巩固练习_基本不等式_提高

【巩固练习】

一、选择题

1. 下列结论正确的是(　　)

A．当x>0且x≠1时，     B．当x>0时，

C．当x≥2时，的最小值为2       D．当0<x≤2时，无最大值

2.若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的个数为(　　)

①ab≤1；②；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3；⑤.

A．1　　　　　　　　　　　 B．2

C．3   D．4

3. 若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是(　　)

A．6＋2 B． 7＋2 C． 6＋4 D． 7＋4

4．若-4<x<1，则有（    ）

A．最小值1         B.最大值1        C.最小值-1        D.最大值-1

5. 利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的关系可近似地表示为，则每吨的成本最低时的年产量为(　　)

A．240   B．200

C．180                               D. 160

6．已知x，y满足约束条件，当目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)在该约束条件下取到最小值时，a2＋b2的最小值为(　　)

A． 5 B． 4 C．  D． 2

填空题

7．已知x，y∈R＋，且满足，则xy的最大值为________．

8. （2016   河北区二模）设x，y是正实数，且x+y=1，则的最小值是________ ．

9. 已知x，y∈R＋，且x＋4y＝1，则xy的最大值为________．

10. 若对任意x＞0，恒成立，则a的取值范围是________．

11. 有一批材料可以建成200 m长的围墙，如果用此批材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形(如下图所示)，则围成场地的最大面积为________(围墙的厚度不计)．

二、解答题

12. 若，则为何值时有最小值，最小值为几？

13. 已知a，b，c都是正数，且a＋b＋c＝1，求证：.

14. 若a＞0，b＞0，且+＝．

(Ⅰ)求a3+b3的最小值；

(Ⅱ)是否存在a，b，使得2a+3b＝6？并说明理由．

15. （2016  衡阳二模）已知a∈（0，+∞），b∈（0，+∞），a+b=2。

（1）求的最小值；

（2）若对，恒成立，求实数x的取值范围。

16. 某加工厂需定期购买原材料，已知每千克原材料的价格为1.5元，每次购买原材料需支付运费600元，每千克原材料每天的保管费用为0.03元，该厂每天需要消耗原材料400千克，每次购买的原材料当天即开始使用(即有400千克不需要保管)．

(1)设该厂每x天购买一次原材料，试写出每次购买的原材料在x天内总的保管费用y1关于x的函数关系式；

(2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y最小，并求出这个最小值．

【答案与解析】

1．【答案】　B

【解析】　

A中，当x>0且x≠1时，lg x的正负不确定，

∴或；

C中，当x≥2时，；

D中，当0<x≤2时，在(0,2]上递增，.故选B.

2. 【答案】　C

 【解析】　因，所以①正确；

因，

所以，故②不正确；

因，所以③正确；

因a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＝2[(a＋b)2－3ab]＝2(4－3ab)＝8－6ab≥8－6＝2，所以④不正确；

因，所以⑤正确．

故正确的命题为①③⑤.

3．【答案】D

【解析】由，得3a＋4b＝ab，则，所以，当，即时等号成立。

4．【答案】D

【解析】

5. 【答案】B

【解析】依题意得每吨的成本是，则 ，当且仅当 ，即x＝200时取等号，因此当每吨的成本最低时，相应的年产量是200吨，选B.

6．【答案】　B

【解析】由约束条件作可行域如图，

联立，解得：A(2，1)．

化目标函数为直线方程得：．

由图可知，当直线过A点时，直线在y轴上的截距最小，z最小．

∴，即．

则a2＋b2的最小值为．

故选：B．

7．【答案】　3

【解析】　由为定值知

.

∴当且仅当时xy有最大值3.

8．【答案】

【解析】设x=2=s，y+1=t，则s+t=x+y+3=4，

。

因为

所以。

故答案为。

9. 【答案】

【解析】，当且仅当时取等号．

10. 答案:

【解析】　

又

∴

∴

11. 【答案】2500 m2

【解析】设所围场地的长为x，则宽为，其中0<x<200，场地的面积为，当且仅当x＝100时等号成立．

12. 【解析】∵,  ∴,

∴

当且仅当即时，原式有最小值1.

13.【解析】 证明：∵a，b，c都是正数，且a＋b＋c＝1，∴，

，  .

∴

＝3＋2＋2＋2＝9，

当且仅当a＝b＝c时取等号．

∴.

14.【解析】

(Ⅰ)∵a＞0，b＞0，且+＝，

∴＝+≥2，

∴ab≥2，

当且仅当a＝b＝时取等号．

∵a3+b3 ≥2≥2＝4，当且仅当a＝b＝时取等号，

∴a3+b3的最小值为4．

(Ⅱ)由(1)可知，2a+3b≥2＝2≥4＞6，

故不存在a，b，使得2a+3b＝6成立．

15. 【解析】

（1）∵a∈（0，+∞），b∈（0，+∞），a+b=2，

∴，

∴，此时。

（2）∵对恒成立，

∴或或

或或，

，∴。

16. 【解析】

(1)每次购买原材料后，当天用掉的400千克原材料不需要保管费，第二天用掉的400千克原材料需保管1天，第三天用掉的400千克原材料需保管2天，第四天用掉的400千克原材料需保管3天，…，第x天(也就是下次购买原材料的前一天)用掉最后的400千克原材料需保管(x－1)天．

∴每次购买的原材料在x天内总的保管费用为y1＝400×0.03×[1＋2＋3＋…＋(x－1)]＝(6x2－6x)(元)．

(2)由(1)可知，购买一次原材料的总费用为6x2－6x＋600＋1.5×400x元，

∴购买一次原材料平均每天支付的总费用为.

∴，

当且仅当，即x＝10时，取等号．

∴该厂10天购买一次原材料可以使平均每天支付的总费用y最小，为714元．