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中考数学总复习 06第六章 空间与图形 PPT课件（福建专用）
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这是一份中考数学总复习 06第六章 空间与图形 PPT课件（福建专用），文件包含§61图形的轴对称平移与旋转ppt、§62图形的相似ppt、§63解直角三角形ppt、§64视图与投影ppt等4份课件配套教学资源，其中PPT共240页， 欢迎下载使用。
2016—2020年全国中考题组
1.(2020湖南长沙,6,3分)从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角为30°时,船离灯塔的水平距 离是( )A.42 米 B.14 米 C.21米 D.42米
答案 A 如图,根据题意可知,船离灯塔的水平距离AC= = =42 米,故选A.
2.(2020浙江杭州,4,3分)如图,在△ABC中,∠C=90°,设∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,则 ( ) A.c=bsin B B.b=csin B C.a=btan B D.b=ctan B
3.(2016三明,9,4分)如图,在Rt△ABC中,斜边AB的长为m,∠A=35°,则直角边BC的长是 ( ) A.msin 35° B.mcs 35° C. D.
4.(2016福州,9,3分)如图,以O为圆心,1为半径的弧交坐标轴于A,B两点,P是 上一点(不与A,B重合),连接OP,设∠POB=α,则点P的坐标是 ( ) A.(sin α,sin α) B.(cs α,cs α)C.(cs α,sin α) D.(sin α,cs α)
答案 C 过P作PQ⊥OB,交OB于点Q, 在Rt△OPQ中,OP=1,∠POQ=α,∴sin α= ,cs α= ,即PQ=sin α,OQ=cs α,∴点P的坐标为(cs α,sin α).故选C.
思路分析 熟练掌握锐角三角函数的定义是解本题的关键.
5.(2018贵州贵阳,7,3分)如图,A,B,C是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长都为1,则tan∠BAC的值为 ( ) A. B.1 C. D.
答案 B 如图,连接BC. 在△ABD和△BCE中, ∴△ABD≌△BCE(SAS),∴AB=BC,∠ABD=∠BCE.∵∠BCE+∠CBE=90°,∴∠ABD+∠CBE=90°,即∠ABC=90°,∴tan∠BAC= =1,故选B.
6.(2016龙岩,13,4分)如图,若点A的坐标为(1, ),则sin∠1= .
7.(2017福建,22,10分)小明在某次作业中得到如下结果:sin27°+sin283°≈0.122+0.992=0.994 5,sin222°+sin268°≈0.372+0.932=1.001 8,sin229°+sin261°≈0.482+0.872=0.987 3,sin237°+sin253°≈0.602+0.802=1.000 0,sin245°+sin245°= + =1.据此,小明猜想:对于任意锐角α,均有sin2α+sin2(90°-α)=1.(1)当α=30°时,验证sin2α+sin2(90°-α)=1是否成立;(2)小明的猜想是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请举出一个反例.
解析 (1)当α=30°时,sin2α+sin2(90°-α)=sin230°+sin260°= + = + =1.所以,当α=30°时,sin2α+sin2(90°-α)=1成立.(2)小明的猜想成立.证明如下:如图,△ABC中,∠C=90°,设∠A=α,则∠B=90°-α.sin2α+sin2(90°-α)= + = = =1.
8.(2018贵州贵阳,18,8分)如图1,在Rt△ABC中,以下是小亮探索 与 之间关系的方法:∵sin A= ,sin B= ,∴c= ,c= ,∴ = .根据你掌握的三角函数知识,在图2的锐角△ABC中,探索 , , 之间的关系,并写出探索过程.
解析 如图1,过点A作BC边上的高AD, 图1∵在Rt△ABD中,sin B= ,在Rt△ACD中,sin C= ,∴AD=csin B,AD=bsin C,∴csin B=bsin C,∴ = .同理,如图2,过点B作AC边上的高BE,
图2∵在Rt△ABE中,sin A= ,在Rt△BCE中,sin C= ,∴BE=csin A,BE=asin C,∴csin A=asin C,∴ = .综上, = = .
考点二 解直角三角形
1.(2020江苏苏州,7,3分)如图,小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度,他作了如下操作:(1)在点C处放置 测角仪,测得旗杆顶的仰角∠ACE=α;(2)量得测角仪的高度CD=a;(3)量得测角仪到旗杆的水平距离DB =b.利用锐角三角函数解直角三角形的知识,旗杆的高度可表示为 ( ) A.a+btan α B.a+bsin αC.a+ D.a+
答案 A 延长CE交AB于F,由题意得,四边形CDBF为矩形,∴CF=DB=b,FB=CD=a,在Rt△ACF中,∠ACF=α,CF=b,∵tan∠ACF= ,∴AF=CF·tan∠ACF=btan α,∴AB=AF+BF=a+btan α,故选A.
解题关键 本题主要考查了解直角三角形,解题关键是通过构造直角三角形,将实际问题转化为数学问 题.
2.(2016莆田,9,4分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,将△ABC折叠,使点A落在BC边上的点D处, EF为折痕,若AE=3,则sin∠BFD的值为 ( ) A. B. C. D.
答案 A ∵在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,∴∠A=∠B,由折叠的性质得△AEF≌△DEF,∴∠EDF=∠A,∴∠EDF=∠B,又∠CDE+∠EDF=∠BFD+∠B,∴∠CDE=∠BFD.∵AE=DE=3,CE=4-3=1,∴在直角△ECD中,sin∠CDE= = ,∴sin∠BFD= .故选A.
思路分析 本题主要考查了翻折的性质及其应用问题,解题的关键是灵活运用全等三角形的性质、三 角形外角的性质等知识来解决问题.
3.(2019河北,3,3分)如图,从点C观测点D的仰角是 ( ) A.∠DAB B.∠DCE C.∠DCA D.∠ADC
答案 B 从点C观测点D的仰角是视线与过点C的水平线的夹角,故选B.
4.(2016福州,18,4分)如图,6个形状、大小完全相同的菱形组成网格,菱形的顶点称为格点.已知菱形的一 个角(∠O)为60°,A,B,C都在格点上,则tan∠ABC的值是 .
解析 如图,在网格中取格点E,F,连接EA,EC,易知E、C、B三点共线.设小菱形的边长为a,由题意得∠AEF=30°,∠BEF=60°,易知AE= a,EB=2a,∴∠AEB=90°,∴tan∠ABC= = = .
思路分析 本题考查菱形的性质、三角函数、特殊三角形边角之间的关系等知识,解题的关键是添加 辅助线构造直角三角形,属于中考常考题型.
5.(2020四川成都,18,8分)成都“339”电视塔作为成都市地标性建筑之一,现已成为外地游客到成都旅 游打卡的网红地.如图,为测量电视塔观景台A处的高度,某数学兴趣小组在电视塔附近一建筑物楼顶D 处测得塔A处的仰角为45°,塔底部B处的俯角为22°.已知建筑物的高CD约为61米,请计算观景台的高AB 的值.(结果精确到1米;参考数据:sin 22°≈0.37,cs 22°≈0.93,tan 22°≈0.40)
解析 如图所示,过D作DF⊥AB于F,则四边形CDFB是矩形,∴CD=BF=61米, 在Rt△ADF中,∠AFD=90°,∠ADF=45°,∴AF=DF,在Rt△DFB中,tan 22°= ,∴DF= ≈ =152.5米,∴AB=AF+BF=152.5+61=213.5米≈214米.答:观景台的高AB约为214米.
6.(2016莆田,20,8分)小梅家的阳台上放置了一个晒衣架如图1,图2是晒衣架的侧面示意图,A,B两点立于 地面,将晒衣架稳固张开,测得张角∠AOB=62°,立杆OA=OB=140 cm.小梅的连衣裙穿在衣架后的总长度 为122 cm,问这件连衣裙垂挂在晒衣架上是否会拖到地面?请通过计算说明理由.(参考数据:sin 59°≈0.86,cs 59°≈0.52,tan 59°≈1.66)
解析 会.理由:如图,过点O作OE⊥AB于E. ∵OA=OB,∠AOB=62°,∴∠OAB=∠OBA=59°.在Rt△AEO中,OE=OA·sin∠OAE=140×sin 59°≈140×0.86=120.4 cm.∵120.4<122,∴这件连衣裙垂挂在晒衣架上会拖到地面.
思路分析 本题考查了直角三角形的应用,解题的关键是构造直角三角形.
7.(2016漳州,21,8分)如图是将一正方体货物沿坡面AB装进汽车货厢的平面示意图.已知长方体货厢的高 度BC为 米,tan A= ,现把图中的货物继续往前平移,当货物顶点D与C重合时,仍可把货物放平装进货厢,求BD的长.(结果保留根号)
解析 如图,点D与点C重合时,B'C=BD,∠B'CB=∠CBD=∠A, ∵tan A= ,∴tan∠B'CB= = ,∴设B'B=x米,则B'C=3x米,
在Rt△B'CB中,B'B2+B'C2=BC2,即x2+(3x)2=( )2,解得x= (负值舍去),∴BD=B'C= 米.
8.(2019天津,22,10分)如图,海面上一艘船由西向东航行,在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰 角为31°,再向东继续航行30 m到达B处,测得该灯塔的最高点C的仰角为45°.根据测得的数据,计算这座 灯塔的高度CD(结果取整数).参考数据:sin 31°≈0.52,cs 31°≈0.86,tan 31°≈0.60.
解析 根据题意,∠CAD=31°,∠CBD=45°,∠CDA=90°,AB=30,∵在Rt△ACD中,tan∠CAD= ,∴AD= .∵在Rt△BCD中,tan∠CBD= ,∴BD= =CD,又AD=AB+BD,∴ =30+CD,∴CD= ≈ =45.答:这座灯塔的高度CD约为45 m.
思路分析 在Rt△ACD中利用∠CAD的三角函数表示出AD;在Rt△BCD中利用∠CBD的三角函数表示 出BD,进而根据AD=BD+30,求得CD的高度.
1.(2019天津,2,3分)2sin 60°的值等于 ( )A.1 B. C. D.2
2.(2018云南,12,4分)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,BC=3,则∠A的正切值为 ( )A.3 B. C. D.
3.(2020四川南充,8,4分)如图,点A,B,C在正方形网格的格点上,则sin∠BAC= ( ) A. B. C. D.
答案 B 如图,作BD⊥AC于D, 设正方形网格中每个小正方形的边长为1,∴AB= = ,又∵BD= = ,∴sin∠BAC= = = .故选B.
4.(2017内蒙古包头,18,3分)如图,在矩形ABCD中,点E是CD的中点,点F是BC上一点,且FC=2BF,连接AE, EF.若AB=2,AD=3,则cs∠AEF的值是 .
解析 连接AF.∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD,∠B=∠C=90°.∵点E是CD的中点,AB=2,∴CE=1.∵FC=2BF,BC=3,∴BF=1,FC=2.易证△ABF≌△FCE,∴AF=EF,∠AFB=∠FEC,∵∠FEC+∠EFC=90°,∴∠AFB+∠EFC=90°,∴∠AFE=90°.∴△AEF是等腰直角三角形,∴cs∠AEF=cs 45°= .
1.(2020安徽,18,8分)如图,山顶上有一个信号塔AC,已知信号塔高AC=15米,在山脚下点B处测得塔底C的 仰角∠CBD=36.9°,塔顶A的仰角∠ABD=42.0°,求山高CD(点A,C,D在同一条竖直线上).(参考数据:tan 36.9°≈0.75, sin 36.9°≈0.60,tan 42.0°≈0.90)
解析 由题意,在Rt△ABD与Rt△CBD中,AD=BDtan∠ABD≈0.9BD,CD=BDtan∠CBD≈0.75BD.于是AC=AD-CD=0.15BD.因为AC=15米,所以BD=100米.所以山高CD=0.75BD=75米. (8分)
解题关键 根据图形建立等式关系AC=AD-CD是解答本题的关键.
2.(2019陕西,20,7分)小明想利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度.一天下午,他和学习小 组的同学们带着测量工具来到这棵古树前,由于有围栏保护,他们无法到达古树的底部B,如图所示.于是, 他们先在古树周围的空地上选择了一点D,并在点D处安装了测倾器DC,测得古树的顶端A的仰角为45°; 再在BD的延长线上确定一点G,使DG=5 m,并在点G处的地面上水平放置了一个小平面镜,小明沿BG方 向移动,当移动到点F时,他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像,此时,测得FG=2 m,小明眼睛与 地面的距离EF=1.6 m,测倾器的高CD=0.5 m.已知点F、G、D、B在同一水平直线上,且EF、CD、AB均 垂直于FB,求这棵古树的高AB.(小平面镜的大小忽略不计)
解析 过点C作CH⊥AB于点H,则CH=BD,BH=CD=0.5. (1分)在Rt△ACH中,∠ACH=45°,∴AH=CH=BD.∴AB=AH+BH=BD+0.5. (2分)∵EF⊥FB,AB⊥FB,∴∠EFG=∠ABG=90°.由题意,易知∠EGF=∠AGB,∴△EFG∽△ABG. (4分)∴ = ,即 = . (5分)解之,得BD=17.5. (6分)∴AB=17.5+0.5=18.∴这棵古树的高AB为18 m.(7分)
思路分析 首先在Rt△ACH中利用45°角求出AH=BD,并用含BD的式子表示AB,然后证明△EFG∽△ABG,利用相似三角形的性质得出含BD的比例式,进而求出BD的长,最后求出古树AB的高度.
3.(2019山西,20,9分)某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动.他们制订了测量方案, 并利用课余时间完成了实地测量.他们在该旗杆底部所在的平地上,选取两个不同测点,分别测量了该旗 杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离.为了减小测量误差,小组在测量仰角的度数以及两个测点之 间的距离时,都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果,测量数据如下表(不完整).
任务一:两次测量A,B之间的距离的平均值是 m;任务二:根据以上测量结果,请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆GH的高度;(参考数据:sin 25.7°≈0.43,cs 25.7°≈0.90,tan 25.7°≈0.48,sin 31°≈0.52,cs 31°≈0.86,tan 31°≈0.60)任务三:该“综合与实践”小组在制订方案时,讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的 方案,但未被采纳.你认为其原因可能是什么?(写出一条即可)
解析 任务一:5.5. (1分)任务二:由题意可得四边形ACDB,四边形ACEH都是矩形,∴EH=AC=1.5,CD=AB=5.5. (2分)设EG=x m.在Rt△DEG中,∠DEG=90°,∠GDE=31°,∵tan 31°= ,∴DE= . (3分)在Rt△CEG中,∠CEG=90°,∠GCE=25.7°,∵tan 25.7°= ,∴CE= . (4分)∵CD=CE-DE,
∴ - =5.5. (5分)∴x=13.2. (6分)∴GH=GE+EH=13.2+1.5=14.7. (7分)答:旗杆GH的高度为14.7 m. (8分)任务三:答案不唯一:没有太阳光,旗杆底部不可到达,测量旗杆影子的长度遇到困难等. (9分)
解题关键 解此题的关键是把实际问题转化为数学问题,根据实际情况建立数学模型.
A组 2018—2020年模拟·基础题组时间:30分钟 分值:44分
一、选择题（每小题4分，共20分）
1.(2020宁德二检,5)如图,有一斜坡AB的长为10,坡角∠B=36°,则斜坡AB的铅垂高度AC为 ( ) A.10·tan 36° B.10·sin 36°C. D.10·cs 36°
答案 B sin B= ,∴AC=AB·sin B=10·sin 36°,故选B.
2.(2020福州福清线上质检,6)如图,A,B,C是3×1的正方形网格中的三个格点,则tan B的值为 ( ) A. B. C. D.
答案 A 如图所示, 在Rt△ABD中,tan B= = ,故选A.
3.(2019厦门二检,2)如图,在△ACB中,∠C=90°,则 等于 ( ) A.sin∠A B.sin∠BC.tan∠A D.tan∠B
4.(2020漳州一检,7)如图,A,B,C是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长为1,则cs∠BAC的值为 ( ) A. B.1 C. D.
答案 C 如图所示,连接BC. ∵易知AB= ,BC= ,AC= ,∴AB2+BC2=AC2,则△ABC为直角三角形,∠ABC=90°,∴∠BAC=∠BCA=45°,∴cs∠BAC= .故选C.
5.(2018莆田二检,6)如图,AB是☉O的切线,A为切点,连接OB交☉O于点C.若OA=3,tan∠AOB= ,则BC的长为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
二、填空题（每小题4分，共8分）
6.(2019泉州晋江质检,13)机器人沿着坡度为1∶7的斜坡向上走了5 米,则机器人在竖直方向上上升的高度为 米.
7.(2019龙岩二检,13)已知∠A是锐角,且sin∠A= ,则cs∠A= .
三、解答题（共16分）
8.(2020福州一检,19)福建省会福州拥有“三山两塔一条江”,其中报恩定光多宝塔(别名白塔)位于于山 风景区,利用标杆可以估算白塔的高度.如图,标杆BE高1.5 m,测得AB=0.9 m,BC=39.1 m,求白塔的高CD.
解析 依题意,得CD⊥AC,BE⊥AC,∴∠ABE=∠ACD=90°. (2分)∵∠A=∠A,∴△ABE∽△ACD, (4分)∴ = . (5分)∵AB=0.9,BC=39.1,BE=1.5,∴AC=40, (6分)∴ = , (7分)∴CD= ,∴白塔的高CD为 米. (8分)
9.(2019泉州晋江质检,21)在四边形ABCD中,CD∥AB,AC⊥BD于点O,AC=CB, = ,求sin∠DBC的值.
解析 ∵CD∥AB,∴△OCD∽△OAB, (2分)∴ = = ,∴ = . (3分)∵AC=CB,∴ = . (5分)∵AC⊥BD,∴∠COB=90°. (6分)在Rt△COB中,sin∠DBC=sin∠OBC= = . (8分)
B组 2018—2020年模拟·提升题组时间:40分钟 分值:50分
一、选择题（每小题4分，共12分）
1.(2019泉州石狮质检,8)如图,过∠MAN的边AM上的一点B(不与点A重合),作BC⊥AN于点C,过点C作CD ⊥AM于点D,则下列线段的比等于tan∠A的是 ( ) A. B. C. D.
答案 C ∵BC⊥AN,∴∠ACD+∠BCD=90°.∵CD⊥AM,∴∠A+∠ACD=90°.∴∠A=∠BCD.∴tan∠A=tan∠BCD= ,故选C.
2.(2020漳州一检,9)如图,矩形ABCD的对角线交于点O,若BC=n,∠BAC=α,则下列结论错误的是 ( ) A.AC= B.CD= C.OA= D.BD=
答案 D ∵在Rt△ABC中,sin α= ,∴AC= .故A中结论正确.在Rt△ABC中,tan α= .∵CD=AB,∴CD=AB= .故B中结论正确.∵OA= AC,∴OA= AC= ,故C中结论正确.∵BD=AC,∴BD= ,故D中结论错误.故选D.
3.(2020龙岩二检,10)如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=30°,D是AB上一点,且BD=2AD,将△ABC沿过D的一 条直线翻折,点B恰好落在AC边上的F点处,折痕交BC于点E,则sin∠FEC的值为 ( ) A. B. C. D.
答案 B 过D作DH⊥AC,垂足为H,设DH=x.∵∠BAC=30°,∴AD=2x,∵BD=2AD,∴BD=4x,由折叠可知∠B=∠DFE,DF=BD=4x.∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵∠AFE=∠DFE+∠AFD=∠FEC+∠C,∴∠AFD=∠FEC,∴sin∠FEC=sin∠AFD= = = .
4.(2020厦门二检,15)图1是某品牌台灯竖直摆放在水平桌面上的侧面示意图,其中OC为桌面(台灯底座 的厚度忽略不计),台灯支架AO与灯管AB的长度都为30 cm,且夹角为150°(即∠BAO=150°).若保持该夹 角不变,当支架AO绕点O顺时针旋转30°时,支架与灯管的位置如图2所示,则灯管末梢B的高度会降低 cm.
∴BE=BD+DE=(15 +30)cm.在图2中,过A1作A1F⊥OC于F点,过B1作B1E1⊥OC于E1点,过A1作A1M⊥B1E1于M点,易证四边形A1FE1M为矩 形,∴∠FA1M=90°,ME1=A1F.∵∠AOA1=30°,∴∠OA1F=∠AOA1=30°,∴∠B1A1M=∠OA1B1-∠OA1F-∠FA1M=150°-30°-90°=30°,∴B1M= A1B1=15 cm,在Rt△A1OF中,sin 60°= ,∴A1F=OA1·sin 60°=30× =15 cm,∴B1E1=B1M+ME1=B1M+A1F=(15+15 )cm,∴BE-B1E1=(15 +30)-(15+15 )=15(cm).
∴灯管末梢B的高度会降低15 cm.
解后反思 本题主要考查解直角三角形的应用,根据已知求出BE,A1F和B1M的长是解决问题的关键.
5.(2020漳州一检,14)∠α、∠β均为锐角,且满足 + =0,则∠α-∠β= °.
三、解答题（共30分）
6.(2020福州二检,24)已知△ABC,AB=AC,∠BAC=90°,D是AB边上一点,连接CD,E是CD上一点,且∠AED= 45°.(1)如图1,若AE=DE,①求证:CD平分∠ACB;②求 的值;(2)如图2,连接BE,若AE⊥BE,求tan∠ABE的值.
解析 (1)①证明:∵∠AED=45°,AE=DE,∴∠EDA= =67.5°. (1分)∴∠DCA=22.5°.∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠ACB=∠ABC=45°, (2分)∴∠DCB=22.5°,即∠DCA=∠DCB,∴CD平分∠ACB. (3分)②过点D作DF⊥BC于点F,
∴∠DFB=90°.∵∠BAC=90°,∴DA⊥CA.又CD平分∠ACB,∴AD=FD, (4分)∴ = .在Rt△BFD中,∠ABC=45°,
∴sin∠DBF= = , (5分)∴ = . (6分)(2)解法一:过点A作AG⊥AE交CD的延长线于点G,连接BG, ∴∠GAE=90°.又∠BAC=90°,∠AED=45°,∴∠BAG=∠CAE,∠AGE=45°,∠AEC=135°, (7分)∴∠AGE=∠AEG,
∴AG=AE. (8分)∵AB=AC,∴△AGB≌△AEC, (9分)∴∠AGB=∠AEC=135°,CE=BG,∴∠BGE=90°. (10分)∵AE⊥BE,∴∠AEB=90°,∴∠BEG=45°,在Rt△BEG和Rt△AGE中,BE= = GE,AE=GE·cs 45°= GE, (11分)在Rt△ABE中,tan∠ABE= = = . (12分)解法二:∵AE⊥BE,
∴∠AEB=90°,∴∠BAE+∠ABE=90°.∵∠AED=45°,∴∠BED=45°,∠EAC+∠ECA=45°,∴∠AEC=∠BEC=135°. (7分)∵∠BAC=90°,∴∠BAE+∠EAC=90°,∴∠ABE=∠EAC.∵∠ABC=45°,∴∠ABE+∠EBC=45°,∴∠ECA=∠EBC, (8分)∴△AEC∽△CEB.∴ = = . (9分)
在Rt△ABC中,BC= = CA, (10分)∴ = = = ,∴BE= CE,AE= CE. (11分)在Rt△ABE中,tan∠ABE= = = . (12分)
7.(2020漳州一检,22)如图,某校数学兴趣小组为测量该校旗杆AB及笃志楼CD的高度,先在操场的F处用 测角仪EF测得旗杆顶端A的仰角∠AEG为45°,此时笃志楼顶端C恰好在视线EA上,再向前走8 m到达B 处,用该测角仪又测得笃志楼顶端C的仰角∠CGH为60°.已知测角仪高度为1.5 m,点F、B、D在同一水 平线上.(1)求旗杆AB的高度;(2)求笃志楼CD的高度(精确到0.1 m).(参考数据: ≈1.41, ≈1.73)
解析 (1)在Rt△AEG中,∠AGE=90°,∠AEG=45°,∴AG=EG=8. (2分)∴AB=AG+GB=8+1.5=9.5. (3分)∴旗杆AB的高为9.5 m. (4分)(2)设GH=x m.∵∠CGH=60°,∴CH=GH·tan 60°= x. (5分)在Rt△CEH中,∠CHE=90°,∠CEH=45°,∴CH=EH=EG+GH,∴ x=8+x. (6分)解得x= . (7分)∴CD=DH+CH=1.5+ x=1.5+ ≈20.5. (9分)
答:笃志楼CD的高约为20.5 m. (10分)注:笃志楼CD的高约为20.4 m不扣分.
8.(2018龙岩二检,22)(1)知识延伸:如图1,在△ABC中,∠C=90°,AB=c,BC=a,AC=b,根据三角函数的定义得sin2A+cs2A= ;(2)拓展运用:如图2,在锐角三角形ABC中,AB=c,BC=a,AC=b.①求证:b2=a2+c2-2accs B;②已知:a=3,b= ,c=2,求∠B的度数.
2016—2020年全国中考题组
1.(2020湖南长沙,6,3分)从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角为30°时,船离灯塔的水平距 离是( )A.42 米 B.14 米 C.21米 D.42米
答案 A 如图,根据题意可知,船离灯塔的水平距离AC= = =42 米,故选A.
2.(2020浙江杭州,4,3分)如图,在△ABC中,∠C=90°,设∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,则 ( ) A.c=bsin B B.b=csin B C.a=btan B D.b=ctan B
3.(2016三明,9,4分)如图,在Rt△ABC中,斜边AB的长为m,∠A=35°,则直角边BC的长是 ( ) A.msin 35° B.mcs 35° C. D.
4.(2016福州,9,3分)如图,以O为圆心,1为半径的弧交坐标轴于A,B两点,P是 上一点(不与A,B重合),连接OP,设∠POB=α,则点P的坐标是 ( ) A.(sin α,sin α) B.(cs α,cs α)C.(cs α,sin α) D.(sin α,cs α)
答案 C 过P作PQ⊥OB,交OB于点Q, 在Rt△OPQ中,OP=1,∠POQ=α,∴sin α= ,cs α= ,即PQ=sin α,OQ=cs α,∴点P的坐标为(cs α,sin α).故选C.
思路分析 熟练掌握锐角三角函数的定义是解本题的关键.
5.(2018贵州贵阳,7,3分)如图,A,B,C是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长都为1,则tan∠BAC的值为 ( ) A. B.1 C. D.
答案 B 如图,连接BC. 在△ABD和△BCE中, ∴△ABD≌△BCE(SAS),∴AB=BC,∠ABD=∠BCE.∵∠BCE+∠CBE=90°,∴∠ABD+∠CBE=90°,即∠ABC=90°,∴tan∠BAC= =1,故选B.
6.(2016龙岩,13,4分)如图,若点A的坐标为(1, ),则sin∠1= .
7.(2017福建,22,10分)小明在某次作业中得到如下结果:sin27°+sin283°≈0.122+0.992=0.994 5,sin222°+sin268°≈0.372+0.932=1.001 8,sin229°+sin261°≈0.482+0.872=0.987 3,sin237°+sin253°≈0.602+0.802=1.000 0,sin245°+sin245°= + =1.据此,小明猜想:对于任意锐角α,均有sin2α+sin2(90°-α)=1.(1)当α=30°时,验证sin2α+sin2(90°-α)=1是否成立;(2)小明的猜想是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请举出一个反例.
解析 (1)当α=30°时,sin2α+sin2(90°-α)=sin230°+sin260°= + = + =1.所以,当α=30°时,sin2α+sin2(90°-α)=1成立.(2)小明的猜想成立.证明如下:如图,△ABC中,∠C=90°,设∠A=α,则∠B=90°-α.sin2α+sin2(90°-α)= + = = =1.
8.(2018贵州贵阳,18,8分)如图1,在Rt△ABC中,以下是小亮探索 与 之间关系的方法:∵sin A= ,sin B= ,∴c= ,c= ,∴ = .根据你掌握的三角函数知识,在图2的锐角△ABC中,探索 , , 之间的关系,并写出探索过程.
解析 如图1,过点A作BC边上的高AD, 图1∵在Rt△ABD中,sin B= ,在Rt△ACD中,sin C= ,∴AD=csin B,AD=bsin C,∴csin B=bsin C,∴ = .同理,如图2,过点B作AC边上的高BE,
图2∵在Rt△ABE中,sin A= ,在Rt△BCE中,sin C= ,∴BE=csin A,BE=asin C,∴csin A=asin C,∴ = .综上, = = .
考点二 解直角三角形
1.(2020江苏苏州,7,3分)如图,小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度,他作了如下操作:(1)在点C处放置 测角仪,测得旗杆顶的仰角∠ACE=α;(2)量得测角仪的高度CD=a;(3)量得测角仪到旗杆的水平距离DB =b.利用锐角三角函数解直角三角形的知识,旗杆的高度可表示为 ( ) A.a+btan α B.a+bsin αC.a+ D.a+
答案 A 延长CE交AB于F,由题意得,四边形CDBF为矩形,∴CF=DB=b,FB=CD=a,在Rt△ACF中,∠ACF=α,CF=b,∵tan∠ACF= ,∴AF=CF·tan∠ACF=btan α,∴AB=AF+BF=a+btan α,故选A.
解题关键 本题主要考查了解直角三角形,解题关键是通过构造直角三角形,将实际问题转化为数学问 题.
2.(2016莆田,9,4分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,将△ABC折叠,使点A落在BC边上的点D处, EF为折痕,若AE=3,则sin∠BFD的值为 ( ) A. B. C. D.
答案 A ∵在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,∴∠A=∠B,由折叠的性质得△AEF≌△DEF,∴∠EDF=∠A,∴∠EDF=∠B,又∠CDE+∠EDF=∠BFD+∠B,∴∠CDE=∠BFD.∵AE=DE=3,CE=4-3=1,∴在直角△ECD中,sin∠CDE= = ,∴sin∠BFD= .故选A.
思路分析 本题主要考查了翻折的性质及其应用问题,解题的关键是灵活运用全等三角形的性质、三 角形外角的性质等知识来解决问题.
3.(2019河北,3,3分)如图,从点C观测点D的仰角是 ( ) A.∠DAB B.∠DCE C.∠DCA D.∠ADC
答案 B 从点C观测点D的仰角是视线与过点C的水平线的夹角,故选B.
4.(2016福州,18,4分)如图,6个形状、大小完全相同的菱形组成网格,菱形的顶点称为格点.已知菱形的一 个角(∠O)为60°,A,B,C都在格点上,则tan∠ABC的值是 .
解析 如图,在网格中取格点E,F,连接EA,EC,易知E、C、B三点共线.设小菱形的边长为a,由题意得∠AEF=30°,∠BEF=60°,易知AE= a,EB=2a,∴∠AEB=90°,∴tan∠ABC= = = .
思路分析 本题考查菱形的性质、三角函数、特殊三角形边角之间的关系等知识,解题的关键是添加 辅助线构造直角三角形,属于中考常考题型.
5.(2020四川成都,18,8分)成都“339”电视塔作为成都市地标性建筑之一,现已成为外地游客到成都旅 游打卡的网红地.如图,为测量电视塔观景台A处的高度,某数学兴趣小组在电视塔附近一建筑物楼顶D 处测得塔A处的仰角为45°,塔底部B处的俯角为22°.已知建筑物的高CD约为61米,请计算观景台的高AB 的值.(结果精确到1米;参考数据:sin 22°≈0.37,cs 22°≈0.93,tan 22°≈0.40)
解析 如图所示,过D作DF⊥AB于F,则四边形CDFB是矩形,∴CD=BF=61米, 在Rt△ADF中,∠AFD=90°,∠ADF=45°,∴AF=DF,在Rt△DFB中,tan 22°= ,∴DF= ≈ =152.5米,∴AB=AF+BF=152.5+61=213.5米≈214米.答:观景台的高AB约为214米.
6.(2016莆田,20,8分)小梅家的阳台上放置了一个晒衣架如图1,图2是晒衣架的侧面示意图,A,B两点立于 地面,将晒衣架稳固张开,测得张角∠AOB=62°,立杆OA=OB=140 cm.小梅的连衣裙穿在衣架后的总长度 为122 cm,问这件连衣裙垂挂在晒衣架上是否会拖到地面?请通过计算说明理由.(参考数据:sin 59°≈0.86,cs 59°≈0.52,tan 59°≈1.66)
解析 会.理由:如图,过点O作OE⊥AB于E. ∵OA=OB,∠AOB=62°,∴∠OAB=∠OBA=59°.在Rt△AEO中,OE=OA·sin∠OAE=140×sin 59°≈140×0.86=120.4 cm.∵120.4<122,∴这件连衣裙垂挂在晒衣架上会拖到地面.
思路分析 本题考查了直角三角形的应用,解题的关键是构造直角三角形.
7.(2016漳州,21,8分)如图是将一正方体货物沿坡面AB装进汽车货厢的平面示意图.已知长方体货厢的高 度BC为 米,tan A= ,现把图中的货物继续往前平移,当货物顶点D与C重合时,仍可把货物放平装进货厢,求BD的长.(结果保留根号)
解析 如图,点D与点C重合时,B'C=BD,∠B'CB=∠CBD=∠A, ∵tan A= ,∴tan∠B'CB= = ,∴设B'B=x米,则B'C=3x米,
在Rt△B'CB中,B'B2+B'C2=BC2,即x2+(3x)2=( )2,解得x= (负值舍去),∴BD=B'C= 米.
8.(2019天津,22,10分)如图,海面上一艘船由西向东航行,在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰 角为31°,再向东继续航行30 m到达B处,测得该灯塔的最高点C的仰角为45°.根据测得的数据,计算这座 灯塔的高度CD(结果取整数).参考数据:sin 31°≈0.52,cs 31°≈0.86,tan 31°≈0.60.
解析 根据题意,∠CAD=31°,∠CBD=45°,∠CDA=90°,AB=30,∵在Rt△ACD中,tan∠CAD= ,∴AD= .∵在Rt△BCD中,tan∠CBD= ,∴BD= =CD,又AD=AB+BD,∴ =30+CD,∴CD= ≈ =45.答:这座灯塔的高度CD约为45 m.
思路分析 在Rt△ACD中利用∠CAD的三角函数表示出AD;在Rt△BCD中利用∠CBD的三角函数表示 出BD,进而根据AD=BD+30,求得CD的高度.
1.(2019天津,2,3分)2sin 60°的值等于 ( )A.1 B. C. D.2
2.(2018云南,12,4分)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,BC=3,则∠A的正切值为 ( )A.3 B. C. D.
3.(2020四川南充,8,4分)如图,点A,B,C在正方形网格的格点上,则sin∠BAC= ( ) A. B. C. D.
答案 B 如图,作BD⊥AC于D, 设正方形网格中每个小正方形的边长为1,∴AB= = ,又∵BD= = ,∴sin∠BAC= = = .故选B.
4.(2017内蒙古包头,18,3分)如图,在矩形ABCD中,点E是CD的中点,点F是BC上一点,且FC=2BF,连接AE, EF.若AB=2,AD=3,则cs∠AEF的值是 .
解析 连接AF.∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD,∠B=∠C=90°.∵点E是CD的中点,AB=2,∴CE=1.∵FC=2BF,BC=3,∴BF=1,FC=2.易证△ABF≌△FCE,∴AF=EF,∠AFB=∠FEC,∵∠FEC+∠EFC=90°,∴∠AFB+∠EFC=90°,∴∠AFE=90°.∴△AEF是等腰直角三角形,∴cs∠AEF=cs 45°= .
1.(2020安徽,18,8分)如图,山顶上有一个信号塔AC,已知信号塔高AC=15米,在山脚下点B处测得塔底C的 仰角∠CBD=36.9°,塔顶A的仰角∠ABD=42.0°,求山高CD(点A,C,D在同一条竖直线上).(参考数据:tan 36.9°≈0.75, sin 36.9°≈0.60,tan 42.0°≈0.90)
解析 由题意,在Rt△ABD与Rt△CBD中,AD=BDtan∠ABD≈0.9BD,CD=BDtan∠CBD≈0.75BD.于是AC=AD-CD=0.15BD.因为AC=15米,所以BD=100米.所以山高CD=0.75BD=75米. (8分)
解题关键 根据图形建立等式关系AC=AD-CD是解答本题的关键.
2.(2019陕西,20,7分)小明想利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度.一天下午,他和学习小 组的同学们带着测量工具来到这棵古树前,由于有围栏保护,他们无法到达古树的底部B,如图所示.于是, 他们先在古树周围的空地上选择了一点D,并在点D处安装了测倾器DC,测得古树的顶端A的仰角为45°; 再在BD的延长线上确定一点G,使DG=5 m,并在点G处的地面上水平放置了一个小平面镜,小明沿BG方 向移动,当移动到点F时,他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像,此时,测得FG=2 m,小明眼睛与 地面的距离EF=1.6 m,测倾器的高CD=0.5 m.已知点F、G、D、B在同一水平直线上,且EF、CD、AB均 垂直于FB,求这棵古树的高AB.(小平面镜的大小忽略不计)
解析 过点C作CH⊥AB于点H,则CH=BD,BH=CD=0.5. (1分)在Rt△ACH中,∠ACH=45°,∴AH=CH=BD.∴AB=AH+BH=BD+0.5. (2分)∵EF⊥FB,AB⊥FB,∴∠EFG=∠ABG=90°.由题意,易知∠EGF=∠AGB,∴△EFG∽△ABG. (4分)∴ = ,即 = . (5分)解之,得BD=17.5. (6分)∴AB=17.5+0.5=18.∴这棵古树的高AB为18 m.(7分)
思路分析 首先在Rt△ACH中利用45°角求出AH=BD,并用含BD的式子表示AB,然后证明△EFG∽△ABG,利用相似三角形的性质得出含BD的比例式,进而求出BD的长,最后求出古树AB的高度.
3.(2019山西,20,9分)某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动.他们制订了测量方案, 并利用课余时间完成了实地测量.他们在该旗杆底部所在的平地上,选取两个不同测点,分别测量了该旗 杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离.为了减小测量误差,小组在测量仰角的度数以及两个测点之 间的距离时,都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果,测量数据如下表(不完整).
任务一:两次测量A,B之间的距离的平均值是 m;任务二:根据以上测量结果,请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆GH的高度;(参考数据:sin 25.7°≈0.43,cs 25.7°≈0.90,tan 25.7°≈0.48,sin 31°≈0.52,cs 31°≈0.86,tan 31°≈0.60)任务三:该“综合与实践”小组在制订方案时,讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的 方案,但未被采纳.你认为其原因可能是什么?(写出一条即可)
解析 任务一:5.5. (1分)任务二:由题意可得四边形ACDB,四边形ACEH都是矩形,∴EH=AC=1.5,CD=AB=5.5. (2分)设EG=x m.在Rt△DEG中,∠DEG=90°,∠GDE=31°,∵tan 31°= ,∴DE= . (3分)在Rt△CEG中,∠CEG=90°,∠GCE=25.7°,∵tan 25.7°= ,∴CE= . (4分)∵CD=CE-DE,
∴ - =5.5. (5分)∴x=13.2. (6分)∴GH=GE+EH=13.2+1.5=14.7. (7分)答:旗杆GH的高度为14.7 m. (8分)任务三:答案不唯一:没有太阳光,旗杆底部不可到达,测量旗杆影子的长度遇到困难等. (9分)
解题关键 解此题的关键是把实际问题转化为数学问题,根据实际情况建立数学模型.
A组 2018—2020年模拟·基础题组时间:30分钟 分值:44分
一、选择题（每小题4分，共20分）
1.(2020宁德二检,5)如图,有一斜坡AB的长为10,坡角∠B=36°,则斜坡AB的铅垂高度AC为 ( ) A.10·tan 36° B.10·sin 36°C. D.10·cs 36°
答案 B sin B= ,∴AC=AB·sin B=10·sin 36°,故选B.
2.(2020福州福清线上质检,6)如图,A,B,C是3×1的正方形网格中的三个格点,则tan B的值为 ( ) A. B. C. D.
答案 A 如图所示, 在Rt△ABD中,tan B= = ,故选A.
3.(2019厦门二检,2)如图,在△ACB中,∠C=90°,则 等于 ( ) A.sin∠A B.sin∠BC.tan∠A D.tan∠B
4.(2020漳州一检,7)如图,A,B,C是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长为1,则cs∠BAC的值为 ( ) A. B.1 C. D.
答案 C 如图所示,连接BC. ∵易知AB= ,BC= ,AC= ,∴AB2+BC2=AC2,则△ABC为直角三角形,∠ABC=90°,∴∠BAC=∠BCA=45°,∴cs∠BAC= .故选C.
5.(2018莆田二检,6)如图,AB是☉O的切线,A为切点,连接OB交☉O于点C.若OA=3,tan∠AOB= ,则BC的长为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
二、填空题（每小题4分，共8分）
6.(2019泉州晋江质检,13)机器人沿着坡度为1∶7的斜坡向上走了5 米,则机器人在竖直方向上上升的高度为 米.
7.(2019龙岩二检,13)已知∠A是锐角,且sin∠A= ,则cs∠A= .
三、解答题（共16分）
8.(2020福州一检,19)福建省会福州拥有“三山两塔一条江”,其中报恩定光多宝塔(别名白塔)位于于山 风景区,利用标杆可以估算白塔的高度.如图,标杆BE高1.5 m,测得AB=0.9 m,BC=39.1 m,求白塔的高CD.
解析 依题意,得CD⊥AC,BE⊥AC,∴∠ABE=∠ACD=90°. (2分)∵∠A=∠A,∴△ABE∽△ACD, (4分)∴ = . (5分)∵AB=0.9,BC=39.1,BE=1.5,∴AC=40, (6分)∴ = , (7分)∴CD= ,∴白塔的高CD为 米. (8分)
9.(2019泉州晋江质检,21)在四边形ABCD中,CD∥AB,AC⊥BD于点O,AC=CB, = ,求sin∠DBC的值.
解析 ∵CD∥AB,∴△OCD∽△OAB, (2分)∴ = = ,∴ = . (3分)∵AC=CB,∴ = . (5分)∵AC⊥BD,∴∠COB=90°. (6分)在Rt△COB中,sin∠DBC=sin∠OBC= = . (8分)
B组 2018—2020年模拟·提升题组时间:40分钟 分值:50分
一、选择题（每小题4分，共12分）
1.(2019泉州石狮质检,8)如图,过∠MAN的边AM上的一点B(不与点A重合),作BC⊥AN于点C,过点C作CD ⊥AM于点D,则下列线段的比等于tan∠A的是 ( ) A. B. C. D.
答案 C ∵BC⊥AN,∴∠ACD+∠BCD=90°.∵CD⊥AM,∴∠A+∠ACD=90°.∴∠A=∠BCD.∴tan∠A=tan∠BCD= ,故选C.
2.(2020漳州一检,9)如图,矩形ABCD的对角线交于点O,若BC=n,∠BAC=α,则下列结论错误的是 ( ) A.AC= B.CD= C.OA= D.BD=
答案 D ∵在Rt△ABC中,sin α= ,∴AC= .故A中结论正确.在Rt△ABC中,tan α= .∵CD=AB,∴CD=AB= .故B中结论正确.∵OA= AC,∴OA= AC= ,故C中结论正确.∵BD=AC,∴BD= ,故D中结论错误.故选D.
3.(2020龙岩二检,10)如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=30°,D是AB上一点,且BD=2AD,将△ABC沿过D的一 条直线翻折,点B恰好落在AC边上的F点处,折痕交BC于点E,则sin∠FEC的值为 ( ) A. B. C. D.
答案 B 过D作DH⊥AC,垂足为H,设DH=x.∵∠BAC=30°,∴AD=2x,∵BD=2AD,∴BD=4x,由折叠可知∠B=∠DFE,DF=BD=4x.∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵∠AFE=∠DFE+∠AFD=∠FEC+∠C,∴∠AFD=∠FEC,∴sin∠FEC=sin∠AFD= = = .
4.(2020厦门二检,15)图1是某品牌台灯竖直摆放在水平桌面上的侧面示意图,其中OC为桌面(台灯底座 的厚度忽略不计),台灯支架AO与灯管AB的长度都为30 cm,且夹角为150°(即∠BAO=150°).若保持该夹 角不变,当支架AO绕点O顺时针旋转30°时,支架与灯管的位置如图2所示,则灯管末梢B的高度会降低 cm.
∴BE=BD+DE=(15 +30)cm.在图2中,过A1作A1F⊥OC于F点,过B1作B1E1⊥OC于E1点,过A1作A1M⊥B1E1于M点,易证四边形A1FE1M为矩 形,∴∠FA1M=90°,ME1=A1F.∵∠AOA1=30°,∴∠OA1F=∠AOA1=30°,∴∠B1A1M=∠OA1B1-∠OA1F-∠FA1M=150°-30°-90°=30°,∴B1M= A1B1=15 cm,在Rt△A1OF中,sin 60°= ,∴A1F=OA1·sin 60°=30× =15 cm,∴B1E1=B1M+ME1=B1M+A1F=(15+15 )cm,∴BE-B1E1=(15 +30)-(15+15 )=15(cm).
∴灯管末梢B的高度会降低15 cm.
解后反思 本题主要考查解直角三角形的应用,根据已知求出BE,A1F和B1M的长是解决问题的关键.
5.(2020漳州一检,14)∠α、∠β均为锐角,且满足 + =0,则∠α-∠β= °.
三、解答题（共30分）
6.(2020福州二检,24)已知△ABC,AB=AC,∠BAC=90°,D是AB边上一点,连接CD,E是CD上一点,且∠AED= 45°.(1)如图1,若AE=DE,①求证:CD平分∠ACB;②求 的值;(2)如图2,连接BE,若AE⊥BE,求tan∠ABE的值.
解析 (1)①证明:∵∠AED=45°,AE=DE,∴∠EDA= =67.5°. (1分)∴∠DCA=22.5°.∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠ACB=∠ABC=45°, (2分)∴∠DCB=22.5°,即∠DCA=∠DCB,∴CD平分∠ACB. (3分)②过点D作DF⊥BC于点F,
∴∠DFB=90°.∵∠BAC=90°,∴DA⊥CA.又CD平分∠ACB,∴AD=FD, (4分)∴ = .在Rt△BFD中,∠ABC=45°,
∴sin∠DBF= = , (5分)∴ = . (6分)(2)解法一:过点A作AG⊥AE交CD的延长线于点G,连接BG, ∴∠GAE=90°.又∠BAC=90°,∠AED=45°,∴∠BAG=∠CAE,∠AGE=45°,∠AEC=135°, (7分)∴∠AGE=∠AEG,
∴AG=AE. (8分)∵AB=AC,∴△AGB≌△AEC, (9分)∴∠AGB=∠AEC=135°,CE=BG,∴∠BGE=90°. (10分)∵AE⊥BE,∴∠AEB=90°,∴∠BEG=45°,在Rt△BEG和Rt△AGE中,BE= = GE,AE=GE·cs 45°= GE, (11分)在Rt△ABE中,tan∠ABE= = = . (12分)解法二:∵AE⊥BE,
∴∠AEB=90°,∴∠BAE+∠ABE=90°.∵∠AED=45°,∴∠BED=45°,∠EAC+∠ECA=45°,∴∠AEC=∠BEC=135°. (7分)∵∠BAC=90°,∴∠BAE+∠EAC=90°,∴∠ABE=∠EAC.∵∠ABC=45°,∴∠ABE+∠EBC=45°,∴∠ECA=∠EBC, (8分)∴△AEC∽△CEB.∴ = = . (9分)
在Rt△ABC中,BC= = CA, (10分)∴ = = = ,∴BE= CE,AE= CE. (11分)在Rt△ABE中,tan∠ABE= = = . (12分)
7.(2020漳州一检,22)如图,某校数学兴趣小组为测量该校旗杆AB及笃志楼CD的高度,先在操场的F处用 测角仪EF测得旗杆顶端A的仰角∠AEG为45°,此时笃志楼顶端C恰好在视线EA上,再向前走8 m到达B 处,用该测角仪又测得笃志楼顶端C的仰角∠CGH为60°.已知测角仪高度为1.5 m,点F、B、D在同一水 平线上.(1)求旗杆AB的高度;(2)求笃志楼CD的高度(精确到0.1 m).(参考数据: ≈1.41, ≈1.73)
解析 (1)在Rt△AEG中,∠AGE=90°,∠AEG=45°,∴AG=EG=8. (2分)∴AB=AG+GB=8+1.5=9.5. (3分)∴旗杆AB的高为9.5 m. (4分)(2)设GH=x m.∵∠CGH=60°,∴CH=GH·tan 60°= x. (5分)在Rt△CEH中,∠CHE=90°,∠CEH=45°,∴CH=EH=EG+GH,∴ x=8+x. (6分)解得x= . (7分)∴CD=DH+CH=1.5+ x=1.5+ ≈20.5. (9分)
答:笃志楼CD的高约为20.5 m. (10分)注:笃志楼CD的高约为20.4 m不扣分.
8.(2018龙岩二检,22)(1)知识延伸:如图1,在△ABC中,∠C=90°,AB=c,BC=a,AC=b,根据三角函数的定义得sin2A+cs2A= ;(2)拓展运用:如图2,在锐角三角形ABC中,AB=c,BC=a,AC=b.①求证:b2=a2+c2-2accs B;②已知:a=3,b= ,c=2,求∠B的度数.
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