2022高考数学一轮总复习第二章函数概念与基本初等函数第10讲函数与方程集训含解析文

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[A级 基础练]
1．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－2x，x≤0，,1＋\f(1,x)，x>0，))则函数y＝f(x)＋3x的零点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C．令f(x)＋3x＝0，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x≤0，,x2－2x＋3x＝0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x>0，,1＋\f(1,x)＋3x＝0，))解得x＝0或x＝－1，所以函数y＝f(x)＋3x的零点个数是2.故选C．
2．函数y＝x－4·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)的零点所在的区间是( )
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
解析：选B．因为y＝f(x)＝x－4·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)＝x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x－2)是R上连续递增的函数，且f(1)＝1－2<0，f(2)＝2－1>0，所以f(1)·f(2)<0，故函数y＝x－4·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)的零点所在的区间为(1，2)．故选B．
3．设函数y＝lg3x与y＝3－x的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是( )
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
解析：选C．令m(x)＝lg3x＋x－3，则函数m(x)＝lg3x＋x－3的零点所在的区间即为函数y＝lg3x与y＝3－x的图象的交点的横坐标所在的区间．因为m(x)＝lg3x＋x－3单调递增且连续，且满足m(2)·m(3)<0，所以m(x)＝lg3x＋x－3的零点在(2，3)内，从而可知方程lg3x＋x－3＝0的解所在的区间是(2，3)，即函数y＝lg3x与y＝3－x的图象交点的横坐标x0所在的区间是(2，3)．故选C．
4．已知函数f(x)＝x2－2|x|－m的零点有两个，则实数m的取值范围为( )
A．(－1，0) B．{－1}∪(0，＋∞)
C．[－1，0)∪(0，＋∞) D．(0，1)
解析：选B．在同一直角坐标系内作出函数y＝x2－2|x|的图象和直线y＝m，可知当m>0或m＝－1时，直线y＝m与函数y＝x2－2|x|的图象有两个交点，即函数f(x)＝x2－2|x|－m有两个零点．故选B．
5．已知函数f(x)＝xex－ax－1，则关于f(x)的零点叙述正确的是( )
A．当a＝0时，函数f(x)有两个零点
B．函数f(x)必有一个零点是正数
C．当a<0时，函数f(x)有两个零点
D．当a>0时，函数f(x)只有一个零点
解析：选B．f(x)＝0⇔ex＝a＋eq \f(1,x)(x≠0)，在同一直角坐标系中作出y＝ex与y＝eq \f(1,x)的图象，观察可知A，C，D选项错误，选项B正确．
6．已知函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)－cs x，则f(x)在[0，2π]上的零点个数为________．
解析：如图，作出g(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)与h(x)＝cs x的图象，可知其在[0，2π]上的交点个数为3，所以函数f(x)在[0，2π]上的零点个数为3.
答案：3
7．函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(|x－1|)＋2cs πx(－4≤x≤6)的所有零点之和为________．
解析：可转化为两个函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(|x－1|)与y＝－2cs πx在[－4，6]上的交点的横坐标的和，因为两个函数均关于x＝1对称，所以两个函数在x＝1两侧的交点对称，则每对对称点的横坐标的和为2，分别画出两个函数的图象易知两个函数在x＝1两侧分别有5个交点，所以5×2＝10.
答案：10
8．方程lgeq \s\d9(\f(1,2))(a－2x)＝2＋x有解，则a的最小值为______．
解析：若方程lgeq \s\d9(\f(1,2))(a－2x)＝2＋x有解，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2＋x)＝a－2x有解，即eq \f(1,4)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)＋2x＝a有解，因为eq \f(1,4)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)＋2x≥1，故a的最小值为1.
答案：1
9．关于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间[0，2]上有解，求实数m的取值范围．
解：显然x＝0不是方程x2＋(m－1)x＋1＝0的解，010．设函数f(x)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,x)))(x>0)．
(1)作出函数f(x)的图象；
(2)当0(3)若方程f(x)＝m有两个不相等的正根，求m的取值范围．
解：(1)如图所示．
(2)因为f(x)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,x)))＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)－1，x∈（0，1]，,1－\f(1,x)，x∈（1，＋∞），))
故f(x)在(0，1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数，
由0且eq \f(1,a)－1＝1－eq \f(1,b)，所以eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝2.
(3)由函数f(x)的图象可知，当0[B级 综合练]
11．若x1是方程xex＝1的解，x2是方程xln x＝1的解，则x1x2等于( )
A．1 B．－1
C．e D．eq \f(1,e)
解析：选A．考虑到x1，x2是函数y＝ex、函数y＝ln x与函数y＝eq \f(1,x)的图象的交点A，B的横坐标，而Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1，\f(1,x1)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2，\f(1,x2)))两点关于y＝x对称，因此x1x2＝1.故选A．
12．(2020·南充市第一次适应性考试)函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\r(1－x2)，|x|≤1，,|x|，|x|>1，))若方程f(x)＝a有且只有一个实数根，则实数a满足( )
A．a＝1 B．a>1
C．0≤a<1 D．a<0
解析：选A．方程f(x)＝a有且只有一个实数根，则直线y＝a与f(x)的图象有且只有一个交点，作出函数f(x)的图象如图所示，当a＝1时，直线y＝a与函数f(x)的图象有且只有一个交点，故选A．
13．设a∈Z，函数f(x)＝ex＋x－a，若x∈(－1，1)时，函数有零点，则a的取值个数为________．
解析：根据函数解析式得到函数f(x)是单调递增的．由零点存在性定理知若x∈(－1，1)时，函数有零点，需要满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（－1）<0，,f（1）>0))⇒eq \f(1,e)－1答案：4
14．已知函数f(x)＝－x2－2x，g(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,4x)，x>0，,x＋1，x≤0.))
(1)求g[f(1)]的值；
(2)若方程g[f(x)]－a＝0有4个实数根，求实数a的取值范围．
解：(1)利用解析式直接求解得g[f(1)]＝g(－3)＝－3＋1＝－2.
(2)令f(x)＝t，则原方程化为g(t)＝a，易知方程f(x)＝t在(－∞，1)上有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y＝g(t)(t<1)与y＝a的图象有2个不同的交点，作出函数y＝g(t)(t<1)的图象如图，由图象可知，当1≤a[C级 提升练]
15．定义在R上的函数f(x)，满足f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋2，x∈[0，1），,2－x2，x∈[－1，0），))且f(x＋1)＝f(x－1)，若g(x)＝3－lg2x，则函数F(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)内的零点有( )
A．3个 B．2个
C．1个 D．0个
解析：选B．由f(x＋1)＝f(x－1)，即f(x＋2)＝f(x)，知y＝f(x)的周期T＝2.
在同一坐标系中作出y＝f(x)与y＝g(x)的图象(如图)．
由于两函数图象有2个交点，
所以函数F(x)＝f(x)－g(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，＋∞))内有2个零点．
16．已知a，b∈R，定义运算“⊗”：a⊗b＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a，a－b≤1，,b，a－b>1.))设函数f(x)＝2x＋1⊗(2－4x)，x∈R，若函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是( )
A．(0，1) B．(0，2)∪(2，3)
C．(0，2) D．(0，eq \r(3)－1)∪(eq \r(3)－1，2)
解析：选A．若2x＋1－(2－4x)≤1，则(2x)2＋2×2x－3≤0，即0<2x≤1，解得x≤0；
若2x＋1－(2－4x)>1，则(2x)2＋2×2x－3>0，解得2x>1或2x<－3(舍去)，即x>0.
所以f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋1，x≤0，,2－4x，x>0.))作出函数f(x)的图象和y＝c的图象如图所示．
因为y＝f(x)－c有两个零点，
所以f(x)＝c有两个解，所以0

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