专题1.1 正数和负数（知识讲解）-2021-2022学年七年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）
展开专题1.1 正数和负数（知识讲解）
【学习目标】
1．理解并掌握用正负数表示实际问题中具有相反意义的量；
2．理解正数、负数、有理数的概念，准确判断有理数的范畴；
3.初步掌握对正负数的实际应用，了解历史数学文化，增强学生对我国数学文化的了解。
【要点梳理】
像+6、+2.5、、+1010010001、等大于0的数，叫做正数； 像－6、－2.5、、－1010010001、-等在正数前面加“－”号的数，叫做负数．
特别说明：
（1）一个数前面的“+”“-”是这个数的性质符号， “+”常省略，但 “-”不能省略.
（2）用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种为正可任意选择，但习惯把“前进、上升、盈利”等规定为正，而把“后退、下降、亏损”等规定为负．
（3）0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界线（在此可以适当画数轴引入数形结合思想）．
【典型例题】
类型一、正数和负数的意义
1．（2020·贵阳市清镇养正学校七年级月考）一次体育课，老师对七年级女生进行了仰卧起坐的测试，以做36个为标准，超过的次数用正数表示，不足的次数用负数表示，第一小组8人的成绩如下：2，－3，4，0，1，－1，－5，0
（1）这8名同学实际各做了多少次仰卧起坐？
（2）这个小组的达标率是多少？
【答案】（1）这8名同学实际做仰卧起坐的次数分别为：38，33，40，36，37，35，31，36；（2）62.5%
【分析】
（1）用36加上每人记录的成绩即得每人实际成绩；
（2）用记录成绩中的非负数个数除以小组总人数再化成百分数即可得到解答．
解：（1）这8名同学实际做仰卧起坐的次数分别为：38，33，40，36，37，35，31，36．
（2）因为有5人达标，所以达标率为：5÷8=0.625=62.5%．
【点拨】本题考查正负数在生活中的应用，熟练掌握正负数的意义是解题关键 ．
举一反三：
【变式1】 （2020·辽宁沈阳市·七年级期中）以下的五个时钟显示了同一时刻国外四个城市时间和北京时间，若表中给出的是国外四个城市与北京的时差，则这五个时钟对应的城市从左到右依次是（ ）
城市 | 时差/h |
纽约 | ﹣13 |
悉尼 | +2 |
伦敦 | ﹣8 |
罗马 | ﹣7 |
A．纽约、悉尼、伦敦、罗马、北京 B．罗马、北京、悉尼、伦敦、纽约
C．伦敦、纽约、北京、罗马、悉尼 D．北京、罗马、伦敦、悉尼、纽约
【答案】A
【分析】根据纽约、悉尼、伦敦、罗马与北京的时差，结合钟表确定出对应的城市即可．
解：由表格，可知悉尼比北京时差为+2，所以北京时间是16点或18点，推理可得北京时间是16点，
则纽约时间为16﹣13＝3点，悉尼时间16+2＝18点，伦敦时间16﹣8＝8点，罗马时间16﹣7＝9点，
由钟表显示的时间可得对应城市为纽约、悉尼、伦敦、罗马、北京；
故答案为纽约、悉尼、伦敦、罗马、北京．
故选：A．
【点拨】本题考查正负数的应用，熟练掌握正负数的意义是解题关键 ．
【变式2】 中国古代的算筹计数法可追溯到公元前5世纪．摆法有纵式和横式两种（如图所示），以算筹计数的方法是摆个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横……这样纵横依次交替，宋代以后出现了笔算，在个位数划上斜线以表示负数，如 表示， 表示2369，则 表示________．
【答案】
【分析】根据算筹记数的规定可知，“ ”表示一个4位负数，再查图找出对应关系即可得表示的数．
解：由已知可得：“ ”表示的是4位负整数，是．
故答案为：．
【点拨】本题考查了应用类问题，解题关键是通过阅读材料理解和掌握我国古代用算筹记数的规定．
【变式3】 2020年11月19日，由我国自主研制的“大国重器”——“奋斗者”号载人潜水器成功坐底马里亚纳海沟，坐底深度10909米，创造了中国载人深潜新纪录，也是世界上首次同时将3人带到海洋最深处．假设以马里亚纳海沟所在海域的海平面为基准，记为0米，高于马里亚纳海沟所在海域的海平面100米的某地的高度记为米，那么“奋斗者”号坐底深度10909米处，该处的高度可记为___________米．
【答案】
【分析】在一对具有相反意义的量中，先理解“正”、“负”的意义再解题．
【详解】海平面为基准，记为0米，
高于海平面100米的某地的高度记为米，
那么“奋斗者”号坐底深度10909米处，该处的高度可记为米，
故答案为：．
【点拨】本题考查正数、负数在生活中的实际应用，是基础考点，难度容易，掌握相关知识是解题关键．
【变式4】 （．已知有A，B，C三个数的“家族”：
A：{－1,3.1，－4,6,2.1}，B：，C：{2.1，－4.2,8,6}．
(1)请把每个“家族”中所含的数填入图中的相应部分．
(2)把A，B，C三个数的“家族”中的负数写在横线上：__________.
(3)有没有同时属于A，B，C三个数的“家族”的数？若有，请指出．
【答案】(1)见解析;(2) －1，－4，－4.2，;(3)见解析.
【分析】
（1）根据数集的包含关系进行分类（2）选出负数；（3）根据观察易得.
解：(1)如图所示．
(2)－1，－4，－4.2，
(3)有，是2.1.
故答案为(2)－1，－4，－4;2，;(3)有，是2.1.
【点拨】本题考核知识点：有理数分类. 解题关键点：分析各有理数的关系.
类型二、相反意义的量
2．（2021·河北秦皇岛市·七年级期末）中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作九章算术的“方程”一章在世界上首次正式引入负数，如果零上记作，那么零下记作．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】结合题意，根据负数的性质分析，即可得到答案．
【详解】根据题意得，零下记作：
故选：B．
【点拨】本题考查了有理数的知识；解题的关键是熟练掌握正负数的性质。
举一反三：
【变式1】 某饮料厂从所生产的瓶装饮料中抽取了50瓶检查质量，超出标准质量的用正数表示，低于标准质量的用负数表示，结果记录如下表：
与标准质量的偏差 (单位：克) | ﹣8 | ﹣6 | 0 | +4 | +5 | +10 |
瓶数 | 2 | 13 | 13 | 14 | 6 | 2 |
（1）这50瓶饮料中，最重的一瓶比最轻的一瓶重多少克？
（2）这50瓶饮料的总质量比标准质量多还是少？两者相差多少？
【答案】（1）18克；（2）比标准质量多，多12克．
【分析】
（1）根据题意利用有理数的减法列式计算即可；
（2）根据题意列出算式，计算出结果为12，正数即表示为比标准质量多．
解：（1）10﹣(﹣8)＝18(克)
答：这50瓶饮料中，最重的一瓶比最轻的一瓶重18克；
（2）(﹣8)×2+(﹣6)×13+0×13+4×14+5×6+10×2，
＝﹣16﹣78+0+56+30+20，
＝﹣94+106，
＝12(克)，
因为12＞0，所以这50瓶饮料的总质量比标准质量多，多12克．
【点拨】本题主要考查正负数的含义，关键是熟练掌握正数和负数表示相反的意义进行分析计算．
【变式2】 （2019·江苏盐城市·七年级月考）孔子出生于公元前551年，如果用一551年表示，那么下列历史文化名人的出生年代应该如何表示?
(1)司马迁出生于公元前145年，记做________；
(2)李白出生于公元701年，记做_________；
(3)韩非出生于公元前206年，记做__________；
【答案】-145年 701年 -206年
【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．
解：∵公元前551年，如果用-551年来表示，
∴司马迁出生于公元前145年，表示为-145年，
李白出生于公元701年，表示为+701年，
韩非出生于公元前206年，记做-206年.
故答案为-145年；+701；-206年.
【点拨】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【变式3】 我国古代数学名著《九章算术》有注：“今两算得失相反，要令正、负以名之．”就是说，对两个得失相反的量，要以正、负加以区别．如果收入1800元，记作+1800元，那么元表示（ ）
A．支出1800元 B．收入1800元 C．支出1000元 D．收入1000元
【答案】C
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负数表示．据此解答即可．
解：因为“正”和“负”相对，所以，如果收入1800元记作元，那么元表示支出1000元．
故选：C．
【点拨】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．
类型三、正负数的实际应用--探索规律
3、观察下面依次排列的一列数，请接着写出后面的3各数，你能说出第18个数、第101个数、第2020个数是什么吗？
（1）-1，-2,+3，-4，-5，+6，-7，-8， ， ， ，……
（2）1，，3，，5，，7，， ， ， ，……
【答案】（1）+9，-10，-l1，这列数中的第18个数为18，第101个数为-10l，第2020个数为-2020；（2）-9，，-11，达列数中第18个数为，第l01个数为-101，第2020个数为。
【分析】
（1）根据已知数据，可得数据规律为：一正二负，且数据绝对值依次增加1，即可得到后续数据；
（2）根据已知数据，可得数据规律为：一正一负，且奇数数据为1、3、5、7、……，偶数数据分母为2、4、6、8、……．
解：（1）根据已知数据，可得数据规律为：一正二负，且数据绝对值依次增加1，后面的三个数据为：+9，-10，-11，第18个数为+18，第101个数为-101，第2020个数为-2020；
（2）根据已知数据，可得数据规律为：一正一负，且奇数数据为1、3、5、7、……，偶数数据分母为2、4、6、8、……，后面的三个数据为：9，-，11，第18个数为，第l01个数为101，第2020个数为．
【点拨】本题主要考察了正负数、数据的规律，解题的关键在于找出已知数据的规律．
4、（2019·新疆吉木乃初级中学七年级月考）将一串有理数按下列规律排列，回答下列问题：
(1)在A处的数是正数还是负数？
(2)负数排在A，B，C，D中的什么位置？
(3)第2 012个数是正数还是负数？排在对应于A，B，C，D中的什么位置？
【答案】(1)正数;(2)B、D;(3)正数，A.
【分析】由数字排列规律可知：A是正数，B是负数，C是正数，D是负数.每4个数一循环.
解：(1)在A处的数是正数．
(2)负数排在B，D的位置上．
(3)2012=4×503,所以第2 012个数是正数，排在对应A的位置上．
【点拨】本题考核知识点：数列规律. 解题关键点：观察规律，找出循环，注意符号.
举一反三：
【变式1】（2019·龙岩市第五中学七年级）将一串有理数按下列规律排列，回答下列问题：
在A处的数是正数还是负数？
负数排在A，B，C，D中的什么位置？
【答案】在A处的数是正数； B和D的位置是负数；
【分析】
根据A是向上箭头的上方对应的数解答；
根据箭头的方向与所对应的数的正、负情况解答；
解：是向上箭头的上方对应的数，与4的符号相同，在A处的数是正数；
观察不难发现，向下箭头的上边的数是负数，下方是正数，向上箭头的下方是负数，上方是正数，
所以，B和D的位置是负数.
【点拨】本题是对数字变化规律的考查，仔细观察图形，从箭头方向向下和向上两种情况对应的数的正负情况考虑求解是解题的关键．
【变式2】2020·全国七年级课时练习）将一串有理数按下列规律排列，回答下列问题．
（1）在A处的数是正数还是负数？
（2）负数排在A、B、C、D中的什么位置？
（3）第2019个数是正数还是负数？排在对应于A、B、C、D中的什么位置？
【答案】（1）在A处的数是正数；（2）负数排在B和D的位置；（3）第2019个数排在D的位置，是负数
【分析】
（1）根据数据排列规律可知第个数是正数，第个数是负数，由此进一步分别表示出A、B、C、D处的数，再接着分析判断即可；
（2）由（1）可知B处表示的数是，D处表示的数是，其中k是正整数，由此进一步加以分析即可；
（3）由（1）可知第2019个数是负数，据此结合加以分析即可得出答案.
【详解】
（1）由规律可知第个数是正数，第个数是负数，
而A处表示的数是，B处表示的数是，C处表示的数是，D处表示的数是，其中k是正整数，
∴A处的数是正数；
（2）由（1）可知：B处表示的数是，D处表示的数是，其中k是正整数，
∴负数排在B、D的位置；
（3）由（1）可知第2019个数是负数，
∵，
∴第2019个数排在D的位置，是负数．
【点拨】本题主要考查了数字类的规律探究，根据题意正确找出相应的规律是解题关键.
