A 知识讲解练习题

正弦定理

编稿：张希勇　　　审稿：李霞　　

【学习目标】

1.通过对直角三角形边角间数量关系的研究，发现正弦定理，初步学会运用由特殊到一般的思维方法发现数学规律；

2.会利用正弦定理解决两类解三角形的问题；

（1）已知两角和任意一边，求其他两边和一角；

（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而求出其它边角）.

【要点梳理】

要点一、学过的三角形知识

1.中

（1）一般约定：中角A、B、C所对的边分别为、、；

（2）；

（3）大边对大角，大角对大边，即；

     等边对等角，等角对等边，即；

（4）两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即，.

2.中，，

（1），

（2）

（3），，；

，，

要点二、正弦定理及其证明

正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即：

直角三角形中的正弦定理的推导

证明：，  ，  ，

即：，，，

∴．

斜三角形中的正弦定理的推导

证明：

法一：向量法

（1）当为锐角三角形时

过作单位向量垂直于，则+=

两边同乘以单位向量，得(+)=，

即

∴，

∵，，，，，

∴，   ∴，

同理：若过作垂直于得：

 ∴，

（2）当为钝角三角形时

设，过作单位向量垂直于向量，

同样可证得：．

法二：圆转化法

（1）当为锐角三角形时

如图，圆O是的外接圆，直径为，则，

∴，

∴（为的外接圆半径）

同理：，

故：

（2）当为钝角三角形时

如图，.

法三：面积法

任意斜中，如图作，则

同理：，

故，

两边同除以

即得：

要点诠释：

（1）正弦定理适合于任何三角形；

（2）可以证明（为的外接圆半径）；

（3）每个等式可视为一个方程：知三求一。 

（4）利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：

①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；

②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。

要点三、解三角形的概念

一般地，我们把三角形的各内角以及它们所对的边叫做三角形的几何元素.任何一个三角形都有六个元素：三边、和三角.

在三角形中，由已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形.

有了关于解三角形的有关定理（如勾股定理、三角形的内角和定理、正弦定理，还有即将学习的余弦定理等），三角学特别是测量学得到了一次飞跃，它可以由已知的三角形的边和角来推断未知的边和角.

要点四、正弦定理在解三角形中的应用

利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：

（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；

（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；

要点诠释：

已知a，b和A，用正弦定理求B时的各种情况；

(1)若A为锐角时：

如图：

(2)若A为直角或钝角时：

判断三角形形状

判断三角形形状的思路通常有以下两种：（1）化边为角；（2）化角为边.对条件实施转化时，考虑角的关系，主要有：(1)两角是否相等？(2)三个角是否相等？（3）有无直角、钝角？考查边的关系，主要有：（1）两边是否相等？（2）三边是否相等

要点诠释：对于求解三角形的题目，一般都可有两种思路。但要注意方法的选择，同时要注意对解的讨论，从而舍掉不合理的解。比如下面例2两种方法不同，因此从不同角度来对解进行讨论。此外，有的时候还要对边角关系（例如，大边对大角）进行讨论从而舍掉不合理的解.

【典型例题】

类型一：正弦定理的简单应用：

【高清课堂：正弦定理 例1】

例1．已知在中，，，，求和B.

【答案】

【解析】，  

∴，

∴ ，

又，

∴．

【总结升华】

1. 正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题；

2. 数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式.

举一反三：

【变式1】（2015  广东高考）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，

则b=________.

【答案】，又，故，所以

        由正弦定理得，，所以b=1。

【变式2】在中，已知，求

【答案】根据正弦定理，得.

【变式3】（2016  宝鸡一模）在， ，则A等于（     ）

A.         B.           C.         D.

【答案】由正弦定理可得：

， ， 故选B。

例2．在，求和，．

【解析】由正弦定理得：，

∴，

（方法一）∵，  ∴或，

当时，，（舍去）；

当时，，∴．

（方法二）∵，，  ∴，

 ∴即为锐角，  ∴，

【总结升华】

1. 正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题。

2. 在利用正弦定理求角时，因为，所以要依据题意准确确定角的范围，再求出角.

3.一般依据大边对大角或三角形内角和进行角的取舍.

举一反三：

【高清课堂：正弦定理 例3】

【变式1】在中，， ，，求和．

【答案】∵，  ∴，

∵，   ∴或

∴当时，，；

∴当时，，；

所以，或．

【变式2】在中, ,, 求和；

【答案】 ∵，  ∴

∵，  ∴或

①当时，，；

②当时，（舍去）。

【变式3】在中，，, , 求.

【答案】由正弦定理，得.

∵,   ∴，即

∴

类型二：正弦定理的综合运用

例3.（2015  湖南高考文）设的内角的对边分别为。

（I）证明：；

(II)若，且为钝角，求。

【答案】（I）略；(II)

【思路点拨】

（I）由题根据正弦定理结合所给已知条件可得，所以 ；(II)根据两角和公式化简所给条件可得，可得，结合所给角B的范围可得角B,进而可得角A,由三角形内角和可得角C.

【解析】

（I）由及正弦定理，得，所以。

  （II）因为

      有（Ｉ）知，因此，又Ｂ为钝角，所以，

故，由知，从而，

综上所述，

【总结升华】本题主要考查正弦定理、三角恒等变换等基础知识，考查综合运用知识解决问题的能力。

举一反三：

【变式1】在△ABC中，已知a＝5，B＝105°，C＝15°，则此三角形的最大边的长为________．

【答案】　在△ABC中，大角对大边，故b为最大边长，A＝180°－(B＋C)＝180°－(105°＋15°)＝60°.

据正弦定理b＝＝＝.

【变式2】（2016  浙江文）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b+c=2acos B．

（Ⅰ）证明：A=2B；

（Ⅱ）若cos B=，求cos C的值．

【答案】 （1）由正弦定理得，

故，

于是，，

又，故，所以或，

因此，（舍去）或，

所以，.

（2）由，得，，

故，，

.

类型三：利用正弦定理判断三角形的形状

例4.在中，若试判断的形状.

【解析】由已知条件及正弦定理可得，

为三角形的内角，，，

或，

所以为等腰三角形或直角三角形。

【总结升华】

已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，有两条思路：其一化边为角，再进行三角恒等变换求出三个角之间的关系式；其二化角为边，再进行代数恒等变换求出三条边之间的关系式。

举一反三：

【变式】在△ABC中，试判断三角形的形状.

【答案】利用正弦定理将边转化为角.

∵又

∴∴

∴

∵0＜A，B＜π，∴－π＜A－B＜π∴  即

故此三角形是等腰三角形.