2022高考数学一轮总复习第二章函数概念与基本初等函数第6讲指数对数运算集训含解析文

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[A级 基础练]
1．若实数a>0，则下列等式成立的是( )
A．(－2)－2＝4 B．2a－3＝eq \f(1,2a3)
C．(－2)0＝－1 D．(aeq \s\up8(－eq \f(1,4)))4＝eq \f(1,a)
解析：选D．对于A，(－2)－2＝eq \f(1,4)，故A错误；对于B，2a－3＝eq \f(2,a3)，故B错误；对于C，(－2)0＝1，故C错误；对于D，(a－eq \f(1,4))4＝eq \f(1,a).
2．(2021·陕西汉中联考)若lg2x＋lg4y＝1，则( )
A．x2y＝2 B．x2y＝4
C．xy2＝2 D．xy2＝4
解析：选B．lg2x＋lg4y＝lg2x＋eq \f(1,2)lg2y＝lg2x＋lg2yeq \s\up8(\f(1,2))＝lg2(xyeq \s\up8(\f(1,2)))＝1，所以xyeq \s\up8(\f(1,2))＝2，两边平方得x2y＝4，故选B．
3．如果2lga(P－2Q)＝lgaP＋lgaQ，那么eq \f(P,Q)的值为( )
A．eq \f(1,4) B．4
C．1 D．4或1
解析：选B．由2lga(P－2Q)＝lgaP＋lgaQ，得lga(P－2Q)2＝lga(PQ)．由对数运算性质得(P－2Q)2＝PQ，即P2－5PQ＋4Q2＝0，所以P＝Q(舍去)或P＝4Q，解得eq \f(P,Q)＝4.故选B．
4．若lg 2，lg(2x＋1)，lg(2x＋5)成等差数列，则x的值为 ( )
A．1 B．0或eq \f(1,8)
C．eq \f(1,8) D．lg23
解析：选D．由题意知lg 2＋lg(2x＋5)＝2lg(2x＋1)，2(2x＋5)＝(2x＋1)2，(2x)2－9＝0，2x＝3，x＝lg23，故选D．
5．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与eq \f(M,N)最接近的是(参考数据：lg 3≈0.48)( )
A．1033 B．1053
C．1073 D．1093
解析：选D．设eq \f(M,N)＝eq \f(3361,1080)＝t(t>0)，则3361＝t·1080，所以361lg 3＝lg t＋80，所以361×0.48＝lg t＋80，所以lg t＝173.28－80＝93.28，所以t＝1093.28.故选D．
6.eq \f(a3,\r(a)·\r(5,a4))(a>0)的值是____________．
解析：eq \f(a3,\r(a)·\r(5,a4))＝eq \f(a3,a\s\up8(\f(1,2))·a\s\up8(\f(4,5)))＝aeq \s\up8(3－eq \f(1,2)－eq \f(4,5))＝aeq \s\up8(\f(17,10)).
答案：aeq \s\up8(\f(17,10))
7．已知2x＝3，lg4eq \f(8,3)＝y，则x＋2y的值为____________．
解析：由2x＝3，lg4eq \f(8,3)＝y，
得x＝lg23，y＝lg4eq \f(8,3)＝eq \f(1,2)lg2eq \f(8,3)，
所以x＋2y＝lg23＋lg2eq \f(8,3)＝lg28＝3.
答案：3
8.eq \f(（1－lg63）2＋lg62·lg618,lg64)＝____________．
解析：原式＝eq \f(（lg62）2＋lg62·（2－lg62）,2lg62)
＝eq \f(2lg62,2lg62)＝1.
答案：1
9．化简下列各式：
(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\f(7,9)))eq \s\up12(0.5)＋0.1－2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\f(10,27)))eq \s\up12(－\f(2,3))－3π0＋eq \f(37,48)；
(2) eq \r(3,a\s\up8(\f(7,2))·\r(a－3))÷ eq \r(3,\r(a－3)·\r(a－1))；
(3)eq \f(lg 3＋\f(2,5)lg 9＋\f(3,5)lg \r(27)－lg\r(3),lg 81－lg 27).
解：(1)原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(25,9)))eq \s\up8(\f(1,2))＋eq \f(1,0.12)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(64,27)))eq \s\up12(－\f(2,3))－3＋eq \f(37,48)＝eq \f(5,3)＋100＋eq \f(9,16)－3＋eq \f(37,48)＝100.
(2)原式＝ eq \r(3,a\s\up8(\f(7,2))·aeq \s\up8(－\f(3,2)))÷ eq \r(3,aeq \s\up8(－\f(3,2))·aeq \s\up8(－\f(1,2)))＝eq \r(3,a2)÷eq \r(3,a－2)＝aeq \s\up8(\f(2,3))÷aeq \s\up8(－eq \f(2,3))＝aeq \s\up8(\f(4,3)).
(3)方法一：原式＝eq \f(lg 3＋\f(4,5)lg 3＋\f(9,10)lg 3－\f(1,2)lg 3,4lg 3－3lg 3)＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(4,5)＋\f(9,10)－\f(1,2)))lg 3,（4－3）lg 3)＝eq \f(11,5)；
方法二：原式＝eq \f(lg\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3×9\s\up8(\f(2,5))×27eq \s\up8(\f(1,2)×\f(3,5))×3eq \s\up8(－\f(1,2)))),lg \f(81,27))＝eq \f(lg 3\s\up8(\f(11,5)),lg 3)＝eq \f(11,5).
10．(1)设lga3＝m，lga2＝n，求a2m＋n的值；
(2)设3a＝2，3b＝5，试用a，b表示lg3eq \r(30).
解：(1)由lga3＝m，得am＝3.由lga2＝n，得an＝2.
所以a2m＋n＝(am)2·an＝32×2＝18.
(2)由3a＝2，得a＝lg32.由3b＝5，得b＝lg35.所以lg3eq \r(30)＝lg330eq \s\up8(\f(1,2))＝eq \f(1,2)lg3(2×5×3)＝eq \f(1,2)(lg32＋lg35＋lg33)＝eq \f(1,2)(a＋b＋1)＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2).
[B级 综合练]
11．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x，x≤0，,－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(x)，x>0，))则f(f(lg23))＝( )
A．－9 B．－1
C．－eq \f(1,3) D．－eq \f(1,27)
解析：选B．由函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x，x≤0，,－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(x)，x>0))以及lg23>1，则f(lg23)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(lg23)＝－2eq \s\up8(lg2eq \f(1,3))＝－eq \f(1,3)，所以f(f(lg23))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))＝3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))＝－1，故选B．
12．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝eq \f(5,2)lgeq \f(E1,E2)，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1，2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )
A．1010.1 B．10.1
C．lg 10.1 D．10－10.1
解析：选A．设太阳的星等与亮度分别为m1与E1，天狼星的星等与亮度分别为m2和E2依题意，得m1＝－26.7，m2＝－1.45，所以eq \f(5,2)lgeq \f(E1,E2)＝－1.45－(－26.7)＝25.25，所以lgeq \f(E1,E2)＝25.25×eq \f(2,5)＝10.1，所以eq \f(E1,E2)＝1010.1.故选A．
13．定义a·b＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a·b，a·b≥0，,\f(a,b)，a·b<0，))设函数f(x)＝ln x·x，则f(2)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝________．
解析：因为2×ln 2>0，所以f(2)＝2×ln 2＝2ln 2.
因为eq \f(1,2)×ln eq \f(1,2)<0，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(ln\f(1,2),\f(1,2))＝－2ln 2.
则f(2)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝2ln 2－2ln 2＝0.
答案：0
14．已知4a＝8，2m＝9n＝36，且eq \f(1,m)＋eq \f(1,2n)＝b，试比较1.5a与0.8b的大小．
解：因为4a＝8，所以22a＝23，所以2a＝3，即a＝eq \f(3,2).
因为2m＝9n＝36，所以m＝lg236，n＝lg936.又因为eq \f(1,m)＋eq \f(1,2n)＝b，所以b＝eq \f(1,lg236)＋eq \f(1,2lg936)＝lg362＋eq \f(1,2)lg369＝lg362＋lg363＝lg366＝eq \f(1,2).
因为y＝1.5x在R上单调递增，y＝0.8x在R上单调递减，
所以1.5a＝1.5eq \s\up8(\f(3,2))>1.50＝1，0.8b＝0.8eq \s\up8(\f(1,2))<0.80＝1，
所以1.5a>0.8b.
[C级 提升练]
15．设a>1，若∀x∈[a，2a]，∃y∈[a，a2]满足方程lgax＋lgay＝3，这时a的取值的集合为( )
A．{a|1C．{a|2≤a≤3} D．{2，3}
解析：选B．由题意知，当x∈[a，2a]时，都有y＝eq \f(a3,x)∈[a，a2]．
因为eq \f(a3,x)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(a2,2)，a2))，所以eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(a2,2)，a2))⊆[a，a2]，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(a2,2)≥a，,a>1，))所以a≥2.
16．已知a，b为方程lg3x3＋lg273x＝－eq \f(4,3)的两个根，则a＋b＝________．
解析：根据换底公式，有eq \f(lg33,lg33x)＋eq \f(lg33x,lg327)＝－eq \f(4,3)，
即eq \f(1,1＋lg3x)＋eq \f(1＋lg3x,3)＝－eq \f(4,3)，
令1＋lg3x＝t，则eq \f(1,t)＋eq \f(t,3)＝－eq \f(4,3)，解得t＝－1或t＝－3.
所以1＋lg3x＝－1或1＋lg3x＝－3，解得x＝eq \f(1,9)或x＝eq \f(1,81).故a＋b＝eq \f(10,81).
答案：eq \f(10,81)