】

若，求的最大值.

【答案】

已知，求函数的最小值是       .

【答案】1

已知，函数的最小值为（    ）

【答案】B

取得最小值时，______.

【答案】4

若，则函数的最小值为（    ）

【答案】B

已知，，，则的最小值是（    ）

【答案】B

已知，，，则的最小值为（    ）

【答案】B

已知，且，求的最小值.

【答案】

已知正数x，y满足，则x+y的最小值为（　　）

【答案】B

已知，则的最小值为（　　）

【答案】B

若a，b，c都是正数，且a＋b＋c＝2，则＋的最小值是______.

【答案】3

设，为正数，且，则的最小值为（　　）

【答案】A

已知0＜a＜1，则的最小值是（　　）

【答案】C

已知，，，则的最小值为______.

【答案】B

已知正实数满足，则的最小值为（    ）

【答案】C

已知正数满足，则的最大值是（    ）

【答案】C

已知，，且，则的最小值为（　　）

【答案】C

若正实数，满足，则的最小值为（　　）

【答案】C

若正实数，满足，则的最小值为（　　）

【答案】B

若正实数，满足，则的最小值为______.

【答案】

已知，，且，则的最小值是（    ）

【答案】B

若正数，满足，则的最小值是______.

【答案】3

若，，且，则的最小值为（    ）

【答案】25

若正实数，满足，则的最小值为______.

【答案】

已知，，且，则的最小值为（    ）

【答案】D

已知，则的最小值是______.

【答案】

已知，则的最小值是______.

【答案】

若，则有（    ）

【答案】C

已知，则函数的最小值是______.

【答案】5

函数的最小值为（    ）

【答案】B

函数的最小值为（    ）

【答案】B

函数的最小值是______.

【答案】

已知，则的最大值为______.

【答案】

若，则的最大值为______.

【答案】

已知，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ）

【答案】C

若不等式对恒成立，则实数m的最大值为______.

【答案】9

对于正数，，且，若恒成立，则可以为（    ）

【答案】A

已知不等式对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（    ）

【答案】B

已知，若恒成立，则实数的取值范围是（    ）

【答案】C

已知，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）

【答案】A

数学里有一种证明方法叫做Proofs without words，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅．现有如图所示图形，在等腰直角三角形△ABC中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设AD=a，BD=b，则该图形可以完成的无字证明为（　　）

《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．下图是我国古代数学家赵爽创作的弦图，弦图由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形的直角边长分别为a和b，则该图形可以完成的无字证明为（　　）

今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确，有人要用它称物体的重量，他将物体放在左右托盘各称一次，取两次称量结果分别为a，b，设物体的真实重量为G，则（　　）

某工厂的产值第二年比第一年的增长率是P1，第三年比第二年的增长率是P2，而这两年的平均增长率为P，在P1+P2为定值的情况下，P的最大值为（　　）

建造一个容积是8m3，深2m的无盖长方体水池，如果池底的造价为每平方米120元，池壁的造价为每平方米80元，则这个水池的最低造价为（　　）

如图，在半径为4（单位：cm）的半圆形（O为圆心）铁皮上截取一块矩形材料ABCD，其顶点A，B在直径上，顶点C，D在圆周上，则矩形ABCD面积的最大值为______.（单位：cm2）．

如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在AB上，N在AD上，且对角线MN过C点，已知AB=4米，AD=3米，设AN的长为x米（x＞3）．

  （1）要使矩形AMPN的面积大于54平方米，则AN的长应在什么范围内？

  （2）求当AM、AN的长度是多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小面积．

某中学德育处为了更好的开展高一社团活动，现要设计如图的一张矩形宣传海报，该海报含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60000cm2，四周空白的宽度为10cm，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5cm．

（1）怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形海报面积最小，并求最小值；

（2）如果要求矩形栏目的宽度不小于高度的2倍，那么怎样确定海报矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形海报面积最小，并求最小值．

如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．

（1）若菜园面积为72m2，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？

（2）若使用的篱笆总长度为30m，求的最小值．

1.已知，则的（　　）

【答案】D

2.已知，那么的最大值为（　　）

【答案】C

3.已知，，若，则的最小值为（　　）

【答案】A

4.已知，，则的最大值为______．

【答案】2

5.已知点在直线上，当，，时，的最小值为______．

【答案】16

6.已知正数，满足，则的最小值为______．

【答案】9

7.正实数，满足：，则当取最小值时需满足的条件是______；最小值为______．

【答案】x=y=；9

8.设，均为正实数，且，则的最小值为（    ）

【答案】A

9.若正数，满足，当取得最小值时，的值为（    ）

【答案】B

10.已知，为正实数，满足，则的最小值为______.

【答案】2

11.已知，，，则的最小值为______．

【答案】

12.已知，，，则的最小值为______．

【答案】

13.已知，则的最小值是（　　）

【答案】C

14.若正数满足，则的最小值是______．

【答案】

1.对任意的正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）

【答案】C

2.已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围______．

【答案】[-4，2]

3.已知，，若不等式恒成立，则的最大值为______．

【答案】16

4.已知、为两个正实数，且恒成立，则实数的取值范围是______．

【答案】4

5.若对任意，恒成立，则的取值范围是______．

【答案】

6.已知对任意，且，恒成立，则的取值范围______．

【答案】

7.对任意满足的正数，都有成立，则实数的取值范围是______．

【答案】

1.南京第二十七高级中学为了宣传秦淮特色和风土人情，由同学设计一幅秦淮特色矩形宣传画，要求画面面

积为4000cm2，画面的上、下各留8cm空白，左、右各留5cm空白．如何设计画面的高与宽的尺寸，才能

使宣传画所用纸张面积最小？

2.若某居民小区欲在一块空地上建一面积为1200m2的矩形停车场，停车场的四周留有人行通道，设计要求

停车场外侧南北的人行通道宽3m，东西的人行通道宽4m，如图所示（图中单位：m），问如何设计停车场

的边长，才能使人行通道占地面积最小？最小面积是多少？