人教版中考数学二轮复习专题练习上二次函数与相切

这是一份人教版中考数学二轮复习专题练习上二次函数与相切，共32页。试卷主要包含了已知抛物线．等内容，欢迎下载使用。

（1）求该抛物线的解析式；
（2）当为何值时，点在此抛物线上；
（3）在点运动过程中，是否存在为等腰三角形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由；
（4）在点运动过程中，若以为直径的圆与直线相切，直接写出的值．
解析：（1）设该抛物线的解析式为，把代入
得，解得
∴，即
（2）分别过点、作轴的垂线，
垂足为、
∵，∴
∵，∴
又∵，∴
∴，即
∴，，∴
把点坐标代入抛物线的解析式，得
整理得：，
解得：或
∴当或时，点在此抛物线上
（3）存在
∵，，
∴，
若，则，解得
∴，
若AB＝BC，
则
解得，∴
若，则，解得
∴，
（4）或
提示：设的中点为，过点作轴，交于，作于
∵，，∴，，
∵，，∴
∴，，，
∴,
由，
得
∴
∵，∴
又∵，∴
∴，即，∴
∵以为直径的圆与直线相切，∴
∴
整理得：，解得：或
2.如图，在平面直角坐标系中，点、点，四边形是矩形，以点为圆心的过点，点从点出发，沿以每秒个单位的速度运动，设运动时间为秒．
（1）当为何值时，与相切？
（2）当直线将的周长分成的两部分时，求的值；
（3）直线为的垂直平分线，垂足为．当点在、上运动时，是否存在点，使直线与相切？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
解析：
（1）设与相切于点，连接
则，∴
由得：
∴，∴
∴当时，与相切
（2）
设直线交于、，与轴交于另一点
连接、、、，作于
∵直线将的周长分成的两部分
∴，∴
∴，
∴
设，则
∵，
∴
又，∴
∴，∴
整理得：
解得：（舍去），
∴
由得：
∴，∴
即
（3）
设直线与相切于点
i）当点在上时，连接，
直线与轴相交于点
设，，则，
由得：
即①
由得：
即②
由①②得：，即，代入②并整理得：
，解得：（舍去），
∴
即
ii）
当点在上时，则四边形是矩形
∴，∴
∴
综上所述，当或时，直线与相切
3.矩形内接于，将沿翻折，点落在上点处，连接．
（1）如图1，判断四边形的形状，并说明理由；
（2）如图2，是的切线，切点是，交的延长线于点．动点从点出发，以的速度沿射线的方向运动，以点为圆心，长为半径作圆，设点运动的时间为（秒）．若的直径为，．
①当为何值时，与直线相切；
②根据与线段公共点的个数，直接写出相应的的值或取值范围．
解析：（1）四边形是等腰梯形，理由如下：
连接
由题意，，
∵，
∴，∴
∴，∴四边形是等腰梯形
（2）
①设与直线相切于点，连接
则
∵的直径为，∴
易证，∴
设，则
在中，
解得，∴，，
∵是的切线，∴
∵，∴
∴，∴，∴
∴，∴
∴
∵，∴，解得
∴当秒时，与直线相切
②当与线段公共点的个数是个时，或
当与线段公共点的个数是个时，
当与线段公共点的个数是个时，
4.如图，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴正半轴交于点，与轴负半轴交于点，且，．点为线段上的一个动点，过点作轴的平行线分别交直线、于点、．
（1）设线段的长为，求与之间的函数关系式；
（2）当时，求点的坐标；
（3）是否存在点，使得过、、三点的圆与x轴相切？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．
解析：
（1）在中，令，得
∴，
∵，∴
∵直线与轴正半轴交于点，
与轴负半轴交于点
∴，
设直线的解析式为，把代入
，∴
∴直线的解析式为
在中，当时，
在中，当时，
∴
（2）设线段的中点为，以为斜边向上作等腰
以为圆心，长为半径作
∵，∴过点
∴，∴
由（1）知，，，
∴,
∴
∴
∴整理得：
解得：（舍去），
∴点的坐标为
（3）假设存在
设过、、三点的圆为
显然圆心是线段的中垂线和线段的中垂线的交点
由题意，，∴
∴，是等腰直角三角形
∴线段的中垂线过点
设线段的中垂线交轴于，直线的解析式为
∵，∴
∴，代入，得
∴直线的解析式为
设线段的中点为，与轴相切于点
由（2）知
把代入，得
∴
由，得
整理得：，解得：，（舍去）
∴存在点，使得过、、三点的圆与x轴相切
5.如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，将抛物线沿轴翻折得抛物线．
（1）求的解析式；
（2）在的对称轴上找出点，使点到点的对称点及两点的距离差最大，并说出理由
（3）平行于轴的一条直线交抛物线于、两点，若以为直径的圆恰与轴相切，求此圆的半径．
解析：
（1）由题意知，抛物线上的点、、关于轴的对称点为，，
设的解析式为
则∴
∴l1的解析式为
（2）的对称轴为，在直线上，故
当点与点、点不在一直线上时，中，当点与点、点在一直线上时，这些线段间关系为：
故此时点到、两点的距离差最大
设的解析式为，将代入上式得
∴直线的解析式为
而直线和直线的交点即为
由得
∴即为所求
（3）
设，，所求圆的半径为，由图可知
∵对称轴为，∴
由得，即
将代入的解析式
得，即
∵圆与轴相切，∴
当时，，解得，（舍去）
当时，，解得，（舍去）
故所求的圆有两个，在轴上方的圆半径为，在轴下方的圆半径为
6.已知过原点的两条直线与圆心为，半径为的圆相切，切点分别为、，交轴于点，抛物线经过、两点，顶点为，且与轴交于、两点．
（1）求点的坐标；
（2）求抛物线解析式；
（3）直线与抛物线交于不同的两点、，当该直线与相切时，求点、、、围成的多边形的面积（结果保留根号）．
解析：（1）∵直线与相切于、
∴，
∵，，∴，
∴，
∴
（2）
设抛物线解析式为，把点代入得：
，∴
∴抛物线解析式为
（3）令，解得，
∴，，∴
当直线与相切时，
令，解得，x2＝2
∴，，∴
∴
7.已知抛物线（）恒过定点、（在的左侧）．
（1）求、两点的坐标；
（2）点在直线下方的抛物线上，当面积的最大值为时，求抛物线的解析式；
（3）若经过点的始终与轴相切，设，求与的函数关系式，并求点到点距离的最小值．
解析：（1）
∵
对于任意实数，当时，；当时，
∴抛物线恒过定点和
∵在的左侧，∴，
（2）设直线的解析式为
∴解得
∴直线的解析式为
过点作轴，交直线于点
设，则
∴
∴
＝
∵面积的最大值为
∴
解得
∴抛物线的解析式为
（3）
∵，，
过点且与轴相切
∴，∴
即
设点到点的距离为
则
∴的最小值为
∴的最小值为
8.如图，在平面直角坐标系中，和是两个全等的直角三角形，，，直角边、在轴上，点的坐标为，抛物线经过、、三点，与轴的另一个交点为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点为线段上一动点（不与、重合），过点作轴的平行线交抛物线于点，连接、，当四边形为等腰梯形时，求点的坐标；
（3）在抛物线的段上（包括点）是否存在点，使既与轴相切，又与直线相交？若存在，求点横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由．
解析：（1）∵，，
∴，
∴，
∵抛物线经过点
∴，∴
∵抛物线过、两点
∴解得，
∴抛物线的解析式为
（2）
设直线的解析式为
∴，∴，∴
设，则
作于，于
∵四边形为等腰梯形，∴
∴，∴
∴或
当时，，∴
此时点与点重合，不能形成等腰梯形
当时，，∴
∴当四边形为等腰梯形时，点的坐标为
（3）
作的平分线交CD于，交抛物线于，作于，则
设，则
∵，，∴
易证，∴
∴，∴，∴
易得直线的解析式为
令，解得（舍去），
∵既与轴相切，又与直线相交
∴点横坐标的取值范围为：
9.如图，直线与抛物线交于、两点，抛物线的对称轴与轴交于点．
（1）证明直线过定点，并求出点的坐标；
（2）当时，证明是等腰直角三角形；
（3）对于任意的实数，是否都存在一条固定的直线与以为直径的圆相切？若存在，请求出该直线的解析式；若不存在，请说明理由．
解析：（1）∵
∴当时，
∴直线过定点
（2）
当时，直线
交点、的坐标符合方程组：
解得
∴，
∴
∵,，∴
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形
（3）存在一条固定的直线与以为直径的圆相切，此直线即轴，解析式是
理由如下：
交点、的坐标符合方程组：
∴
即
∴，
∴
∴
即以为直径的圆的半径为
∵的中点是，即
∴以为直径的圆的圆心坐标为
∵圆心到轴的距离等于圆的半径
∴存在定直线与以为直径的圆相切，此直线即轴，解析式是
10.如图，已知抛物线与坐标轴分别交于、、三点，过坐标原点的直线与抛物线交于、两点．分别过点、作平行于轴的直线、．
（1）求抛物线对应二次函数的解析式；
（2）求证以为直径的圆与直线相切；
（3）求线段的长（用表示），并证明、两点到直线的距离之和等于线段的长．
解析：（1）设抛物线对应二次函数的解析式为
把、、三点坐标代入得
解得
∴
（2）
设，，∵点、在抛物线上
∴，，∴
又∵，∴
∵，∴
设的中点，分别过点、向直线作垂线，垂足为、
则，∴
即的中点到直线的距离等于长度的一半
∴以为直径的圆与直线相切
（3）过点作交于点
则
又∵，，∴
∴
∵点、既在的图象上又在抛物线上
∴，即，解得
∴，∴
∴
延长交于点，过点作于点
则
又∵
∴
即、两点到距离之和等于线段的长