北师大版九年级下册4 二次函数的应用优秀练习

2.4二次函数的应用课时训练

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是．汽车刹车后到停下来前进了多远？（   ）

A．10.35m B．8.375m C．8.725m D．9.375m

2．某商场经营一种小商品，已知进购时单价是20元．调查发现：当销售单价是30元时，月销售量为240件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件商品的售价不能高于40元．当月销售利润最大时，销售单价为（    ）

A．35元 B．36元 C．37元 D．36或37元

3．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放辆单车，计划第三个月投放单车辆，若第二个月的增长率是，第三个月的增长率是第二个月的两倍，那么与的函数关系是 （    ）

A． B．

C． D．

4．已知函数及一次函数的图象如图所示，当直线与函数的图象有2个交点时，的取值范围是（     ）

A． B． C．或 D．或

5．加工爆米花时，爆开且不糊的颗粒的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x（单位：min）满足函数表达式，则最佳加工时间为（    ）min．

A．2 B．5 C．2或5 D．3.5

6．抛物线与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧，与y轴交于点C．若点E在x轴上，点P在抛物线上，且以A、C、E、P为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点E有（　　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

7．已知二次函数与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．下列说法正确的是（    ）

①线段的长度为；②抛物线的对称轴为直线；③P是此抛物线的对称轴上的一个动点，当P点坐标为时，的值最大；④若M是x轴上的一个动点，N是此抛物线上的一个动点，如果以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，满足条件的M点有4个．

A．①② B．①②③ C．①②④ D．③④

8．已知当时，二次函数的值恒大于1，则k的取值范围是（   ）

A．k≥ B．－≤k≤－ C．－＜k＜0 D．－≤k＜0

9．如图，二次函数（，，，为常数）与二次函数（，为常数）的图象的顶点分别为，，且相交于和．若，则的值为（    ）

A． B． C． D．

10．某市为解决当地教育“大班额”问题，计划用三年时间完成对相关学校的扩建，年市政府已投资亿人民币，若每年投资的增长率相同，预计年投资额达到亿元人民币，设每年投资的增长率为，则可得（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

11．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线上运动，过点A作AB⊥x轴于点B，以AB为斜边作Rt△ABC，则AB边上的中线CD的最小值为_________．

12．如图，在△ABC中，∠C ＝90°，AB ＝10cm，BC ＝8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形PABQ的面积最小值为_____cm2

13．用一根长为的铁丝围成一个矩形，该矩形面积的最大值是__________．

14．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是_____米；

15．如图，正方形的一个顶点与原点重合，与轴的正半轴的夹角为15°，点在抛物线的图象上，则的长为______．

16．如图，一段抛物线：，记为，它与x轴交于两点O，；将绕旋转得到，交x轴于；将绕旋转得到，交x轴于，过抛物线，顶点的直线与、、围成的如图中的阴影部分，那么该阴影部分的面积为___________．

三、解答题

17．某公司最新研制出一种新型环保节能产品，成本每件40元，公司在销售过程中发现每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似看作一次函数y＝﹣10x+800．

（1）该公司销售过程中，当销售单价x为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？

（2）由于要把产品及时送达客户，公司每天需支付的物流费用是350元，为了保证每天支付物流费用后剩余的利润不少于1400元，则该产品的销售单价x（元）的取值范围是　   　．

18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过M(1，0)和N(3，0)，且与y轴交于D(0，3)，直线是抛物线的对称轴．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若过点A(-1，0)的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6，求点B的坐标，并求直线AB的解析式；

（3）点P在抛物线的对称轴上，⊙P与射线AB和x轴都相切，求点P坐标．

19．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，3），作直线BC．动点P在x轴上运动，过点P作PM⊥x轴，交抛物线于点M，交直线BC于点N，设点P的横坐标为m．

（1）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；

（2）当点P在线段OB上运动时，求线段MN的最大值；

（3）当点P在线段OB上运动时，若△CMN是以MN为腰的等腰直角三角形时，求m的值；

（4）当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出m的值．

20．如图，二次函数的图像经过点，点，点，连接．

（1）求二次函数的表达式；

（2）点P是二次函数图像上位于第一象限内的一点，过点P作，交直线于点Q，若，求点P的坐标．

参考答案

1．D

2．C

3．A

4．D

5．D

6．D

7．C

8．A

9．C

10．C

11．2

12．15

13．

14．2

15．

16．108

17．（1）当销售单价x为4000元时，每天获得的利润最大，最大利润是4000元；（2）45≤x≤75．

【详解】

解：（1）设每天获得的利润为w，由题意得：

w＝（−10x＋800）（x−40）

＝−10x2＋1200x−32000，

∴对称轴为直线x＝，

∴当x＝60时，w＝−10×602＋1200×60−32000＝4000．

∴当销售单价x为4000元时，每天获得的利润最大，最大利润是4000元；

（2）由（1）知w＝−10x2＋1200x−32000，

∵支付350元物流费用后剩余的利润不少于1400元，

∴当−10x2＋1200x−32000−350＝1400时，

整理得：x2−60x＋3375＝0，

解得：x1＝45，x2＝75，

∵二次函数w'＝−10x2＋1200x−32000−350的二次项系数为负，对称轴为直线x＝60，

∴当45≤x≤75时，每天支付物流费用后剩余的利润不少于1400元．

故答案为：45≤x≤75．

18．（1）；（2）点B为(2，4)或(2，－4)，直线AB的解析式为或；（3）点p为(，)或(，－)

【详解】

解：（1）∵抛物线的图象经过点M（1，0），N（3，0），

∴设该抛物线的解析式为

∵抛物线与y轴交于点D（0，3）

∴

∴抛物线的解析式为

（2）设抛物线的对称轴与x轴的交点为C．

∵点A（1，0），抛物线的对称轴为

∴AC=3

∵

∴

∴BC=4

点B的坐标为（2，4）或（2，－4）

∴直线AB的解析式为或．

（3）∵点P在抛物线的对称轴上，且⊙P与射线AB和x轴都相切，所以点P到射线AB和x轴的距离相等，即点P在∠BAN或的角平分线与对称轴的交点处．

当点P在x轴上方时，

设点P的坐标为（2，b）

由（1）（2）可知，AC=3，BC=4，∴AB=5

过点P作PH⊥AB，垂足为H，则AH=AC=3

∴BH=AB-AH=5-3=2，PH=PC=b，BP=BC-PC=4-b，

在中，

∴

∴

∴点P的坐标为（，）

同理，当点P在x轴下方时，

点P的坐标为（，－）

所以，点p的坐标为（，）或（，－）．

19．（1）y＝﹣x2+2x+3，y＝﹣x+3；（2）当m＝时，MN有最大值，MN的最大值为；（3）m＝2；（4）m的值为或．

【详解】

解：（1）∵抛物线过A、C两点，

∴代入抛物线解析式可得，解得，

∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，

令y＝0可得，﹣x2+2x+3＝0，解x1＝﹣1，x2＝3，

∵B点在A点右侧，

∴B点坐标为（3，0），

设直线BC解析式为y＝kx+s，

把B、C坐标代入可得，解得，

∴直线BC解析式为y＝﹣x+3；

（2）∵PM⊥x轴，点P的横坐标为m，

∴M（m，﹣m2+2m+3），N（m，﹣m+3），

∵P在线段OB上运动，

∴M点在N点上方，

∴MN＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣）2+，

∴当m＝时，MN有最大值，MN的最大值为；

（3）∵PM⊥x轴，

∴当△CMN是以MN为腰的等腰直角三角形时，则有CM⊥MN，

∴M点纵坐标为3，

∴﹣m2+2m+3＝3，解得m＝0或m＝2，

当m＝0时，则M、C重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去，

∴m＝2；

（4）∵PM⊥x轴，

∴MN∥OC，

当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，则有OC＝MN，

当点P在线段OB上时，则有MN＝﹣m2+3m，

∴﹣m2+3m＝3，此方程无实数根，

当点P不在线段OB上时，则有MN＝﹣m+3﹣（﹣m2+2m+3）＝m2﹣3m，

∴m2﹣3m＝3，解得m＝或m＝，

综上可知当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，m的值为或．

20．（1）；（2），

【详解】

解：（1）把A（-1，0），点B（3，0），点C（0，3），代入二次函数y=ax2+bx+c中，得：

，
解得，
二次函数的表达式为y=-x2+2x+3；
（2）过点P，A分别作y轴得平行线与直线BC交于点M，N．则AN∥PM，如图1．

∵,

∴∠ACQ=∠PQC,

∴∠ACN=∠PQM,

∵AN∥PM，

∴∠ANC=∠PMQ,
∴△ACN∽△PQM，
则，

设直线BC的解析式为：y=kx+b,则

解得：
∴直线BC得解析式为y=3-x，则N（-1，4），
∴AN=4，

∵

∴PM=2，
设P点得横坐标为a，则M（a，3-a），P（a，-a2+2a+3），
得PM=-a2+2a+3-（3-a）=-a2+3a，
令，-a2+3a=2，解得x=1或x=2，
故P为（1，4）或（2，3）．