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2021学年5.1.2 垂线学案
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这是一份2021学年5.1.2 垂线学案，共22页。学案主要包含了垂线定义的理解，画垂线，垂线段最短，点到直线的距离等内容，欢迎下载使用。
5.1.2 垂 线（专项练习）
一、 单选题
知识点一、垂线定义的理解
1．如图，直线AB、CD交于O，EO⊥AB于O，∠1与∠2的关系是（ ）
A．互余 B．对顶角
C．互补 D．相等
2．∠A两边分别垂直于∠B的两边，∠A与∠B的关系是（ ）
A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．不能确定
3．如图，，，平分，则的度数为（ ）
A．45° B．46° C．50° D．60°
知识点二、画垂线
4．如图，经过直线l外一点A作l的垂线，能画出（ ）
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
5．在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，正确的是( )
A． B． C．D．
6．下列用三角板过点P画AB的垂线CD，正确的是（ ）
A． B． C． D．
知识点三、垂线段最短
7．如图，从旗杆的顶端向地面拉一条绳子，绳子底端恰好在地面处，若旗杆m，则绳子的长度不可能是（ ）．
A．12m B．11m C．10.3m D．10m
8．体育课上老师按照如图所示的方式测量同学的跳远成绩，这里面蕴含的数学原理是（ ）
A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短
C．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．两点确定一条直线
9．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是（ ）
A．3 B．2.5 C．2.4 D．2
知识点四、点到直线的距离
10．如图，在、两地之间要修条笔直的公路，从地测得公路走向是北偏东，，两地同时开工，若干天后公路准确接通，若公路长千米，另一条公路长是千米，且从地测得公路的走向是北偏西，则地到公路的距离是（ ）
A．千米 B．千米 C．千米 D．千米
11．如图，点P为直线m外一点，点P到直线m上的三点A、B、C的距离分别为PA＝4cm，PB＝6cm，PC＝3cm，则点P到直线m的距离可能为（ ）
A．2cm B．3cm C．5cm D．7cm
12．如图所示，∠BAC＝90°，AD⊥BC，则下列结论中，正确的个数为（ ）
①AB⊥AC；
②AD与AC互相垂直；
③点C到AB的垂线段是线段AB；
④点A到BC的距离是线段AD的长度；
⑤线段AB的长度是点B到AC的距离；
⑥AD+BD＞AB．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、 填空题
知识点一、垂线定义的理解
13．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，若∠COA＝30°，则∠EOD的大小是________．
14．如图，在直线AB上有一点O，OC⊥OD，OE是∠DOB的角平分线，当∠DOE＝20°时，∠AOC＝___°．
15．如图，，，垂足为，___，理由是___．
知识点二、画垂线
16．画一条线段或射线的垂线，就是画它们________的垂线.
17．数学课上，老师请同学们思考如下问题：
小军同学的画法如下：
老师说，小军的画法正确.
请回答：小军画图的依据是：________.
18．已知直线 AB，CB ， l 在同一平面内，若 AB⊥ l ，垂足为 B，CB⊥ l ，垂足也为 B，则符合题意的图形可以是如图中的图___(填甲或乙)， 你选择的依据是_____（写出你学过的一条公理）.
知识点三、垂线段最短
19．如图，AD⊥BD，BC⊥CD，AB＝a cm，BC＝b cm，则BD的取值范围是________．
20．如图，是线段外一点，连接，，过点作线段的垂线，垂足为．在、、这三条线段中，是最短的线段，依据是_______．
21．如图，在三角形ABC中，AC＝5，BC＝6，BC边上的高AD＝4，若点P在边AC上（不与点A，C重合）移动，则线段BP最短时的长为_________________．
知识点四、点到直线的距离
22．如图所示，已知，若，，，则点到的距离是______，点到的距离是______．
23．如图所示，在中，边上高，若点在边上（不含端点）移动，当_____时长度最短．
24．如图，已知AC⊥BC于C，CD⊥AB于D，BC=8，AC=6，CD=4.8，BD=6.4，AD=3.6．则：
（1）点A到直线CD的距离为_________；
（2）点A到直线BC的距离为_________；
（3）点B到直线CD的距离为_________；
（4）点B到直线AC的距离为_________；
（5）点C到直线AB的距离为_________．
三、解答题
25．如图，三角形中，．
（1）分别指出点到直线，点到直线的距离是哪些线段的长；
（2）三条边，，中哪条边最长？为什么？
26．如图，直线AB，CD，EF相交于点O．如果∠BOD＝60°，EF垂直于AB于点O，求∠AOD和∠FOC的度数．
27．已知：点是直线外一点，点、、是直线上三点，分别连接、、．
（1）通过测量的方法，比较、、的大小，直接用“”连接；
（2）在直线上能否找到一点，使的长度最短？如果有，请在图中作出线段，并说明它的理论依据；如果没有，请说明理由．
28．同学们，我们知道图形是由点、线、面组成，结合具体实例，已经感受到“点动成线，线动成面”的现象，下面我们一起来进一步探究：
（概念认识）
已知点P和图形M，点B是图形M上任意一点，我们把线段PB长度的最小值叫做点P与图形M之间的距离．
例如，以点M为圆心，1cm为半径画圆如图1，那么点M到该圆的距离等于1cm；若点N是圆上一点，那么点N到该圆的距离等于0cm；连接MN，若点Q为线段MN中点，那么点Q到该圆的距离等于0.5cm，反过来，若点P到已知点M的距离等于1cm，那么满足条件的所有点P就构成了以点M为圆心，1cm为半径的圆．
（初步运用）
（1）如图2，若点P到已知直线m的距离等于1cm，请画出满足条件的所有点P．
（深入探究）
（2）如图3，若点P到已知线段的距离等于1cm，请画出满足条件的所有点P．
（3）如图4，若点P到已知正方形的距离等于1cm，请画出满足条件的所有点P．
参考答案
1．A
【分析】
根据垂直的定义可知∠AOE＝90°，所以∠1＋∠2＝90°，再根据互余的定义可得答案．
【详解】
解：∵EO⊥AB于O，
∴∠AOE＝90°，
∴∠1＋∠2＝90°，
∴∠1与∠2互余，
故选：A．
【点拨】本题主要考查了互余以及垂直的定义，比较简单．
2．C
【分析】
分别画出∠A两边分别垂直于∠B的两边，然后利用同角的余角相等进行求解即可．
【详解】
解：如图所示：BE⊥AE，BC⊥AC，
∴∠BCF=∠AEF=90°，
∴∠A+∠AFE=90°，∠B+∠BFC=90°，
∴∠A=∠B
如图所示：BD⊥AD，BC⊥AC，
∴∠ADE=∠BCE=90°，
∴∠A+∠BEC=90°，∠CBE+∠BEC=90°，
∴∠A=∠CBE，
∵∠CBE+∠DBC=180°，
∴∠A+∠DBC=180°，
综上所述，∠A与∠B的关系是相等或互补，
故选C．
【点拨】本题主要考查了垂直的定义，同角的余角相等，以及等角的补角之间的关系，解题的关键在于能够根据题意画出图形进行求解．
3．A
【分析】
先根据垂直的定义得，由已知，相当于把四等分，可得的度数，根据角平分线可得，从而得结论．
【详解】
解：，
，
，
，
，
平分，
，
．
故选：．
【点拨】本题考查了角平分线的定义，垂直的定义及有关角的计算，解题的关键是确定．
4．D
【分析】
平面内经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，据此可得．
【详解】
经过直线l外一点画l的垂线，能画出1条垂线，
故选D．
【点拨】本题主要考查垂线，解题的关键是掌握在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
5．A
【分析】
满足两个条件：①经过点B．②垂直AC；由此即可判断.
【详解】
解：根据垂线段的定义可知，图①线段BE，是点B作线段AC所在直线的垂线段，
故选A．
【点拨】本题考查作图-复制作图，垂线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
6．D
【分析】
根据垂线的作法，用直角三角板的一条直角边与重合，另一条直角边过点后沿直角边画直线即可．
【详解】
解：根据分析可得，用直角三角板的一条直角边与重合，另一条直角边过点后沿直角边画直线，
选项的画法正确，
故选：．
【点拨】此题主要考查了垂线的画法，在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
7．D
【分析】
根据点到直线的距离垂线段最短分析即可．
【详解】
根据题意，点到的距离为，根据垂线段最短可知，的长度不可能小于，
故选D．
【点拨】本题考查了垂线段最短，理解垂线段最短是解题的关键．
8．A
【分析】
由实际出发，老师测量跳远成绩的依据是垂线段最短．
【详解】
解：体育课上，老师测量跳远成绩的依据是垂线段最短．
故选：A．
【点拨】此题考查知识点垂线段最短，关键是掌握垂线段的性质：垂线段最短．
9．C
【分析】
当PC⊥AB时，PC的值最小，利用面积法求解即可．
【详解】
解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，
∵当PC⊥AB时，PC的值最小，
此时：△ABC的面积＝•AB•PC＝•AC•BC，
∴5PC＝3×4，
∴PC＝2.4，
故选：C．
【点拨】本题主要考查了垂线段最短和三角形的面积公式，解题的关键是学会利用面积法求高．
10．B
【分析】
根据方位角的概念，图中给出的信息，再根据已知转向的角度求解．
【详解】
解：根据两直线平行，内错角相等，可得∠ABG＝48°，
∵∠ABC＝180°−∠ABG−∠EBC＝180°−48°−42°＝90°，
∴AB⊥BC，
∴A地到公路BC的距离是AB＝8千米，
故选B．
【点拨】此题是方向角问题，结合生活中的实际问题，将解三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
11．A
【分析】
点P到直线m的距离即为点P到直线m的垂线段的长度，据此解答即可．
【详解】
解：由图可知，PC长度为3cm，是最小的，
则点P到直线m的距离小于3cm，可以是2cm，
故选：A．
【点拨】本题考查了点到直线的距离．直线外一点到直线上各点的连线段中，垂线段最短；直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
12．C
【分析】
根据点到直线的距离，垂直的定义，三角形三边的关系，可得答案．
【详解】
解：由∠BAC＝90°，AD⊥BC，
得AB⊥AC，故①正确；
AD与AC不垂直，故②错误；
点C到AB的垂线段是线段AC的长，故③错误；
点A到BC的距离是线段AD的长度，故④正确；
线段AB的长度是点B到AC的距离，故⑤正确；
AD+BD＞AB，故⑥正确；
故选：C．
【点拨】本题考查了点到直线的距离，利用点到直线的距离，垂直的定义，三角形三边的关系是解题关键．
13．120°
【分析】
利用垂直定义和对顶角相等进行计算即可．
【详解】
解：∵∠COA=30°，
∴∠BOD=30°，
∵EO⊥AB，
∴∠EOB=90°，
∴∠EOD=90°+30°=120°，
故答案为：120°．
【点拨】本题考查了垂线的定义．由对顶角相等求出∠BOD的度数是解决问题的关键．
14．50
【分析】
先求出∠BOD，根据平角的性质即可求出∠AOC．
【详解】
∵OE是∠DOB的角平分线，当∠DOE＝20°
∴∠BOD=2∠DOE＝40°
∵OC⊥OD，
∴∠AOC=180°-90°-∠BOD=50°
故答案为：50．
【点拨】此题主要考查角度求解，解题的关键是熟知角平分线的性质、直角的性质．
15．= 等式的性质
【分析】
利用所有直角都相等，建立等式，∠BOC是公共角，利用等式的性质解答即可．
【详解】
，，垂足为，
．
，
．
故答案为：，等式的性质．
【点拨】本题考查了垂直的定义，等式的性质，熟练掌握所有的直角都相等建立等式是解题的关键．
16．所在直线
【解析】
画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线.
17．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；垂直定义；同位角相等，两直线平行
【详解】
分析：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；垂直定义等即可解决问题.
详解：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；垂直定义；同位角相等，两直线平行.
故答案为在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；垂直定义；同位角相等，两直线平行.
点睛：本题考查作图-基本作图，在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；垂直定义；同位角相等，两直线平行，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
18．乙 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
【解析】
【分析】
根据题意可得，过点B作l的垂线即可.
【详解】
根据题意可得图形
故答案为：乙，根据：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
【点拨】此题主要考查了垂线，关键是掌握垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
19．bcm＜BD＜a cm
【分析】
根据垂线段最短，可得AB与BD的关系，BD与BC的关系，可得答案．
【详解】
解：由垂线段最短，得BD＜AB=acm，BD＞BC=bcm，
即bcm＜BD＜acm，
故答案为：bcm＜BD＜acm．
【点拨】本题考查了垂线短的性质，直线外的点到直线的距离：垂线段最短．
20．垂线段最短
【分析】
根据垂线段最短的定义求解即可．
【详解】
解：∵点到直线的距离，垂线段最短，
∴依据是垂线段最短，
故答案为：垂线段最短．
【点拨】本题主要考查了垂线段最短的定义，解题的关键在于能够熟记定义．
21．
【分析】
根据点到直线的连线中，垂线段最短，得到当BP垂直于AC时，BP的长最小，利用面积法即可求出此时BP的长．
【详解】
解：根据垂线段最短可知，当BP⊥AC时，BP最短，
∵S△ABC＝×BC×AD＝×AC×BP，
∴6×4＝5BP，
∴PB＝，
即BP最短时的值为：．
故答案为：．
【点评】
此题考查了垂线段最短，三角形的面积，熟练掌握线段的性质是解本题的关键．
22．4 2.4
【分析】
根据点到直线的距离概念可得点到的距离为垂线段AC的长，设点到的距离为，依据三角形面积，即可得到点到的距离．
【详解】
解：∵，
∴，
∴点到的距离为垂线段AC的长，
又∵，
∴点到的距离为4cm；
设点到的距离为，
，
，
，
∵，，，
，
，
故答案为：4；2.4．
【点拨】本题考查了点到直线的距离，利用三角形的面积得出是解题关键．
23．
【分析】
当BP⊥AC时，BP的距离最短，利用面积公式可求得BP的长
【详解】
要使BP最短，则当BP⊥AC时，BP的距离最短
∵
∴BP=
故答案为:
【点拨】本题考查点到直线的垂线段最短这个知识点，解题关键是利用三角形面积相等进行转化求解
24．AD AC BD BC CD
【解析】
【分析】
点到直线的距离是指垂线段的长度，两点间的距离是连接两点的线段的长度．
【详解】
（1）点A到直线CD的垂线段是AD；
（2）点A到直线BC的垂线段是AC；
（3）点B到直线CD的垂线段是BD；
（4）点B到直线AC的垂线段是BC；
（5）点C到直线AB的垂线段是CD．
故答案为: (1). AD (2). AC (3). BD (4). BC (5). CD
【点拨】此题考查点到直线的距离的定义，两点间的距离的定义，解题关键在于掌握其定义.
25．(1)点到直线的距离为线段的长，点到直线的距离为线段的长；(2)根据“垂线段最短”，可知线段最长．
【分析】
(1)根据点到直线的距离是指“该点到该直线的垂线段的长度”即可求解；
(2)根据垂线段最短即可求解．
【详解】
解：(1)∵，
∴，
∴点到直线的距离为线段的长，点到直线的距离为线段的长；
(2)由点到直线的距离，垂线段的长度最短可知：，，
∴三条边，，中最长的边为．
【点拨】本题考查了点到直线距离垂线段的含义、垂线段最短等知识点，属于基本概念题，熟练掌握点到直线垂线段的概念是解题的关键．
26．90°，150°
【分析】
由邻补角的定义可解得∠AOD的度数，由对顶角的定义解得∠AOC的度数，再由垂直的定义解得∠AOF =90°，继而由角的和差解题．
【详解】
解：∵∠BOD =60°
∴∠AOD =120°，∠AOC =60°，
∵EF垂直于AB于点O
∴∠AOF =90°，
∴∠FOC=∠AOF+∠AOC=90°+60°=150°．
【点拨】本题考查邻补角、垂直的定义，涉及角的和差等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
27．（1）；（2）见解析，垂线段最短
【分析】
(1)直接测量，比较大小即可；
(2)作MN的垂线，垂足为D，PD即所求．
【详解】
解：（1）通过测量可知，cm，cm，cm，
故；
（2）过点作，则最短．理由：垂线段最短
【点拨】本题考查了垂线段最短的性质，解题关键是能熟练的测量线段的长度，知道垂线段最短．
28．【初步运用】（1）见解析；【深入探究】（2）见解析；（3）见解析；
【分析】
（1）由题意可知：满足条件的所有的点P是平行于直线m且到直线m距离为1cm的两条直线，据此解答即可；
（2）由题意可知：满足条件的所有的点P是平行于线段AB且到线段AB距离为1cm的两条线段和以点A与点B为圆心，1cm为半径的两个半圆，据此解答即可；
（3）由题意可知：满足条件的所有的点P是平行于正方形其中一条边且到其中一边的距离为1cm的八条线段和以正方形的四个顶点为圆心，1cm为半径的四个四分之一圆，据此解答即可.
【详解】
解：【初步运用】
（1）∵点P到已知直线m的距离等于1cm，
∴满足条件的所有的点P是平行于直线m且到直线m距离为1cm的两条直线，如图（5）所示：
【深入探究】
（2）∵点P到已知线段的距离等于1cm，
∴满足条件的所有的点P是平行于线段AB且到线段AB距离为1cm的两条线段和以点A与点B为圆心，1cm为半径的两个半圆，如图（6）所示，
（3）∵点P到已知正方形的距离等于1cm，
∴满足条件的所有的点P是平行于正方形其中一条边且到其中一边的距离为1cm的八条线段和以正方形的四个顶点为圆心，1cm为半径的四个四分之一圆，如图7所示，
【点拨】本题是新定义题型，考查了对常见的平面图形的认识、点到直线的距离和新知的理解与运用，读懂题意、弄清点P与图形M之间的距离、全面思考是解题的关键.
5.1.2 垂 线（专项练习）
一、 单选题
知识点一、垂线定义的理解
1．如图，直线AB、CD交于O，EO⊥AB于O，∠1与∠2的关系是（ ）
A．互余 B．对顶角
C．互补 D．相等
2．∠A两边分别垂直于∠B的两边，∠A与∠B的关系是（ ）
A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．不能确定
3．如图，，，平分，则的度数为（ ）
A．45° B．46° C．50° D．60°
知识点二、画垂线
4．如图，经过直线l外一点A作l的垂线，能画出（ ）
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
5．在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，正确的是( )
A． B． C．D．
6．下列用三角板过点P画AB的垂线CD，正确的是（ ）
A． B． C． D．
知识点三、垂线段最短
7．如图，从旗杆的顶端向地面拉一条绳子，绳子底端恰好在地面处，若旗杆m，则绳子的长度不可能是（ ）．
A．12m B．11m C．10.3m D．10m
8．体育课上老师按照如图所示的方式测量同学的跳远成绩，这里面蕴含的数学原理是（ ）
A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短
C．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．两点确定一条直线
9．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是（ ）
A．3 B．2.5 C．2.4 D．2
知识点四、点到直线的距离
10．如图，在、两地之间要修条笔直的公路，从地测得公路走向是北偏东，，两地同时开工，若干天后公路准确接通，若公路长千米，另一条公路长是千米，且从地测得公路的走向是北偏西，则地到公路的距离是（ ）
A．千米 B．千米 C．千米 D．千米
11．如图，点P为直线m外一点，点P到直线m上的三点A、B、C的距离分别为PA＝4cm，PB＝6cm，PC＝3cm，则点P到直线m的距离可能为（ ）
A．2cm B．3cm C．5cm D．7cm
12．如图所示，∠BAC＝90°，AD⊥BC，则下列结论中，正确的个数为（ ）
①AB⊥AC；
②AD与AC互相垂直；
③点C到AB的垂线段是线段AB；
④点A到BC的距离是线段AD的长度；
⑤线段AB的长度是点B到AC的距离；
⑥AD+BD＞AB．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、 填空题
知识点一、垂线定义的理解
13．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，若∠COA＝30°，则∠EOD的大小是________．
14．如图，在直线AB上有一点O，OC⊥OD，OE是∠DOB的角平分线，当∠DOE＝20°时，∠AOC＝___°．
15．如图，，，垂足为，___，理由是___．
知识点二、画垂线
16．画一条线段或射线的垂线，就是画它们________的垂线.
17．数学课上，老师请同学们思考如下问题：
小军同学的画法如下：
老师说，小军的画法正确.
请回答：小军画图的依据是：________.
18．已知直线 AB，CB ， l 在同一平面内，若 AB⊥ l ，垂足为 B，CB⊥ l ，垂足也为 B，则符合题意的图形可以是如图中的图___(填甲或乙)， 你选择的依据是_____（写出你学过的一条公理）.
知识点三、垂线段最短
19．如图，AD⊥BD，BC⊥CD，AB＝a cm，BC＝b cm，则BD的取值范围是________．
20．如图，是线段外一点，连接，，过点作线段的垂线，垂足为．在、、这三条线段中，是最短的线段，依据是_______．
21．如图，在三角形ABC中，AC＝5，BC＝6，BC边上的高AD＝4，若点P在边AC上（不与点A，C重合）移动，则线段BP最短时的长为_________________．
知识点四、点到直线的距离
22．如图所示，已知，若，，，则点到的距离是______，点到的距离是______．
23．如图所示，在中，边上高，若点在边上（不含端点）移动，当_____时长度最短．
24．如图，已知AC⊥BC于C，CD⊥AB于D，BC=8，AC=6，CD=4.8，BD=6.4，AD=3.6．则：
（1）点A到直线CD的距离为_________；
（2）点A到直线BC的距离为_________；
（3）点B到直线CD的距离为_________；
（4）点B到直线AC的距离为_________；
（5）点C到直线AB的距离为_________．
三、解答题
25．如图，三角形中，．
（1）分别指出点到直线，点到直线的距离是哪些线段的长；
（2）三条边，，中哪条边最长？为什么？
26．如图，直线AB，CD，EF相交于点O．如果∠BOD＝60°，EF垂直于AB于点O，求∠AOD和∠FOC的度数．
27．已知：点是直线外一点，点、、是直线上三点，分别连接、、．
（1）通过测量的方法，比较、、的大小，直接用“”连接；
（2）在直线上能否找到一点，使的长度最短？如果有，请在图中作出线段，并说明它的理论依据；如果没有，请说明理由．
28．同学们，我们知道图形是由点、线、面组成，结合具体实例，已经感受到“点动成线，线动成面”的现象，下面我们一起来进一步探究：
（概念认识）
已知点P和图形M，点B是图形M上任意一点，我们把线段PB长度的最小值叫做点P与图形M之间的距离．
例如，以点M为圆心，1cm为半径画圆如图1，那么点M到该圆的距离等于1cm；若点N是圆上一点，那么点N到该圆的距离等于0cm；连接MN，若点Q为线段MN中点，那么点Q到该圆的距离等于0.5cm，反过来，若点P到已知点M的距离等于1cm，那么满足条件的所有点P就构成了以点M为圆心，1cm为半径的圆．
（初步运用）
（1）如图2，若点P到已知直线m的距离等于1cm，请画出满足条件的所有点P．
（深入探究）
（2）如图3，若点P到已知线段的距离等于1cm，请画出满足条件的所有点P．
（3）如图4，若点P到已知正方形的距离等于1cm，请画出满足条件的所有点P．
参考答案
1．A
【分析】
根据垂直的定义可知∠AOE＝90°，所以∠1＋∠2＝90°，再根据互余的定义可得答案．
【详解】
解：∵EO⊥AB于O，
∴∠AOE＝90°，
∴∠1＋∠2＝90°，
∴∠1与∠2互余，
故选：A．
【点拨】本题主要考查了互余以及垂直的定义，比较简单．
2．C
【分析】
分别画出∠A两边分别垂直于∠B的两边，然后利用同角的余角相等进行求解即可．
【详解】
解：如图所示：BE⊥AE，BC⊥AC，
∴∠BCF=∠AEF=90°，
∴∠A+∠AFE=90°，∠B+∠BFC=90°，
∴∠A=∠B
如图所示：BD⊥AD，BC⊥AC，
∴∠ADE=∠BCE=90°，
∴∠A+∠BEC=90°，∠CBE+∠BEC=90°，
∴∠A=∠CBE，
∵∠CBE+∠DBC=180°，
∴∠A+∠DBC=180°，
综上所述，∠A与∠B的关系是相等或互补，
故选C．
【点拨】本题主要考查了垂直的定义，同角的余角相等，以及等角的补角之间的关系，解题的关键在于能够根据题意画出图形进行求解．
3．A
【分析】
先根据垂直的定义得，由已知，相当于把四等分，可得的度数，根据角平分线可得，从而得结论．
【详解】
解：，
，
，
，
，
平分，
，
．
故选：．
【点拨】本题考查了角平分线的定义，垂直的定义及有关角的计算，解题的关键是确定．
4．D
【分析】
平面内经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，据此可得．
【详解】
经过直线l外一点画l的垂线，能画出1条垂线，
故选D．
【点拨】本题主要考查垂线，解题的关键是掌握在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
5．A
【分析】
满足两个条件：①经过点B．②垂直AC；由此即可判断.
【详解】
解：根据垂线段的定义可知，图①线段BE，是点B作线段AC所在直线的垂线段，
故选A．
【点拨】本题考查作图-复制作图，垂线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
6．D
【分析】
根据垂线的作法，用直角三角板的一条直角边与重合，另一条直角边过点后沿直角边画直线即可．
【详解】
解：根据分析可得，用直角三角板的一条直角边与重合，另一条直角边过点后沿直角边画直线，
选项的画法正确，
故选：．
【点拨】此题主要考查了垂线的画法，在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
7．D
【分析】
根据点到直线的距离垂线段最短分析即可．
【详解】
根据题意，点到的距离为，根据垂线段最短可知，的长度不可能小于，
故选D．
【点拨】本题考查了垂线段最短，理解垂线段最短是解题的关键．
8．A
【分析】
由实际出发，老师测量跳远成绩的依据是垂线段最短．
【详解】
解：体育课上，老师测量跳远成绩的依据是垂线段最短．
故选：A．
【点拨】此题考查知识点垂线段最短，关键是掌握垂线段的性质：垂线段最短．
9．C
【分析】
当PC⊥AB时，PC的值最小，利用面积法求解即可．
【详解】
解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，
∵当PC⊥AB时，PC的值最小，
此时：△ABC的面积＝•AB•PC＝•AC•BC，
∴5PC＝3×4，
∴PC＝2.4，
故选：C．
【点拨】本题主要考查了垂线段最短和三角形的面积公式，解题的关键是学会利用面积法求高．
10．B
【分析】
根据方位角的概念，图中给出的信息，再根据已知转向的角度求解．
【详解】
解：根据两直线平行，内错角相等，可得∠ABG＝48°，
∵∠ABC＝180°−∠ABG−∠EBC＝180°−48°−42°＝90°，
∴AB⊥BC，
∴A地到公路BC的距离是AB＝8千米，
故选B．
【点拨】此题是方向角问题，结合生活中的实际问题，将解三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
11．A
【分析】
点P到直线m的距离即为点P到直线m的垂线段的长度，据此解答即可．
【详解】
解：由图可知，PC长度为3cm，是最小的，
则点P到直线m的距离小于3cm，可以是2cm，
故选：A．
【点拨】本题考查了点到直线的距离．直线外一点到直线上各点的连线段中，垂线段最短；直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
12．C
【分析】
根据点到直线的距离，垂直的定义，三角形三边的关系，可得答案．
【详解】
解：由∠BAC＝90°，AD⊥BC，
得AB⊥AC，故①正确；
AD与AC不垂直，故②错误；
点C到AB的垂线段是线段AC的长，故③错误；
点A到BC的距离是线段AD的长度，故④正确；
线段AB的长度是点B到AC的距离，故⑤正确；
AD+BD＞AB，故⑥正确；
故选：C．
【点拨】本题考查了点到直线的距离，利用点到直线的距离，垂直的定义，三角形三边的关系是解题关键．
13．120°
【分析】
利用垂直定义和对顶角相等进行计算即可．
【详解】
解：∵∠COA=30°，
∴∠BOD=30°，
∵EO⊥AB，
∴∠EOB=90°，
∴∠EOD=90°+30°=120°，
故答案为：120°．
【点拨】本题考查了垂线的定义．由对顶角相等求出∠BOD的度数是解决问题的关键．
14．50
【分析】
先求出∠BOD，根据平角的性质即可求出∠AOC．
【详解】
∵OE是∠DOB的角平分线，当∠DOE＝20°
∴∠BOD=2∠DOE＝40°
∵OC⊥OD，
∴∠AOC=180°-90°-∠BOD=50°
故答案为：50．
【点拨】此题主要考查角度求解，解题的关键是熟知角平分线的性质、直角的性质．
15．= 等式的性质
【分析】
利用所有直角都相等，建立等式，∠BOC是公共角，利用等式的性质解答即可．
【详解】
，，垂足为，
．
，
．
故答案为：，等式的性质．
【点拨】本题考查了垂直的定义，等式的性质，熟练掌握所有的直角都相等建立等式是解题的关键．
16．所在直线
【解析】
画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线.
17．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；垂直定义；同位角相等，两直线平行
【详解】
分析：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；垂直定义等即可解决问题.
详解：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；垂直定义；同位角相等，两直线平行.
故答案为在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；垂直定义；同位角相等，两直线平行.
点睛：本题考查作图-基本作图，在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；垂直定义；同位角相等，两直线平行，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
18．乙 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
【解析】
【分析】
根据题意可得，过点B作l的垂线即可.
【详解】
根据题意可得图形
故答案为：乙，根据：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
【点拨】此题主要考查了垂线，关键是掌握垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
19．bcm＜BD＜a cm
【分析】
根据垂线段最短，可得AB与BD的关系，BD与BC的关系，可得答案．
【详解】
解：由垂线段最短，得BD＜AB=acm，BD＞BC=bcm，
即bcm＜BD＜acm，
故答案为：bcm＜BD＜acm．
【点拨】本题考查了垂线短的性质，直线外的点到直线的距离：垂线段最短．
20．垂线段最短
【分析】
根据垂线段最短的定义求解即可．
【详解】
解：∵点到直线的距离，垂线段最短，
∴依据是垂线段最短，
故答案为：垂线段最短．
【点拨】本题主要考查了垂线段最短的定义，解题的关键在于能够熟记定义．
21．
【分析】
根据点到直线的连线中，垂线段最短，得到当BP垂直于AC时，BP的长最小，利用面积法即可求出此时BP的长．
【详解】
解：根据垂线段最短可知，当BP⊥AC时，BP最短，
∵S△ABC＝×BC×AD＝×AC×BP，
∴6×4＝5BP，
∴PB＝，
即BP最短时的值为：．
故答案为：．
【点评】
此题考查了垂线段最短，三角形的面积，熟练掌握线段的性质是解本题的关键．
22．4 2.4
【分析】
根据点到直线的距离概念可得点到的距离为垂线段AC的长，设点到的距离为，依据三角形面积，即可得到点到的距离．
【详解】
解：∵，
∴，
∴点到的距离为垂线段AC的长，
又∵，
∴点到的距离为4cm；
设点到的距离为，
，
，
，
∵，，，
，
，
故答案为：4；2.4．
【点拨】本题考查了点到直线的距离，利用三角形的面积得出是解题关键．
23．
【分析】
当BP⊥AC时，BP的距离最短，利用面积公式可求得BP的长
【详解】
要使BP最短，则当BP⊥AC时，BP的距离最短
∵
∴BP=
故答案为:
【点拨】本题考查点到直线的垂线段最短这个知识点，解题关键是利用三角形面积相等进行转化求解
24．AD AC BD BC CD
【解析】
【分析】
点到直线的距离是指垂线段的长度，两点间的距离是连接两点的线段的长度．
【详解】
（1）点A到直线CD的垂线段是AD；
（2）点A到直线BC的垂线段是AC；
（3）点B到直线CD的垂线段是BD；
（4）点B到直线AC的垂线段是BC；
（5）点C到直线AB的垂线段是CD．
故答案为: (1). AD (2). AC (3). BD (4). BC (5). CD
【点拨】此题考查点到直线的距离的定义，两点间的距离的定义，解题关键在于掌握其定义.
25．(1)点到直线的距离为线段的长，点到直线的距离为线段的长；(2)根据“垂线段最短”，可知线段最长．
【分析】
(1)根据点到直线的距离是指“该点到该直线的垂线段的长度”即可求解；
(2)根据垂线段最短即可求解．
【详解】
解：(1)∵，
∴，
∴点到直线的距离为线段的长，点到直线的距离为线段的长；
(2)由点到直线的距离，垂线段的长度最短可知：，，
∴三条边，，中最长的边为．
【点拨】本题考查了点到直线距离垂线段的含义、垂线段最短等知识点，属于基本概念题，熟练掌握点到直线垂线段的概念是解题的关键．
26．90°，150°
【分析】
由邻补角的定义可解得∠AOD的度数，由对顶角的定义解得∠AOC的度数，再由垂直的定义解得∠AOF =90°，继而由角的和差解题．
【详解】
解：∵∠BOD =60°
∴∠AOD =120°，∠AOC =60°，
∵EF垂直于AB于点O
∴∠AOF =90°，
∴∠FOC=∠AOF+∠AOC=90°+60°=150°．
【点拨】本题考查邻补角、垂直的定义，涉及角的和差等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
27．（1）；（2）见解析，垂线段最短
【分析】
(1)直接测量，比较大小即可；
(2)作MN的垂线，垂足为D，PD即所求．
【详解】
解：（1）通过测量可知，cm，cm，cm，
故；
（2）过点作，则最短．理由：垂线段最短
【点拨】本题考查了垂线段最短的性质，解题关键是能熟练的测量线段的长度，知道垂线段最短．
28．【初步运用】（1）见解析；【深入探究】（2）见解析；（3）见解析；
【分析】
（1）由题意可知：满足条件的所有的点P是平行于直线m且到直线m距离为1cm的两条直线，据此解答即可；
（2）由题意可知：满足条件的所有的点P是平行于线段AB且到线段AB距离为1cm的两条线段和以点A与点B为圆心，1cm为半径的两个半圆，据此解答即可；
（3）由题意可知：满足条件的所有的点P是平行于正方形其中一条边且到其中一边的距离为1cm的八条线段和以正方形的四个顶点为圆心，1cm为半径的四个四分之一圆，据此解答即可.
【详解】
解：【初步运用】
（1）∵点P到已知直线m的距离等于1cm，
∴满足条件的所有的点P是平行于直线m且到直线m距离为1cm的两条直线，如图（5）所示：
【深入探究】
（2）∵点P到已知线段的距离等于1cm，
∴满足条件的所有的点P是平行于线段AB且到线段AB距离为1cm的两条线段和以点A与点B为圆心，1cm为半径的两个半圆，如图（6）所示，
（3）∵点P到已知正方形的距离等于1cm，
∴满足条件的所有的点P是平行于正方形其中一条边且到其中一边的距离为1cm的八条线段和以正方形的四个顶点为圆心，1cm为半径的四个四分之一圆，如图7所示，
【点拨】本题是新定义题型，考查了对常见的平面图形的认识、点到直线的距离和新知的理解与运用，读懂题意、弄清点P与图形M之间的距离、全面思考是解题的关键.
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