数学七年级下册第12章 证明12.3 互逆命题教案

这是一份数学七年级下册第12章 证明12.3 互逆命题教案，共5页。教案主要包含了情境创设，新知探究，例题教学，课堂练习，课堂小结，作页布置等内容，欢迎下载使用。

知识与技能
1．理解命题和互逆命题的概念，能写出一个命题的逆命题；并能用举反例的方法说明一个命题是假命题．
2．能够完成对文字命题的证明．
过程与方法
1．通过对“同位角相等，两直线平行”、“两直线平行，同位角相等”等情境的创设，让学生对比二者之间的区别与联系，得出互逆命题的概念．
2．能用举反例的方式说明逆命题的真假；同时发展学生合情推理能力和初步的演绎推理能力来表述自己的观点．
情感、态度与价值观
使学生经历“探索——发现——猜想一证明”等数学活动的过程，发展逻辑的思考能力，最后通过具体例题巩固所学过的知识，并体会反面思考问题的方法，让学生懂得任何事物都是正反两方面的对立统一体；使学生养成严谨论证的良好习惯与科学的治学品质．
重点难点
重点
会写出一个命题的逆命题，并判断其真假；会证明一个文字命题和几何命题．
难点
发展初步的演绎推理能力；书写规范及推理表述的合理性；为了解决问题会适当地添加辅助线．
教学设计
一、情境创设
公元前6世纪，古希腊哲人泰勒斯利用影子测量了金字塔的髙度，他自己还发现了三角形的一个特征：“等腰三角形的两个底角相等，反过来说，要使三角形两角相等，它们的对边必须相等”，这个发现我们现在看来很简单，可是在当时发现它们的确不易，其实这两个三角形的特征是两个定理，或者说是两个真命题．
（投影显示提出两个问题)：
1．这两个命题有什么联系与区别？
2．我们还学过类似的一些命题吗？如（平行线的判定与性质)．
二、新知探究
探究活动一：
1．互逆命题
两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，面第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
（设计目的：①通过学生熟悉的情境，引人互逆命题，使学生能轻易总结出互逆命题的特征，并归纳出它们的“条件”与“结论”的共性，再通过学生之间的合作、交流，探索出类似的命题，从而能熟练掌握互逆命题的概念，且会识别两个命题为互逆命题；②由“互逆命题”的概念得到写出一个命题的方法是：把一个命题的条件和结论复换就得到它的逆命题；每个命题都有逆命题．)
2．尝试交流
说出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假：
（1）对顶角相等；
（2）如果a2=b2，那么a=b；
（3)直角三角形的两个锐角互余；
（4>正方形的四个角都是直角．
（分组讨论、协作交流，先分别写出命题的“条件”和“结论”)
【答案】（1)相等的两个角是对顶角；是假命题．
（2) 如果a=b，那么a2=b2；是真命题．
（3)如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形；是真命题．
<4)四个角都是直角的四边形是正方形；是假命题．
（设计目的：1．（1）（3)（4)直接叙述它们的逆命题可能会有些困难，可以指导学生画出相关的图形分析命题的条件和结论．2．写出一个命题的逆命题要求语言一定要顺畅．）
探究活动二：
通过上面的尝试交流回答下列问题（投影显示问题)：
1．你是如何判断上述互逆命题中（1)（4)是假命题的？
（设计目的：组织学生交流各自判断一个命题是假命题的方法，以利于引导学生体验并理解：说明命题是假命题只需举一个反例或画一个反例的图形，这既是学生巩固“互逆命题”的理解，同时也是获得判断“假命题”的方法——举反例，要让学生多思考，举一反三．)
2．如果原命题是真命题，它的逆命题一定是真命题吗？如果原命题是假命题，它的逆命题一定是假命题吗？
（设计目的：组织学生思考，并交流各自判断命题真假的情况，以利于引导学生主动发现：一对互逆命题的真假性不一定相同．)
3．举反例概念
举一个和已知命题符合的条件，得到和原命题不一致的结论称为举反例．
三、例题教学
例1如图，AB//CD，BF//DE，AB与DE相交于点G．
图1
①你由这些条件得到什么结论？②如何证明这个结论？
③判断④这个命题正确与否．
（设计目的：充分发挥学生的主动性，积极地去探索问题的结论并能以命题的形式用语言归纳出结论）
【答案】①结论是：如果任意角的两边分别互相平行，那么这两个角相等．
②证明：∵AB//CD（已知），
∴∠EGA=∠D（两直线平行，同位角相等)．
又∵BF∥DE（已知），
∴∠EGA=∠B（两直线平行，同位角相等)．
∴∠B=∠D（等量代换)．
③这个结论不正确，是假命题 画出一个反例图如下：
请同学们自己证明∠ABF与∠EDC互补；并且相互交流．
图2
（设计说明：①关于图1的一个命题的逆命题，实质是依据有关平行线的互逆命题进行推理，引导学生逐步认识探索图形的性质要关注图形的“位置关系”和“数量关系”的内在联系，体验数学活动中充满着探索与创造，感受数学的严谨；②教材提供的情景是让学生经历“观察一实验一猜想一证明”等活动，由合情推理到演绎推理，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，从而不断发展初步的演绎推理的能力；③可以用画反例图的方法判断，一个几何命题是假命题．）
例2 写出下列命题的逆命题，并判断它是真命题还是假命题：
（1)若ac2>bc2，则a>b；
（2)角平分线上的点到这个角的两边距离相等；
（3)若ab=0，则a=0．
解析：写出一个命题的逆命题，只需将命题的条件与结论交换．判断一个命题的真假，说它真，必须有根有据；而说它假，只要举个反例，千万不能想当然．
【答案】（1)逆命题为：若a>b，则ac2>bc2．假命题，如：c=O，ac2=bc2．
（2)逆命题为：到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．真命题．
（3)逆命题为：若a=0，则ab=0．真命题．
（设计说明；①真命题应是公理、定理、定义以及由它们推导出来的珀确的结论，是无需证明，大家一致公认的事实或一步一步推导出来的，而假命题只需举一个反例，即符合题设但不符合结论的例子．教师注意这里仍要提供让学生多说的好机会，只有让学生多说才能多思，多说才能有条理地表述；让学生自己去举反例，让学生要有思考的过程）
例3 （投影显示例3)证明：平行于同一条直线的两条直线平行．
图3
解析 已知：如图3，直线a、b、c中，b//a，c//a．求证：b//c．
答案 作直线a、b、c的截线d．
∵b//a （已知），
∴∠2=∠1两直线平行，同位角相等)．
∵c//a（已知），
∴∠3=∠1（两直线平行，同位角相等)．
∴∠2=∠3（等量代换)．
∴b//c（同位角相等，两直线平行)．
你还有其他的方法证明bc//吗？
（设计目的：这个例题可以让学生自己去探索，因为学生巳有了这个结论，并且也有学生在解题时用过这个结论，如同三角形的内角和一样，此题的证明有多种方法，可让学生自己先说证明思路，教师切不可自巳先讲，要让学生有自己的思考程，也不可只讲一种方法了事，应让学生体会多种方法．)
例4 证明：直角三角形的两个锐角互余．
解析命题证明题，要根据题意画出图形，然后结合图形写出已知、求证，最后写出证明过程．
已知：如图4，在△ABC中，∠C=90°，求证：∠A+∠B=90°．
证明：在△ABC中，
∠A+∠B+∠C=180°（三角形三个内角的和为180°)
∴∠A+∠B=180°-∠C（等式性质)．
∵∠C=90°（已知），
∴∠A+∠B=180°-90°（等量代换)．
即∠A+∠B=90°．
写出该命题的逆命题，判断真假，并给出理由．（学生自己完成)．
四、课堂练习
教材第158页和第160页“练一练”
五、课堂小结
1．谈一谈这节课你有哪些收获？
2．这节课你还有哪些疑惑？
（设计目的：通过同学们的发言，发现同学们对新知的掌握情况，培养同学们的语言表达能力，同时也能够及时解决疑惑，共同提高教学质量．）
六、作页布置
教材习题12．3第1、2、4题．