课时训练15　二次函数的应用

课时训练(十五)　二次函数的应用

(限时:40分钟)

|夯实基础|

1.河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形,建立如图K15-1所示的平面直角坐标系,其函数解析式为y=-x2,当水面离桥拱顶的高度DO是4 m时,水面的宽度AB为              (　　)

图K15-1

A.-20 m               B.10 m                  C.20 m                        D.-10 m

2.如图K15-2是拱形大桥的示意图,桥拱与桥面的交点为O,B,以点O为原点,水平直线OB为x轴,建立平面直角坐标系,桥的拱形可近似看成抛物线y=-(x-80)2+16,桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面CD处,有AC⊥x轴,若OA=10米,则桥面离水面的高度AC为              (　　)

图K15-2

A.16米               B.米                C.16米                       D.米

3.如图K15-3,假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m,则所围成矩形ABCD的最大面积是 (　　)

图K15-3

A.60 m2                B.63 m2            C.64 m2                       D.66 m2

4.[2018·威海] 如图K15-4,将一个小球从斜坡的点O处抛出,小球的抛出路线可以用二次函数y=4x-x2刻画,斜坡可以用一次函数y=x刻画,下列结论错误的是              (　　)

图K15-4

A.当小球抛出高度达到7.5 m时,小球距O点水平距离为3 m

B.小球距O点水平距离超过4 m时呈下降趋势

C.小球落地点距O点水平距离为7 m

D.斜坡的坡度为1∶2

5.[2017·天门] 飞机着落后滑行的距离s(单位:米)关于滑行的时间t(单位:秒)的函数解析式是s=60t-t2,则飞机着落后滑行的最长时间为　　　　秒. 

6.竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数,小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球,假设两个小球离手时离地高度相同,在各自抛出后1.1秒时达到相同的最大离地高度,第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同,则t=　　　　. 

7.[2018·沈阳] 如图K15-5,一块矩形土地ABCD由篱笆围着,并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开.已知篱笆的总长为900 m(篱笆的厚度忽略不计),当AB=　　　　m时,矩形土地ABCD的面积最大. 

图K15-5

8.某服装店购进单价为15元的童装若干件,销售一段时间后发现:当销售价为25元时平均每天能售出8件,而当销售价每降低2元时,平均每天能多售出4件,当每件的定价为　　　　元时,该服装店平均每天的销售利润最大. 

9.[2018·湖州] 如图K15-6,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax2+bx(a>0)的顶点为C,与x轴的正半轴交于点A,它的对称轴与抛物线y=ax2(a>0)交于点B.若四边形ABOC是正方形,则b的值是　　　　. 

图K15-6

10.[2018·十堰] 为早日实现脱贫奔小康的宏伟目标,我市结合本地丰富的山水资源,大力发展旅游业.王家庄在当地政府的支持下,办起了民宿合作社,专门接待游客,合作社共有80间客房,根据合作社提供的房间单价x(元)和游客居住房间数y(间)的信息,乐乐绘制出y与x的函数图象如图K15-7所示.

(1)求y与x之间的函数关系式;

(2)合作社规定每个房间价格不低于60元且不超过150元,对于游客所居住的每个房间,合作社每天需支出20元的各种费用,房价定为多少时,合作社每天获利最大?最大利润是多少?

图K15-7

11.[2017·德州] 随着新农村的建设和旧城的改造,我们的家园越来越美丽.小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池,在水池中心竖直安装了一根高为2米的喷水管,它喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1米处达到最高,水柱落地处离池中心3米.

(1)请你建立适当的平面直角坐标系,并求出水柱抛物线的函数解析式;

(2)求出水柱的最大高度是多少.

图K15-8

|拓展提升|

12.[2017·绍兴] 某农场拟建一间矩形种牛饲养室,饲养室的一面靠现有墙(墙足够长),已知计划中的建筑材料可建围墙的总长度为50 m.设饲养室长为x(m),占地面积为y(m2).

(1)如图K15-9①,问饲养室长x为多少时,占地面积y最大?

(2)如图K15-9②,现要求在图中所示位置留2 m宽的门,且仍使饲养室的占地面积最大.小敏说:“只要饲养室长比(1)中的长多2 m就行了.”请你通过计算,判断小敏的说法是否正确.

图K15-9

参考答案

1.C　[解析] 根据题意,得点B的纵坐标为-4,把y=-4代入y=-x2,得x=±10,

∴A(-10,-4),B(10,-4),∴AB=20 m,即水面的宽度AB为20 m.

2.B　[解析] ∵AC⊥x轴,OA=10米,

∴点C的横坐标为-10.

当x=-10时,y=-(x-80)2+16=-(-10-80)2+16=-,

∴C,

∴桥面离水面的高度AC为米.

故选B.

3.C　[解析] 设BC=x m,则AB=(16-x)m,矩形ABCD的面积为y m2,

根据题意,得y=(16-x)x=-x2+16x=-(x-8)2+64,

当x=8时,y最大值=64,

∴所围成矩形ABCD的最大面积是64 m2.

4.A　[解析] 根据函数图象可知,当小球抛出的高度为7.5 m时,二次函数y=4x-x2的函数值为7.5,即4x-x2=7.5,解得x1=3,x2=5,故当抛出的高度为7.5 m时,小球距离O点的水平距离为3 m或5 m,A结论错误;由y=4x-x2,得y=-(x-4)2+8,则抛物线的对称轴为直线x=4,当x>4时,y随x值的增大而减小,B结论正确;联立方程y=4x-x2与y=x,解得或则抛物线与直线的交点坐标为(0,0)或7,,C结论正确;由点7,知坡度为∶7=1∶2也可以根据y=x中系数的意义判断坡度为1∶2,D结论正确.故选A.

5.20　[解析] 滑行的最长时间实际上是求s取最大值时对应的时间t的值.

∵s=60t-t2=-(t-20)2+600,

∴当t=20秒时,s的最大值为600米.

6.1.6　[解析] 设各自抛出后1.1秒时达到相同的最大离地高度h,则第一个小球的离地高度y=a(t-1.1)2+h(a≠0),

由题意a(t-1.1)2+h=a(t-1-1.1)2+h,

解得t=1.6.

故第一个小球抛出后1.6秒时在空中与第二个小球的离地高度相同.

7.150　[解析] 设AB=x m,矩形土地ABCD的面积为y m2,由题意,得y=x·=-(x-150)2+33750,∵-<0,∴该函数图象开口向下,当x=150时,该函数有最大值.即AB=150 m时,矩形土地ABCD的面积最大.

8.22　[解析] 设每件的定价为x元,每天的销售利润为y元.

根据题意,得y=(x-15)[8+2(25-x)]=-2x2+88x-870.

∴y=-2x2+88x-870=-2(x-22)2+98.

∵a=-2<0,∴抛物线开口向下,

∴当x=22时,y最大值=98.故答案为22.

9.-2　[解析] 由抛物线y=ax2+bx可知,点C的横坐标为-,纵坐标为-.∵四边形ABOC是正方形,∴-=.∴b=0(舍去)或b=-2.故填-2.

10.解:(1)依题意,函数图象上的两点的坐标分别为(70,75),(80,70),

设y与x的函数关系式为y=kx+b,

则:解得:

即y与x的函数关系式为y=-x+110.

(2)设合作社每天获得的利润为W元,

则由题意知:W=(x-20)y=(x-20)-x+110=-(x-120)2+5000,

当x=120时,W最大=5000,

即当房价为120元时,合作社每天获利最大,最大利润为5000元.

11.[解析] (1)由于题目所给数据均与水池中心相关,故可选取水池中心为原点,原点与水柱落地点所在直线为x轴,喷水管所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,再利用顶点式求解函数关系式;

(2)抛物线顶点的纵坐标即为水柱的最大高度.

解:(1)如图,以喷水管与地面交点为原点,原点与水柱落地点所在直线为x轴,喷水管所在直线为y轴,建立平面直角坐标系.

由题意可设抛物线的函数解析式为y=a(x-1)2+h(0≤x≤3).

抛物线过点(0,2)和(3,0),代入抛物线解析式可得

解得

所以抛物线的解析式为y=-(x-1)2+(0≤x≤3).

化为一般式为y=-x2+x+2(0≤x≤3).

(2)由(1)抛物线的解析式为y=-(x-1)2+(0≤x≤3)可知当x=1时,y最大值=.

所以抛物线水柱的最大高度为 m.

12.解:(1)∵y=x·=-(x-25)2+,

∴当x=25时,占地面积y最大.

(2)y=x·=-(x-26)2+338,

∴当x=26时,占地面积y最大.

即当饲养室长为26 m时,占地面积最大.

∵26-25=1≠2,

∴小敏的说法不正确.