专题13 直角三角形的性质

专题13 直角三角形的性质

一．选择题

1．下列条件中，不能确定一个直角三角形的条件是（　　）

A．已知两条直角边 B．已知两个锐角 

C．已知一边和一个锐角 D．已知一条直角边和斜边

解：A、已知两条直角边，可以确定一个直角三角形；

B、一直两个锐角，若两个锐角的和不等于90°，则不能确定一个直角三角形；

C、已知一边和一个锐角，可以得到一直角，则能确定一个直角三角形；

D、已知一条直角边和斜边，可以确定一个直角三角形．

故选：B．

2．在直角三角形ABC中，∠C是直角，那么∠A+∠B的度数（　　）

A．等于90° B．大于90° 

C．小于90° D．与90°的关系无法确定

解：∠A+∠B＝180°﹣∠C＝180°﹣90°＝90°．

故选：A．

3．一位园艺设计师，计划在一块有一个内角为60°的直角三角形绿化带上种植四种不同的花卉，要求种植的四种花卉分别组成面积相等，形状完全相同的几何图形图案．某同学为此提供了如图所示的四种设计方案．其中可以满足园艺设计师要求的有（　　）

A．1种 B．2种 C．3种 D．4种

解：如图，观察发现，1、3、4都是被分成了四个30°的直角三角形，满足园艺设计师要求；

而2分成四个不同三角形，故2不符合要求．

∴有3种可以满足园艺设计师要求．

故选：C．

4．如图，已知点A（﹣1，0）和点B（1，2），在坐标轴上确定点P，使得△ABP为直角三角形，则满足这样条件的点P共有（　　）

A．2个 B．4个 C．6个 D．7个

解：①以A为直角顶点，可过A作直线垂直于AB，与坐标轴交于一点，这一点符合点P的要求；

②以B为直角顶点，可过B作直线垂直于AB，与坐标轴交于两点，这两点也符合P点的要求；

③以P为直角顶点，可以AB为直径画圆，与坐标轴共有3个交点．

所以满足条件的点P共有6个．

故选：C．

5．一个三角形三边的长是6，8，10，同时平分这个三角形周长和面积的直线有（　　）条．

A．1 B．2 C．3 D．4

解：（1）若直线过△ABC的某个顶点．如图，

假设直线过点A．如果直线平分△ABC的面积，则有BN＝NC，此时，AC＞AB，

所以周长相等不可能．同理直线过B、C也不存在；

（2）若直线交AB、BC于点M、N．如图，

设BN＝x，则BM＝12﹣x，作MD⊥BC，

由Rt△MBD∽Rt△ABC，可得MD＝；

根据S△MBN＝MD•BN＝S△ABC，

得BN＝6+，BM＝6﹣，即这样的直线存在，且只有一条，

综上，同时平分这个三角形周长和面积的直线有1条．

故选：A．

6．如图，一棵树在一次强台风中，从离地面5 m处折断，倒下的部分与地面成30°角，如图所示，这棵树在折断前的高度是（　　）

A．10m B．15m C．5m D．20m

解：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝5，∠A＝30°

∴AB＝10，

∴大树的高度为10+5＝15m．

故选：B．

7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高线，图中与∠A互余的角有（　　）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

解：∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的高线，

∴∠A+∠B＝90°，∠A+∠ACD＝90°，

∴与∠A互余的角有2个，

故选：C．

8．如图，在直角三角形ABC中，AC≠AB，AD是斜边BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，则图中与∠C（除∠C外）相等的角的个数是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

解：∵AD是斜边BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，

∴∠C+∠B＝90°，∠BDF+∠B＝90°，∠BAD+∠B＝90°，

∴∠C＝∠BDF＝∠BAD，

∵∠DAC+∠C＝90°，∠DAC+∠ADE＝90°，

∴∠C＝∠ADE，

∴图中与∠C（除之∠C外）相等的角的个数是3，

故选：B．

9．如图，已知直角△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝56°，AD⊥BC，DE∥CA．∠ADE的度数为（　　）

A．56° B．34° C．44° D．46°

解：∵∠BAC＝90°，DE∥AC（已知）

∴∠DEA＝180°﹣∠BAC＝90°（两直线平行，同旁内角互补）．

∵AD⊥BC，∠B＝56°，

∴∠BAD＝34°，

在△ADE中，∵DE⊥AB，

∴∠ADE＝56°．

故选：A．

10．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG平分∠DAC，给出下列结论：①∠BAD＝∠C；②∠AEF＝∠AFE；③∠EBC＝∠C；④AG⊥EF．其中正确的结论是（　　）

A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③

解：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，

∴∠C+∠ABC＝90°，

∠BAD+∠ABC＝90°，

∴∠BAD＝∠C，故①正确；

∵BE是∠ABC的平分线，

∴∠ABE＝∠CBE，

∵∠ABE+∠AEF＝90°，

∠CBE+∠BFD＝90°，

∴∠AEF＝∠BFD，

又∵∠AFE＝∠BFD（对顶角相等），

∴∠AEF＝∠AFE，故②正确；

∵∠ABE＝∠CBE，

∴只有∠C＝30°时∠EBC＝∠C，故③错误；

∵∠AEF＝∠AFE，

∴AE＝AF，

∵AG平分∠DAC，

∴AG⊥EF，故④正确．

综上所述，正确的结论是①②④．

故选：C．

二．填空题

11．如图，已知在Rt△ABC中，∠A＝90°，若沿虚线剪去∠A后，则∠1+∠2＝　   　．

解：∵△ADE是直角三角形，

∴∠3+∠4＝90°，

∵∠2、∠1是△ADE的外角，

∴∠2＝∠4+∠A，∠1＝∠3+∠A，

∴∠2+∠3＝2∠A+（∠4+∠3）＝2×90°+90°＝270°．

12．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE过点C，且DE∥AB，若∠ACD＝50°，则∠A＝　   　度，∠B＝　   　度．

解：∵DE∥AB，∠ACD＝50°，

∴∠A＝∠ACD＝50°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣50°＝40°．

13．如图，BC⊥AE，垂足为C，过C作CD∥AB，若∠ECD＝48°．则∠B＝　   　度．

解：∵CD∥AB，∠ECD＝48°，

∴∠A＝∠ECD＝48°，

∵BC⊥AE，

∴∠B＝90°﹣∠A＝42°．

14．将两张矩形纸片如图所示摆放，使其中一张矩形纸片的一个顶点恰好落在另一张矩形纸片的一条边上，则∠1+∠2＝　   　．

解：如图，连接两交点，

根据矩形两边平行，得

∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，

又矩形的角等于90°，

∴∠3+∠4＝90°，

∴∠1+∠2＝180°﹣90°＝90°．

故答案为：90．

15．在锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，且CD，BE交于点P，若∠A＝50°，则∠BPC的度数是　   　度．

解：∵CD，BE分别是AB，AC边上的高，

∴∠BDC＝∠AEB＝90°

∴∠ABE＝90°﹣50°＝40°

∴∠BPC＝∠ABE+∠BDP＝40+90＝130°．

故答案为：130°．

16．如图，是由两个相同的直角三角形ABC和FDE拼成的，则图中与∠A相等的角有　   　个，分别是　   　；∠1与∠A关系是　   　；∠2与∠1的关系是　   　．

解：∵两直角三角形全等，

∴∠A＝∠F，

又∵有同角的余角相等可得，

∠A＝∠DCB，

∵∠FDE＝90°，即CD⊥AB，

∴∠1与∠A互余，

又∵∠A＝∠F，

根据等角的余角相等可得∠1＝∠2，

故答案为：图中与∠A相等的角有2个，分别是∠DCB，∠F；∠1与∠A关系是互余；∠2与∠1的关系是相等．

17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点E在AC边上且2∠CBE＝∠ABE，过点A作AD∥BC，AD与BE的延长线交于点D，DE＝，则AB＝　   　．

解：如图，取DE的中点F，连接AF，

∵AD∥BC，∠C＝90°．

∴∠D＝∠CBE，∠EAD＝90°，

∵2∠CBE＝∠ABE

∴∠ABE＝2∠D，

∵F为DE的中点，

∴AF＝DF＝EF，

∴∠D＝∠FAD，

∵∠AFB＝∠D+∠FAD，

∴∠AFB＝∠ABF，

∴AB＝AF＝DE，

∵DE＝，

∴AB＝．

故答案为：．

三．解答题

18．如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CE⊥AB于点E，过E作ED∥AC交BC于点D，过D作DF⊥AB于点F．

（1）若∠ACE＝40°，求∠EDC的度数．

（2）判断∠EDF与∠BDF是否相等，并说明理由．

解：（1）∵CE平分∠ACB，

∴∠ACE＝∠BCE＝40°＝∠ACB，

∴∠ACB＝80°，

∵AC∥DE，

∴∠ACB+∠CDE＝180°，

∴∠EDC＝100°；

（2）∠EDF＝∠BDF，

理由如下：

∵DF⊥AB，CE⊥AB，

∴CE∥DF，

∴∠BCE＝∠BDF，∠EDF＝∠CED，

∵ED∥AC，

∴∠ACE＝∠CED，

∵∠ACE＝∠BCE，

∴∠EDF＝∠BDF．

19．直线EF、GH之间有一个直角三角形ABC，其中∠BAC＝90°，∠ABC＝α．

（1）如图1，点A在直线EF上，B、C在直线GH上，若∠α＝60°，∠FAC＝30°．试说明：EF∥GH；

（2）将三角形ABC如图2放置，直线EF∥GH，点C、B分别在直线EF、GH上，且BC平分∠ABH．求∠ECA的度数；（用α的代数式表示）

（3）在（2）的前提下，直线CD平分∠FCA交直线GH于D，如图3．在α取不同数值时，∠BCD的大小是否发生变化？若不变求其值，若变化请求出变化的范围．

（1）证明：∵∠EAB＝180°﹣∠BAC﹣∠FAC，∠BAC＝90°，∠FAC＝30°，

∴∠EAB＝60°，

又∵∠ABC＝60°，

∴∠EAB＝∠ABC，

∴EF∥GH；

（2）解：∵∠BAC＝90°，∠ABC＝α．

∴∠ACB＝90°﹣α，

∵BC平分∠ABH，

∴∠ABC＝∠HBC＝α，

∵EF∥GH，

∴∠ECB＝∠HBC＝α，

∴∠ECA＝∠ECB﹣∠ACB＝α﹣（90°﹣α）＝2α﹣90°；

（3）解：不发生变化，

理由是：经过点A作AM∥GH，

又∵EF∥GH，

∴AM∥EF∥GH，

∴∠FCA+∠CAM＝180°，∠MAB+∠ABH＝180°，∠CBH＝∠ECB，

又∵∠CAM+∠MAB＝∠BAC＝90°，

∴∠FCA+∠ABH＝270°，

又∵BC平分∠ABH，CD平分∠FCA，

∴∠FCD+∠CBH＝135°，

又∵∠CBH＝∠ECB，即∠FCD+∠ECB＝135°，

∴∠BCD＝180°﹣（∠FCD+∠ECB）＝45°．

20．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．

（1）求证：AE＝DF；

（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由；

（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．

（1）证明：∵直角△ABC中，∠C＝90°﹣∠A＝30°．

∵CD＝4t，AE＝2t，

又∵在直角△CDF中，∠C＝30°，

∴DF＝CD＝2t，

∴DF＝AE；

解：（2）∵DF∥AB，DF＝AE，

∴四边形AEFD是平行四边形，

当AD＝AE时，四边形AEFD是菱形，

即60﹣4t＝2t，

解得：t＝10，

即当t＝10时，▱AEFD是菱形；

（3）当t＝时△DEF是直角三角形（∠EDF＝90°）；

当t＝12时，△DEF是直角三角形（∠DEF＝90°）．理由如下：

当∠EDF＝90°时，DE∥BC．

∴∠ADE＝∠C＝30°

∴AD＝2AE

∵CD＝4t，

∴DF＝2t＝AE，

∴AD＝4t，

∴4t+4t＝60，

∴t＝时，∠EDF＝90°．

当∠DEF＝90°时，DE⊥EF，

∵四边形AEFD是平行四边形，

∴AD∥EF，

∴DE⊥AD，

∴△ADE是直角三角形，∠ADE＝90°，

∵∠A＝60°，

∴∠DEA＝30°，

∴AD＝AE，

AD＝AC﹣CD＝60﹣4t，AE＝DF＝CD＝2t，

∴60﹣4t＝t，

解得t＝12．

综上所述，当t＝时△DEF是直角三角形（∠EDF＝90°）；当t＝12时，△DEF是直角三角形（∠DEF＝90°）．

21．小明在学习三角形知识时，发现如下三个有趣的结论：在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，M为直线AC上一点，ME⊥BC，垂足为E，∠AME的平分线交直线AB于点F．

（1）M为边AC上一点，则BD、MF的位置是　   　．请你进行证明．

（2）M为边AC反向延长线上一点，则BD、MF的位置关系是　   　．请你进行证明．

（3）M为边AC延长线上一点，猜想BD、MF的位置关系是　   　．请你进行证明．

解：（1）BD∥MF．

理由如下：∵∠A＝90°，ME⊥BC，

∴∠ABC+∠AME＝360°﹣90°×2＝180°，

∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME，

∴∠ABD＝∠ABC，∠AMF＝∠AME，

∴∠ABD+∠AMF＝（∠ABC+∠AME）＝90°，

又∵∠AFM+∠AMF＝90°，

∴∠ABD＝∠AFM，

∴BD∥MF；

（2）BD⊥MF．

理由如下：∵∠A＝90°，ME⊥BC，

∴∠ABC+∠C＝∠AME+∠C＝90°，

∴∠ABC＝∠AME，

∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME，

∴∠ABD＝∠AMF，

∵∠ABD+∠ADB＝90°，

∴∠AMF+∠ADB＝90°，

∴BD⊥MF；

（3）BD⊥MF．

理由如下：∵∠A＝90°，ME⊥BC，

∴∠ABC+∠ACB＝∠AME+∠ACB＝90°，

∴∠ABC＝∠AME，

∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME，

∴∠ABD＝∠AMF，

∵∠AMF+∠F＝90°，

∴∠ABD+∠F＝90°，

∴BD⊥MF．